Física Del Estado sólido 2009(farfismat)

(1)

FACULTAD DE INGENIER

FACULTAD DE INGENIER´´IA CIVIL Y ARQUITECTURA

IA CIVIL Y ARQUITECTURA

ESCUELA PROFESIONAL DE CIENCIAS F

ESCUELA PROFESIONAL DE CIENCIAS F´´ISICO

ISICO

MATEM

MATEM´´

ATICAS

Curso:

F

F´

´ISICA DEL ESTADO S

ISICA DEL ESTADO S ´

OLIDO

´

Docente: Lic. Hector Suarez

Presentado

Presentado por

por: : Est.

Est. Rub´

Rub´

en

en L.

L. Flores

Flores Ayala

Ayala

farﬁ[email protected]

(2)

´

´_{Indice general}_{Indice general} ₂₂

1.

1. ESTRESTRUCTURA CRISTUCTURA CRISTALINAALINA 33 1.1

1.1. . INTINTRORODUCDUCCICIONON´´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.2.

1.2. RED RED CRISTCRISTALINAALINA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.3.

1.3. PLANOS Y DPLANOS Y DIRECCIOIRECCIONES CRISTNES CRISTALINAALINASS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122 1.4.

1.4. ESTRUESTRUCTURACTURAS CRISTS CRISTALINAALINAS TS T´´IPICOSIPICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144 1.4

1.4.1. .1. EstrEstructuuctura del cra del cloruloruro de sodiro de sodio.o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144 1.4

1.4.2. .2. EstrEstructuuctura del cra del cloruloruro de cesro de cesioio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155 1.4.3.

1.4.3. EstructurEstructura hexagona hexagonal de emal de empaquetampaquetamientiento compacto compacto (hcp)o (hcp) . . . . . . . . . . . . . . . . 1166 1.4

1.4.4. .4. EstrEstructuuctura dera del dil diamaamantente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1188 1.4

1.4.5. .5. EstrEstructuuctura del sura del sulfulfuro de cinc curo de cinc cubicbicoo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1199 1.5.

1.5. CRISTCRISTALOGRAALOGRAFIA DE RAFIA DE RAYOS XYOS X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2200 2.

2. ENLACES ENLACES CRISTCRISTALOGRAFICOSALOGRAFICOS 2929 2.1

2.1. . INTINTRORODUCDUCCICIONON´´ . . . . . . . 2299 2.2.

2.2. FUERZAFUERZAS S INTERAINTERATTOMICASOMICAS´´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2299 2.3

2.3. . TIPTIPOS DE OS DE ENLENLACACESES . . . . . . . 3300 2.3

2.3.1. .1. InInterateracci´cci´on Van Der Waals-Londonon Van Der Waals-London . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3300 2.3

2.3.2. .2. CriCristalstales es i´i´onicosonicos . . . . . . . 3322 2.3.3.

2.3.3. CristalCristales es CovCovalenalentestes. . . . . . . 3355 2.3

2.3.4. .4. CriCristalstales es Met´Met´alicosalicos . . . . . . . 3366 2.

2.4. 4. EL EL IOIONN H H 22 . . . . . . . 3366

3.

3. VIBVIBRARACIOCIONES DE REDNES DE RED 3838 3.1.

3.1. CUANTCUANTIFICAIFICACICION DE LA VIBRACION DE LA VIBRACI´´ ON DE LA REDON DE LA RED´´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3388 3.2

3.2. . FOFONONNONESES . . . . . . . 3399 3.3.

3.3. CAPCAPACIDACIDAD CAD CALORALOR´´IFICA DE LA REDIFICA DE LA RED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4444 3.4.

3.4. DENSIDDENSIDAD DE AD DE ESTESTADOSADOS . . . . . . . 4477 3.5.

(3)

Cap

Cap´´ıtulo

ıtulo

1

ESTRUCTURA CRISTALINA

1.

1.1. 1. IN

INTR

TROD

ODUC

UCCI

CI ´

ON

´

Los cristales son una disposici´

Los cristales son una disposición perión periódica de ódica de átomos atomos en en tres tres dimensidimensiones. ones. La La ff´´ısica ısica deldel estado s´

estado sólido constituye una parte importante de la fisica cuólido constituye una parte importante de la fisica cuántica antica cuyo cuyo interínterés es principal principal eses entender las propiedades mec´

entender las propiedades mecánianicascas, , eléléctectricricas, as, magmagnńétieticas cas y y ´ópticas de la materia solida. Seopticas de la materia solida. Se har´

hará á énfasienfasis s en en el origen el origen de de las fuerzas las fuerzas que mantienen unidos a que mantienen unidos a los ´los átomos de un sátomos de un sólido y enolido y en los

los nivniveles eles de de energenerg´´ıa ıa permitidos para permitidos para los los electronelectrones es en en el el s´sólido, lo que conducirólido, lo que conducirá a a a la la teoteorr´´ıaıa de bandas de los s´

de bandas de los sólidosolidos. . Esta Esta teor´teor´ıa ıa se se aplicaaplicara ra despu´después es a a fen´fenómenoomenos s de de mucho mucho interínterés es tantotanto pr´

práctico como teáctico como teórico, orico, incluyincluyendo endo semiconsemiconductores ductores y y dispositidispositivos semiconductoresvos semiconductores.. La fecha m´

La fecha más importante en la historia de la fisica de los sás importante en la historia de la fisica de los sólidos fue el 8 de junio 1912, cuandoolidos fue el 8 de junio 1912, cuando un trabajo presentado por W. FRIEDRICH,P. KNIPPING y M. LAUE, titulado

un trabajo presentado por W. FRIEDRICH,P. KNIPPING y M. LAUE, titulado efeefectos ctos dede interferencia con rayos R¨

interferencia con rayos R¨ oentgen oentgen . Dicho trabajo demuestra, por una parte, que los rayos. Dicho trabajo demuestra, por una parte, que los rayos x son de naturaleza ondulatoria cada vez que puedan difractarse y a su vez los cristales est´ x son de naturaleza ondulatoria cada vez que puedan difractarse y a su vez los cristales est´anan formados por una

formados por una disposicidisposici´ón perión periódica de ódica de átomos. Esta prueba experimental marca el comienzoatomos. Esta prueba experimental marca el comienzo del campo de la fisica del estado s´

del campo de la ﬁsica del estado s´olido tal y como lo concebimos ahora.olido tal y como lo concebimos ahora.

1.

1.2. 2. RE

RED

D CR

CRIS

IST

TAL

ALIN

INA

A

Disposici´

Disposición perión periódica de ódica de átomosatomos

Un cristal ideal se construye mediante una repetici´

Un cristal ideal se construye mediante una repetición infinita regular en el espacio de es-on infinita regular en el espacio de es-tructuras

tructuras unitarias unitarias idídénticas. enticas. En En los los cristales cristales m´más simples tales como Cu, Ag,Au y los metalesas simples tales como Cu, Ag,Au y los metales alcalinos(Li,Na,K,Rb), las estructuras unidad contienen un solo ´

alcalinos(Li,Na,K,Rb), las estructuras unidad contienen un solo ´atomo, generalmente en losatomo, generalmente en los cristales inorg´

cristales inorgánicos contiene varios ánicos contiene varios átomos (atomos (∼∼ 100)en la estructura unidad y 10100)en la estructura unidad y 1044 _{en los cristales}_{en los cristales}

que

que constconstituyen ituyen las las protprotee´´ınas.ınas.

BASE.- describe la estructura de todos los cristales en funci´

BASE.- describe la estructura de todos los cristales en función de una red perión de una red periódica simple,odica simple, pero con un grupo de ´

pero con un grupo de ´atomos ligados a atomos ligados a cada punto cada punto de de la la red, o red, o situado en situado en cada cada paralelparalelepep´´ıpedoıpedo elemental. Este grupo de ´

elemental. Este grupo de ´atomos forma la base que al repetirse en el espacio forma el cristal.atomos forma la base que al repetirse en el espacio forma el cristal. T

(4)

Grupo de ´

Grupo de ´atomos que forman la celda unidad:atomos que forman la celda unidad: RED.- es una disposici´

RED.- es una disposición perión periódica regular de punto en el espacio.odica regular de punto en el espacio. La estructura del cristal se forma cuando una base de ´

La estructura del cristal se forma cuando una base de átomoatomos se ds se dispoispone de ne de manermanera idá idénticaentica con respecto a cada punto de la red. Entonces:

con respecto a cada punto de la red. Entonces:

RED + BASE = ESTRUCTURA DE CRISTAL RED + BASE = ESTRUCTURA DE CRISTAL

Vectores de traslaci´

Vectores de traslaci´on y redeson y redes Un cristal ideal se compone de ´

Un cristal ideal se compone de átomos dispuestos sobre una red definida por tres vectoresatomos dispuestos sobre una red definida por tres vectores de traslaci´

de traslación fundamentales aon fundamentales a −−→→a ,a ,→→−−b b ,, −−→→cc de forma que la distribuci´de forma que la distribución atón atómica parece la mismaomica parece la misma en todo los aspectos, tanto cuando se examina desde el punto r como cuando se observa desde en todo los aspectos, tanto cuando se examina desde el punto r como cuando se observa desde el punto. el punto. rr = = rr ++ nn₁₁−−→→aa ++ nn₂₂→−→−bb ++ nn₃₃−−→→cc (1.1)(1.1) Siendo

Siendo nn11,, nn22 yy nn33 nńúmeros enteros y arbitrarios. El conjunto de puntoumeros enteros y arbitrarios. El conjunto de punto rr definido pordefinido por 1.11.1

para todo los valores de

para todo los valores de nn11,, nn22 yy nn33 deﬁnen una red.deﬁnen una red.

La red y los vectores de traslaci´

La red y los vectores de traslaci´onon −−→→a ,a ,→−→−bb yy −−→→cc se dice que son primitivos si dos puntosse dice que son primitivos si dos puntos cualesquiera

cualesquiera rr yy rr

desde los cuales la distribuci´

desde los cuales la distribución atón atómica tenga el mismo aspecto satisfacenomica tenga el mismo aspecto satisfacen siempre la expresi´

siempre la expresiónon 1.11.1 con una adecuada seleccićon una adecuada selección de los nón de los númerosumeros nn11,, nn22 y ny n33. Con esta. Con esta

deﬁnici´

definición de los vectores de traslación de los vectores de traslación primitivos, no existe ninguna celda de volumen menoron primitivos, no existe ninguna celda de volumen menor que pueda servir como bloque constructor para estructura cristalina.

que pueda servir como bloque constructor para estructura cristalina. Frecuentemente utilizamos los vectores de traslaci´

Frecuentemente utilizamos los vectores de traslación primitivos para definir los ejes cristal-on primitivos para definir los ejes cristal-inos no primitivos cuando tienen una relaci´

inos no primitivos cuando tienen una relación món más as sencilsencilla la con con la la simetrsimetr´´ıa ıa de de la la estructuestructura.ra. Los ejes

Los ejes cristalcristalinosinos −−→→a ,a ,−−→→b ,, −b −→→cc forman las forman las tres atres aristas adristas adyacentes de yacentes de un pun paraleleparalelep´´ıpedo. ıpedo. Si existenSi existen puntos de la red ´

puntos de la red únicaunicamente mente en len los vós vérticertices, ees, entoncentonces es s es un pun paralearaleleplep´´ıpeıpedo pdo primitirimitivo.vo. Se define una op

Se define una operaciéración de traslación de traslación de la red como el desplazamiento de un cristal medianteon de la red como el desplazamiento de un cristal mediante un vector de traslaci´

un vector de traslaci´on on cristalcristalino.ino. T T == nn11−−→→aa ++ nn22 − − → → bb ++ nn33−−→→cc T T == nn₁₁−−→→aa₁₁ ++ nn₂₂→→−−aa₂₂ ++ nn₃₃−−→→aa₃₃ (1.2)(1.2)

(5)

Dos puntos cualesquiera de la red est´

Dos puntos cualesquiera de la red est´an conectados por un vector de esta forma.an conectados por un vector de esta forma.

Para describir una estructura cristalina, existen tres cuestiones importantes a responder; Para describir una estructura cristalina, existen tres cuestiones importantes a responder; ¿Cu´

¿Cuál al es es la la red?¿red?¿qu´qué e selecseleccićión deon de −→→−aa11,, −→−→aa22 yy −→−→aa33 queremos hacer? ¿Cu´queremos hacer? ¿Cuál es la base?al es la base?

Base y estructura del cristal Base y estructura del cristal La descripci´

La descripción de una estructura cristalina en función de una estructura cristalina en función de la red y la base en muy apropiadaon de la red y la base en muy apropiada para analizarla mediante la difracci´

para analizarla mediante la difracci´on de R-x o neutrones.on de R-x o neutrones. Un a base de N ´

Un a base de N átomos o iones vienen especificados por un conjunto de N vectores, que laatomos o iones vienen especificados por un conjunto de N vectores, que la posici´

posición de los centros de los ón de los centros de los átomos de la base, referido a un punto de la red.atomos de la base, referido a un punto de la red. −

− →

→_{rr =}_{= h}_h−−→→_{a +}_a _{+ kk}→−→−_{bb +}_{+ ll−}−→→_cc Donde:

Donde: h,k,lh,k,l son enteros positivos o negativos.son enteros positivos o negativos. Celdas primitivas

Celdas primitivas Una celda

Una celda primitiprimitivva a o o celda unidad, es celda unidad, es un un tipo tipo de de celda de celda de voluvolumen mmen m´´ınimo, dentro de ınimo, dentro de lala red

red o ao arreglo rreglo espacial espacial de de los pulos puntos. Existen ntos. Existen puntos en puntos en los olos ocho v´cho v´ertices ertices del del paralelepparalelep´´ıpedo ıpedo paroparo cada punto esta compartido en las ocho celdas que la contiene. La base asociada con un punto cada punto esta compartido en las ocho celdas que la contiene. La base asociada con un punto de la red de una celda primitiva suele llamarse base primitiva. El n´

de la red de una celda primitiva suele llamarse base primitiva. El número de úmero de átomos de unaatomos de una celda primitiva es el n´

celda primitiva es el número de úmero de átomos de la base.atomos de la base. Los par´

Los parámetros que sirven para definir una celda unitaria se conocen como vectores base,ametros que sirven para definir una celda unitaria se conocen como vectores base, los cuales deben ser linealmente independientes e ir asociados a ciertos ´

los cuales deben ser linealmente independientes e ir asociados a ciertos ángulangulos os espespecec´´ıficosıficos relacionados

relacionados con con la la simetrsimetr´´ıa ıa de de la la red.red.

La celda convencional La celda convencional

(6)

Es

Es un un vovolumlumen en tal tal que que llellena na todo todo el el espaespacio cio sin sin trastraslaplaparse al arse al ser ser trastrasladladado ado a a tratrav´v´es es dede alg´

alg´un subconjunto de vectores de la red de Bravais. En general, la celda convencional es elegidaun subconjunto de vectores de la red de Bravais. En general, la celda convencional es elegida de mayor tama˜

de mayor tama˜no que no que la celda la celda primitiva y poseyendo primitiva y poseyendo las simetrlas simetr´´ıas de ıas de la estructla estructura. Otro ura. Otro nombrenombre de la celda convencional es celda unitaria.

de la celda convencional es celda unitaria. La celda de Wigner Seitz

La celda de Wigner Seitz Elecci´

Elección món más as sim´simétrica etrica de de Celda Celda Primitiva, que Primitiva, que posee posee la la simetrsimetr´´ıa ıa completa completa de de la la red.red.

TIPOS DE REDES TIPOS DE REDES

Las redes cristalinas pueden convertirse en ellas mismas no solamente mediante los vectores Las redes cristalinas pueden convertirse en ellas mismas no solamente mediante los vectores de traslaci´

de traslación, on, si si no no tambi´también en mediante mediante varias opvarias operaciones eraciones puntuales puntuales de de simetrsimetr´´ıa. ıa. Una Una operacióperaciónon tt´´ıpiıpica ca de de simesimetr´tr´ıa ıa es es la la rotrotaciaci´ón alrededor de un eje que pasa por un punto de la red. Puedenon alrededor de un eje que pasa por un punto de la red. Pueden encontrarse redes que admiten ejes de rotaci´

encontrarse redes que admiten ejes de rotaci´on de ordenes uno, dos, tres, cuatro y seis queon de ordenes uno, dos, tres, cuatro y seis que corresponden a rotaciones de 2

corresponden a rotaciones de 2π,π, 22π/π/22,, 22π/π/33,, 22π/π/44,, 22π/π/6 radianes o a m´6 radianes o a m´ultiplos enteros de estasultiplos enteros de estas rotaciones.

rotaciones.

RED DE BRAVAIS: RED DE BRAVAIS: Arr

Arreglo eglo infiinfinito nito de de punpuntos tos en en el el espespacioacio, , en en el el cual cual cada cada punpunto to tientiene e idid´éntentica ica vevecincindad.dad. Matem´

Matemáticamente la Red de Bravais se describe como una operaciáticamente la Red de Bravais se describe como una operación de traslación de vectores:on de traslación de vectores: − − → → R R == nn11−−→→aa 11++ nn22→−→−aa22 ++ nn33−−→→aa33

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REDES BIDIMENSIONALES REDES BIDIMENSIONALES El n´

El número posible de redes es ilimitado, toda vez que no hay restricciúmero posible de redes es ilimitado, toda vez que no hay restricción ni en las longitudeson ni en las longitudes a,

a, bb de los vectores de traslaci´de los vectores de traslación de la red ni en el ón de la red ni en el ánguloangulo ϕϕ que forman. En redes bidimensionalesque forman. En redes bidimensionales existen cinco redes de Bravais, una red oblicua y cuatro redes especiales.

existen cinco redes de Bravais, una red oblicua y cuatro redes especiales. Red oblicua

Red oblicua

-

- La La red de red de la menor la menor simetrsimetr´´ıa pıa posible es osible es generado por generado por dos vectores primitivdos vectores primitivos os de de longitlongitudud y direcci´

y direcci´on no correlacionadas.on no correlacionadas.

- Tiene cuatro ejes binarios (

- Tiene cuatro ejes binarios (nn = 2). Dos de ellos son distinguibles independientemente= 2). Dos de ellos son distinguibles independientemente de la elecci´

de la elecci´on de la celda primitiva.on de la celda primitiva. Red cuadrada

Red cuadrada

- En una red cuadrada hay un eje cuaternario (n=4) que pasa por el centro de la celda - En una red cuadrada hay un eje cuaternario (n=4) que pasa por el centro de la celda cuadrada.

cuadrada.

- Dos de los ejes binarios de la red oblicua se transforman en ejes cuaternarios Red - Dos de los ejes binarios de la red oblicua se transforman en ejes cuaternarios Red cuadrada:

cuadrada:

- Si una

- Si una red tiene un eje enarired tiene un eje enario en o en algálgún lugaun lugar, debr, debe tae tambi´mbién teen tener un ner un eje enaeje enario que rio que pasapasa por sus puntos de red.

por sus puntos de red.

Red exagonal Red exagonal

- Una red con un eje ternario, combina en sus puntos de red con el eje binario, que una - Una red con un eje ternario, combina en sus puntos de red con el eje binario, que una

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- Uno de los ejes binarios de la red oblicua llega a ser un senario; adem´

- Uno de los ejes binarios de la red oblicua llega a ser un senario; adem´as aparecen dosas aparecen dos ejes ternarios (

ejes ternarios (nn = 3).= 3).

Red retangular Red retangular

- En general, un eje que no es perpendicular al plano de red, no puede llevar a la red en - En general, un eje que no es perpendicular al plano de red, no puede llevar a la red en ss´´ı misma. ı misma. Excepto uExcepto un eje n eje binario en binario en el plano, el plano, que actque act´úa como unaua como una ll´´ınınea ea de de reflereflexixi´ ´ on on ..

Red r´

Red r´ombica o rectangular centradaombica o rectangular centrada

- La red r´

- La red rómbica ombica solamente solamente tiene tiene dos dos ll´´ıneas ıneas de de reflexi´reflexión no equivalentes (resulta de unaon no equivalentes (resulta de una comprensi´

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REDES EN TRES DIMENSIONES REDES EN TRES DIMENSIONES

En

En tres tres dimensdimensiones los iones los grupos grupos puntupuntuales de ales de simetrsimetr´´ıa ıa requierrequieren en los los ejes ejes aa −→→−a ,a ,−−→→b b ,, −−→→cc y losy los ´´angulos

angulos α,β,γ α,β,γ que deﬁnen catorce tipos diferentes de redes, conocidas como las 14 redes deque deﬁnen catorce tipos diferentes de redes, conocidas como las 14 redes de Bravais, en cada uno de los cuales cada punto de la red se ve circulando por un arreglo de Bravais, en cada uno de los cuales cada punto de la red se ve circulando por un arreglo de puntos id´

puntos id´enticos al enticos al que contempla que contempla cualquiera dcualquiera de los e los otros potros puntos de untos de esa red esa red particular.particular.

Sis

Sistema tema tritriclcl´´ıniınico:co: sin sin sisimemetr´tr´ıaıass

Se considera una red oblicua. El pr´

Se considera una red oblicua. El pr´oximo se coloca de manera que sus ejes binarios nooximo se coloca de manera que sus ejes binarios no coincidan

(10)

Sis

Sistema tema monmonococll´´ıniınico:co: PresePreserva rva simetsimetrr´´ıa ıa binarbinariaia

Se considera una red oblicua. El pr´

Se considera una red oblicua. El próximo se coloca de manera que sus puntos estóximo se coloca de manera que sus puntos estánan directamente arriba de los puntos del primer plano, o directamente arriba de los puntos directamente arriba de los puntos del primer plano, o directamente arriba de los puntos B, C, o D. El primero produce la

B, C, o D. El primero produce la red monocred monocll´´ınınica ica sisimplmplee; el segundo,; el segundo, la la red red monmonoclocl´´ınınica ica de cuerpo centrado.

de cuerpo centrado.

Sistema trigonal:

Sistema trigonal:Existencia de un eje ternarioExistencia de un eje ternario

Se considera una red hexagonal. El pr´

Se considera una red hexagonal. El pr´oximo se coloca de manera que los centros de losoximo se coloca de manera que los centros de los tri´

triángulos estángulos estén en directamdirectamente arriba ente arriba de de los puntos los puntos de de red red del del primer plano, primer plano, de de maneramanera que no tenga ejes senarios.

que no tenga ejes senarios.

Sistema tetragonal:

Sistema tetragonal:Existencia de un eje cuaternarioExistencia de un eje cuaternario

Se considera una red cuadrada. El pr´

Se considera una red cuadrada. El próximo se coloca de manera que sus puntos estóximo se coloca de manera que sus puntos estánan directam

directamente arriba de los ente arriba de los puntopuntos del s del primer plano, o directamenprimer plano, o directamente arriba de te arriba de los puntos B.los puntos B. El primero produce la

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Sistema hexagonal:

Sistema hexagonal:Existencia de un eje senarioExistencia de un eje senario

Se considera una red hexagonal. El pr´

Se considera una red hexagonal. El próximo se coloca de manera que sus puntos estóximo se coloca de manera que sus puntos estánan directamente arriba de los puntos del primer plano.

directamente arriba de los puntos del primer plano.

Sistema ortorr´

Sistema ortorr´ombico:ombico:Dos ejes binarios perpendiculares entre siDos ejes binarios perpendiculares entre si Se considera o una red rectangular o una red r´

Se considera o una red rectangular o una red rómbica. El próximo se coloca de maneraombica. El próximo se coloca de manera que

que sus puntos sus puntos est´est´en en directamdirectamente arriba ente arriba de de los los puntopuntos s del del primer plano primer plano o o directamdirectamenteente arriba de B, C, o D. Resulta 4 redes:

arriba de B, C, o D. Resulta 4 redes: simple, de cuerpo centrado, de base centrada y desimple, de cuerpo centrado, de base centrada y de cara centrada.

cara centrada.

Sistema c´

Sistema c´ubico:ubico:cuatro ejes cuaternarios perpendiculares entre sicuatro ejes cuaternarios perpendiculares entre si

Se considera una red cuadrada. El pr´

Se considera una red cuadrada. El pr´oximo se coloca a una distancia igual al del lado deloximo se coloca a una distancia igual al del lado del cuadrado

cuadrado, , de de manera que manera que sus sus puntos est´puntos est´en en directamdirectamente arriba ente arriba de de los los puntopuntos s del del primerprimer plano (

plano (simplesimple) o directamente arriba de B () o directamente arriba de B (cuerpo centradocuerpo centrado), o girando a 45), o girando a 45oo de manerade manera que sus puntos est´

(12)

1.3

1.3. . PL

PLANO

ANOS Y

S Y DIR

DIREC

ECCIO

CIONES

NES CRI

CRIST

STALI

ALINAS

NAS

La

La orienorientaci´taci´on de un plano cristalino se determina mediante tres puntos del plano conon de un plano cristalino se determina mediante tres puntos del plano con tal que no sean colineales. Si cada punto est´

tal que no sean colineales. Si cada punto est´a sobre un eje cristalino diferente, el plano puedea sobre un eje cristalino diferente, el plano puede especiﬁcars

especificarse dando las e dando las coordenadas de los puntos en funcićoordenadas de los puntos en función de las constantes de la redon de las constantes de la red aa11,, aa22,, aa33

..

Sin embargo, resulta ser de mayor utilidad para el an´

Sin embargo, resulta ser de mayor utilidad para el análisis de la estructura el especificar laalisis de la estructura el especificar la orientaci´

orientación on de de un un plano mediante losplano mediante los ´´ındices determinaındices determinados pdos por or las reglas las reglas siguiesiguientes (figura ntes (figura 21).21).

Figura 21.Este plano corta a los ejes

Figura 21.Este plano corta a los ejes aa11,, aa22 yy aa33 en en 33aa11,, 22aa22 y y 22aa33 .Los inversos de estos n´.Los inversos de estos n´umerosumeros

es

es 11₃₃,, 11₂₂,, 11₂₂ . Los tres enteros más peque˜. Los tres enteros más pequeños que poseen la misma relacińos que poseen la misma relación son 2,3 y 3 y por tantoon son 2,3 y 3 y por tanto los ´

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INDICES DE MILLER INDICES DE MILLER

En el an´

En el análisis estructural es frecuente especificar la orientaciálisis estructural es frecuente especificar la orientación on de de un un plano, plano, asas´´ı ı como como laslas diferentes distancias ”

diferentes distancias ”dd” entre ellos, por una serie de tres n´” entre ellos, por una serie de tres números, indicativos de los úmeros, indicativos de los ángulosangulos que forma un determinado plano con los ejes del cristal.

que forma un determinado plano con los ejes del cristal. Para encontrar los ´

Para encontrar los ´ındiceındices s de de Miller de Miller de un un plano cualquiera se plano cualquiera se procede de procede de la siguiente manera.la siguiente manera. 1. Elijase un origen conveniente para el sistema de ejes cristalogr´

1. Elijase un origen conveniente para el sistema de ejes cristalográficas asociados a los vec-aficas asociados a los vec-tores

tores base base y y encuéncuéntrese entrese las las intersecciones intersecciones ((x,y,zx,y,z) del plano en cuesti´) del plano en cuestión con estos ejes.on con estos ejes. 2.

2. DivDiv´´ıdanse ıdanse estas estas inteinterseccionrsecciones es entre entre los los par´par´ametrosametros a,b,ca,b,c. respectivos de la red lo que. respectivos de la red lo que dar´

dará tres ná tres números umeros enteroenteross xx_a_a,, yy_bb,, zz_cc.. 3.

3. ObtÓbténgaengase se los los recrec´´ıproıprocos cos de de estos estos tres tres nńúmeros y redúmeros y redúzcanse uzcanse tomando tomando el el mm´´ınimo ınimo comćomúnun m´

múltiplo (mcm) estas fracciones reciprocas y multiplicúltiplo (mcm) estas fracciones reciprocas y multiplicándolos por el mismo nándolos por el mismo número, alumero, al m´

más pequeãs pequeño sistema de tres nńo sistema de tres númerosumeros h,k,lh,k,l. . que que guardan guardan las las mismas razones mismas razones entre entre ss´´ı,ı, que las fracciones reciprocas anteriores.

que las fracciones reciprocas anteriores. 4. Estos tres n´

4. Estos tres n´umeros (umeros (h,k,lh,k,l) ) son son los ´los ´ındices ındices de de Miller.Miller.

Nota Nota

Si un

Si un plano intersectplano intersecta a una o una o dos ejes dos ejes en en el inﬁnito, el el inﬁnito, el o o los los ´´ındices de ındices de MilleMiller r correspondi correspondi--entes ser´

entes ser´an iguales a cero. Si un plano corta un eje por su lado negativo, los correspondi-an iguales a cero. Si un plano corta un eje por su lado negativo, los correspondi-ente

entess ´´ındındiceices de s de MilMiller ler tambtambiíén sen serérá, en este caso por convenciá, en este caso por convención, esto se indica colocandoon, esto se indica colocando el sign

el signo o menos menos sobre sobre el ´el ´ındice ındice respectivo respectivo ((kk).).

Algunos planos importantes de un cristal cubico Algunos planos importantes de un cristal cubico

Figura 22.

Figura 22. ´Índices de planos importantes en un cristal cÍndices de planos importantes en un cristal cúbico. El plano(200) es paraleloubico. El plano(200) es paralelo a (100) y a (100).

(14)

Posici´

Posici´on en la celdaon en la celda

Las coordenadas del punto central de la celda son:

Las coordenadas del punto central de la celda son:11₂₂,, 11₂₂,, 11₂₂

1.4

1.4. . EST

ESTR

RUCT

UCTURA

URAS

S CRI

CRIST

STALI

ALINAS

NAS T

T´

´IPICOS

IPICOS

Estudiaremos

Estudiaremos algunas estrucalgunas estructuras cristturas cristalinas simples alinas simples de inter´de inter´es generes general: el cal: el cloruro de loruro de sodio,sodio, el cloruro de cesio, el sistema hexagonal de de empaquetamiento compacto, el diamante y el el cloruro de cesio, el sistema hexagonal de de empaquetamiento compacto, el diamante y el sulfuro de cinc cubico.

sulfuro de cinc cubico.

1.

1.4.

4.1. 1. Es

Estr

truc

uctu

tura de

ra del clo

l cloru

ruro de s

ro de sodi

odio.

o.

La estructura del cloruro de sodio,

La estructura del cloruro de sodio, NaClNaCl, se indica en las ﬁguras 24 y 25. La red es cubica, se indica en las ﬁguras 24 y 25. La red es cubica centradas en las caras; la base se compone de un ´

centradas en las caras; la base se compone de un átomo de Na y un átomo de Na y un átomoatomo

Figura 24. Podemos construir la estructura cristalina del cloruro de sodio disponiendo iones de Figura 24. Podemos construir la estructura cristalina del cloruro de sodio disponiendo iones de N

Naa++ _y_{y C}_Cll−−

alternativamente en los puntos de la red de una red cubica simple. En el cristal alternativamente en los puntos de la red de una red cubica simple. En el cristal cada ion est´

cada ion está rodeado por los seis vecinos má rodeado por los seis vecinos más prás próximos de carga opuesta. La red es cubicaoximos de carga opuesta. La red es cubica centrada en las caras y la base tiene un ion

centrada en las caras y la base tiene un ion CCll−−

en 000 y un ion

en 000 y un ion NNaa++ enen 11₂₂,, 11₂₂,, 11₂₂. L a ﬁgura. L a ﬁgura muestra una celda, cubica convencional. Los di´

muestra una celda, cubica convencional. Los diámetros iámetros iónicos en esta figura se han reducidoonicos en esta figura se han reducido en relaci´

(15)

Figura 25. Modelo de cloruro de sodio. Los iones de sodio son m´

Figura 25. Modelo de cloruro de sodio. Los iones de sodio son más pequeãs pequeños que los de cloronos que los de cloro (Cortesia DE A. N. Holden y P. Singer).

(Cortesia DE A. N. Holden y P. Singer).

de Cl separados por la mitad de la diagonal del cuerpo de un cubo unidad. Existen cuatro de Cl separados por la mitad de la diagonal del cuerpo de un cubo unidad. Existen cuatro unidades de NaCl en cada cubo unidad, teniendo los ´

unidades de NaCl en cada cubo unidad, teniendo los ´atomos las posiciones.atomos las posiciones.

Cada ´

Cada átomo tiene como vecinos mátomo tiene como vecinos más prás próximos seis óximos seis átomos de la clase opuesta. En la tablaatomos de la clase opuesta. En la tabla siguiente se mencionan alguno de los cristales m´

siguiente se mencionan alguno de los cristales m´as representativos que poseen la estructura delas representativos que poseen la estructura del NaCl. La arista del cubo a viene dada en angstroms; 1

NaCl. La arista del cubo a viene dada en angstroms; 1 ˙˙AA ≡≡ 1010−−₈₈

cm

cm ≡≡ 1010−−₁₀₁₀

m

m = = 00,,11nm.nm.

1.

1.4.

4.2. 2. Es

Estr

truc

uctu

tura de

ra del clo

l cloru

ruro de c

ro de ces

esio

io

La

La estrestructuuctura ra del del clocloruro de ruro de cesicesio o se se indindica ica en en la la figurfigura a 26. 26. ExiExiste ste solsolo o una una molmol´éculecula a porpor celda primitiva, con ´

celda primitiva, con ´atomos en atomos en los v´los v´ertices 000 ertices 000 y y en en las plas posicioosiciones nes CentrCentradas en adas en el el cuerpocuerpo 11₂₂11₂₂11₂₂ de la red espacial cubica simple. Cada ´

de la red espacial cubica simple. Cada ´atomo puede considerarse como el centro de un cuboatomo puede considerarse como el centro de un cubo de

de ´átomos de la clase opuesta, de forma que el nátomos de la clase opuesta, de forma que el número de vecinos más prúmero de vecinos más próximos o numero deoximos o numero de coordinaci´

(16)

Figura 26. Estructura de cristal de cloruro de cesio. La red espacial es cubica simple y la base Figura 26. Estructura de cristal de cloruro de cesio. La red espacial es cubica simple y la base tiene un ion

tiene un ion CCss++ en 000 y un ion Cen 000 y un ion Cll−−

en

en 11₂₂11₂₂11₂₂..

1.4.3. 1.4.3. Estr

Estructu

uctura he

ra hexagon

xagonal de

al de empa

empaqueta

quetamien

miento c

to compac

ompacto (h

to (hcp)

cp)

Existe un n´

Existe un número infinito umero infinito de formade formas de s de disponer disponer esferas idésferas idénticas en enticas en una distruna distribuciíbución regularon regular que haga m´

que haga máxima la fracciáxima la fracción de empaquetamiento (Figura 21). Una de ellas es la estructuraon de empaquetamiento (Figura 21). Una de ellas es la estructura cubica centrada en las caras; otra es la estructura de empaquetamiento compacto hexagonal cubica centrada en las caras; otra es la estructura de empaquetamiento compacto hexagonal (Figura 27). La fracci´

(Figura 27). La fracci´on del volumen total ocupado por las esferas es 0,74 para ambas estruc-on del volumen total ocupado por las esferas es 0,74 para ambas estruc-turas.

turas.

Figura 27. Se indica en la ﬁgura una capa de esferas de empaquetamiento compacto, con Figura 27. Se indica en la ﬁgura una capa de esferas de empaquetamiento compacto, con centros en los puntos marcados con la letra A. Encima de esta puede colocarse una segunda centros en los puntos marcados con la letra A. Encima de esta puede colocarse una segunda capa id´

capa id´entientica ca a a la anterior, por la anterior, por encima y encima y paralelparalela a al plano al plano del dibujo, con del dibujo, con los centros de los centros de laslas esferas sobre los puntos marcados con la letra B. Existen dos posibilidades para una tercera esferas sobre los puntos marcados con la letra B. Existen dos posibilidades para una tercera capa. Pueden estar las esferas sobre los puntos A o sobre los puntos C. Si est´

capa. Pueden estar las esferas sobre los puntos A o sobre los puntos C. Si est´an sobre A,an sobre A, la secuencia es

la secuencia es ABABAABABAB .B . .. .. y la estructura es hexagonal de empaquetamiento compacto. Siy la estructura es hexagonal de empaquetamiento compacto. Si la tercera capa incide sobre C, la secuencia es

la tercera capa incide sobre C, la secuencia es AABCABBCABCABCABC .C . .. .. y la estructura es cubicay la estructura es cubica centrada en las caras.

centrada en las caras.

Las esferas se disponen en una capa de empaquetamiento compacto simple A colocando cada Las esferas se disponen en una capa de empaquetamiento compacto simple A colocando cada esfera en contacto con otras seis. Esta capa puede servir o bien como el plano basal de una esfera en contacto con otras seis. Esta capa puede servir o bien como el plano basal de una estructura hcp o bien como el plano (111) de la estructura fcc. Puede a˜

estructura hcp o bien como el plano (111) de la estructura fcc. Puede a˜nadirse un asegunda capanadirse un asegunda capa semejante B colocando cada esfera de B en contacto con tres esferas de la capa inferior, como se semejante B colocando cada esfera de B en contacto con tres esferas de la capa inferior, como se ve en la ﬁgura 27. Una tercera capa C puede a˜

ve en la ﬁgura 27. Una tercera capa C puede a˜nadirse de nadirse de dos formas dos formas distindistintas. Podemos obtenertas. Podemos obtener la estructura fcc si las esferas de la tercera capa se a˜

la estructura fcc si las esferas de la tercera capa se a˜naden sobre los huecos de la primera capanaden sobre los huecos de la primera capa que no est´

que no est´a Ocupados por B. obtenemos por el contrario la estructura hcp cuando las esferasa Ocupados por B. obtenemos por el contrario la estructura hcp cuando las esferas de la tercera capa se colocan directamente sobre los centros de las esferas de la primera capa. de la tercera capa se colocan directamente sobre los centros de las esferas de la primera capa.

(17)

Figura 28. Estructura hexagonal de empaquetamiento compacto. Las posiciones de los ´

Figura 28. Estructura hexagonal de empaquetamiento compacto. Las posiciones de los ´atomosatomos en esta estructura no constituyen una red espacial. La red espacial es simplemente hexagonal en esta estructura no constituyen una red espacial. La red espacial es simplemente hexagonal con una base de dos ´

con una base de dos átomos atomos idídénticos asoenticos asociados eciados en cadn cada punto a punto de la de la red.red.

Figura 29. La celda primitiva tiene

Figura 29. La celda primitiva tiene aa11 == aa22, con un Angulo comprendido de 120, con un Angulo comprendido de 12000. El eje c (. El eje c (aa33))

es normal al plano

es normal al plano aa11 yy aa22 . la estructura ideal hexagonal de empaquetamiento compacto tiene. la estructura ideal hexagonal de empaquetamiento compacto tiene

c=1,633a. Se indican los dos ´

c=1,633a. Se indican los dos átomos de una base con forma de puntos negros. Un átomos de una base con forma de puntos negros. Un átomo deatomo de la base est´

la base está a en en el el origen; el origen; el otro otro ´átomo esta atomo esta enen 22₃₃₃1₃111₂₂ , lo cual significa que est´, lo cual significa que está en la posiciá en la posiciónon rr == 22₃₃aa11 ++ 11₃₃aa22 ++ ₂1₂1aa33. El cociente. El cociente _a_acc (o(o aa33/a/a11) para el empaquetamiento compacto hexagonal de) para el empaquetamiento compacto hexagonal de

esferas tiene el valor (

esferas tiene el valor (88₃₃))11//22 ₌_{= 11,, 633. Es normal referirse a los cristales como hcp, aunque su}_{633. Es normal referirse a los cristales como hcp, aunque su}

cociente real c/a se separe un poco de este valor te´ cociente real c/a se separe un poco de este valor te´orico.orico.

El numero de ´

El numero de átomos vecinos mátomos vecinos más prás próximos es 12, tanto para la estructura hcp como paraoximos es 12, tanto para la estructura hcp como para la

la fcc. fcc. Si Si la la energenerg´´ıa ıa de de enlace enlace (o (o energenerg´´ıa ıa libre) libre) dependiese dependiese ´únicamente del núnicamente del número de enlacesumero de enlaces entre vecinos m´

entre vecinos más prás próximos por óximos por átomo, atomo, no no existirexistir´´ıa ıa ninguna ninguna diferencia diferencia en en la la energenerg´´ıa ıa entre entre laslas estructuras fcc y hcp.

(18)

Figura 30. Posiciones at´

Figura 30. Posiciones at´omicas en la celda cubica de la estructura del diamante proyectadaomicas en la celda cubica de la estructura del diamante proyectada sobre una cara del cubo; las fracciones indican la altura sobre la base en unidades de una arista sobre una cara del cubo; las fracciones indican la altura sobre la base en unidades de una arista de cubo. Los puntos en 0 y

de cubo. Los puntos en 0 y 11₂₂ son de la red cubica centrada en las caras; los situados enson de la red cubica centrada en las caras; los situados en 11₄₄ yy

3 3 4

4 est´est´an sobre una red semejante pero desplazada a lo largo de la diagonal del cuerpo enan sobre una red semejante pero desplazada a lo largo de la diagonal del cuerpo en 1 1 4 4 dede

su longitud. Con una red espacial cubica centrada en las caras, la base est´

su longitud. Con una red espacial cubica centrada en las caras, la base est´a compuesta por dosa compuesta por dos ´´atomo

atomos s id´id´enticos enticos en en 000;000; ₄₄1111₄₄11₄₄..

Figura 31.

Figura 31. EstructurEstructura a cristalcristalina del ina del diamandiamante, mostrando la te, mostrando la disposicidisposici´ón on de de los los enlacenlaces es tetrtetraáédri- edri-cos.

cos.

1.4

1.4.4. .4. Es

Estru

truct

ctura

ura del

del dia

diaman

mante

te

La red espacial del diamante es fcc. La base primitiva tiene dos ´

La red espacial del diamante es fcc. La base primitiva tiene dos átoatomos mos idídéntienticos cos de 0de 000,00, ₄1₄111₄₄11₄₄ asociados con cada

asociados con cada punto de la punto de la red fcc, red fcc, como se como se ve en ve en la ﬁgura la ﬁgura 30. As30. As´´ı, pues, el ı, pues, el cubo unitariocubo unitario convencional contiene ocho ´

convencional contiene ocho átomos. No existe ningátomos. No existe ningún procedimiento para seleccionar la celdaun procedimiento para seleccionar la celda primitiva de forma que la base del diamante contenga solo un ´

(19)

Los

Los enlaces enlaces tetra´tetraédricos edricos caractercaracter´´ısticos ısticos de de la la estructura estructura del del diamante se diamante se indican indican en en la la figurafigura 31. Cada ´

31. Cada átomo tiene cuatro vecinos mátomo tiene cuatro vecinos más prás próximos y 12 vecinos siguientes a los próximos y 12 vecinos siguientes a los próximos. Laoximos. La estructur

estructura a del diamante est´del diamante está a relatrelativamente ivamente vacvac´´ıa: ıa: la la propproporciórción món máxima del volumen disponibleaxima del volumen disponible que puede rellenarse con esferas macizas es ´

que puede rellenarse con esferas macizas es ´unicamente 0.34, que es solo el 46 por ciento delunicamente 0.34, que es solo el 46 por ciento del factor de relleno de una estructura de empaquetamiento compacto como la fcc o hcp. La factor de relleno de una estructura de empaquetamiento compacto como la fcc o hcp. La es-tructura del diamante es un ejemplo del enlace covalente direccional que se encuentra en la tructura del diamante es un ejemplo del enlace covalente direccional que se encuentra en la columna cuarta del sistema peri´

columna cuarta del sistema peri´odico de los elementos.odico de los elementos. El carbono, el silicio, el germanio y el esta˜

El carbono, el silicio, el germanio y el esta˜no pueden no pueden cristalcristalizar en izar en la estructura del la estructura del diamandiamantete con constantes de red a=3,56;5,43;5,65 y 6

con constantes de red a=3,56;5,43;5,65 y 6,, 4646 ˙˙AA, respectivamente. Indicamos con a la arista de, respectivamente. Indicamos con a la arista de la celda cubica convencional.

la celda cubica convencional.

1.4

1.4.5. .5. Es

Estru

truct

ctura

ura del s

del sulf

ulfuro d

uro de ci

e cinc c

nc cubi

ubico

co

La estructura del diamante puede considerarse como dos estructuras fcc desplazadas entre La estructura del diamante puede considerarse como dos estructuras fcc desplazadas entre ss´´ı pı por un or un cuarto de cuarto de la diagonal del la diagonal del cuerpo. La cuerpo. La estructurestructura a del sulfuro de del sulfuro de cinc cubico (blenda decinc cubico (blenda de cinc) se obtiene como resultado de situar ´

cinc) se obtiene como resultado de situar átomos de Zn en una red fcc y átomos de Zn en una red fcc y átomos de S sobre otraatomos de S sobre otra red fcc, como se ve en la figura 32. La celda convencional es un cubo. Las coordenadas de los red fcc, como se ve en la figura 32. La celda convencional es un cubo. Las coordenadas de los ´átomos d

atomos de Zn son 0e Zn son 000;00; 0011₂₂₂₂11;; 11₂₂0011₂₂;; 11₂₂11₂₂0; las coordenadas de los ´0; las coordenadas de los ´atomos de S sonatomos de S son 11₄₄11₄₄₄1₄1;; 11₄₄₄₄3333₄₄;; 33₄₄₄1₄133₄₄;; ₄₄3333₄₄11₄₄.. La

La red red fcc. fcc. Existen Existen cuatro cuatro mol´mol´eculas eculas de de ZnS ZnS por por celda celda convencional. Alrededor convencional. Alrededor de de cada cada ´´atomoatomo existen cuatro ´

existen cuatro ´atomos igualmente atomos igualmente distantes del distantes del tipo tipo opuesto, distropuesto, distribuidos en ibuidos en los v´los v´ertices de ertices de unun tetraedro regular.

tetraedro regular.

Figura 32. Estructura cristalina del sulfuro de cinc cubico Figura 32. Estructura cristalina del sulfuro de cinc cubico

La estructura del diamante permite una operaci´

La estructura del diamante permite una operación on de de simetsimetrr´´ıa ıa de de inversiínversión alrededor de unon alrededor de un centro en

centro en el el punto medio punto medio de de cada cada ll´´ınea ınea entre éntre átomos vecinos mátomos vecinos más prás próximos. La operacióximos. La operación deon de inversi´

inversión hace que un ón hace que un átomo situado en r se cambie a un átomo situado en r se cambie a un átomo en -r. la estructura de ZnSatomo en -r. la estructura de ZnS cubic

(20)

1.5

1.5. . CR

CRIST

ISTALO

ALOGR

GRAFI

AFIA D

A DE R

E RA

AYOS

YOS X

X

Difracci´

Difracci´on por un cristalon por un cristal

Para explotar la estructura de los cristales, se estudian mediante la difracci´

Para explotar la estructura de los cristales, se estudian mediante la difracci´on de fotones,on de fotones, neutrones y con menos frecuencia de electrones que interacciona con los ´

neutrones y con menos frecuencia de electrones que interacciona con los ´atomos en los cristales.atomos en los cristales. El

El ´´angulo bajo el que se difracta la onda depende principalmente de la estructura del cristal yangulo bajo el que se difracta la onda depende principalmente de la estructura del cristal y de la longitud de onda de la radiaci´

de la longitud de onda de la radiaci´on.on. A) Rayos X

A) Rayos X E

E == hν hν E

E == hν/λhν/λ ==⇒⇒ λλ == hc/E hc/E En forma practica

En forma practica λλ(( ˙˙AA) ) == _((E_E ((KeV1212,,4_KeV ))4 ₎₎ 11eV eV = = 11,, 6060 ×× 1010−−₁₉₁₉ J J h h = = 66,, 6262×× 1010−−₂₇₂₇ erg.s erg.s h h = = 66,, 6262 ×× 1010−−₃₄₃₄ J.s J.s 11 ˙˙AA = = 1010−−₈₈ C Cmm = = 1010−−₁₀₁₀ m m B) Neutrones B) Neutrones De la ecuaci´

De la ecuaci´on de la longitud de onda (on de la longitud de onda (λλ) de De Broglie.) de De Broglie. λ λ == _p_phh ⇒⇒ p p == hh_λ_λ E E == ₂_2mpp_m22 n n == h h22/λ/λ22 2 2mmnn ==⇒⇒ h h (2 (2EmEmnn))11//22 donde: donde: mmnn = = 11,, 675675×× 1010−−2424gg en unidades pr´

en unidades pr´acticasacticas

λ

λ(( ˙˙AA) ) == 00,,2828 ((E E ((eV eV ))))11//22

C) Electrones C) Electrones

La

La enerenergg´´ıa ıa de de un un electelectr´rón estón está relacionada con la longitud de onda (?) de De Braglie.a relacionada con la longitud de onda (?) de De Braglie. E E == hh 2 2 22mmeeλλ22 donde: donde: mmee = = 99,, 1111×× 1010−−3131KKgg De forma pr´ De forma prácticaactica

λ

λ(( ˙˙AA) ) == 1212 ((E E ((eV eV ))))11//22

(21)

LEY DE BRAGG LEY DE BRAGG W. L. Bragg dio una explicaci´

W. L. Bragg dio una explicaci´on muy sencilla de los angulos observados en los haces difrac-on muy sencilla de los angulos observados en los haces difrac-tados por un cristal.

tados por un cristal.

Supongamos que las ondas incidentes se reﬂejan en los planos paralelos del cristal, Supongamos que las ondas incidentes se reﬂejan en los planos paralelos del cristal, com-port´

portándose como un espejo ligeramente plateado. Estos haces difractados solamente aparecenandose como un espejo ligeramente plateado. Estos haces difractados solamente aparecen cuando las reflexiones interfieren aditivamente. Consideremos una serie de planos paralelos de cuando las reflexiones interfieren aditivamente. Consideremos una serie de planos paralelos de la red separados por distancias iguales ”

la red separados por distancias iguales ”dd” cuando los rayos 1 y 2 son reﬂejados por los puntos” cuando los rayos 1 y 2 son reﬂejados por los puntos P y Q respectivamente, la diferencia de trayectoria entre los rayos (

P y Q respectivamente, la diferencia de trayectoria entre los rayos (δδ) es:) es:

Nota: El angulo

Nota: El angulo θθ de incidencia y reflejados son los ´de incidencia y reflejados son los ángulos que forman los rayos incidentesangulos que forman los rayos incidentes y reflejados con los planos del cristal. Este ´

y reflejados con los planos del cristal. Este ánguloangulo θθ se llama rasante.se llama rasante. Leyes de reflexi´

Leyes de reﬂexi´on de Braggon de Bragg 1. El ´

1. El ángulo de incidencia debe ser igual al ángulo de incidencia debe ser igual al ángulo de reflexiángulo de reflexiónon 2.

2. nλnλ = = 22dsenθdsenθ , donde n es el orden de reflexi´, donde n es el orden de reflexión.on.

METODOS EXPERIMENTALES DE DIFRACCION METODOS EXPERIMENTALES DE DIFRACCION Generalmente se emplean para la difracci´

Generalmente se emplean para la difracci´on on tretres s m´m´etoetodosdos:: 1.

1. MM´´ETODO DE LAUEETODO DE LAUE

Este

Este m´métoetodo utdo utiliza uiliza un mono n mono cristcristal inmál inmóvil y un haz de R-X o de neutrones cuya longitudovil y un haz de R-X o de neutrones cuya longitud de onda ocupa un intervalo continuo. El cristal selecciona y difracta los valores discretos de onda ocupa un intervalo continuo. El cristal selecciona y difracta los valores discretos de

de λλ para los cuales existen una distancia ”para los cuales existen una distancia ”dd” y angulos de incidencia” y angulos de incidencia θθ que satisfacen laque satisfacen la ley de

ley de Bragg. Bragg. Este Este m´método etodo es es convenienconveniente te para para la rla r´ápida apida determindeterminaciáción de la orientación de la orientaciónon y s

y simetrímetr´ıa ıa del del cristcristal. al. AdemÁdemás de estudiar la extensiás de estudiar la extensión de la imperfección de la imperfección cristalina moti-on cristalina moti-vada por los tratamientos mec´

vada por los tratamientos mecánicos anicos y tý térmicos. ermicos. No se No se emplea emplea para para la dla determinaciéterminación deon de estructuras cristalinas.

(22)

2.

2. MM´´ETODO DEL CRISTAL GIRATORIOETODO DEL CRISTAL GIRATORIO

Utiliza un cristal ´

Utiliza un cristal único, sometido a un haz monocromúnico, sometido a un haz monocromático (usando un filtro apropiado)atico (usando un filtro apropiado) de R-X o neutrones que giran alrededor de un eje fijo. El haz se difracta en un cristal de R-X o neutrones que giran alrededor de un eje fijo. El haz se difracta en un cristal dado cada vez que en el curso de rotaci´

dado cada vez que en el curso de rotaci´on, el valor deon, el valor de θθ satisface la ecuaci´satisface la ecuaci´on de Bragg, loson de Bragg, los bases de todo los planos paralelos al eje vertical de rotaci´

bases de todo los planos paralelos al eje vertical de rotaci´on quedan el plano horizontal.on quedan el plano horizontal. Los planos que tienen otra orientaci´

Los planos que tienen otra orientación reflejaran en capas que quedan por encima o poron reflejaran en capas que quedan por encima o por debajo

debajo del del plano horizontal. Con plano horizontal. Con este este m´m´etodo etodo se se estudian estructuras complejas, como estudian estructuras complejas, como lala conﬁguraci´

configuración de las enzimas (cristalización de las enzimas (cristalización y anón y análisis de la estructura).alisis de la estructura). 3.

3. MM´´ETODO DEL POLVOETODO DEL POLVO

En

En esteste mé métoetodo do la la radradiaciaciíón on monmonococromrom´ática incidente cae sobre una muestra en forma deatica incidente cae sobre una muestra en forma de polvo muy fino o sobre una muestra policristalina dispuesta en un tubo capilar de paredes polvo muy fino o sobre una muestra policristalina dispuesta en un tubo capilar de paredes muy delgadas. La distribuci´

muy delgadas. La distribución de la orientación de la orientación de los cristales es continua, de tal maneraon de los cristales es continua, de tal manera que cada cristalito individual difracta los rayos cuando su orientaci´

que cada cristalito individual difracta los rayos cuando su orientaci´on es tal que contieneon es tal que contiene planos que forman con el haz incidente un ´

planos que forman con el haz incidente un ´anguloangulo θθ que satisface la ecuaci´que satisface la ecuaci´on de bragg.on de bragg.

CONDICIONES DE DIFRACCION CONDICIONES DE DIFRACCION La magnitud del vector de difusi´

La magnitud del vector de difusi´on on ∆∆kk,es de tal forma que el vector de onda difractada en,es de tal forma que el vector de onda difractada en el cristal menos el vector de

el cristal menos el vector de onda incidenonda incidente (∆te (∆−−→→kk == −−→→kk

−

(23)

− − → →_ρρ mnp mnp·· ∆∆ − − → → kk = = ((mmˆˆaa ++ nnˆˆbb ++ ppˆˆcc)) ·· ∆∆−−→→kk donde: donde: − − → →_ρρ mnp

mnp : Vector que une el origen con un punto de la red m,n,p: n´: Vector que une el origen con un punto de la red m,n,p: n´umeros umeros enteroenteros.s.

Si se cumplen simult´

Si se cumplen simult´aneamente las tres siguientes ecuaciones para valores enteros de h, k, l.aneamente las tres siguientes ecuaciones para valores enteros de h, k, l. ˆˆa

a ·· ∆∆−−→→kk = = 22πhπh ;; ˆˆbb ·· ∆∆→→−−kk = = 22πkπk ; ; ˆˆcc ·· ∆∆−−→→kk = = 22πlπl ... Ecuaci´... Ecuaci´on de LAUEon de LAUE Si

Si ∆∆−−→→kk satisface la ecuaci´satisface la ecuación de Laue para los món de Laue para los máximos de difracciáximos de difracción, entonces la amplitudon, entonces la amplitud de difusi´

de difusi´on toma el valor.on toma el valor.

a

a ==



mnp mnp

exp

exp[[−−22πiπi((mhmh ++ nknk ++ plpl)])] Donde: mh+nk+pl

Donde: mh+nk+pl, , tiene solamente valtiene solamente valores enteros pores enteros porque h,k,l,m,orque h,k,l,m,n,p son n,p son n´n´umeros enteros.umeros enteros. Para

Para un un cristal cristal paralelepparalelep´´ıpedo ıpedo de de aristasaristas M M _a_a,, M M _bb,, M M _cc se obtiene el siguiente resultadose obtiene el siguiente resultado

a a == M M



−−₁₁ m m=0=0 M M



−−₁₁ n n=0=0 M M



−−₁₁ p p=0=0 (1) = (1) = M M 33 La soluci´

La solución de las ecuaciones de Laue, en particular si los ejes ôn de las ecuaciones de Laue, en particular si los ejes â,a, ˆˆb,b, ˆˆcc del cristal son perpen-del cristal son perpen-dic

diculaulares res entrentre e ss´´ı:ı:

∆ ∆−−→→kk = = 22ππ((hh a aˆˆaa ++ kk bbˆˆbb ++ ll ccˆˆcc)) Donde ˆ

Donde ˆa,a, ˆˆbb y y ˆˆcc son los vectores unitarios a lo largo de los ejes y h,k,l son n´son los vectores unitarios a lo largo de los ejes y h,k,l son n´umeros umeros enteroenteros.s.

RED RECIPROCA RED RECIPROCA Si

Si considerconsideramos:amos:

∆

∆−−→→kk == hh ˆˆAA ++ kk ˆˆBB ++ ll ˆˆC C Donde:

Donde:

h, k, l son n´

h, k, l son números enteros de la ecuaciúmeros enteros de la ecuación de Laueon de Laue ˆˆ

A,

A, ˆˆBB yy ˆˆC C Vectores a determinarVectores a determinar Entonces. Entonces. ˆˆ A A = = 22ππ ˆˆbb××_ˆ_ˆ_cc ˆ ˆ a a··ˆˆbb××_cc_ˆ_ˆ ;; ˆˆBB = = 22ππ ˆ ˆ cc××_ˆ_ˆ_a_a ˆ ˆ a a··ˆˆbb××_cc_ˆ_ˆ ;; ˆˆC C = = 22ππ ˆ ˆ a a××ˆˆbb ˆ ˆ a a··ˆˆbb××_cc_ˆ_ˆ

Son los vectores fundamentales de la red reciproca. Son los vectores fundamentales de la red reciproca.

(24)

El volumen de la celda del cristal es: El volumen de la celda del cristal es:

V

V cc == ||ˆˆaa ·· ˆˆbb ×× ˆˆcc||

Por lo tanto la difracci´

Por lo tanto la difracci´on de un cristal es un mapa de su red reciproca. Los vectores de laon de un cristal es un mapa de su red reciproca. Los vectores de la red directa tienen las dimensiones de longitud, mientras que los de la red reciproca tienen las red directa tienen las dimensiones de longitud, mientras que los de la red reciproca tienen las dimensiones de (

dimensiones de (longitudlongitud))−−₁₁

..

La red cristalina es una red en un espacio real mientras que la reciproca es una red asociada al La red cristalina es una red en un espacio real mientras que la reciproca es una red asociada al espacio de Fourier.

espacio de Fourier.

Los vectores G de la red reciproca en el espacio de Fourier esta dado por: Los vectores G de la red reciproca en el espacio de Fourier esta dado por:

− − → → G G == hh ˆˆAA ++ kk ˆˆBB ++ ll ˆˆC C Si h,k,l son n´

Si h,k,l son n´umeros umeros enteroenteros.s.

Ejemplo. Red reciproca en dos dimensiones Ejemplo. Red reciproca en dos dimensiones Una red particular tiene como vectores b´

Una red particular tiene como vectores básicos: âsicos: âa = = 2ˆ2ˆxx yy ˆˆbb = = ˆˆxx + 2+ 2ˆˆyy. Encontrar lo vectores. Encontrar lo vectores b´

b´asicos de la red reciproca.asicos de la red reciproca. Soluci´

(25)

ˆˆcc = = ˆˆzz ˆˆbb ×× ˆˆcc = = ((ˆˆxx + 2+ 2ˆˆyy)) ×× ˆˆzz = = ˆˆxx ×× ˆˆzz + 2+ 2ˆˆyy ×× ˆˆzz ==⇒⇒ ˆˆbb ×× ˆˆcc == −−ˆˆyy + 2+ 2ˆˆxx ˆˆcc×× ˆâa = = ˆˆzz ×× (2(2ˆˆxx) ) ==⇒⇒ ˆˆcc ×× ˆâa = = 22ˆˆyy ˆâ a ·· ˆˆbb ×× ˆˆcc = (2ˆ= (2ˆxx)) ·· ((−−ˆˆyy + 2+ 2ˆˆxx) ) ==⇒⇒ ˆâa ·· ˆˆbb ×× ˆˆcc = = 44 ˆˆ A A = = 22ππ ˆˆbb××_ˆ_ˆ_cc ˆ ˆ a a··ˆˆbb××_ˆ_ˆ_cc == 2 2ππ 4 4 ((−−ˆˆyy + 2+ 2ˆˆxx) ) == π π 2 2((−−ˆˆyy + 2+ 2ˆˆxx) ) ==⇒⇒ ˆÂA == ππˆˆxx −− π π 2 2yyˆˆ ˆˆ B B = = 22ππ ˆˆcc××_a_a_ˆ_ˆ ˆ ˆ a a··ˆˆbb××_cc_ˆ_ˆ == 2 2ππ 4 4 (2(2ˆˆyy) ) ==⇒⇒ ˆˆBB == ππˆˆyy ZONAS DE BRILLOUIN ZONAS DE BRILLOUIN Una zona de Brillouin se define como el volumen m´

Una zona de Brillouin se define como el volumen más pequeãs pequeño limitado alrededor del origen,no limitado alrededor del origen, en

en la la red red reciproca (se reciproca (se le le conoce conoce tambtambi´i´en en como una como una celda primitivcelda primitiva a de de WIGNEWIGNER-SEITZ en R-SEITZ en lala red reciproca).

red reciproca). La celda

La celda centracentral en l en la red la red reciproca es reciproca es de de especial importancia en especial importancia en la teorla teor´´ıa de ıa de los s´los s´olidos yolidos y recibe el nombre de primera zona de Brillouin.

recibe el nombre de primera zona de Brillouin.

PRIMERA ZONA DE BRILLOUIN PRIMERA ZONA DE BRILLOUIN La celda

La celda de de Wigner-Wigner-Seitz de Seitz de la red la red recrec´´ıproca es ıproca es la primera la primera zona de zona de BrillBrillouin. Por lo ouin. Por lo tantotanto,, la primera zona de Brillouin de una red fcc es la celda de wigner-Seitz de una bcc (y viceversa). la primera zona de Brillouin de una red fcc es la celda de wigner-Seitz de una bcc (y viceversa). Es el menos volumen limitado por planos que son perpendiculares y bisecan los vectores de la Es el menos volumen limitado por planos que son perpendiculares y bisecan los vectores de la red reciproca, dibujados a partir del origen.

red reciproca, dibujados a partir del origen. La

La construcconstruccićión de las zonas de Brillouin suministra todos los vectores de onda incidente k,on de las zonas de Brillouin suministra todos los vectores de onda incidente k, que pueden experimentar la reflexi´

que pueden experimentar la reﬂexi´on de Bragg en el cristal.on de Bragg en el cristal. Nota

Nota.- el vector base en la red reciproca es A de longitud 2.- el vector base en la red reciproca es A de longitud 2π/aπ/a, los vectores m´, los vectores m´as cortosas cortos de la red reciproca son

de la red reciproca son ˆˆAA yy −− ˆˆAA. . Las Las perpendiculares que perpendiculares que los los bisecan forman bisecan forman los los ll´´ımites de ımites de lala primera zona de Brillouin y est´

primera zona de Brillouin y est´an situadas aan situadas a kk == ±±π/π/22

Figura 37. Construcci´

Figura 37. Construcci´on de la primera zona de Brillouin correspondiente a una red oblicuaon de la primera zona de Brillouin correspondiente a una red oblicua de dos dimensiones. Primeramente se dibuja un cierto n´

de dos dimensiones. Primeramente se dibuja un cierto n´umero de vectores desde O a puntosumero de vectores desde O a puntos vecinos de la red reciproca. A continuaci´

vecinos de la red reciproca. A continuación se dibujan las mediatrices a las mismas. El ón se dibujan las mediatrices a las mismas. El áreaarea m´

(26)

RED RECIPROCA DE UNA RED SC (C´

RED RECIPROCA DE UNA RED SC (C´ubica Simple)ubica Simple) los vectores primitivos de traslaci´

los vectores primitivos de traslaci´on de una red SC se toma como:on de una red SC se toma como: ˆˆa

a == aaˆˆxx ˆˆbb == aaˆˆyy ˆˆcc == aaˆˆzz

El volumen es:

El volumen es: V V == ||ˆˆaa ·· ˆˆbb ×× ˆˆcc|| == aa33 La

La red red rec´rec´ıproıproca ca es:es: ˆˆ A A = = 22ππ ˆˆbb××_ˆ_ˆ_cc ˆ ˆ a a··ˆˆbb××_ˆ_ˆ_cc == 2

2ππ((aaˆyy))ˆ ××_((a_aˆ_zz))_ˆ

a a33 == 22πaπa 2 2_x_x_ˆ_ˆ a a33 ==⇒⇒ ˆˆAA == 22π_a_aπxxˆˆ ˆˆ B B = = 22ππ ˆˆcc××_a_a_ˆ_ˆ ˆ ˆ a a··ˆˆbb××_cc_ˆ_ˆ ==⇒⇒ ˆˆBB == 2 2ππ a a yyˆˆ ˆˆ C C = = 22ππ ˆˆaa××ˆˆbb ˆ ˆ a a··ˆˆbb××_ˆ_ˆ_cc ==⇒⇒ ˆˆC C == 2 2ππ a a zzˆˆ Los

Los ll´´ımites de ımites de la la primera zona primera zona de de BrillBrillouin, tiene ouin, tiene por por arista 2arista 2π/aπ/a y volumen (2y volumen (2π/aπ/a))33..

FACTOR DE ESTRUCTURA DE LA BASE FACTOR DE ESTRUCTURA DE LA BASE Las ecuaciones de Laue proporciona las posibles reﬂexiones ∆

Las ecuaciones de Laue proporciona las posibles reﬂexiones ∆−−→→kk para una red cristalina. Laspara una red cristalina. Las posibles

posibles reflexiones reflexiones estan estan determinadas determinadas por por los rec´los rec´ıprocos.ıprocos. − − → → G G ((hklhkl) ) == hh ˆÂA ++ kk ˆˆBB ++ ll ˆˆC C

Las intensidades de las diferentes reﬂexiones dependen del contenido de la celda, es decir del Las intensidades de las diferentes reﬂexiones dependen del contenido de la celda, es decir del n´

número, posiciúmero, posición y distribución y distribución de electrones de ón de electrones de átomos de la misma.atomos de la misma. La posici´

La posición del ón del átomo dentro de la celda unitaria estátomo dentro de la celda unitaria está dado por:a dado por: −

− → →_ρρ

jj == xx j jˆˆaa ++ yy j jˆˆbb ++ zz j jˆˆcc

Por lo tanto la concentraci´

Por lo tanto la concentraci´on total de electrones ηη((ρρ) en el cristal es:on total de electrones ) en el cristal es: − − → →_{ηη ((−}−→→_{ρρ )}_{) =}₌



mnp mnp ss



j j=1=1 C C j j((−−→→ρρ −− −→→−ρρjj −− −−→→ρρ mnpmnp)) Donde: Donde: C

C _j_j : : concenconcentraci´tración de electrones asociadas con cada ón de electrones asociadas con cada átomoatomo −

− → →_ρρ

mnp

mnp : vector de traslación de la red. (: vector de traslación de la red. (−−→→ρρ mnpmnp == mmˆâa ++ nnˆˆbb ++ ppˆˆcc))

− − → →_ρρ

jj : vector del ´: vector del ´atomoatomo jj

− − →

→_{ρρ : vector pasici´}_{: vector pasici´on (es un punto cualquiera del cristal)}_{on (es un punto cualquiera del cristal)} La amplitud total de difusi´

La amplitud total de difusión en el cristal para el vector de difusión en el cristal para el vector de difusión on ∆∆−−→→kk es:es: − − → →_a_a ∆ ∆−−→→kk ==

 

dV η dV η((−−→→ρρ ))ee−−−−→→_ii_ρ_ρ··_∆_∆−−→→_k_k = =



mnp mnp



j j

 

dV C dV C _j_j((−−→→ρρ −− −→→−ρρ _jj −− −−→→ρρ _mnp_mnp))ee−−−−→→_ii _ρ_ρ··_∆_∆−−→→_k_k Pero: Pero:

 

dV C dV C j j((−−→→ρρ −− −→→−ρρ jj −− −−→→ρρ mnpmnp))ee − −−−→→_ii _ρ_ρ··_∆_∆−−→→_k_k = =

 

dV C dV C j j((−−→→ρρ  ))ee−− − − → → ii ρρ··∆∆ − − → → k

k_exp_exp[[−_−ii((−−→→_ρρ

jj ++ −−→→ρρmnpmnp)) ·· ∆∆ − − → → kk ]]