PARTE NO LINEAL NO MONÓTONA
Rodrigo Duque Baracaldo
Matemático, M.Sc. Código: 830143
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Departamento de Matemáticas
Bogotá, D.C.
PARTE NO LINEAL NO MONÓTONA
Rodrigo Duque Baracaldo
Matemático, M.Sc. Código: 830143
Trabajo de tesis para optar al título de
Doctor en Matemáticas
Director
Francisco Caicedo, Ph.D.
Doctor en MatemáticasCodirector
Alfonso Castro, Ph.D.
Doctor en MatemáticasUniversidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Departamento de Matemáticas
Bogotá, D.C.
Ecuaciones de onda semilineales con parte no lineal no monótona Title in English
Semilinear wave equations with non-monotone nonlinear part
Resumen: Estudiamos dos ecuaciones de onda no lineales, con parte no lineal no monó-tona. Los problemas están sujetos a las condiciones de frontera u(0, t) = u(π, t) = 0 y de periocidad u(x, t) = u(x, t + 2π). Se establecen condiciones que permiten garantizar la existencia de solución débil en cada problema
Abstract: We study two nonlinear wave equations with non-monotone nonlinear part. The problems are subjet to the Dirichlet-periodic conditions u(0, t) = u(π, t) = 0; u(x, t) = u(x, t + 2π). We establish the conditions that guarantee the existence of weak solution to
the problems.
Palabras clave: Ecuaciones semilineales, ecuaciones de onda, condiciones de frontera, so-lución débil
Trabajo de tesis Aprobado Jurado Peter Bates Jurado Jorge Cossio Jurado Bernhard Ruf Director Francisco caicedo. Codirector Alfonso Castro Bogotá, D.C., Sep. de 2011
A mis hijos Luisa Fernanda y Juan Diego, fuente de motivación y apoyo constante. A ellos dedico esta y todas mis actividades.
Agradezco a los Profesores Francisco Caicedo y Alfonso Castro, quienes con su don de gentes, conocimiento y continua orientación han sido fundamentales para el desarrollo de la tesis y culminación del doctorado.
Agradezco a los Profesores Lorenzo Acosta, Guillermo Rodriguez y Félix Soriano quienes me impulsaron y apoyaron en el inicio del doctorado. A los colegas del departamento de matemáticas que de una u otra forma me animaron para seguir adelante en los estudios. Agradezco también al Profesor Bernhard Ruf, excelente matemático y persona, por su paciencia, colaboración y enseñanzas durante mi pasantía en Milán, Italia.
Quiero agradecer a las directivas del departamento de matemáticas y de la Facultad de Ciencias, quienes aprobaron de manera diligente la comisión de estudios y el permiso para realizar la pasantía en Milán-Italia, actividades importantes en mi actividad académica. Finalmente, agradezco a la Università Degli Studio di Milano, que con el Proyecto UNIALA me permitió realizar la pasantía en Milán, actividad importante para la culminación de la tesis.
Índice general I
Introducción III
1. Preliminares 1
1.1. Notación . . . 1
1.2. Algunos teoremas . . . 2
1.3. El núcleo del operador de onda . . . 3
1.4. El operador onda inverso . . . 7
1.5. La ecuación de núcleo . . . 7
2. Un Problema de Bifurcación Imperfecta 11 2.1. Resultados principales . . . 12
2.2. Solución en N⊥ . . . 13
2.3. La ecuación de núcleo para k = 1 . . . . 14
2.4. La ecuación de núcleo para k > 1 . . . . 18
2.5. Existencia de ˆv . . . . 21
2.6. La positividad de H . . . . 23
2.7. H cambia de signo y L es invertible . . . . 24
3. Un Problema Asintóticamente Lineal 28
3.1. Teorema de existencia de solución . . . 29 3.2. Convergencia de la sucesión{wn} . . . 31 3.3. Convergencia de la sucesión{vn} en L2(Ω) . . . 33 3.4. El caso Lp, para p > 2 . . . . 38 4. Anexo 1 41 Conclusiones 43 Trabajo futuro 45 Bibliografía 46
Desde sus inicios, en el siglo XVIII, el estudio de las ecuaciones diferenciales parciales (EDP) ha sido importante y ha apasionado a muchos matemáticos. De una parte, las EDP son una herramienta útil para modelar analíticamente muchos fenómenos de la física y otras ciencias. Por ejemplo, la ecuación de onda unidimensional, utt = uxx, fué estudiada
por D’Alambert a mediados del siglo XVIII para modelar una cuerda vibrante. Las EDP también son una herramienta para el desarrollo de otras ramas de la matemática. H. Brezis y F. Browder escriben “Esta dualidad de puntos de vista ha sido central para el estudio de las EDP durante los siglos XIX y XX ”(véase [B-B-1998]).
En esta tesis estudiamos específicamente, la solubilidad de las siguientes ecuaciones unidi-mensionales de tipo hiperbólico:
utt− uxx = ϵ(u2k+ h(x, t) + R(x, t, u))
utt− uxx+ τ u + h(u) = f (x, t)
x∈ [0, π], t ∈ R,
donde u satisface las condiciones {
u(0, t) = u(π, t) = 0,
u(x, t) = u(x, t + 2π) x∈ [0, π], t ∈ R.
Cada una de las funciones y parámetros serán descritos al estudiar el correspondiente pro-blema.
Para simplificar la escritura, a partir de este momento denotaremos con 2 al operador de D’Alambert ∂tt− ∂xx, y Ω será el abierto (0, π)× (0, 2π).
El estudio de los problemas citados anteriormenete está motivado por algunos resultados que mencionaremos a continuación:
H. Lovicarova [L-1969] considera el problema 2u = ϵf(x, t, u, ut, ux) l´ımx→0u(x, t) = l´ımx→πu(x, t) = 0 u(x, t) = u(x, t + 2π), (x, t)∈ (0, π) × R, (1)
donde f es 2π periódica en t, está definida sobre (0, π)× R × R × R × R. Demuestra que si f ∈ Ck+1, es decir, f tiene derivadas parciales hasta de orden k + 1, continuas y acotas. Y existe γ > 0 tal que ∂u∂f
t < −γ entonces, para ϵ suficientemente pequeño del problema
(1) tiene solución uϵ ∈ Ck. Tambien establece condiciones sobre f , para que las soluciones
uϵ dependan continuamente de ϵ.
H. Brezis y L. Nirenberg [B-N-1978] plantean el problema monótono: 2u + R(x, t, u) = 0 u(0, t) = u(π, t) = 0 u(x, t + T ) = u(x, t), (x, t)∈ (0, π) × R, (2)
donde T = 2π/λ con λ racional. R es una función continua en [0, π]× [0, T ] × R, monótona en la variable u y T periódica en la variable t. La monotonía de R es clave para estimar la componente de las soluciones en el núcleo del operador de onda. Ellos demuestran que si: (a) R es creciente en la variable u, (b) para alguna constante C,|R(x, t, u)| ≤ 3|u| + C, (c) existe un u0(x, t)∈ L2(Ω) tal que R(x, t, u0(x, t)) = 0 y (d) |R| → ∞ cuando |u| → ∞.
Entonces (2) tiene solución generalizada, de la forma
u = u1+ u2 u1∈ C0,1 u2 ∈ L∞,
donde C0,1 es el espacio de las funciones Lipschitz continuas en Ω.
H. Hofer [H-1982] y M. Willem [W-1981] estudian, independientemente, el problema 2u = g(u) + h(x, t) u(0, t) = u(π, t) = 0 u(x, t) = u(x, t + 2π), x∈ (0, π), t ∈ R, (3)
demuestran el siguiente resultado:
Asumiendo que existen γ1, γ2 ∈ R, γ1 ≤ γ2 tales que el intervalo [γ1, γ2] no contiene puntos
del espectro del operador2, y g : R → R es Lipschitz continua, y para algún c > 0
−c + γ1 2 s 2≤ ∫ s 0 g(t)dt≤ c +γ2 2 s 2, para toda s∈ R. (4)
A. Castro y S. Unsurangsie [C-U-1988], introducen la idea de funciones no planas sobre
características (véase definición 1). Consideran el problema
2u + λu = cq(x, t) + r(x, t) + h(u) u(0, t) = u(π, t) = 0 u(x, t) = u(x, t + 2π), (x, t)∈ [0, π] × R, (5)
donde h es una función real de clase C1, tal que l´ım|u|→∞h′(u) = 0 y q ∈ N⊥, y λ ∈
R− σ(2).
Demuestran que si φ no es plana sobre características y φt∈ L∞, donde φ es solución de la
ecuación linel2φ + λφ = q(x, t) sujeta a las condiciones dadas en (5), entonces existe una constante c0 tal que para|c| > c0 el problema (5) tiene solución débil u∈ H1(Ω)∩ L∞(Ω).
F. Caicedo y A. Castro [C-C-1997], demuestran la existencia de solución débil u∈ H1∩L∞ para el problema con periocidad√2π:
2u + λu + h(u) = p(x, t) u(0, t) = u(π, t) u(x, t) = u(x, t +√2π), x, t∈ R, (6)
donde h : R → R es de clase C1 tal que l´ım|u|→∞h′(u) = 0. Descomponiendo p(x, t) =
cq(x, t) + r(x, t) y asumiendo condiciones sobre q condiciones similares a las del problema
(5), para |c| suficientemente grande (6) tiene solución débil u ∈ H1∩ L∞([0, π]× R. En este problema observamos que2, sujeto a las condiciones dadas en (6), son de multipli-cidad infinita.
F. Caicedo y A. Castro [C-C-2009], estudian el problema doble periódico {
2u + λu + h(u) = p(x, t)
u(x, t) = u(x, t + 2π) = u(x + 2π, t), x, t∈ R, (7)
donde p(x, t) = p(x, t + 2π) = p(x + 2π, t), λ es un real positivo y no es valor propio de2 sujeto a las condiciones de doble periocidad. Asumiendo que la función h es diferenciable, no monótona, y de soporte en compacto. Demuestran que (7) no tiene solución continua cuando p es de la forma c sin(x + t) y|c| es grande.
En este trabajo seguimos la técnicas introducidas por A. Castro y B. Preskill [C-P-2010] para demostrar la existencia de solución de las ecuaciones
2u = ϵ(u2k+ h(x, t) + R(x, t, u))
2u + τu + h(u) = f(x, t) x∈ [0, π], t ∈ R,
sujetas a la condición {
u(0, t) = u(π, t) = 0,
u(x, t) = u(x, t + 2π) x∈ [0, π], t ∈ R.
Antecedentes específicos sobre cada una de estas ecuaciones los encontramos en [B-B-2006] y [C-P-2010], respectivamente.
En [B-B-2006], los autores demuestran la existencia de solución del problema 2u = ϵ(u2k+ h(x, t) + R(x, t, u)) u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, t) = u(x, t + 2π) x∈ [0, π], t ∈ R.
Para hacerlo, los autores introducen H =2−1h, y asumen que H(x, t) > 0 para todo (x, t)∈
Ω. Nosotros introducimos un operador lineal L, y asumiendo su invertibilidad demostramos la existencia de solución débil del problema (véase Teorema 1). Además mostramos que la positividad de H es condición suficiente pero no necesaria para que L sea invertible (véase Teorema 2).
En [C-P-2010], los autores demuestran la existencia de solución del problema 2u + τu + h(u) = f(x, t) u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, t) = u(x, t + 2π) x∈ [0, π], t ∈ R,
asumiendo que f ∈ L∞. Demuestran que bajo condiciones apropiadas, el problema tiene solución. Nosotros generalizamos este resultado considerando f ∈ Lp(Ω), p ≥ 2. (véase Teorema 4).
La tesis está dividida en cuatro capítulos:
En el primer capítulo, denominado Preliminares, definimos la notación usada, mencionamos algunos conceptos y resultados que necesitamos más adelante.
En la segunda parte, denominada un problema con bifurcación imperfecta, estudiamos el problema2u = ϵ(u2k+ h(x, t) + R(x, t, u)), sujeto a la condición Dirichlet-periódica. En el capítulo tres, llamado un problema asintóticamente lineal, estudiamos la ecuación
2u + τu + h(u) = f(x, t), sujeta a la condición Dirichlet-periódica. Donde f ∈ Lp([0, π]×
[0, 2π]).
En el capítulo cuatro, anexo 1, damos dos definiciones de funciones no planas sobre carac-terísticas, y demostramos que estas son equivalentes.
CAPÍTULO
1
Preliminares
1.1. Notación
Denotaremos con 2 al operador de D’Alambert ∂tt− ∂xx. Con Ω = (0, π)× (0, 2π). Nos
referiremos a la condición {
u(0, t) = u(π, t) = 0
u(x, t + 2π) = u(x, t), (1.1)
como la condición Dirichlet-periódica.
El espectro del operador2, sujeto a las condiciones dadas en (1.1), es
σ(2) = {k2− j2; k = 1, 2, . . . , j = 0, 1, . . .}.
Se observa que todos los valores propios tienen multiplicidad finita, excepto el 0, que tiene multiplicidad infinita.
Sea N es el subespacio cerrado de L2(Ω) generado por
{sin(kx) sin(kt), sin(kx) cos(kt); k = 1, 2, 3, . . .}. (1.2) Este espacio N , es el núcleo del operador 2 sujeto a las condiciones dadas en (1.1). En la sección 1.3 veremos que toda función v ∈ N se puede escribir de la forma v(x, t) =
p(t + x)− p(t − x), donde p es 2π periódica y pertenece a L2[0, 2π].
Denotamos con N⊥al complemento ortogonal de N en L2(Ω), es decir, N⊥es el subespacio de L2(Ω) generado por
{sin(kx) sin(jt), sin(kx) cos(jt); k = 1, 2, 3, . . . , j = 0, 1, 2, . . .}.
Denotamos con H1 al espacio de Sobolev de las funciones y ∈ L2(Ω), que satisfacen las condiciones de frontera y(0, t) = y(π, t) = 0, y tales que sus primeras derivadas parciales tambien pertenecen a L2(Ω). Finalmente, Y será el subespacio de H1 de funciones y tales
que ∫
Ω
y(x, t)v(x, t)dxdt = 0 para toda v∈ N, (1.3) de esta forma Y = N⊥∩ H1.
Notaremos con ΠN y ΠN⊥ las proyecciones ortogonales de L2(Ω) sobre N y N⊥
respec-tivamente. Por simplicidad, notamos con ΠY la proyección sobre Y . La norma en H1 se
denotará ∥ ∥1,2, la norma en L2(Ω) por∥ ∥2, y en L∞ por∥ ∥ o ∥ ∥∞.
Recordamos que u = v + y∈ N ⊕ Y es una solución débil de (??), (1.1) si ∫
Ω
((ytyˆt− yxyˆx)− (R(x, t, u) − f(x, t))(ˆv + ˆy)) dxdt = 0, (1.4)
para toda ˆv + ˆy ∈ N ⊕Y . Es claro, que toda solución clásica del problema, es solución débil.
Denotamos con µ(E) la medida de Lebesgue del conjunto E ⊂ Rn. Decimos que f ∈ L1Loc si f es localmente integrable.
1.2. Algunos teoremas
En esta sección citamos algunos teoremas que necesitaremos más adelante. Además, indi-camos la referencia bibliográfica correspondiente.
Teorema de Convergencia Dominada. ([F-1999], pg. 54)
Sea{fn} una sucesión en L1 tal que (a) fk→ f en casi toda punto, y (b) existe una función
no negativa g∈ L1 tal que |fn| ≤ g en casi todo punto. Entonces f ∈ L1 y
∫ f = l´ım n→∞ ∫ fn. Teorema de Fubini. ([W-Z-1977], pg. 87)
Sean I1, I2 intervalos en R, f ∈ L1(I), I = I1× I2. Entonces
i) para casi todo x∈ I1 f (x, y) es medible e integrable sobre I2, como función de y;
ii) como función de x, ∫I
2f (x, y)dy es medible e integrable sobre I1, y
∫∫ I f (x, y)dxdy = ∫ I1 [∫ I2 f (x, y)dy ] dx.
Teorema de Diferenciación de Lebesgue. ([F-1999], pg. 97)
Sean f ∈ L1Loc y Br(x) la bola de centro x y radio r. Entonces para casi todo x∈ Rn
l´ım r→0 1 µ(Br(x)) ∫ Br(x) f (y)dy = f (x). Teorema de Rellich-Kondrachov. ([B-1983], pg.169)
Sea Ω⊂ Rn abierto acotado y de clase C1 a trozos. Si p≤ n, entonces
W1,p(Ω)⊂ Lq(Ω), para todo q ∈ [1, p∗) donde 1 p∗ =
1
p −
1
n,
con inyección compacta.
En particular, H1(Ω) = W1,2(Ω)⊂ L2(Ω). Aplicaremos este teorema de la siguiente forma: Si{wn} ⊂ H1 es acotada, es decir ∥wn∥1,2 ≤ K, entonces {wn} contiene una subsucesión
convergente en L2 y esta a la vez una subsucesión que converge puntualmente en casi toda parte.
1.3. El núcleo del operador de onda
Comenzamos deduciendo la Fórmula de D’Alambert, esto es, toda función v ∈ N se puede expresar de la forma v(x, t) = p(t + x)− p(t − x), donde p es 2π-periódica y p ∈
L2[0, 2π], además, es posible escoger p tal que ∫02πp(t)dt = 0. Para ver esto, tomemos la
ecuación ∂2u ∂x2 − ∂2u ∂t2 = 0, (1.5) y sean ξ = x− t, η = x + t, (1.6) de esta forma, la ecuación (1.5) se transforma en
∂2u ∂ξ∂η = 0. (1.7) Es decir, ∂ ∂ξ ∂u ∂η = 0,
por tanto ∂u∂η = p2(η), donde p2 es una función arbitraria. Así, u = p2(η) + p1(ξ), donde p1
tambien es arbitraria. Volviendo a las variables originales tenemos
De las condiciones de frontera dadas en (??) tenemos que
p2(−t) + p1(t) = 0 y p2(π− t) + p1(π + t) = 0
para todo t∈ R, por tanto, p2(−t) = −p1(t), reemplazando en la segunda de estas
ecua-ciones obtenemos p1(t + π) = p1(t− π), es decir p1 es 2π periódica. Así
u(x, t) = p(x + t)− p(t − x). (1.8) Además, como u∈ L2(Ω), tenemos que p1 ≡ p ∈ L2[0, 2π].
Usando (1.8) podemos comprobar la propiedad del paralelogramo para funciones en el núcleo. Sean 0≤ r1< r2 < r3 < r4≤ 2π, y sean A, B, C y D los vértices del paralelogramo
obtenido en la intersección de las características
t = r1+ x, t = r2+ x
t = r3− x, y t = r4− x.
Las coordenadas de estos vértices son
A ( r3− r1 2 ; r3+ r1 2 ) , B ( r4− r1 2 ; r4+ r1 2 ) , C ( r4− r2 2 ; r4+ r2 2 ) , D ( r3− r2 2 ; r3+ r2 2 ) . De (1.8) vemos que u(A) + u(C) = p(r3)− p(r1) + p(r4)− p(r2) = u(B) + u(D). (1.9)
Enunciamos ahora los siguientes lemas y su demostración, que corresponden al Lema 2.4 en [B-B-2006].
Lema 1. Si v1, v2, . . . , v2k+1 ∈ N con vj(x, t) = pj(t + x)− pj(t− x), pj2π-períodica,
j = 1, . . . , 2k + 1, y v1· v2· · · v2k+1∈ L1(Ω), entonces
∫
Ω
v1· v2· · · v2k+1= 0.
Demostración. Realizando el cambio de variables (x, t) 7→ (π − x, t), y usando el hecho que las pj son 2π-periódicas tenemos
∫ Ω v1· v2· · · v2k+1= ∫ Ω 2k+1∏ j=1 (vj(x, t))dtdx = ∫ π 0 ∫ 2π 0 2k+1∏ j=1 (pj(t + x)− pj(t− x))dtdx = ∫ π 0 ∫ 2π 0 2k+1∏ j=1 (pj(t + π− x) − pj(t− π + x))dtdx = ∫ π 0 ∫ 2π 0 2k+1∏ j=1 (pj(t + π− x) − pj(t + π + x))dtdx = ∫ π 0 ∫ 2π 0 2k+1∏ j=1 (pj(t− x) − pj(t + x))dtdx = (−1)2k+1 ∫ Ω 2k+1∏ j=1 (vj(x, t))dtdx,
Lo cual implica que∫Ωv1· v2· · · v2k+1= 0.
Lema 2. Sea g : Ω → R tal que g(x, u) = g(x, −u) = g(π − x, u), o tal que −g(x, u) =
g(x,−u) = g(π − x, u), entonces
∫
Ω
g(x, v)φ(x, t)dxdt = 0, ∀φ ∈ N; v ∈ N ∩ L∞.
Demostración. Usando (1.8), como en el lema anterior, sean pv y pφ tales que v(x, t) =
pv(t + x)− pv(t− x) y φ(x, t) = pφ(t + x)− pφ(t− x), entonces ∫ Ω g(x, v(x, t))φ(x, t)dtdx = ∫ π 0 ∫ 2π 0 g(x, pv(t + x)− pv(t− x))[pφ(t + x)− pφ(t− x)]dtdx,
realizando el cambio de variables (x, t)7→ (π − x, t), tenemos ∫ Ω g(x, v(x, t))φ(x, t)dtdx = ∫ π 0 ∫ 2π 0 g(π− x, pv(t + π− x) − pv(t− π + x))[pφ(t + π− x) − pφ(t− π + x)]dtdx = ∫ π 0 ∫ 2π 0 g(π− x, −v(x, t))[−φ(x, t)]dtdx =− ∫ π 0 ∫ 2π 0 g(x, v(x, t))φ(x, t)dtdx. Por tanto,∫Ωg(x, v(x, t))φ(x, t)dxdt = 0. Lema 3. Sea v∈ N ∩ L2k y sea A el conjunto
A = { x∈ [0, π]; ∫ 2π 0 v2k(x, t)dt≥ 20 π ∫ Ω v2k(x, t)dtdx }
entonces µ(A)≤ π/20, donde µ(A) es la medida de Lebesgue del conjunto A,
Demostración. De no ser así ∫ Ω v2kdtdx = ∫ π 0 ∫ 2π 0 v2k(x, t)dtdx ≥ ∫ A (∫ 2π 0 v2k(x, t)dt ) dx ≥ ∫ A ( 20 π ∫ Ω v2k(η, t)dtdη ) dx ≥ µ(A)20 π ∫ Ω v2k(η, t)dtdη > ∫ Ω v2kdtdx
Lo cual es una contradicción. por lo tanto, µ(A)≤ π/20.
1.4. El operador onda inverso
Con argumentos basados en expansión en series de Fourier, podemos ver que para cada
w∈ N⊥ existe una única y∈ Y , tal que 2y = w en el sentido de las distribuciones. Sea
w(x, t) = ∞ ∑ k=1 ∞ ∑ j=0 j̸=k
sin(kx)(ajksin(jt) + bjkcos(jt)),
entonces∥w∥22 = C∑|ajk|2+|bjk|2, tenemos que
2−1w = y = ∞ ∑ k=1 ∞ ∑ j=0 j̸=k sin(kx) ( ajk k2− j2 sin(jt) + bjk k2− j2cos(jt) ) ,
obteniendo de aquí las desigualdades ∫ π 0 y2xdx≤ C∥w∥22, para todo t ∫ 2π 0 yt2dt≤ C∥w∥22, para todo x,
por tanto, existe C tal que ∥y∥1,2 ≤ C∥w∥2, más aún ∥y∥1,2+∥y∥C1/2 ≤ C∥w∥2, donde
∥ · ∥C1/2 es la norma del espacio de las funciones Hölder continuas de orden 1/2, véase
[B-N-1978]. Además, la transformación2−1 es compacta entre los espacios:
N⊥→ Y, N⊥→ L∞∩ N⊥, y L∞(Ω)∩ N⊥→ C0,1∩ N⊥,
de igual forma, si τ ∈ (0, ∞) − σ(2), el operador (2 − τI)−1 : N⊥ → Y es compacto, por tanto, existe una constante κ tal que
∥2−1w∥ 1,2 ≤ κ∥w∥2, ∥(2τI)−1w∥1,2≤ κ∥w∥2, ∥2−1w∥∞≤ κ∥w∥2, y ∥2−1w∥C0,1 ≤ κ∥w∥∞, (1.10) véase la ecuación (2.3) en [B-B-2006].
1.5. La ecuación de núcleo
Aplicando el método de reducción de Lyapunov-Schmidt, tenemos que u = v + w∈ N ⊕ Y es solución de2u + R(x, t, u) = f(x, t) si y sólo si u es solución de las ecuaciones
y
0 = ΠN(f (x, t)− R(x, t, v + w)). (1.12)
Asumiendo que existe w(v) ∈ Y solución de (1.11), seguimos el método introducido en [C-P-2010] para resolver la ecuación de núcleo.
Para 0≤ r ≤ s ≤ 2π, sea χ[r,s] la función 2π-periódica definida por
χ[r,s](t) = {
1, si t∈ [r, s]
0, si t∈ [0, 2π] − [r, s]. Definimos ahora la función
ϕ[r,s](x, t) = χ[r,s](t + x)− χ[r,s](t− x) ∈ N, (1.13)
y sean los conjuntos
A ={(x, t) ∈ Ω; x ∈ [0, π], t ∈∪ j [r + 2jπ− x, s + 2jπ − x], j = −1, 0, 1} B ={(x, t) ∈ Ω; x ∈ [0, π], t ∈∪ j [r + 2jπ + x, s + 2jπ + x], j =−1, 0, 1}.
Observamos que ϕ[r,s](x, t) = 1 si (x, t)∈ A−B, ϕ[r,s](x, t) =−1 sobre B−A y ϕ[r,s](x, t) = 0
cuando (x, t) ∈ ¯Ω − (A ∪ B). Supongamos que v ∈ N es solución de (1.12). Multiplican-do (1.12) por ϕ[r,s] ∈ N, integrando sobre Ω, y usando el hecho que el operador ΠN es
autoadjunto, obtenemos 0 = ∫ Ω (f (x, t)− R(x, t, v + w))ϕ[r,s](x, t)dxdt = ∫ A (f (x, t)− R(x, t, (v + w)(x, t)))dxdt − ∫ B (f (x, t)− R(x, t, (v + w)(x, t)))dxdt = ∫ π 0 ∫ s r (f (x, η− x) − R(x, η − x, (v + w)(x, η − x)))dηdx − ∫ π 0 ∫ s r (f (x, η + x)− R(x, η + x, (v + w)(x, η + x)))dηdx,
dividiendo esta ecuación por (s− r), y calculando el límite cuando s → r, entonces por los teoremas de Fubini y de diferenciación de Lebesgue, tenemos
∫ π 0 (f (x, r− x) − f(x, r + x))dx = ∫ π 0 R(x, r− x, (v + w)(x, r − x))dx − ∫ π 0 (R(x, r + x, (v + w)(x, r + x)))dx, (1.14)
para casi todo r∈ [0, 2π].
Recíprocamente, demostraremos que si v ∈ N satisface (1.14), entonces es solución de (1.12). Haremos uso del siguiente resultado: Si F (x, t) es 2π-periódica en t entonces
∫ Ω F (x, t)dxdt = ∫ π 0 ∫ x+2π x F (x, t)dtdx = ∫ π 0 ∫ 2π−x −x F (x, t)dtdx. (1.15)
Supongamos que v ∈ N satisface (1.14), debemos ver que para toda ϕ ∈ N se cumple la
ecuación ∫ Ω ϕΠN(f )dxdt = ∫ Ω ϕΠN(R)dxdt.
Nuevamente, como ΠN es autoadjunto, demostraremos que
∫ Ω ϕ[r,s]f dxdt = ∫ Ω ϕ[r,s]Rdxdt, (1.16)
para las funciones ϕ[r,s] definidas en (1.13). Ya que por linealidad también se cumple si ϕ es una función simple en el kernel. Y entonces, por el Teorema de convergencia dominada, el resultado se tiene para toda función ϕ∈ N.
∫ Ω ϕ[r,s]f dxdt = ∫ π 0 ∫ 2π 0 (χ[r,s](t + x)− χ[r,s](t− x))f(x, t)dtdx = ∫ π 0 ∫ x+2π x χ[r,s](t + x)f (x, t)dtdx− ∫ π 0 ∫ −x+2π −x χ[r,s](t− x)f(x, t)dtdx = ∫ π 0 ∫ 2π 0 χ[r,s](ζ)f (x, ζ− x)dζdx − ∫ π 0 ∫ 2π 0 χ[r,s](η)f (x, η + x)dηdx, donde ζ = t + x y η = t− x. Así ∫ Ω ϕ[r,s]f dxdt = ∫ π 0 ∫ s r f (x, η− x)dηdx − ∫ π 0 ∫ s r f (x, η + x)dηdx = ∫ s r (∫ π 0 (f (x, η− x) − f(x, η + x))dx ) dη. (1.17)
De manera similar en la integral de la derecha de (1.16), tenemos ∫ Ω ϕ[r,s]Rdxdt = ∫ π 0 ∫ s r R(x, η− x, (v + w)(x, η − x))dηdx − ∫ π 0 ∫ s r R(x, η + x, (v + w)(x, η + x))dηdx = ∫ s r (∫ π 0 (R(x, η− x, (v + w)(x, η − x))dx − ∫ π 0 R(x, η + x, (v + w)(x, η + x))dx ) dη. (1.18)
De (1.17), (1.14) y (1.18),tenemos ∫ Ω ϕ[r,s]f dxdt = ∫ s r (∫ π 0 (f (x, η− x) − f(x, η + x))dx ) dη = ∫ s r (∫ π 0 (R(x, η− x, (v + w)(x, η − x))dx − ∫ π 0 R(x, η + x, (v + w)(x, η + x))dx ) dη = ∫ Ω ϕ[r,s]Rdxdt.
De esta forma hemos demostrado el siguiente lema,
Lema 4. Sean R∈ C0([0, π]× R × R) y f ∈ L2((0, π)× (0, 2π)). Asumamos además, que
w(v)∈ Y es solución de (1.11). Entonces, v ∈ N es solución de la ecuación de núcleo
ΠN(f (x, t)) = ΠN(R(x, t, v + w))
si y sólo si satisface la ecuación
∫ π 0 (f (x, r− x) − f(x, r + x))dx = ∫ π 0 R(x, r− x, (v + w)(x, r − x))dx − ∫ π 0 (R(x, r + x, (v + w)(x, r + x)))dx, para todo r∈ [0, 2π].
CAPÍTULO
2
Un Problema de Bifurcación Imperfecta
En este capítulo estudiamos la ecuación 2u = ϵ(u2k+ h(x, t) + R(x, t, u)) u(0, t) = u(π, t) = 0 u(x, t) = u(x, t + 2π), x∈ [0, π], t ∈ R, (2.1)
donde k es un entero positivo, h∈ N⊥ y R∈ C0([0, π]× R × R). Asumimos además, que
R es diferenciable en la tercera variable, y
l´ım u→0 R(x, t, u) u2k = 0 y ul´ım→0 Ru(x, t, u) u2k−1 = 0, (2.2) uniformemente en (x, t)∈ [0, π] × R. Así, R(x, t, 0) = 0. La norma en el espacio H1 la definimos como
∥w∥1,2= (∫ Ω (w2t(x, t) + wx2(x, t))dtdx )1/2 . (2.3)
Como h∈ N⊥, sea H =2−1(h). Entonces (2.1) se puede escribir
2u − ϵ2H = ϵu2k+ ϵR(x, t, u),
y haciendo el cambio de variable u := u− ϵH, (2.1) se transforma en
2u = ϵ(u + ϵH)2k+ ϵR(x, t, u + ϵH). (2.4)
2.1. Resultados principales
Para ˆv ∈ N, sea J = (ˆv + ϵH)2k−1− ˆv2k−1. Estableceremos la solución de (2.4) en términos del operador LJ : C0((0, 2π))→ C0((0, 2π)), definido de la siguiente manera
(LJ(p))(r) = p(r) ∫ π 0 J (x, r + x) + J (x, r− x)dx− ∫ π 0 p(r + 2x)J (x, r + x) + p(r− 2x)J(x, r − x)dx (2.5)
donde r∈ [0, 2π]. El resultado principal es:
Teorema 1. Supongamos que (2.2) se satisface, si
a) k = 1 y LH es invertible, o
b) k > 1, y existe ˆv ∈ N, con ∥ˆv∥ ≤ O(ϵ), tal que ΠN(ˆv + ϵH)2k= 0 y LJ es invertible
para J = (ˆv + ϵH)2k−1− ˆv2k−1, con ϵ1−2k∥L−1J ∥ acotado y lejos de cero,
entonces existe ϵ0 > 0 tal que para ϵ ∈ (0, ϵ0) la ecuación (2.4) tiene una solución u ∈
C0(Ω).
Sean V = N∩C0(Ω), W = N⊥∩C0(Ω) y u = v + w∈ V ⊕W . como mencionamos antes,
sean ΠN, ΠN⊥ las proyecciones ortogonales de L2(Ω) sobre N y N⊥, respectivamente.
Resolver el problema (2.4) es equivalente a resolver las ecuaciones de núcleo y rango ΠN((v + w + ϵH)2k+ R(x, t, v + w + ϵH)) = 0, (2.6)
ϵ2−1ΠN⊥((v + w + ϵH)2k+ R(x, t, v + w + ϵH)) = w. (2.7)
Para demostrar la existencia de solución a la ecuación de núcleo, (2.6), seguiremos el método introducido en [C-P-2010]. La solubilidad de la ecuación de rango, (2.7), la probamos en la siguiente seccción.
Como se afirma en [B-B-2006], la condición h ∈ N⊥ no es sólo de carácter técnico. Por ejemplo, sea g∈ C([0, π] × R) tal que g(x, u) = g(x, −u) = g(π − x, u), afirmamos que si
u := uϵ= vϵ+ wϵ ∈ V ⊕ W es solución débil de 2u = ϵ(g(x, u) + h(x, t)), y ∥uϵ∥ ≤ r0 para
todo ϵ pequeño, entonces h∈ N⊥.
Como wϵ satisface la ecuación de rango wϵ = ϵ2−1ΠN⊥(g(x, uϵ) + h(x, t)), tenemos que
∥wϵ∥ ≤ C|ϵ|. De la ecuación de núcleo, ΠN(g(x, vϵ+ wϵ) + h(x, t)) = 0, además, del Lema
2, ΠN(g(x, vϵ)) = 0. Entonces tenemos
∥ΠN(h(x, t))∥2 =∥ΠN(g(x, vϵ+ wϵ) + g(x, vϵ))∥2
≤ ∥g(x, vϵ+ wϵ) + g(x, vϵ)∥2 → 0
cuando ∥wϵ∥ → 0, porque g es uniformemente continua en [0, π] × {|u| ≤ C}. Por tanto
2.2. Solución en N
⊥Proposición 1. Existen ϵ0 > 0 y δ0 > 0, tales que si v ∈ V con ∥v∥ ≤ δ0 y |ϵ| < ϵ0,
entonces (2.7) tiene una única solución w(v, ϵ) ∈ N⊥. Más aún, existe α tal que si v1, v2
con ∥v1∥, ∥v2∥ ≤ δ0,
∥w(v1, ϵ)− w(v2, ϵ)∥ ≤ |ϵ|α∥v1− v2∥ (2.8)
para todo |ϵ| ≤ ϵ0.
Demostración. Por facilidad en la notación, sea f (v, w) = (v + w + ϵH)2k+ R(x, t, v + w +
ϵH). De (2.2) tenemos que existe ˆδ ∈ (0, 1) tal que |R(x, t, u)| < |u|2k si |u| < ˆδ, además,
R es Lipschitz en la tercera variable. Luego, existe m tal que si ∥u1∥ ≤ ˆδ y ∥u2∥ ≤ ˆδ,
|R(x, t, u1)− R(x, t, u2)| ≤ m|u1− u2|. Sean κ como en (1.10), δ0= ˆδ/3,
α = max{2κ(2k + m), 4πκ} y ϵ0 = min { δ0 3∥H∥, δ0 2α } ,
y sean X1 ={v ∈ V ; ∥v∥ ≤ δ0} × [−ϵ0, ϵ0] y X2 ={w ∈ W ; ∥w∥ ≤ δ0}. Veamos que
para cada (v, ϵ) ∈ X1, la transformación w → ϵ2−1ΠN⊥(f (v, w)) define una contracción
sobre X2. Sea w∈ X2, de (1.10) y las hipótesis sobre R, tenemos
∥ϵ2−1ΠN⊥(f (v, w))∥ ≤ |ϵ|κ∥ΠN⊥(f (v, w))∥2 ≤ |ϵ|κ∥(f(v, w))∥2 ≤ |ϵ|κ2π∥(v + w + ϵH)2k+ R(x, t, v + w + ϵH)∥ ≤ |ϵ|κ4π∥(v + w + ϵH)2k∥ ≤ 4π|ϵ|κ ≤ δ0. (2.9)
Por tanto, la transformación está bien definida.
Dados (v, ϵ)∈ X1 fijo, y w1, w2 ∈ X2, aplicando el Teorema del valor medio y la definición
de m, obtenemos
∥f(v, w1)− f(v, w2)∥ ≤ ∥(v + w1+ ϵH)2k− (v + w2+ ϵH)2k∥+
∥R(x, t, v + w1+ ϵH)− R(x, t, v + w2+ ϵH)∥
≤ (2k + m)∥w1− w2∥.
De aquí, de (1.10) y del hecho que|ϵ| ≤ ϵ0, tenemos ∥ϵ2−1ΠN⊥(f (v, w1))− ϵ2−1ΠN⊥(f (v, w2))∥ ≤ |ϵ|κ∥ΠN⊥(f (v, w1))− ΠN⊥(f (v, w2))∥2 ≤ |ϵ|κ∥f(v, w1)− f(v, w2)∥2 ≤ |ϵ|κ2π∥f(v, w1)− f(v, w2)∥ ≤ |ϵ|κ2π(2k + m)∥w1− w2∥ ≤ (1/2)∥w1− w2∥. (2.11)
así, la transformación w→ ϵ2−1ΠN⊥(f (v, w)) define una contracción sobre X2, por tanto
para cada (v, ϵ)∈ X1, existe una única w(v, ϵ) que satisface la ecuacion de rango (2.7).
Sean (v1, ϵ), (v2, ϵ)∈ X1, denotemos w1= w(v1, ϵ) y w2 = w(v2, ϵ). Fijando w1 y
argumen-tando como antes, tenemos
∥f(v1, w1)− f(v2, w1)∥ ≤ ∥(v1+ w1+ ϵH)2k− (v2+ w1+ ϵH)2k∥+ ∥R(x, t, v1+ w1+ ϵH)− R(x, t, v2+ w1+ ϵH)∥ ≤ (2k + m)∥v1− v2∥. (2.12) De aquí, y de (2.11) llegamos a ∥w1− w2∥ = |ϵ|∥2−1ΠN⊥(f (v1, w1))− 2−1ΠN⊥(f (v2, w2))∥ ≤ |ϵ|∥2−1ΠN⊥(f (v1, w1))− 2−1ΠN⊥(f (v2, w1))∥ +|ϵ|∥2−1ΠN⊥(f (v2, w1))− 2−1ΠN⊥(f (v2, w2))∥ ≤ |ϵ|κ(2k + m)∥v1− v2∥ + (1/2)∥w1− w2∥, (2.13)
por tanto,∥w1−w2∥ ≤ 2|ϵ|κ(2k +m)∥v1−v2∥ ≤ |ϵ|α∥v1−v2∥, quedando demostrado (2.8),
y la proposición.
Comentario 1. En (2.9) observamos que w es de orden ϵ, por tanto si tomamos v∈ V , con
∥v∥ < ϵ y reemplazamos en la ecuación de rango, encontramos que ∥w(v, ϵ)∥ = o(|ϵ|2k+1).
Más precisamente, ∥w(v, ϵ)∥ ≤ α|ϵ|2k+1.
2.3. La ecuación de núcleo para k = 1
Expandiendo la potencia cuadrada en (2.6) y del hecho que v2 ∈ N⊥ (véase Lema 1), tenemos que (2.6) es equivalente a
Además, por el Lema 4, tenemos que (2.14) es equivalente a ∫ π
0
(v(x, r− x)H(x, r − x) − v(x, r + x)H(x, r + x))dx = (−2ϵ)−1(I1(r) + . . . + I5(r)),
para todo r∈ [0, 2π]. Donde
I1(r) = ∫ π 0 (w2(x, r− x) − w2(x, r + x))dx I2(r) =ϵ2 ∫ π 0 (H2(x, r− x) − H2(x, r + x))dx I3(r) =2 ∫ π 0 (v(x, r− x)w(x, r − x) − v(x, r + x)w(x, r + x))dx I4(r) =2ϵ ∫ π 0 (w(x, r− x)H(x, r − x) − w(x, r + x)H(x, r + x))dx I5(r) = ∫ π 0 (R(x, r− x, (v + w + ϵH)(x, r − x))− R(x, r + x, (v + w + ϵH)(x, r + x)))dx. (2.15)
Escribiendo v(x, t) = p(t + x)− p(t − x), tenemos que (2.14) es equivalente a
[LH(p)](r) = (−2ϵ)−1[Γ(p)](r), r ∈ [0, 2π], (2.16) donde (LH(p)) (r) = ∫ π 0 (v(x, r− x)H(x, r − x) − v(x, r + x)H(x, r + x))dx = ∫ π 0 (p(r)− p(r − 2x))H(x, r − x)dx + ∫ π 0 (p(r)− p(r + 2x))H(x, r + x)dx, (2.17) y (Γ(p)) (r) = I1(r) + . . . + I5(r). (2.18)
Por hipótesis del Teorema, LH es invertible, entonces demostraremos que el operador p→
(−2ϵ)−1(LH)−1(Γ(p)), que denotaremos p→ Γ1(p), define una contracción sobre un espacio
métrico apropiado X, el cual definiremos más adelante (véase (2.21)). Sean
θ(s) = m´ax{|Ru(t, x, u)/u|; |u| ≤ s}, y
ˆ
θ(s) = m´ax{|R(t, x, u)/(u2)|; |u| ≤ s}, Por (2.2) tenemos que
l´ım
s→0θ(s) = 0, y sl´ım→0
ˆ
Sea c1= 2π∥H2∥∞∥L−1H ∥, escojamos ϵ1 ∈ (0, ϵ0) tal que satisfaga ∥L−1H ∥π[α2ϵ4 1+∥H∥2+ 2α(2c1+∥H∥)ϵ21+ ˆ θ((2c1+ α +∥H∥)ϵ1)· (2c1+ α +∥H∥)2]≤ c1. (2.20)
Para|ϵ| < ϵ1, definimos el espacio métrico X así
X = { p∈ C0(R); p(x) = p(x + 2π), ∫ 2π 0 p(s)ds = 0,∥p∥ ≤ c1|ϵ| } , (2.21)
dotado de la norma heredada de C0(R).
Sea p∈ X, y sean v(x, t) = p(t + x) − p(t − x) y w = w(v, ϵ) dados en la Proposición 1, de (2.15) tenemos que |I1| ≤ ∫ π 0 |w2(x, r− x)| + |w2(x, r + x)|dx ≤ 2πα2|ϵ|6, |I2| ≤ 2|ϵ|2 ∫ π 0 |H2(x, r− x)| + |H2(x, r + x)|dx ≤ 2π∥H∥2|ϵ|2 |I3| ≤ 2 ∫ π 0 |v(x, r − x)w(x, r − x)| + |v(x, r + x)w(x, r + x)|dx ≤ 8παc1|ϵ|4, (2.22) |I4| ≤ 2|ϵ| ∫ π 0 |w(x, r − x)H(x, r − x)| + |w(x, r + x)H(x, r + x)|dx ≤ 4πα∥H∥|ϵ|4, |I5| ≤ ∫ π 0 |R(x, r − x, (v + w + ϵH)(x, r − x))|dx+ ∫ π 0 |R(x, r + x, (v + w + ϵH)(x, r + x))|dx ≤ 2πˆθ((2c1+ α|ϵ|2+∥H∥)|ϵ|) · (2c1+ α|ϵ|2+∥H∥)2|ϵ|2. (2.23) Ahora, de (2.20), (2.22) y (2.23), tenemos ∥Γ1(p)∥ ≤ (2ϵ)−1∥L−1∥∥Γ(p)∥ ≤ (2ϵ)−1∥L−1∥(8π2κ|ϵ|6+ 2π∥H∥2|ϵ|2+ 32π2κc 1|ϵ|4+ 16π2κ∥H∥|ϵ|4+ 2π ˆθ((2c1+ α +∥H∥)|ϵ|) · (2c1+ α +∥H∥)2|ϵ|2) ≤ ∥L−1 H ∥π[α|ϵ| 4+∥H∥2+ 8πκ(2c 1+∥H∥)|ϵ|2+ ˆ θ((2c1+ α|ϵ|2+∥H∥)|ϵ|) · (2c1+ α|ϵ|2+∥H∥)2]|ϵ| ≤ c1|ϵ|. (2.24)
Esto demuestra que Γ1(X)⊂ X. Veamos ahora, que Γ1 define a contracción sobre X. Sean
p1, p2∈ X, vi(x, t) = pi(t + x)−pi(t−x), and wi= w(vi, ϵ), i = 1, 2, como en la Proposición
1. Entonces
∥w1− w2∥ ≤ |ϵ|α∥v1− v2∥ ≤ 2|ϵ|α∥p1− p2∥. (2.25)
Aplicando nuevamente la Proposición 1 tenemos
∥w2 1− w22∥ ≤ ∥w1− w2∥ · ∥w1+ w2∥ ≤ 2α|ϵ|3∥w 1− w2∥ ≤ 4α2|ϵ|4∥p 1− p2∥. (2.26) Además ∥v1w1− v2w2∥ ≤ ∥v1w1− v1w2∥ + ∥v1w2− v2w2∥ ≤ ∥v1∥∥w1− w2∥ + ∥v1− v2∥∥w2∥ ≤ (2c1α|ϵ|2+ α|ϵ|3)∥v1− v2∥ ≤ α|ϵ|2(2c 1+|ϵ|)∥p1− p2∥. (2.27)
Tomando u1 = v1+ w1, u2= v2+ w2, y ν = s(u1) + (1−s)(u2) +|ϵ|H, 0 ≤ s ≤ 1, tenemos
que∥ν∥ ≤ c2|ϵ|. Así, por Teorema del valor medio
∥R(t, x, u1+ ϵH)− R(t, x, u2+ ϵH)∥ ≤ ∥Ru(x, t, ν)∥ · ∥u1− u2∥
≤ θ(c2|ϵ|) · c2|ϵ| · ∥u1− u2∥
≤ θ(c2|ϵ|) · c2|ϵ|(∥v1− v2∥ + ∥w1− w2∥)
≤ θ(c2|ϵ|) · c2|ϵ|(2 + 2|ϵ|α)∥p1− p2∥.
(2.28)
Ahora estimamos las diferencias∥Ii(p1)− Ii(p2)∥, i = 1, . . . 5, con Ii dada en (2.15).
De (2.26) ∥I1(p1)− I1(p2)∥ ≤ 8πα2|ϵ|4∥p1− p2∥. (2.29) Como I2 es independiente de p, ∥I2(p1)− I2(p2)∥ = 0. (2.30) De (2.27) ∥I3(p1)− I3(p2)∥ ≤ 2πα|ϵ|2(2c1+|ϵ|)∥p1− p2∥. (2.31) Por (2.25) ∥I4(p1)− I4(p2)∥ ≤ 8ϵ2πα∥H∥∥p1− p2∥. (2.32) y por (2.28) ∥I5(p1)− I5(p2)∥ ≤ θ(c2|ϵ|) · 4πc2|ϵ|(1 + |ϵ|α)∥p1− p2∥. (2.33)
Sea ˆϵ0 ∈ (0, ϵ1) tal que ∥L−1∥π(4ˆϵ3 0α2+ ˆϵ0α(2c1+ ˆϵ0) + 4ˆϵ0α∥H∥ + θ(c2ˆϵ0)· 2c2(1 + ˆϵ0α)) < 1 2. (2.34)
Luego, de (2.29), (2.30), (2.31), (2.32), (2.33), y (2.34), para |ϵ| ∈ (0, ˆϵ0) tenemos
∥Γ1(p1)− Γ1(p2)∥ ≤ (2ϵ)−1∥L−1∥∥Γ(p1)− Γ(p2)∥ ≤ (2ϵ)−1∥L−1∥∑5 i=1 ∥Ii(p1)− Ii(p2)∥ ≤ (1/2)∥p1− p2∥. (2.35)
Así, Γ1 tiene un punto fijo. De esta forma hemos probado el caso k = 1 del Teorema 1.
2.4. La ecuación de núcleo para k > 1
Sea ˆv como en la parte b) del Teorema 1, y v = ˆv + ζ. Entonces (2.6) se transforma en
0 = ΠN ( [(ˆv + ϵH) + (ζ + w)]2k+ R(x, t, ˆv + ζ + w + ϵH) ) = ΠN ( (ˆv + ϵH)2k+ 2k(ˆv + ϵH)2k−1ζ + 2k(ˆv + ϵH)2k−1w + 2k ∑ j=2 ( 2k j ) (ˆv + ϵH)2k−j(ζ + w)j + R(x, t, ˆv + ζ + w + ϵH) ) ,
De aquí, y del hecho que ˆv2k−1ζ ∈ N⊥ (véase Lema 1), tenemos que (2.6) es equivalente a ΠN(−2kJζ) = ΠN ( 2k(ˆv + ϵH)2k−1w + 2k ∑ j=2 Cj(ˆv + ϵH)2k−j(ζ + w)j + R(x, t, ˆv + ζ + w + ϵH) ) ≡ ΠN ( Q(ζ, ϵ, H) ) , (2.36)
donde Cj es el coeficiente binomial
( 2k
j
)
, y J = (ˆv + ϵH)2k−1− ˆv2k−1.
Sea z : R→ R una función 2π-periódica tal que ζ(t, x) = z(t+x)−z(t−x) con∫02πz(s)ds =
4). Así, si v = ˆv + ζ + w satisface (2.6) entonces, z satisface −2kLJ(z) = Γ(z), donde (LJ(z)) (r) = ∫ π 0 (z(r)− z(r − 2x))J(x, r − x)dx + ∫ π 0 (z(r)− z(r + 2x))J(x, r + x)dx. (2.37) y (Γ(z)) (r) = ∫ π 0 Q(ζ, ϵ, H)(x, r− x)dx + ∫ π 0 Q(ζ, ϵ, H)(x, r + x))dx. (2.38)
Nuevamente, del Lema 4, el recíproco tambien es válido, es decir, si z satisface z = (−1/(2k))L−1J Γ(z) ≡ Γk(z), entonces v = ˆv + ζ + w satisface (2.6). Por tanto, para
de-mostrar la parte b) del Teorema 1, basta ver que existe ϵ0 > 0 tal que para ϵ ∈ (0, ϵ0), el
operador z→ Γk(z) tiene punto fijo.
Como ˆv es de orden ϵ, sea M > 0 tal que ∥ˆv∥ + ϵ∥H∥ ≤ Mϵ para todo ϵ ∈ (0, ϵ0). Sean
además ϵ1 ∈ (0, ϵ0) y τ > 0 tales que
2kα(M (M + 2τ ))2k−1ϵ2k1 + 2k ∑ j=2 Dj(2τ + α(M + 2τ )2k+1ϵ2k1 )j ≤ τ 2, 2kαM2k−1ϵ1+ 2k ∑ j=2 Dj(1 + αϵ1)j(4τ )j−1 ≤ k 2∥L−1∥. (2.39)
donde Dj = CjM2k−j. Ahora escogemos γ > 0 tal que
γ < m´ın { τ M + 2τ ϵ1+ αϵ2k1 , k 2∥L−1∥(2M + 1 + α)2k−1 } . (2.40)
Por (2.2), existe δ > 0 tal que si|s| < δ entonces |R(t, x, s)| < γs2ky|Ru(t, x, s)| ≤ γ|s|2k−1.
Finalmente tomemos ϵ2 ∈ (0, ϵ1) tal que
Ahora, para ∥z∥ ≤ τϵ tenemos ∥ζ∥ ≤ 2τϵ, y ∥w∥ ≤ α(M + 2τ)2k+1ϵ2k+1. Por tanto ∥Q(ζ, ϵ, H)∥ ≤ 2k∥(ˆv + ϵH)2k−1w∥ + 2k ∑ j=2 Cj(M ϵ)2k−j∥ζ + w∥j +∥R(t, x, ˆv + ζ + w + ϵH)∥ ≤ 2kM2k−1α(M + 2τ )2k+1ϵ4k + 2k ∑ j=2 Djϵ2k−j(2τ ϵ + α(M + 2τ )2k+1ϵ2k+1)j + γ∥ˆv + ζ + w + ϵH)∥2k ≤ ϵ2k(2kM2k−1α(M + 2τ )2k+1ϵ2k 2k ∑ j=2 Dj(2τ + α(M + 2τ )2k+1ϵ2k)j + γ(M + 2τ + αϵ2k) ) ≤ τϵ2k. (2.42)
Sea ζi(t, x) = zi(t + x)− zi(t− x), i = 1, 2, y wi = w(ˆv + ζi) con ∥zi∥ ≤ τϵ. Así, de la
definición de Q, la Proposición 1, (2.39), (2.41), y (2.40) tenemos
∥Q(ζ1,ϵ, H)− Q(ζ2, ϵ, H)∥ ≤ 2k∥(ˆv + ϵH)2k−1∥∥w1− w2∥ 2k ∑ j=2 Cj(M ϵ)2k−j∥(ζ1+ w1)j− (ζ2+ w2)j∥ +∥R(t, x, ˆv + ζ1+ w1+ ϵH)− R(t, x, ˆv + ζ2+ w2+ ϵH)∥ ≤ 2k(Mϵ)2k−1αϵ∥ζ 1− ζ2∥ + (∑2k j=2 Djϵ2k−j(1 + ϵα) j−1 ∑ i=0 ∥(ζ1+ w1)j−1−i(ζ2+ w2)i∥ + γ(2M + 1 + α)2k−1ϵ2k−1 ) ∥ζ1− ζ2∥ ≤ ϵ2k−1( 2k ∑ j=2 Dj(1 + ϵα)j(2τ + α(M + 2τ )2k+1ϵ2k)j−1 + 2kM2k−1αϵ + γ(2M + 1 + α)2k−1 ) ∥ζ1− ζ2∥ ≤ kϵ2k−1 ∥L−1J ∥∥ζ1− ζ2∥. (2.43)
De (2.42) vemos que (ϵ1−2k/(2k))L−1J Γ es una transformación del espacio métrico{z; ∥z∥ ≤
τ ϵ} sobre él mismo. Por tanto, (2.43) prueba que (ϵ1−2k/(2k))LJ−1Γ es una contracción, luego tiene un único punto fijo, lo cual demuestra el Teorema 1.
2.5. Existencia de ˆ
v
El propósito de esta sección es establecer la existencia de ˆv = ϵV , usado en la demostración
del Teorema 1 para el caso k > 1, cuando H es positiva. Lema 5. Existe ∆ tal que para v∈ N ∩ L2k(Ω)
∫ Ω v2k(x, t)dσ ≤ ∆ ∫ Ω1 v2k(x, t)dσ, (2.44) donde Ω1 = [π/4, 3π/4]× [0, 2π].
Demostración. Para v∈ N ∩ L2k(Ω), sea
A = { x∈ [π/4, 3π/4]; ∫ 2π 0 v2k(x, t)dt≥ 20 π ∫ Ω1 v2k(x, t)dσ } . (2.45)
Por el Lema 3, µ(A)≤ π/20.
Si B = [π/4, 3π/4]− A, entonces µ(B) ≥ π/2 − π/20 = 9π/20 y por tanto
µ([π/4, π/2]∩ B) ≥ µ(B) − µ([π/2, 3π/4]) ≥ π/5,
µ([π/2, 3π/4]∩ B) ≥ π/5.
(2.46)
Afirmamos que para todo x ∈ [0, π/4), existe z ∈ B ∩ [π/2, 3π/4] tal que z − x ∈ B. Asumiendo lo contrario, existe x∈ [0, π/4) tal que, para todo z ∈ B ∩[π/2, 3π/4], z −x ̸∈ B vemos que B1 = {z − x; z ∈ B ∩ [π/2, 3π]/4} ⊂ A. Así, µ(A) ≥ µ(B1) ≥ π/5 lo cual
contradice que µ(A)≤ π/20.
Ahora, para t∈ [0, 2π], y x ∈ [0, π/4), usando la propiedad del paralelogramo, tenemos
|v2k(x, t)| = |v(t − z, z − x) + v(t − x, 0) − v(t + x − z, z)|2k ≤ |v(t − z, z − x) − v(t − x − z, z)|2k ≤ 22k−1(v2k(t− z, z − x) + v2k(t− x − z, z)). (2.47) Entonces ∫ 2π 0 v2k(t, x)dt≤ 22k−1 (∫ 2π 0 v2k(t, z− x)dt + ∫ 2π 0 v2k(t, z))dt ) ≤ 22k20 π ∫ Ω1 v2k(t, x)dσ. (2.48)
De manera similar, para todo x∈ (3π/4, π], ∫ 2π 0 v2k(x, t)dt≤ 22k20 π ∫ Ω1 v2k(t, x)dσ. (2.49)
Luego, por el Teorema de Fubini, (2.48), y (2.49) ∫ Ω v2k(x, t)dσ = ∫ π/4 0 ∫ 2π 0 v2k(x, t)dtdx + ∫ Ω1 v2k(x, t)dσ + ∫ π 3π/4 ∫ 2π 0 v2k(x, t)dtdx ≤(1 + 5· 22k+1 ) ) ∫ Ω1 v2k(x, t)dσ ≡ ∆ ∫ Ω1 v2k(x, t)dσ, (2.50)
Lo cual demuestra el Lema 5.
Lema 6. Si H es continua y positiva en (0, π)× R, entonces existe V ∈ N ∩ L∞ tal que
ΠN(V + H)2k = 0. Demostración. Sea g(s, x, t) = (s + H(x, t))2k+1− s2k+1 = 2k+1∑ j=1 (2k + 1)! (2k + 1− j)!j!s 2k+1−jHj(x, t). (2.51)
Asumiendo H(x, t)≥ 0, g is una función convexa de su primera variable. Por tanto f(v) = ∫
Ωg(v(x, t), x, t)dσ define un funcional convexo sobre N ∩ L
2k(Ω). Por la continuidad de
H, existe una constante positiva C tal que H(x, t) ≥ C para todo (x, t) ∈ Ω1. Esto y el
Lema 5 implican que l´ım∥v∥2k→∞f (v) = +∞. Por tanto, existe V ∈ N ∩ L2k(Ω) tal que
f (V ) = m´ın{f(v); v ∈ N ∩ L2k(Ω)} (see [?], Theorem 7.3.4).
Veamos que V está en L∞(Ω). Sea p : R→ R una función 2π-periódica tal que V (x, t) =
p(t + x)− p(t − x). Sea ϕ como en (1.13). Como ϕ ∈ N ∩ L2k(Ω) y V2k ∈ N⊥ (ver Lema 1), 0 =∫Ωφ(V + H)2kdσ =∫
tenemos 0 = ∫ π 0 (V + H)2k(x, r + x)dx− ∫ π 0 (V + H)2k(x, r− x)dx = ∫ π 0 2k ∑ j=1 (2k)! (2k + 1− j)!j!(p(r + 2x)− p(r)) 2k−jHj(x, r + x)dx − ∫ π 0 2k ∑ j=1 (2k)! (2k + 1− j)!j!(p(r)− p(r − 2x)) 2k−jHj(x, r− x)dx =−2kp2k−1(r) (∫ π 0 (H(x, r + x) + H(x, r− x))dx ) + 2k ∑ j=2 p2k−j(r)qj(r), (2.52)
donde los qj son funciones periódicas acotadas. Como tambien asumimos que H es continua
y positiva, existe una constante positiva c tal que∫0π(H(x, r + x) + H(x, r− x))dx ≥ c para todo r∈ [0, 2π]. Esto y (2.52) implican que p ∈ L∞(R). Así, V ∈ L∞(R), y se concluye la prueba del Lema 6.
2.6. La positividad de H
En esta sección veremos que el Teorema 1 incluye los resultados en [B-B-2006].
Teorema 2. Si, para algún v ∈ N, H es continua y H(t, x) > 0 para todo (t, x) ∈ Ω,
entonces LH es invertible. Si, adicionalmente, k > 1 entonces existe ˆv∈ N que satisface la
parte b) en el Teorema 1. Así, existe ϵ0 > 0 tal que para ϵ∈ (0, ϵ0) la ecuación (2.4) tiene
una solución u∈ C0(Ω). Sea X2= { p∈ C0(R); p(x) = p(x + 2π), ∫ 2π 0 p(s)ds = 0,∥p∥C0 = 1 } Para cada p∈ X2, sea rp ∈ [0, 2π] tal que |p(rp)| = 1. Afirmamos que
´ınf
p∈X2
|L(p)(rp)| > 0 (2.53)
1/n. Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que pn(rpn) = 1. Así 1 n ≥ L(pn)(rpn) = ∫ π 0 (1− pn(rpn− 2x))H(rpn− x, x)dx + ∫ π 0 (1− pn(rpn+ 2x))H(rpn+ x, x)dx ≥ ∫ π 0 (1− pn(rpn− 2x))H(rpn− x, x)dx. (2.54) Por tanto, {√(1− pn(brn+ 2x))H(brn+ x, x)} → 0, in L2. (2.55)
Luego, existe una subsucesión{pnk
} de {pn} tal que { (1− pnk(rpnk + 2x))H(rpnk + x, x) } → 0 (2.56)
en casi toda parte sobre [0, π]. Como H(t, x) > 0 para todo (x, t)∈ Ω, entonces la sucesión
{pnk} → 1 c.t.p. de [0, 2π]. Pero esto es una contradicción, porque
∫2π
0 pnk(s)ds = 0 para
todo k. Así, se ha probado (2.53), que junto con el Lema 6 demuestran el Teorema 1, quedando demostrado el Teorema 2.
La positividad de H no es condición necesaria para que LH sea invertible. Por ejemplo, si
h(t, x) = 9 sin(3x) entonces H(t, x) = sin(3x) + v(t, x) cambia de signo para todo v ∈ N,
no obstante LH es invertible. Este es un caso en el cual el Teorema 1 aplica, pero no los
resultados de [B-B-2006], véase sección 2.7.
2.7. H cambia de signo y L es invertible
Haremos uso de expansión en series de Fourier para mostrar ejemplos en los cuales LH ≡ L
(véase (2.5), Teorema 1) tiene inversa en el espacio de funciones continuas, aunque H cambia de signo. En efecto, mostramos que este es el caso para H(x, t) = sin(3x), y calculamos explicitamente L−1. Este resultado y el Teorema 2 prueban que nuestros resultados incluyen los de [B-B-2006]. Sean
H(x, t) =∑
j,l
(ajlsin(jx) sin(lt) + bjlsin(jx) cos(lt))
p(t) = ∞ ∑ k=1 (cksin(kt) + dkcos(kt)) (2.57)
las series de Fourier de H y p. Cálculos elementales muestran que
L(sin(kr)) = 8 ∑ j+l odd ( jajl(k2− kl) (j2− l2)((2k− l)2− j2)cos(kr− lr) − jajl(k2+ kl) (j2− l2)((2k + l)2− j2)cos(kr + lr) + jbjl(k 2− kl) (j2− l2)((2k− l)2− j2)sin(kr− lr) + jbjl(k 2+ kl) (j2− l2)((2k + l)2− j2)sin(kr + lr) ) (2.58) De manera similar L(cos(kr)) = 8 ∑ j+l odd ( jbjl(k2− kl) (j2− l2)((2k− l)2− j2)cos(kr− lr) + jbjl(k 2+ kl) (j2− l2)((2k + l)2− j2)cos(kr + lr) − jajl(k2− kl) (j2− l2)((2k− l)2− j2)sin(kr− lr) + jajl(k 2+ kl) (j2− l2)((2k + l)2− j2)sin(kr + lr) ) (2.59) En particular, si H(x, t) = sin(3x) L(sin(kr)) = 16k 2 3(4k2− 9)sin(kr) (2.60) y L(cos(kr)) = 16k 2 3(4k2− 9)cos(kr) (2.61)
Así, para H(x, t) = sin(3x)
L(p(t)) =L (∞ ∑ k=1 (cksin(kt) + dkcos(kt)) ) = ∞ ∑ k=1 16πk2 3(4k2− 9)(cksin(kt) + dkcos(kt)) =16π 3 ∞ ∑ k=1 ( 1 + 9/4 k2− 9/4 ) (cksin(kt) + dkcos(kt)) (2.62)
Claramente tenemos que si p ∈ C[0, 2π], entonces p ∈ L2[0, 2π] y, por (2.62), L(p(t)) ∈
L2[0, 2π]. Veamos ahora que L(p(t)) es continua en [0, 2π]. De (2.62) tenemos
L(p(t)) =16π 3 p(t) + 16π 3 ∞ ∑ k=1 9/4 k2− 9/4cksin(kt) + 16π 3 ∞ ∑ k=1 9/4 k2− 9/4dkcos(kt) ≡ 16π 3 (p(t) + S1(t) + S2(t)). (2.63) Tomando tn→ t, tenemos |S1(tn)− S1(t)| ≤ ∞ ∑ k=1 9/4 |k2− 9/4||ck|| sin(ktn)− sin(kt)| ≤9 4 ∞ ∑ k=1 k |k2− 9/4||ck|| cos(ζ)||tn− t| ≤18∑∞ k=1 1 k|ck||tn− t| ≤18 (∞ ∑ k=1 1 k2 )1/2(∑∞ k=1 (ck)2 )1/2 |tn− t| ≤c|tn− t| (2.64)
donde la constante c es independiente de t y tn. Así, S1 es una función continua. De
manera similar, S2 tambien es continua. Entonces, por (2.63) y (2.64), L(p) ∈ C[0, 2π] si
p∈ C[0, 2π].
Más aún, para todo entero positivo k, 1 +k29/4−9/4 ̸= 0 y
p(t) = ∞ ∑ k=1 (cksin(kt) + dkcos(kt)) = ∞ ∑ k=1 ( 1− 9 4k2 ) ( 1 + 9/4 k2− 9/4 ) (cksin(kt) + dkcos(kt)) (2.65)
por tanto, siguiendo los argumentos en (2.62), (2.63) y (2.64) tenemos que, el operador
L−1: C[0, 2π]→ C[0, 2π] definido por L−1(q(t)) = 3 16π ∞ ∑ k=1 ( 1− 9 4k2 ) (cksin(kt) + dkcos(kt)) (2.66)
es el inverso de L. Aquí,∑∞k=1(cksin(kt) + dkcos(kt)) es la serie de Fourier de q(t). Luego,
por el teorema 1, existe ϵ0 > 0 tal que para ϵ ∈ (0, ϵ0) la ecuación (2.4) tiene solución
u∈ C0(Ω).
Lema 7. Si h(x, t) = 9 sin(3x) y H =2−1(h) + v, con v ∈ N, entonces H cambia de signo. Dem. Por la definición de H, H(x, t) = sin 3x + v(x, t) con v(x, t) = p(t + x)− p(t − x) (ver (1.8)). Asumiendo que H(x, t) > 0 para todo x ∈ (0, π), t ∈ [0, 2π], tenemos que
−1 + p(t + π/2) − p(t − π/2) > 0. Así ∫ 2π 0 p(π/2 + t)dt > ∫ 2π 0 (1 + p(t− π/2))dt = 2π + ∫ 2π 0 p(t− π/2)dt (2.67)
Pero, p es 2π-periódica y ∫02πp(t)dt = 0, por tanto (2.67) es una contradicción. De otra
parte, si asumimos que H(x, t) < 0 para todo x ∈ (0, π), t ∈ [0, 2π], tomando x = π/6 encontramos una contradicción. Así, H cambia de signo.
Así, para h(x, t) = 9 sin(3x), podemos tomar H(x, t) = sin(3x). Por (2.66) y el Teorema 1, la ecuación (2.1) tiene una solución para ϵ pequeño. De otra parte, por el Lema 7, el Teorema 1 de [B-B-2006] no aplica porque, ni h ni H tienen un sólo signo. Estos argumentos pueden ser extendidos a cualquier función h(x, t) de la forma sin(kx) con k impar y positivo. Obteniendo un gran número de ejemplos para los cuales el Teorema 1 aplica pero no el Teorema 1 de [B-B-2006]. Además, como el conjunto de operadores invertibles en un espacio de Banach es abierto en el álgebra de tales operadores, si H1(x, t) es pequeño entonces
L + LH1 tambien es invertible. De esta forma hemos demostrado
Teorema 3. Existe δ > 0 tal que si∥h1∥ ≤ δ entonces existe ϵ0 > 0 tal que para ϵ∈ (0, ϵ0),
h(x, t) = 9 sin(3x) + h1(x, t)∈ N⊥, y k = 1 la ecuación (2.1) tiene una solución. Más aún,
toda solución de 2H = h que satisfaga la condición de frontera dada en (2.1) cambia de signo.
CAPÍTULO
3
Un Problema Asintóticamente Lineal
En este capítulo consideramos el problema
2(u) + τu + h(u) = f(x, t) = f(x, t + 2π), u(0, t) = u(π, t) = 0,
u(x, t) = u(x, t + 2π) x∈ [0, π], t ∈ R.
(3.1)
Suponemos que: (a) τ > 0 y τ /∈ σ(−2). (b) h es de clase C1 y existen β < 0 y a > 1 tales
que
|h′(u)| ≤ |u|β, para|u| ≥ a. (3.2) Nuestro objetivo es dar condiciones suficientes sobre f para que (3.1) tenga solución. De (3.2) tenemos que existe M > 0 tal que|h′(u)| ≤ M para todo u ∈ R. También observamos que si β ≤ −1, entonces |h′(s)| ≤ |s|β < |s|−1/2, por tanto, en adelante asumiremos que
−1 < β < 0.
Como h es de clase C1, existe M1 > 1 tal que|h(s)| ≤ M1 para todo |s| ≤ a. Si s ≥ a,
|h(s)| ≤ h(a) + ∫ s a h′(t)dt ≤ |h(a)| + ∫ s a |h′(t)|dt ≤ M1+ ∫ s a |t|βdt ≤ M1+ sβ+1 β + 1 − aβ+1 β + 1 ≤ M1+ sβ+1 β + 1. 28
De manera similar argumentamos para s≤ −a. Entonces
|h(s)| ≤ M1+|s|
β+1
β + 1 para todo s∈ R. (3.3)
De esta forma la función G(s) = τ s + h(s) es asintóticamente lineal, pero no necesariamente monótona. Aún más, como 0 < β + 1 < 1, de (3.3) tenemos que l´ım|s|→∞|h(s)|/|s| = 0, es decir, para todo ϵ > 0 existen Mϵ > 0 y aϵ > a tales que
|h(s)| ≤ ϵ|s| si |s| ≥ aϵ, y
|h(s)| ≤ Mϵ+ ϵ|s|, para todo s ∈ R.
(3.4)
Sean γ1 y γ2 reales positivos, tales que γ1 < τ < γ2 y σ(2) ∩ [γ1, γ2] = ∅. Tomando ϵ > 0
tal que τ + ϵ∈ (γ1, γ2) y aϵ como en (3.4), tenemos que para|s| > aϵ
γ1 2s 2 ≤ ∫ s aϵ G(t)dt≤ γ2 2 s 2.
Por tanto G satisface (4), es decir existe c > 0 tal que
−c +γ1 2 s 2 ≤ ∫ s 0 G(t)dt≤ c +γ2 2 s 2, para toda s∈ R. (3.5)
H. Brezis y L. Nirenberg [B-N-1978] demuestran que si la función G es monótona, para toda f ∈ L2(Ω) el problema (3.1) tiene solución débil. En particular, para toda q∈ L2(Ω)
el problema 2φ + τφ = q(x, t) φ(0, t) = φ(π, t) = 0 φ(x, t) = φ(x, t + 2π) (3.6)
tiene una solución débil φ = φ1+ φ2 ∈ N ⊕ Y , la cual denotamos como (2 + τI)−1(q). Aún
más, si∫Ωqv = 0 para toda v∈ N, existe un número real κ tal que ∥(2 + τI)−1(q)∥
1,2+∥(2 + τI)−1(q)∥C1/2 ≤ κ∥q∥2, (3.7)
donde C1/2 es el espacio de las funciones Hölder continuas de exponente 1/2.
3.1. Teorema de existencia de solución
Introducimos el concepto de función no plana sobre características, necesario para enunciar nuestros resultados.
Definición 1. Sea ϕ : R2 → R integrable en [0, π] × [0, 2π]. Decimos que ϕ no es plana
sobre características si
dado ϵ > 0 existe δ > 0 tal que
µ{x ∈ [0, π]; |ϕ(x, r ± x)| < δ} < ϵ para todo r ∈ R, (3.8) donde µ representa la medida de Lebesgue.
Ahora establecemos el teorema de existencia de solución para (3.1) de la siguiente manera: Teorema 4. Sea f (x, t) = cq(x, t)∈ Lp(Ω), p ≥ 2 y φ solución del problema (3.6). Si φ
no es plana sobre características, entonces existe c0 tal que para |c| ≥ c0 la ecuación (3.1)
tiene solución débil (ver (1.4)).
Si f ∈ Lp(Ω) con p ≥ 2, entonces f ∈ L2(Ω). De aquí, de la condición (3.5) y teniendo en cuenta los resultados de H. Hofer [H-1982] y M. Willem [W-1981], tenemos que existen sucesiones{gn} y {un} en L2(Ω) tales que gn→ 0 en L2 y para cada n, unes solución débil
de 2un+ τ un+ h(un) = f (x, t) + gn(x, t) un(0, t) = un(π, t) = 0 un(x, t) = un(x, t + 2π) (3.9) De (3.6) y (3.9), obtenemos
2(un− cφ) + τ(un− cφ) = gn− h(un), (3.10)
haciendo zn= un− cφ, tenemos
2zn+ τ zn= gn(x, t)− h(un). (3.11)
Para demostrar el Teorema 4 probaremos que la sucesión un (véase (3.9)) converge a u en
L2 y que además u es solución débil de (3.1). Ahora bien, demostrar que {u
n} converge es
equivalente a demostrar que la sucesión {zn} dada en (3.11) converge en N ⊕ Y .
Sea zn= vn+ wn∈ N ⊕Y , aplicando reducción de Lyapunov-Schmidt en (3.11), obtenemos
2wn+ τ Iwn= ΠY(gn− h(un))
wn= (2 + τI)−1ΠY(gn(x, t)− h(un)),
(3.12)
τ vn= ΠN(gn− h(un)). (3.13)
En las dos secciones siguientes demostraremos la convergencia de las sucesiones {wn} y
{vn} en Y y N respectivamente. Esto a partir de (3.12) y (3.13), y haciendo uso del método
3.2. Convergencia de la sucesión
{w
n}
De (3.12), (3.7) y (3.13) concluimos que
∥wn∥1,2≤ κ∥(gn− h(un))∥2 ≤ κ(∥gn∥2+∥h(un)∥2), y
τ∥vn∥2≤ ∥(gn− h(un))∥2 ≤ ∥gn∥2+∥h(un)∥2.
Como gn→ 0 en L2, existe k2 tal que∥gn∥2 ≤ k2, entonces
∥wn∥1,2≤ κk2+ κ∥h(un)∥2, y τ∥vn∥2≤ k2+∥h(un)∥2 (3.14)
Lema 8. Si h satisface (3.2) y {un} es la sucesión de soluciones dada en (3.9), entonces
las sucesiones{wn} y {vn} están acotadas en H1 y en L2(Ω), respectivamente.
Demostración. De (3.3), ∥h(un)∥22 = ∫ Ω (h(un))2 ≤ ∫ Ω ( M1+ |un| β+1 β + 1 )2 ≤ 2 ∫ Ω M12+ 2 (β + 1)2 ∫ Ω |un|2(β+1) ≤ 4π2M2 1 + 2 (β + 1)2 (∫ Ω |un|2 )β+1 · (∫ Ω 1−1/β )−β ≤ 4π2M2 1 + 2 (β + 1)2(2π 2)−β∥u n∥2(β+1)2 ≤ 4π2M2 1 + 2−β+1π−2β (β + 1)2 ∥un∥ 2(β+1) 2 es decir, ∥h(un)∥2 ≤ 2πM1+ 2(1−β)/2π−β β + 1 ∥un∥ (β+1) 2 . (3.15)
Reemplazando (3.15) en (3.14) y teniendo en cuenta que un= vn+ wn+ cφ, obtenemos
∥wn∥1,2 ≤ κ ( k3+ k4∥vn+ wn+ cφ∥β+12 ) ≤ κ(k3+ k4(∥vn∥2+∥wn∥2+|c|∥φ∥2)β+1 ) (3.16) τ∥vn∥2 ≤ k3+ k4(∥vn∥2+∥wn∥2+|c|∥φ∥2)β+1 (3.17)
