Relación de ejercicios para la preparación del examen: Módelos de Selectividad.
Geometría.
DIRECTRICES Y ORIENTACIONES GENERALES PARA LAS PRUEBAS DE ACCESO Y ADMISIÓN A LA UNIVERSIDAD:
Realiza operaciones elementales con vectores en el espacio, manejando correctamente los conceptos de base y de dependencia e independencia lineal.
Conoce que tres vectores en un espacio de dimensión tres son linealmente dependientes si y sólo si el determinante es cero.
Expresa la ecuación de la recta de sus distintas formas (paramétrica, continua e implícita), pasando de una a otra correctamente, identificando en cada caso sus elementos característicos, y resolviendo los problemas afines entre rectas.
Obtiene la ecuación del plano en sus distintas formas (paramétrica, general o implícita), pasando de una a otra correctamente.
Determina un punto, una recta o un plano a partir de propiedades que los definan (por ejemplo: el punto simétrico de otro con respecto a un tercero, la recta que pasa por dos puntos o el plano que contiene a tres puntos o a un punto y una recta, etc.).
Plantea, interpreta y resuelve problemas de incidencia, paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos. Analiza la posición relativa de planos y rectas en el espacio, aplicando métodos matriciales y algebraicos. Maneja el producto escalar y vectorial de dos vectores, significado geométrico, expresión analítica y propiedades. Conoce el producto mixto de tres vectores, su significado geométrico, su expresión analítica y propiedades.
Determina ángulos, distancias, áreas y volúmenes utilizando los productos escalar, vectorial y mixto, aplicándolos en cada caso a la resolución de problemas geométricos: distancias entre puntos y rectas y planos, simetrías axiales, ángulos entre rectas y planos, vectores normales a un plano, perpendicular común a dos rectas, vector perpendicular a otros dos, áreas de triángulos y paralelogramos y volúmenes de tetraedros y paralelepípedos.
JUNIO, 2018:
EJERCICIO 1: Considera los puntos
1, 0, −1 , 2, 1, 1 y la recta dada por− 5 = = −2+ 2
a)
Determina el punto simétrico de respecto de .b)
Calcula el punto de que equidista de y .EJERCICIO 2: Considera el punto
2, −1, 3 y el plano de ecuación 3 + 2 + = 5.a)
Calcula el punto simétrico de a .b)
Calcula la distancia de a .SEPTIEMBRE, 2018:
EJERCICIO 3: Considera las rectas:
≡ + 12 = 1 = + 13 , ≡ 2 − 3 = −5− 2 = −1
a)
Estudia y determina la posición relativa de y .b)
Clacula la distancia entre y .EJERCICIO 4: Considera las rectas:
≡ − 12 = + 1= , ≡ +− = −3= −2
a)
Halla los valores de y para los que y se cortan perpendicularmente.b)
Para = 3 y = 1, calcula la ecuación general del palno que contiene a y a .RESERVAS, 2018:
EJERCICIO 5: Considera el plano de ecuación
+ 2 + = 6.a)
Determina la recta perpendicular a que pasa por el origen de coordenadas.b)
Halla el punto simétrico del origen de coordenadas con respecto a .c)
Calcula el volumen del tetraedro determinado por el origen de coordenadas y los puntos de corte de con los ejes de coordenadas.EJERCICIO 6: Considera las rectas y dadas por:
≡ − 2 = − 2 = , ≡ = 4 += 4 +
=
a)
Determina para que y sean paralelas.b)
Halla, si existe, un valor de para el que ambas rectas sean la misma.c)
Para = 1, calcula la ecuación del plano que contiene a y a .EJERCICIO 7: Considera las rectas y dadas por:
≡ + = + 4+ 2 = 7 , ≡ − 2 = 0+ 3 = 0
a)
Estudia y determina la posición relativa de y .b)
Determina la recta perpendicular común a y a s.EJERCICIO 8: Considera los puntos
2, −1, −2 y −1, −1, 2 , y la recta dada por− 1 = −1 =− 1 − 12
a)
Determina los puntos del segmento que lo dividen en 3 segmentos de la misma longitud.b)
Determina un punto ! de de forma que el triángulo ! sea rectángulo en !.EJERCICIO 9: Se sabe que los puntos
−1, 2, 6 y 1, 4, −2 son simétricos respecto de un plano .a)
Calcula la distancia de a .b)
Determina la ecuación general del plano .EJERCICIO 10: Considera las rectas y dadas por
≡ = 2= 1
= 0 y ≡ " + = 2= 2
a)
Determina la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a y a .b)
Calcula la distancia entre las rectas dadas.EJERCICIO 11: Sea la recta que pasa por los puntos
3, 6, 7 y 7, 8, 3 y sea la recta dada por − 4 − = −103 − 4 + = −2
a)
Determina la posición relativa de y .EJERCICIO 12:
a)
Determina la ecuación del plano que pasa por el punto 0, 1, 0 y es penpendicular a la recta dada por+ 1 = + 22 = − 1
b)
Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano de ecuación 2 + 3 + 4 = 12 con los ejes coordenados.JUNIO, 2017:
EJERCICIO 13: Considera el punto
1, −1, 0 y la recta dada por= 1 + 3 = −2
=
a)
Determina la ecuación del plano que pasa por y contiene a .b)
Halla las coordenadas del punto simétrico de con respecto a .EJERCICIO 14: Considera los vectores
$%⃗ = 1, 0, 1 , '⃗ = 0, 2, 1 y (%%⃗ = , 1, .a)
Halla y sabiendo que $%⃗, '⃗ y (%%⃗ son linealmente dependientes y que (%%⃗ es ortogonal a $%⃗.b)
Para = 1, halla los valores de para que el tetraedro determinado por $%⃗, '⃗ y (%%⃗ tenga volumen 10 unidades cúbicas.SEPTIEMBRE, 2017:
EJERCICIO 15: Los puntos
1, 1, 1 , 2, 2, 2 y ! 1, 3, 3 son vértices consecutivos del paralelogramos !).a)
Calcula el área del paralelogramo.b)
Halla la ecuación general del plano que contiene a dicho paralelogramo.c)
Calcula las coordenadas del vértice !.EJERCICIO 16: Considera el punto
0, 1, 1 y la recta dada `por " − 2 = −5 = 2a)
Determina la ecuación del plano que pasa por y contiene a .b)
Halla las coordenadas del punto simétrico de respecto de .RESERVAS, 2017:
EJERCICIO 17: Considera los vectores
$%⃗ = 2, 3, 4 , '⃗ = −1, −1, −1 y (%%⃗ = −1, *, −5 siendo * un número real.a)
Halla los valores de * para los que el paralelepípedo determinado por $%⃗, '⃗ y (%%⃗ tiene volumen 6 unidadescúbicas.
b)
Determina el valor de * para el que $%⃗, '⃗ y (%%⃗ son linealmente dependientes.EJERCICIO 18: Sea la recta que pasa por
4, 3, 6 y −2, 0, 0 y sea la recta dada por = 2 + *= * = 1 − 2*a)
Determina la posición relativa de y .EJERCICIO 19: Considera las rectas dadas por
≡ " − + 1 = 0− + 1 = 0 y ≡
= 1 − = = 2
a)
Determina la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a y a .b)
Halla la distancia entre las rectas y .EJERCICIO 20: Considera los puntos
1, 3, −1 y 3, −1, −1 .a)
Determina la ecuación del plano respecto del cual es el simétrico de .b)
Siendo ! 5, 1, 5 , calcula el área del triángulo de vértices , y !.EJERCICIO 21: Considera los puntos
−1, 2, −1 y 1, 0, 1.a)
Determina la ecuación del plano respecto del cual los puntos y son simétricos.b)
Calcula la distancia de −1, 0, 1 a la recta que pasa por los puntos y .EJERCICIO 22: Considera los puntos
1, 1, 1 , 0, −2, 2 , ! −1, 0, 2 y ) 2, −1, −2.a)
Calcula el volumen del tetraedro de vértices , , ! y ).b)
Determina la ecuación de la recta que pasa por ) y es perpendicular al plano determinado por los puntos , y !.EJERCICIO 23: Sea el plano determinado por los puntos
1, 0, 0 , 0, 1, 0 y ! 0, 0, * , siendo * un número real ysea la recta dada por ≡ − = 3 − + 2 = 3
a)
Halla la ecuación del plano que pasa por y contiene a .b)
Estudia la posición relativa de y según los valores de *.EJERCICIO 24: Considera el punto
−1, 0, 1 , el vector $%⃗ = 1, 2, 1 y el plano de ecuación = 0.a)
Halla la ecuación de la recta que pasa por , está contenida en y cuyo vector director es perpendicular a $%⃗.b)
Determina la ecuación del plano que pasa por , es perpendicular a y del que $%⃗ es un vector director.JUNIO, 2016:
EJERCICIO 25: Considera el punto
1, 0, 5 y la recta dada por " + 2 = 0 = 1a)
Determina la ecuación del plano que pasa por y es perpendicular a .b)
Calcula la distancia de a la recta y el punto simétrico de respecto a .EJERCICIO 26: Considera las rectas y dadas por
≡ = 1 + 2*= 1 − *
= 1 y ≡ " + 2 = −1= −1
a)
Comprueba que ambas rectas son complanrias y halla la ecuación del plano que las contiene.SEPTIEMBRE, 2016:
EJERCICIO 27: Considera el punto
1, −1, 1 y la recta dada por = 1 + 2*= 1 − * = 1a)
Calcula las coordenadas del punto simétrico de respecto a .b)
Determina la ecuación del plano que contiene a y pasa por .EJERCICIO 28: Calcula la distancia entre las rectas dadas por las siguientes ecuaciones:
= = y
= 1 + , = 3 + , = −,
