TEORÍA DE FUNCIONES DE
VARIABLE COMPLEJA
JOSÉ MIGUEL MARÍN ANTUÑA
TEORÍA DE FUNCIONES DE
VARIABLE COMPLEJA
TEXTO PARA EL PLAN DE MAESTRÍA Y DOCTORADO EN
FÍSICA
Primera edición, Editorial Universitaria, 2014.
Calle 23 No. 565 e/ F y G, Vedado, La Habana, Cuba. E-mail: [email protected]
Teléfono: (+537) 837 4538
e ISBN versión electrónica 978-959-16-2278-5
© Todos los derechos reservados José Miguel Marín Antuña, Profesor Emérito. Facultad de Física de La Universidad de La Habana. Cuba. E-mail:
´
Indice
Introducci´on 9
1 Funciones de variable compleja. Funciones anal´ıticas 11
1.1 N´umeros complejos . . . 11
1.1.1 Un poco de historia . . . 12
1.1.2 Definiciones . . . 13
1.1.3 Operaciones con n´umeros complejos . . . 14
1.1.4 Interpretaci´on geom´etrica de los n´umeros complejos . . . 16
1.1.5 Potencia y ra´ız de un n´umero complejo . . . 20
1.1.6 Esfera de los n´umeros complejos . . . 23
1.2 Sucesiones de n´umeros complejos . . . 25
1.2.1 Definiciones . . . 26
1.2.2 Criterio de Cauchy . . . 28
1.3 Funciones de variable compleja. L´ımite y continuidad . . . 30
1.3.1 Conceptos fundamentales . . . 30
1.3.2 Continuidad . . . 33
1.3.3 Ejemplos . . . 35
1.4 Derivaci´on con respecto al argumento complejo. Funciones anal´ıticas . . . 39
1.4.1 Derivadas y diferenciales . . . 39
1.4.2 Condiciones de diferenciabilidad de una funci´on . . . 40
1.4.3 Ejemplos . . . 43
1.4.4 Funciones anal´ıticas . . . 45
1.4.5 Funciones conjugadas arm´onicas . . . 46
1.5 Ejercicios del Cap´ıtulo . . . 47
2 Integraci´on de funciones de variable compleja 51 2.1 Concepto de integral de funciones de variable compleja . . . 51
2.2 Teorema de Cauchy . . . 54
2.2.1 Formulaci´on inicial . . . 54
2.2.2 Teorema de Goursat . . . 55
2.2.3 Corolario del Teorema de Cauchy . . . 60
2.2.4 Generalizaci´on del Teorema de Cauchy . . . 60
2.3 Integral Indefinida. F´ormula de Newton-Leibnitz . . . 63
2.4 Integrales que dependen anal´ıticamente de un par´ametro . . . 68
2.5 F´ormula Integral de Cauchy . . . 70
2.5.1 Obtenci´on de la f´ormula . . . 70
2.5.2 Consecuencias de la F´ormula Integral de Cauchy . . . 74
2.6 Ejercicios del Cap´ıtulo . . . 83
3 Series de funciones anal´ıticas 85 3.1 Conceptos fundamentales . . . 85
3.1.1 Series num´ericas . . . 85
3.1.2 Series funcionales . . . 87
3.2 Propiedades de las series convergentes uniformemente . . . 90
3.3 Series de potencias . . . 97
3.3.1 Propiedades de las series de potencias . . . 97
´INDICE 5
3.4 Series de Laurent . . . 111
3.4.1 Propiedades de las series de Laurent . . . 111
3.4.2 Desarrollo de una funci´on anal´ıtica en serie de Laurent . . . 114
3.5 Puntos singulares de las funciones anal´ıticas . . . 124
3.5.1 Clasificaci´on de los puntos singulares . . . 124
3.5.2 Conducta de las funciones anal´ıticas en el entorno de sus puntos singulares aislados . . . 130
3.5.3 Clasificaci´on de las singularidades en el entorno del infinito . . . 136
3.6 Ejercicios del Cap´ıtulo . . . 140
4 Prolongaci´on anal´ıtica. Funciones elementales de variable compleja 143 4.1 Prolongaci´on anal´ıtica . . . 143
4.1.1 Teorema de unicidad de las funciones anal´ıticas . . . 143
4.1.2 Prolongaci´on anal´ıtica. Concepto de superficie de Riemann . . . 147
4.1.3 Prolongaci´on anal´ıtica a trav´es de la frontera . . . 151
4.1.4 Prolongaci´on anal´ıtica por medio de series de potencias . . . 154
4.1.5 Concepto de funci´on anal´ıtica completa . . . 159
4.2 Funciones elementales de variable compleja . . . 160
4.2.1 Funci´on exponencial. Funciones trigonom´etricas . . . 161
4.2.2 Funci´on logaritmo . . . 168
4.2.3 Funciones trigonom´etricas inversas . . . 176
4.2.4 Funci´on potencial . . . 178
4.3 Ejercicios del Cap´ıtulo . . . 184
5 Teor´ıa de residuos y sus aplicaciones 187 5.1 Residuo. Teorema fundamental de residuos . . . 187
5.1.1 Definici´on. F´ormulas para el c´alculo de residuos . . . 187
5.2 Aplicaci´on de la teor´ıa de residuos al c´alculo de integrales definidas de variable
real . . . 197
5.2.1 Integrales del tipo R02πf(sinx,cosx)dx . . . 198
5.2.2 Integrales del tipo I =R−∞∞ f(x)dx . . . 200
5.2.3 Integrales del tipo I =R−∞∞ f(x) cosαx dx ´oI =R−∞∞ f(x) sinαx dx . . . . 203
5.2.4 Otros tipos de integrales . . . 212
5.2.5 Integrales de funciones multivaluadas . . . 230
5.2.6 Integrales del tipo R∞ 0 f(x) lnxdx . . . 236
5.3 Residuo logar´ıtmico y sus aplicaciones. Principio del argumento . . . 242
5.3.1 Concepto de residuo logar´ıtmico . . . 242
5.3.2 Principio del argumento . . . 246
5.4 Ejercicios del Cap´ıtulo . . . 254
6 Representaciones conformes 259 6.1 Conceptos fundamentales . . . 260
6.1.1 Transformaciones que conservan las propiedades arm´onicas . . . 260
6.1.2 Significado geom´etrico del m´odulo y del argumento de la derivada de una funci´on anal´ıtica . . . 263
6.1.3 Representaci´on conforme . . . 266
6.1.4 Principio de correspondencia de fronteras . . . 267
6.1.5 Teorema de Riemann . . . 269
6.2 Funci´on bilineal . . . 273
6.2.1 Funci´on lineal . . . 273
6.2.2 Funci´on de inversi´on . . . 274
6.2.3 Funci´on bilineal . . . 275
6.2.4 Problemas . . . 281
6.3 Funciones elementales . . . 289
´INDICE 7
6.3.2 Funci´on exponencial . . . 291
6.3.3 Funci´on seno . . . 294
6.3.4 Ejemplos de aplicaci´on de las funciones elementales . . . 297
6.4 Funci´on de Joukovsky. Perfiles de Joukovsky . . . 300
6.5 Integral de Schwarz-Christoffel . . . 306
6.5.1 Ejemplos . . . 319
6.6 Aplicaci´on de las representaciones conformes a la resoluci´on de problemas de frontera . . . 334
6.6.1 Construcci´on de la funci´on de Green mediante representaciones conformes 334 6.6.2 Resoluci´on de problemas de frontera para la ecuaci´on de Laplace mediante representaciones conformes . . . 338
6.6.3 M´etodo del potencial complejo . . . 343
6.7 Ejercicios del Cap´ıtulo . . . 366
7 C´alculo Operacional 373 7.1 La transformada de Laplace y sus propiedades . . . 375
7.1.1 Definiciones fundamentales . . . 375
7.1.2 Transformada de las funciones elementales . . . 379
7.1.3 Propiedades de la transformada de Laplace . . . 381
7.1.4 Tabla de transformadas de Laplace . . . 390
7.2 Determinaci´on del original a partir de la transformada . . . 391
7.2.1 F´ormula de Mellin . . . 392
7.2.2 Ejemplos . . . 402
7.2.3 Caso de funci´on regular en el infinito . . . 407
7.3 Aplicaci´on de la transformada de Laplace a la soluci´on de ecuaciones diferenciales410 7.3.1 Ecuaciones diferenciales ordinarias . . . 410
7.3.2 Ecuaciones en derivadas parciales . . . 417
7.4.1 Transformada de Fourier . . . 425
7.4.2 Transformada de Mellin . . . 427
7.4.3 Transformada de Hankel . . . 428
7.4.4 Transformaci´on de una integral de contorno . . . 431
7.4.5 Prolongaci´on anal´ıtica de la transformada de Fourier . . . 433
7.5 Ejercicios del Cap´ıtulo . . . 436
8 Respuestas e indicaciones a los ejercicios 439 8.1 Cap´ıtulo 2 . . . 439
8.2 Cap´ıtulo 3 . . . 439
8.3 Cap´ıtulo 4 . . . 440
8.4 Cap´ıtulo 5 . . . 441
8.5 Cap´ıtulo 6 . . . 442
8.6 Cap´ıtulo 7 . . . 442
8.7 Cap´ıtulo 8 . . . 444
9 Ap´endice 1. Principio de simetr´ıa 449 10 Ap´endice 2. Redondeamiento de ´angulos 459 10.1 Redondeamiento de ´angulos menores que π . . . 459
10.2 Redondamiento de ´angulos mayores que π . . . 461
11 Ap´endice 3. La transformada de Fourier 467
Introducci´
on
En la presente obra se desarrollan los conceptos fundamentales y los m´etodos de trabajo de la teor´ıa de funciones de una variable compleja. En la literatura actual, generalmente se en-cuentran cursos muy amplios de esta teor´ıa dedicados fundamentalmente a aquellos lectores que han escogido por especialidad las Matem´aticas, a la vez que que se hallan otros cursos que solamente desarrollan los elementos de esa teor´ıa. Adem´as, no existe hasta el momento un libro en espa˜nol que, a nuestro juicio, satisfaga las exigencias de un desarrollo sistem´atico y completo de las funciones de variable compleja a pesar de que cada vez son m´as populares en la F´ısica y en la t´ecnica los m´etodos que exigen una aplicaci´on seria de la teor´ıa de las funciones anal´ıticas.
Hacer hincapi´e en dicha aplicaci´on dentro del contenido de un curso matem´atico especializado es dif´ıcil y el que al respecto se hace en los cursos elementales es insuficiente.
El fin que se propone el presente libro es precisamente eliminar esta insuficiencia desarrollando con la rigurosidad necesaria los m´etodos fundamentales de la teor´ıa de funciones de una variable compleja para aquellas personas que la necesitan en aras de su aplicaci´on a problemas f´ısicos y t´ecnicos. Su contenido est´a basado en el curso que el autor ha desarrollado durante 45 a˜nos en la asignatura de M´etodos Matem´aticos de la F´ısica para el tercer a˜no de la carrera de F´ısica de la Universidad de La Habana. Dos ediciones anteriores de este libro han sido utilizadas tambi´en como texto de los estudiantes de la carrera de F´ısica Nuclear del Instituto de Ciencias y Tecnolog´ıas Aplicadas. Como libro de consulta ha sido empleado en carreras tecnol´ogicas y pedag´ogicas de Cuba, as´ı como en la carrera de Matem´aticas de la Universidad de La Habana. Algunas universidades latinoamericanas han contado con ejemplares de esas ediciones como texto de consulta tambi´en.
Sin embargo, en su revisi´on el autor ha encontrado deficiencias en el emplanaje de los ejemplares editados y tambi´en erratas que hacen deseable una nueva edici´on del libro. Es por eso que nos dimos a la tarea de hacer un an´alisis detallado de las ediciones anteriores y de elaborar una nueva versi´on del texto, si bien hemos querido mantener el estilo y el esp´ıritu inicial de la obra, pues ha sido de agrado de muchas generaciones de estudiantes que lo han utilizado para su formaci´on en el apasionante, elegante, bello y ´util tema de la teor´ıa y las aplicaciones de las funciones de una variable compleja.
No obstante lo dicho, la necesidad y el deseo de una exposici´on m´as amplia y sistem´atica de los contenidos ha conducido a la realizaci´on de un an´alisis m´as detallado de algunas cuestiones, por encima de lo que comunmente puede hacerse en el marco de un programa de conferencias. Es por ello que aparecen algunos temas que normalmente no entran en el contenido de dicho programa, pero que son de gran utilidad al f´ısico y al ingeniero.
El desarrollo del material es bastante cercano al tradicional. Sin embargo, no se hace un an´alisis especial de las funciones elementales de variable compleja al inicio del libro, como comunmente se lleva a cabo en otras obras, sino que ´estas se introducen como una prolongaci´on anal´ıtica directa de las funciones elementales de variable real; los teoremas sobre la prolongaci´on anal´ıtica permiten, de forma uniforme, trasladar al campo complejo las propiedades conocidas de las funciones de variable real.
La exposici´on de la teor´ıa de residuos va encaminada a permitir la aplicaci´on directa por parte del lector de este poderoso aparato de trabajo como un arma de uso cotidiano en los problemas de integraci´on que se planteen; por ello est´a adornado de m´ultiples ejemplos. Igualmente, el concepto y las implicaciones del residuo logar´ıtmico han sido desarrollados ampliamente, m´as de lo que habitualmente suelen hacer otros autores, ya que este sencillo concepto permite profundizar m´as en la esencia y el comportamiento de las funciones anal´ıticas y permite, de paso, despejar algunas viejas inc´ognitas de car´acter algebraico.
En el desarrollo de la materia tambi´en hemos hecho ´enfasis en la aplicaci´on de la teor´ıa de las representaciones conformes a la soluci´on de problemas de la F´ısica Matem´atica, por ser uno de los aparatos m´as poderosos que pueden usarse en las investigaciones en esa disciplina. Dos ap´endices del libro se dedican a ese t´opico.
Tambi´en se hace ´enfasis en la aplicaci´on de la transformada de Laplace a la soluci´on de pro-blemas con ecuaciones diferenciales, tanto ordinarias, como en derivadas parciales, por ser ellas un aparato de amplia utilizaci´on por los lectores a quienes va dirigido este libro.
Adem´as, hemos introducido a trav´es de ejemplos y ejercicios propuestos los conceptos de algunas de las funciones especiales m´as importantes de la F´ısica Matem´atica con las que el lector puede encontrarse en el transcurso de su actividad profesional. Sin embargo, el libro no pretende un estudio sistem´atico de las funciones especiales que son tratadas con mayor amplitud y sistematicidad en el libro de M´etodos Matem´aticos de la F´ısica del autor.
Este libro, como su nombre lo indica, est´a dedicado principalmente a la teor´ıa de funciones de una variable compleja; sin embargo, no se concibe un libro de teor´ıa matem´atica que no contenga ejemplos esclarecedores y que no proponga al lector ejercicios que le permitan comprobar sus conocimientos. Por eso, sin ser un libro amplio en ejercicios, al final de cada cap´ıtulo se proponen varios de ellos sobre la materia desarrollada. Al final del Cap´ıtulo 7 se ofrecen las respuestas a los ejercicios propuestos y las indicaciones para la soluci´on de algunos de ellos. Se recomienda al lector la soluci´on de los ejercicios propuestos, a fin de comprobar los conocimientos te´oricos adquiridos, as´ı como para adquirir la destreza necesaria en el manejo de dicha teor´ıa.
Las opinones de los lectores sobre esta nueva versi´on del libro ser´an recibidas con agrado y agradecimiento por el autor.
Cap´ıtulo 1
Funciones de variable compleja.
Funciones anal´ıticas
1.1
N´
umeros complejos
El concepto de n´umero complejo apareci´o, en primer lugar, como resultado de la necesidad de sistematizar los c´alculos. Los matem´aticos se vieron necesitados de utilizarlos desde ´epocas relativamente tempranas. Inclusive las m´as sencillas operaciones algebraicas con n´umeros reales se salen del marco del campo de los n´umeros reales. Es conocido que no toda ecuaci´on algebraica puede ser resuelta con n´umeros reales; por consiguiente, es necesario renunciar a la aplicaci´on autom´atica de los m´etodos de soluci´on establecidos y en cada caso investigar minuciosamente las posibilidades de aplicaci´on de dichos m´etodos o ampliar el campo de los n´umeros reales, de manera que las operaciones algebraicas fundamentales sean siempre aplicables. Tal ampliaci´on es, precisamente, el concepto de n´umero complejo.
La propiedad fundamental de los n´umeros complejos es que las operaciones matem´aticas con ellos realizadas no se salen de los l´ımites de su definici´on.
El concepto de n´umero complejo es familiar al lector inclusive de los cursos de ´algebra elemental. En dichos cursos generalmente se llega al concepto de n´umero complejo al analizar la ecuaci´on
x2+ 1 = 0 (1.1)
Lo primero que se observa es que no existen n´umeros reales que satisfagan dicha ecuaci´on. Por eso se introduce un nuevo n´umero ”imaginario”i=√−1, con ayuda del cual la citada ecuaci´on resulta soluble y cuyas ra´ıces son +i y −i.1
1La primera referencia a los n´umeros ”imaginarios” como las ra´ıces cuadradas de n´umeros reales negativos
se remonta al siglo XVI (Cardano, 1545). Hasta la mitad del siglo XVIII los n´umeros complejos aparecen en algunos trabajos aislados de diferentes matem´aticos (Newton, Bernoulli, Clairaut). En la segunda mitad del siglo XVIII se introduce el s´ımboloiy comienza un desarrollo sistem´atico de la teor´ıa de los n´umeros complejos en los trabajos de eminentes matem´aticos y f´ısicos como Leonard Euler, August Cauchy, Karl Weierstrass,
Inmediatamente pueden introducirse los n´umeros complejos como la suma de los n´umeros reales
x y los n´umeros imaginarios iy. Una vez introducidos estos n´umeros, resultan solubles todas las ecuaciones de segundo grado
x2+px+q= 0 (1.2)
y en general todas las ecuaciones del tipo
xn+p1xn−1+p2xn−2+· · ·+pn = 0 (1.3)
con coeficientes arbitrarios.
Como podemos considerar que el lector est´a familiarizado, desde los cursos de ´algebra ele-mental, con el concepto de n´umero complejo, resumiremos en forma axiom´atica los momentos fundamentales de la definici´on de n´umero complejo y las operaciones aritm´eticas que con ellos se realizan. Exigiremos solo que los axiomas y las operaciones que introduzcamos contengan, como caso particular, los conceptos y operaciones con los n´umeros reales.
1.1.1
Un poco de historia
La aritm´etica de los n´umeros reales responde a una serie de reglas entre las cuales se encuentra el hecho de que el producto de dos n´umeros positivos y el producto de dos n´umeros negativos tiene que ser positivo. Por ejemplo, 5×3 = 15 y tambi´en (−5)×(−3) = 15. Si uno se propone la tarea de hallar la ra´ız cuadrada de un n´umero negativo como−15 encuentra que debe ocurrir que, si llamamos r = √−15, entonces r×r = −15 lo que contradice la regla anterior de los n´umeros reales. Por lo tanto, r no puede ser un n´umero real. Aunque por mucho tiempo los matem´aticos rechazaron la posibilidad de introducir entes nuevos m´as all´a de los n´umeros reales, lleg´o un momento en el que la idea tuvo que admitirse para poder seguir ampliando el campo de aplicaciones de la Matem´atica. Fue en el siglo 16 donde por primera vez se hizo dicha introducci´on. El m´edico, fil´osofo y astr´ologo Gerolamo Cardano introdujo en su libro ”Ars Magna” (”arte superior” o ”´algebra”) el siguiente problema: Hallar los n´umeros en que se divide el n´umero 10 de manera que multiplicadas entre s´ı se obtenga el n´umero 40.
Cardano expresa que el problema no tiene soluci´on, ya que no existen dos n´umeros reales a
y b que a la vez cumplan que a+b = 10 y que ab = 40. Planteado en t´erminos modernos del Algebra esto significar´ıa que a(10 − a) = 40, o sea, a2 −10a− 40 = 0. Sin embargo,
profundizando en el asunto, el propio Cardano propuso como posible soluci´on
5 +√−15, 5−√−15
pues, efectivamente:
Funciones de Variable Compleja 13
(5 +√−15)×(5−√−15) = 25−5√−15 + 5√−15−(√−15)2 = 25−(−15) = 25 + 15 = 40
Al ”n´umero” √−15 que el propio Cardano rechazaba por ser ”inquietante” y a veces ”in´util” ten´ıa la rara virtud de permitir la soluci´on del problema planteado. Como posteriormente la manipulaci´on de tales ra´ıces ”sofisticadas” permiti´o resolver todas las ecuaciones de segundo y de tercer grado, se comenz´o a aceptar, no sin reservas, tales ”n´umeros” que de otra forma hubieran sido desechados como tantas otras cuestiones que no se han sabido apreciar. Otros matem´aticos, como Bombelli, hicieron aportes a la soluci´on de ecuaciones de tercer grado con el uso de tales n´umeros y solamente ya comenzado el siglo 17 Ren´e Descartes acu˜n´o el t´ermino de ”imaginarios” para los n´umeros que eran definidos como ra´ıces de n´umeros negativos. Leibnitz quiso decirles ”n´umeros anfibios”, pero felizmente prevaleci´o el nombre de imaginarios, si bien eran mirados con reserva, como ciertos objetos de segunda clase. Solamente en la segunda mitad del propio siglo 17 ese gigante del pensamiento matem´atico llamado Leonard Euler introdujo el s´ımboloipara lo que llam´o ”unidad imaginaria”i=√−1 y consigui´o la incorporaci´on total de los n´umeros imaginarios y los que despu´es se denominaron ”complejos” que fueron escritos en su forma algebraica comoa+ib, donde ay bson n´umeros reales, al universo de la Matem´atica. Es a la pluma del propio Euler a la que se debe la llamada ”identidad de Euler” eiπ+ 1 = 0
considerada como la m´as bella f´ormula mamtem´atica y con la que Euler logr´o establecer su famosa identidadeiθ = cosθ+isinθ y la introducci´on de los logaritmos de n´umeros negativos, ya que, seg´un su propio razonamiento, si eiπ = −1, ln(−1) = iπ. Por ´ultimo, en el siglo 19,
casi 300 a˜nos despu´es de los trabajos de Cardano, un matem´atico irland´es, William Hamilton, introdujo otra notaci´on para los n´umeros complejos: el n´umero complejo a+ib fue identificado por Hamilton como un par de n´umeros reales (a, b) cuyas reglas de composici´on son las que a continuaci´on expondremos de manera axiom´atica en este cap´ıtulo.
1.1.2
Definiciones
Llamaremos n´umero complejo z al par ordenado de n´umeros reales
z = (x, y) (1.4)
e identificaremos al n´umero complejo z = (x,0) con el n´umero real x.
En esta definici´on debemos insistir en que es fundamental el orden en que se colocan los n´umeros que conforman el par, ya que no es igual el n´umero complejo (x, y) al n´umero complejo (y, x).
El primer n´umero del par recibe el nombre de parte real del n´umero complejo z, lo que se indica escribiendo x=Re z; el segundo n´umero del par y se denomina parte imaginaria del n´umero complejo z y se representa por el s´ımbolo y=Im z.
Los n´umeros reales se entienden como un subconjunto de los n´umeros complejos aqu´ı definidos:
n´umero imaginarios puros. Este nombre tiene su origen en los primeros tiempos de estudio de los n´umeros complejos.
Diremos que dos n´umeros complejos z1 = (x1, y1) y z2 = (x2, y2) son iguales si y solo si son
iguales sus partes reales y sus partes imaginarias, es decir, z1 =z2 si y solo six1 =x2,y1 =y2.
Como consecuencia, podemos decir que z = 0 si y solo si x= 0, y = 0.
Llamaremoscomplejo conjugadoo simplementeconjugadodel n´umeroz = (x, y) al n´umero complejo (x,−y) y lo representaremos por el s´ımboloz∗ o ¯z.
1.1.3
Operaciones con n´
umeros complejos
Definiremos las operaciones algebraicas con n´umeros complejos.
1. Llamaremos suma de dos n´umeros complejos z1 = (x1, y1) y z2 = (x2, y2) al n´umero
complejo z = (x, y) tal que x = x1+x2, y = y1 +y2. Esta operaci´on ser´a representada
simb´olicamente por z =z1+z2.
Es f´acil comprobar que para la operaci´on as´ı definida se cumplen la propiedad conmuta-tiva: z1+z2 =z2+z1 y la propiedad asociativa: z1+ (z2+z3) = (z1+z2) +z3. Adem´as,
es evidente que, considerados los n´umeros reales como un subconjunto de los n´umeros complejos, la operaci´on suma definida por nosotros coincide con la operaci´on conocida de suma de dos n´umeros reales. Esto nos indica que la operaci´on de suma de dos n´umeros complejos est´a construida correctamente.
2. Llamaremos diferenciade dos n´umeros complejosz1 = (x1, y1) y z2 = (x2, y2) al n´umero
complejo z = (x, y) tal que z+z2 =z1, lo que se representar´a con el s´ımbolo z =z1−z2.
De esta definici´on es f´acil concluir que x=x1−x2, y=y1−y2.
3. Llamaremos producto de dos n´umeros complejos z1 = (x1, y1) yz2 = (x2, y2) al n´umero
complejo z = (x, y) determinado por las relaciones
x=x1x2−y1y2, y =x1y2+x2y1 (1.5)
La operaci´on se simboliza porz =z1·z2. Se puede comprobar sin dificultad que tiene lugar
la propiedad conmutativa: z1·z2 =z2·z1, la propiedad asociativa: z1·(z2·z3) = (z1·z2)·z3
y la propiedad distributiva: z1·(z2+z3) = z1·z2+z1·z3.
Adem´as, considerando a los n´umeros reales como un caso particular de los n´umeros com-plejos, vemos que se obtiene la regla conocida para la multiplicaci´on de dos n´umeros reales, de donde concluimos que la operaci´on de multiplicaci´on de dos n´umeros complejos est´a bien construida.
Analicemos ahora un producto que juega un papel muy importante en la teor´ıa de los n´umeros complejos. Este producto es z·z∗. Seg´un la definici´on de producto se obtiene:
Funciones de Variable Compleja 15
Es decir se obtiene un n´umero real. Llamaremosm´odulodel n´umero complejoz a la ra´ız cuadrada de dicho producto y lo representaremos por:
|z|=px2+y2 (1.7)
4. Llamaremos divisi´on de dos n´umeros complejos a la operaci´on inversa a la de multipli-caci´on. Llamaremos cociente de los n´umeros complejos z1 = (x1, y1) y z2 = (x2, y2) (si
z2 6= 0) al n´umero complejoz = (x, y) que multiplicado por el divisor nos da el dividendo:
z ·z2 = z1, lo que se expresar´a con el s´ımbolo z = z1z2. De lo anterior se concluye que
la parte real x y la parte imaginaria y se determinan del sistema lineal de ecuaciones algebraicas
xx2−yy2 =x1 (1.8)
xy2+yx2 =y1
con determinante x22+y22 diferente de cero. Resolviendo este sistema se obtiene :
x= x1x2+y1y2
x2 2+y22
; y= x2y1−x1y2
x2 2+y22
(1.9)
Una vez axiomatizadas las operaciones con n´umeros complejos, podemos buscar una forma m´as c´omoda de escribirlos: la llamada forma algebraica o forma bin´omica de un n´umero complejo.
En virtud de la operaci´on suma, el n´umero complejo z = (x, y) se puede escribir como
z = (x,0) + (0, y)
y en virtud de la operaci´on de multiplicaci´on podemos escribirlo como
z = (x,0) + (0, y) =x·(1,0) +y·(0,1)
El n´umero (1,0) es la unidad real: (1,0) = 1 y el n´umero (0,1) recibe el nombre de unidad imaginariay se representa por i= (0,1).
Por consiguiente, concluimos que el n´umero complejoz = (x, y) puede representarse de la forma
z =x+iy (1.10)
que permite darle un significado algebraico directo.
i·i=i2 = (0,1)·(0,1) = (−1,0) =−1
De aqu´ı, la unidad imaginaria puede introducirse como
i=√−1
aunque esta expresi´on no tenga sentido en el campo de los n´umeros reales.
1.1.4
Interpretaci´
on geom´
etrica de los n´
umeros complejos
Para el estudio de las propiedades de los n´umeros complejos es muy c´omoda su interpretaci´on geom´etrica. Puesto que un n´umero complejo se define como un par ordenado de n´umeros reales, es l´ogico pensar que podemos representar geom´etricamente al n´umero complejo z = (x, y) =
x+iy a trav´es del punto (x, y) en el plano R2 con un sistema de coordenadas cartesianas e
identificar al n´umero z = 0 con el origen de coordenadas.
En lo adelante este plano recibir´a el nombre de plano complejo y se le dar´a al eje de las absisas el nombre de eje real y al eje de las ordenadas el nombre de eje imaginario.
Es evidente que de esta forma se establece una correspondencia entre cada n´umero complejo
z = x+iy y cada punto (x, y) del plano. Adem´as, cada punto (x, y) del plano complejo (es decir, cada n´umero complejo z = x+iy) determina de manera ´unica las coordenadas de un vector con base en el origen de coordenadas y v´ertice en el punto (x, y) del plano, cuya longitud es, por definici´on de m´odulo de un vector
r=px2+y2 ≡ |z|
es decir, el m´odulo del n´umero complejo z.
As´ı pues, podemos afirmar que existe una relaci´on biun´ıvoca entre el conjunto de los n´umeros complejos, tal y como han sido definidos aqu´ı y el conjunto de todos los vectores del plano com-plejo con base en el inicio de coordenadas. Aqu´ı estamos considerando solamente los n´umeros con ambas partes -real e imaginaria- finitas y los vectores del plano de m´odulo finito. M´as ade-lante veremos c´omo extender esta correspondencia a lo que posteriormente definiremos como el punto infinitamente alejado del plano complejo correspondiente al n´umero complejo que llamaremos ”infinito”.
Introduzcamos ahora una nueva forma de representar a los n´umeros complejos: la llamada
Funciones de Variable Compleja 17
Figura 1.1: Plano Complejo
x=rcosϕ
y=rsinϕ (1.11)
de donde, autom´aticamente, se obtiene la llamadaforma trigonom´etricade escribir el n´umero complejo:
z =r(cosϕ+isinϕ) (1.12)
Del an´alisis anterior se infiere que el radio polarr es el m´odulo del n´umero complejoz: r=|z|. El ´angulo polar recibe el nombre de argumento del n´umero complejo z, lo que se representa con la notaci´onϕ =Arg z.
r=|z|=px2+y2 ≥0 (1.13)
su argumento queda determinado con exactitud de un m´ultiplo de 2π:
ϕ=Arg z = arctany
x+ 2πn
para los cuadrantes I y IV
ϕ=Arg z= arctan y
x+ 2(n+ 1)π (1.14)
para los cuadrantes II y III.
donde arctan es el valor principal o rama principal univaluada de Arctan, es decir, mayor que
−π/2 y menor o igual aπ/2;n es un n´umero entero arbitrario.
En lo adelante, a la par que el s´ımbolo Arg z, que representa todo el conjunto de valores del argumento, con el n´umero enteronarbitrario, utilizaremos el s´ımbolo argz, que representa uno cualquiera de los valores de Arg z cuando a n se da un valor entero concreto. En el caso que sea necesario se se˜nalar´a cu´al es el valor espec´ıfico que se toma. A cada uno de los valores del argumento, correspondiente a un valor fijo entero de n le llamaremos rama del argumento de
z y, en particular, a la rama correspondiente a n= 0 rama principaldel argumento de z. De esta manera, tenemos que el argumento de un n´umero complejo es igual al valor de la rama principal del argumento, que puede tomarse seg´un la conveniencia de los futuros c´alculos entre 0 y 2π, entre −π y π, etc. m´as un n´umero entero de 2π, equivalente a un n´umero entero de vueltas alrededor del punto z = 0 origen de coordenadas. Es decir, si representamos a la rama principal del argumento por arg0z, tendremos:
Arg z = arg0z+ 2nπ
donde n toma valores enteros. Esta notaci´on ser´a de utilidad m´as adelante en el an´alisis de las funciones de variable compleja.
Es obvio que, como dos n´umeros complejos son iguales s´ı y solo s´ı son iguales sus partes reales y sus partes imaginarias, dos n´umeros complejos ser´an iguales s´ı y solo s´ı son iguales sus m´odulos y sus argumentos.
Bas´andonos en la interpretaci´on geom´etrica introducida al inicio de este punto, es f´acil estable-cer la posici´on en el plano complejo de los n´umerosz =z1+z2 yz =z1−z2; esto evidentemente
se lleva a cabo utilizando las reglas conocidas para la suma y resta de vectores en un plano (Fig. 1.2)
De lo planteado anteriormente es f´acil establecer las desigualdades del tri´angulo:
Funciones de Variable Compleja 19
Figura 1.2: Suma y resta de n´umeros complejos
De la definici´on (1.5) se deduce que para multiplicar dos n´umeros complejos sus m´odulos se multiplican y sus argumentos se suman. Efectivamente, si representamos al n´umero complejo
zk por
zk =xk+iyk ≡rk(cosϕk+isinϕk)
con k= 1,2, tenemos:
z = z1·z2 =r1r2{[cosϕ1cosϕ2−sinϕ1sinϕ2] +i[cosϕ1sinϕ2+ sinϕ1cosϕ2]}=
= r1r2{cos(ϕ1+ϕ2) +isin(ϕ1+ϕ2)} (1.16)
Es decir, que, efectivamente,|z|=|z1| · |z2|yArg z =Arg z1+Arg z2. Si analizamos la divisi´on
z=z1/z2, de manera similar se concluye que |z|=
|z1|
|z2| y Arg z =Arg z1−Arg z2, es decir, que
Es conveniente introducir aqu´ı lo que com´unmente se conoce con el nombre de forma expo-nencial de un n´umero complejo. Dados el m´odulo |z| = r y el argumento Arg z = ϕ del n´umero complejo z=x+iy, su forma exponencial es
z =reiϕ ≡ |z|eiArg z ≡ |z|eiargoz+2nπ (1.17)
donde n es un n´umero entero arbitrario.
Entonces (1.16) podr´a escribirse de la siguiente forma
z1·z2 =r1r2ei(ϕ1+ϕ2)
Solo posteriormente, al estudiar las funciones elementales de variable compleja, esta forma ser´a debidamente justificada con rigor, pero debido a la comodidad de su uso, la hemos introducido ahora.
1.1.5
Potencia y ra´ız de un n´
umero complejo
Analicemos ahora las operaciones de potenciaci´on y radicaci´on de los n´umeros complejos. Usare-mos indistintamente la forma trigonom´etrica o la forma exponencial de los n´umeros complejos estudiadas en el punto anterior.
Por definici´on, por potencia en´esima de un n´umero complejo z se entiende la multiplicaci´on reiterada de dicho n´umero por s´ı mismo n veces. Nos circunscribiremos a este concepto de potencia, aunque m´as adelante estudiaremos una generalizaci´on de la operaci´on de potenciaci´on, cuando un n´umero complejo se eleve a cualquier n´umero real o complejo.
Por el momento para el caso particular de una potencia entera podemos afirmar que
zn={r(cosϕ+isinϕ)}n=rn(cosnϕ+isinnϕ) (1.18)
Como consecuencia de esta operaci´on, deducimos la llamada f´ormula de Moivre:
(cosϕ+isinϕ)n = (cosnϕ+isinnϕ) (1.19)
Es evidente que (1.18) puede escribirse de manera equivalente como
zn =rneinϕ
Por definici´on, el n´umero w = √nz = z1/n se llama ra´ız en´esima del n´umero z si se cumple
Funciones de Variable Compleja 21
wn=Rneinψ =reiϕ (1.20)
Como dos n´umeros complejos son iguales s´ı y solo s´ı son iguales sus m´odulos y sus argumentos, de (1.20) concluimos que r =Rn y nψ =ϕ+ 2kπ, con k entero. Por lo tanto, para el m´odulo y el argumento de la ra´ız en´esima obtenemos las expresiones
R = √nr; ψ = ϕ+ 2kπ
n (1.21)
De esta forma, para la ra´ız en´esima de un n´umero complejo obtenemos la expresi´on
w = pn
(z) = √n
reiϕ+2nkπ (1.22)
En nuestra deducci´on, hasta el momento, no existe ninguna limitaci´on al n´umero k que puede tomar cualquier valor entero desde−∞hasta +∞. Sin embargo, no es dif´ıcil ver que k tomar´a solamente los valoresk = 0,1,2, ..., n−1, por lo que solo habr´a n valores diferentes de la ra´ız en´esima de z. Efectivamente:
Parak = 0 obtenemos:
w1 = n
√
reiϕn
Parak = 1 obtenemos:
w2 = n
√
reiϕ+2nπ
...
Parak =n−1 obtenemos:
wn = n
√
reiϕ+(nn−1)2π
Todos estos n´umeros son distintos, pues sus argumentos lo son; por lo tanto, existen n ra´ıces distintas. Pero, parak =n obtenemos:
wn+1 = n
√
rei(ϕn+2π) =w
1
es decir, comienzan a repetirse los valores. Igualmente, si hacemos k = −1 obtenemos wn; si
hacemosk =−2 obtenemos wn−1; etc. As´ı pues, quedan limitados efectivamente los valores de
Si analizamos dos ra´ıces sucesivas wl y wl+1 observamos que sus m´odulos son iguales y que sus
argumentos se diferencian en el valor constante 2nπ, por lo que los valores de √nz son los v´ertices de un pol´ıgono regular de n lados y n v´ertices inscrito en una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio √nr.
Ejemplos
1. Hallar todos los valores de √3−
i
Como −i= 1·ei32π, parak = 0 obtenemos
w1 =ei
π
2 =i
Para k = 1 obtenemos
w2 =ei 7π
6 =−
√
3 2 −
i
2
Para k = 2 obtenemos
w3 =ei 11π
6 =
√
3 2 −
i
2
El gr´afico de los valores hallados puede verse en la figura 1.3
Se ve que los tres valores hallados son los v´ertices de un tri´angulo equil´atero inscrito en la circunferencia de radio 1 centrada en z = 0.
2. Hallar los valores de √3
1.
Como 1 = 1·ei·0, para k = 0 obtenemos:
w1 = 1
Para k = 1 obtenemos:
w2 =ei 2π
3 =−1
2 +i
√
3 2
Para k = 2 obtenemos:
w3 =ei 4π
3 =−1
2−i
√
Funciones de Variable Compleja 23
Figura 1.3: Ra´ıces c´ubicas de −i
1.1.6
Esfera de los n´
umeros complejos
Adem´as de la representaci´on de los n´umeros complejos como puntos de un plano, en muchos problemas es ´util otro tipo de representaci´on geom´etrica. Construyamos una esferaS (Fig. 1.4) que toque al plano complejo en el punto z = 0 con su polo sur O. El polo norte P de dicha esfera lo uniremos, mediante rectas, con todos los puntos del plano complejo. Al hacer esto es evidente que a cada puntoz del plano le corresponde un ´unico punto bien definido Z de la esfera, que es aqu´el donde la esfera es cortada por la rectaP z. De forma similar, a cada punto
Z de la esfera (excepto al polo norte P) le corresponde un punto bien determinadoz del plano, que es aquel punto donde el plano es cortado por la recta P Z. La correspondencia descrita entre puntos del plano y puntos de la esfera recibe el nombre de proyecci´on estereogr´afica. La esfera as´ı construida se conoce con el nombre de esfera de Riemann. Riemann fue quien introdujo por primera vez el concepto de esfera de los n´umeros complejos con el fin de definir geom´etricamente, de la forma m´as precisa posible, el punto infinitamente alejado.
Figura 1.4: Esfera de Riemann. Proyecci´on estereogr´afica
estereogr´aficas sobre el plano y realizaremos all´ı todas las operaciones algebraicas definidas en los puntos anteriores de este ep´ıgrafe, para posteriormente regresar a la esfera.
Al punto P -polo norte de la esfera- no le corresponde ning´un punto del plano, por lo que la correspondencia entre los puntos del plano y de la esfera no es biun´ıvoca. A fin de cerrar esta correspondencia y hacerla biun´ıvoca, introduzcamos un nuevo ”n´umero” complejo en el plano:
∞ (se lee ”infinito”) que se pone en correspondencia al punto P polo norte de la esfera de Riemann. As´ı, el n´umeroz =∞, desde el punto de vista geom´etrico, cumple la misma funci´on que los n´umerosz = 2 + 5i,z =−3 o z =i, pues se˜nala la posici´on de su correspondiente punto
P de la esfera. Sin embargo, este n´umero no puede participar en las operaciones aritm´eticas que conocemos, ya que estas est´an definidas solo para los n´umeros complejos (puntos de la esfera) que corresponden a puntos del plano.
Excepto el punto P, que llamaremos infinitamente alejado, todos los dem´as puntos de la esfera ser´an llamados puntos finitos. Si en el futuro queremos incluir en nuestras considera-ciones al punto P, (al n´umero z =∞) haremos nuestro an´alisis en la esfera de Riemann S que tambi´en se conoce como esfera de los n´umeros complejos. Pero si excluimos el punto P
Funciones de Variable Compleja 25
Para denominar al conjunto de todos los n´umeros complejos (puntos) finitos usaremos el t´ermino
plano finito o plano abiertoy para denominar al conjunto de todos los n´umeros, incluyendo
z=∞, usaremos el t´ermino plano completo o plano cerrado. El t´ermino plano abierto es equivalente al t´ermino plano complejo definido en el punto 3 de este ep´ıgrafe donde no hab´ıa sido definido el punto infinitamente alejado, en tanto que el t´ermino plano cerrado equivale al nuevo t´ermino de esfera de los n´umeros complejos.
La proyecci´on estereogr´afica transforma los lugares geom´etricos de los puntos del plano en sus correspondientes lugares geom´etricos en la esfera. As´ı, por ejemplo, a una circunferencia arbitrariacen el plano, le corresponde una circunferencia C sobre la esfera, que no pasa por el poloP y a una recta arbitrarial del plano le corresponde una circunferencia Lque pasa por el poloP sobre la esfera (Fig. 1.5).
As´ı pues, vemos que las im´agenes de rectas y circunferencias del plano no se diferencian geom´etricamente sobre la esfera; ambas son circunferencias. Es por eso que resulta l´ogico considerar que en el plano complejo completo las rectas son casos particulares de circunferen-cias que pasan por el punto infinitamente alejado, ya que sus im´agenes sobre la esfera son circunferencias que pasan por el punto P, imagen de z = ∞. De esta manera, dos rectas cualesquiera en el plano no paralelas se cortar´an en dos puntos, uno de los cuales es z =∞.
Las circunferencias dividen a la esfera en dos partes, a las que llamaremos c´ırculos. En particular son c´ırculos todos los semiplanos; por ejemplo, el semiplano superior Im z >0 es el hemisferio posterior de la esfera. Si la circunferenciaC no pasa por el puntoP (es decir, es una circunferencia verdadera en el plano) uno de los dos c´ırculos por ella determinados contiene al punto P; a dicho c´ırculo le llamaremosc´ırculo exteriora la circunferencia C.
Una de las consecuencias fundamentales de la proyecci´on estereogr´afica es que el punto infinita-mente alejado es ´unico, ya que, independientemente de la recta por la que nos movamos hacia el infinito en el plano (entendiendo por ello que nos movamos alej´andonos cada vez m´as del origen de coordenadasz = 0), en la imagen sobre la esfera nos moveremos acerc´andonos cada vez m´as al puntoP polo norte de la esfera e imagen en ella dez =∞. Por eso los n´umerosz =±∞+iy,
z =x±i∞ oz =±∞ ±i∞ tienen un mismo significado geom´etrico y son equivalentes entre s´ı. Es por eso que el punto infinitamente alejado es representado simplemente por la expresi´on
z = ∞, entendiendo con ello el punto del plano que corresponde al polo P de la esfera de Riemann, al que nos acercamos cualquiera que sea el camino que escojamos para alejarnos del punto z = 0, origen de coordenadas.
1.2
Sucesiones de n´
umeros complejos
Figura 1.5: Esfera de Riemann. Proyecci´on de rectas y circunferencias
1.2.1
Definiciones
Si a cada n´umero natural n le corresponde un n´umero complejo zn, entonces en el conjunto
de los n´umeros complejos se dice que est´a dada una sucesi´on de n´umeros complejos zn,
que se representa por el s´ımbolo {zn}; cada n´umero que la integra se llama elementode dicha
sucesi´on.
Esta definici´on no elimina la posibilidad de que se repitan los elementos de una sucesi´on; en particular todos los elementos de una sucesi´on pueden coincidir.
El n´umero complejo c = a+ib se llama l´ımite de la sucesi´on {zn} de n´umeros complejos
zn = xn +iyn para n → ∞ si para cada ε > 0 existe un n´umero N(ε) > 0 tal que n > N
implica que
|c−zn|< ε (1.23)
Funciones de Variable Compleja 27
representa con la notaci´on
lim
n→∞zn =c
Llamaremosentorno ε de un puntoz0 en el plano complejo al conjunto de puntosz del plano
que satisfagan la condici´on
|z−z0|< ε
es decir, que todos se encuentren contenidos en el interior de un c´ırculo abierto con centro en
z0 y radio ε. Entonces podemos afirmar que el punto ces el l´ımite de la sucesi´on convergente
{zn} si todos los elementos de dicha sucesi´on, a partir de cierto n´umero dependiente de ε se
encuentran contenidos en el interior del entornoε del punto c.
Como cada n´umerozn=xn+iyn est´a definido por dos n´umeros realesxn yyn, a cada sucesi´on
de n´umeros complejos le corresponden dos sucesiones {xn} y {yn} de n´umeros reales.
Teorema 1
Para que la sucesi´on {zn} de n´umeros complejos converja al n´umero complejo c = a+ib es
necesario y suficiente que las sucesiones{xn}y {yn}converjan, respectivamente, a los n´umeros
a=Re c y b=Im c.
Demostraci´on:
1. Necesidad
Sabemos que {zn} →c; hay que demostrar que {xn} →a y que {yn} →b.
Puesto que la sucesi´on {zn} converge a c y como el m´odulo de un vector es no menor
siempre que sus coordenadas, podemos escribir que
|a−xn| ≤ |c−zn|< ε; |b−yn| ≤ |c−zn|< ε, ∀n > N
lo que autom´aticamente establece la convergencia de las sucesiones {xn} y {yn}.
2. Suficiencia
Sabemos que {xn} →a y que {yn} →b. Es decir, que
|a−xn|<
ε
√
2; |b−yn|<
ε
√
2, ∀n > N Entonces, como
|c−zn|=
p
(a−xn)2+ (b−yn)2
Demostrado el teorema.
Diremos que una sucesi´on {zn} es acotada si existe un n´umero positivo tal que se cumple la
relaci´on |zn|< M para todon.
Al igual que en la teor´ıa de las sucesiones de n´umeros reales, tiene lugar la siguiente propiedad;
Teorema 2
De toda sucesi´on acotada puede separarse una subsucesi´on convergente.
Demostraci´on:
Si la sucesi´on{zn}={xn+iyn}es acotada, resulta evidente que tambi´en lo son las sucesiones
{xn} y {yn} formadas por las partes reales e imaginarias de los elementos zn de la sucesi´on
{zn} .
Para las sucesiones acotadas de n´umeros reales se cumple la propiedad de poder escogerse de ellas subsucesiones convergentes, lo que se demuestra com´unmente en los cursos de An´alisis Matem´atico. Esto significa que de las sucesiones{xn}y{yn}podemos escoger las subsucesiones
convergentes{xnk},{ynk}. Llamemosayba los l´ımites de estas subsucesiones respectivamente. Entonces resulta evidente, en virtud del teorema 1, que la sucesi´on de n´umeros complejos
{znk}={xnk+iynk}
subsucesi´on de la sucesi´on acotada {zn}, es convergente y que su l´ımite es el n´umero complejo
c=a+ib.
Demostrado el teorema.
1.2.2
Criterio de Cauchy
Hasta el momento hemos establecido el concepto de convergencia de una sucesi´on a trav´es de la definici´on expresada por la f´ormula (1.23). Esta definici´on nos dice claramente que el concepto de convergencia de una sucesi´on est´a estrechamente relacionado con la existencia del l´ımite de dicha sucesi´on, pero no constituye un criterio pr´actico para analizar si la sucesi´on dada es convergente o no, ya que para hacer ese an´alisis con ayuda de la expresi´on (1.23) har´ıa falta conocer a priori el n´umero cl´ımite de la sucesi´on. Esto no siempre es factible, ya que la mayor´ıa de las veces el problema que se plantea es hallar el valor del l´ımite, es decir, el n´umero
c no es conocido, por lo que la f´ormula (1.23) no es aplicable como criterio para determinar la convergencia o no de la sucesi´on. Por ello, es deseable encontrar otra f´ormula, es decir, otro criterio, que nos permita determinar si una sucesi´on es convergente o no y que no involucre al propio l´ımite, para -en caso positivo- dedicarnos a encontrar el valor del n´umeroc, l´ımite de la sucesi´on. Tal criterio es el llamadoCriterio de Cauchy:
Funciones de Variable Compleja 29
Para que la sucesi´on {zn} de n´umeros complejos sea convergente es necesario y suficiente que
para todaε >0 exista un n´umero N(ε)>0 tal que n > N y m > N impliquen
|zn−zm|< ε (1.24)
Demostraci´on:
1. Necesidad
Tenemos que la sucesi´on {zn} converge y se quiere demostrar que, entonces, tiene lugar
la f´ormula (1.24).
En virtud del teorema 1, convergen las sucesiones de n´umeros reales{xn}y{yn}y sabemos
de los cursos de An´alisis Matem´atico que para las sucesiones convergentes de n´umeros reales se cumple el Criterio de Cauchy, es decir, que para cualquier ε > 0 existen dos n´umeros N1(ε) y N2(ε) tales quen > N1,m > N1 implican que
|xn−xm|<
ε
√
2
y n > N2, m > N2 implican que
|yn−ym|<
ε
√
2
Entonces tendremos que
|zn−zm|=
p
(xn−xm)2+ (yn−ym)2 < ε
siempre que
n > N(ε), m > N(ε)
donde
N(ε) = max{N1(ε), N2(ε)}
2. Suficiencia
Conocemos que la relaci´on (1.24) se cumple y debemos demostrar que ello implica la convergencia de la suceci´on {zn}. Es f´acil ver de (1.24) que para n > N(ε) y m > N(ε)
se cumple que
|xn−xm| ≤ |zn−zm|< ε; |yn−ym| ≤ |zn−zm|< ε
Esto significa que se cumple el criterio de Cauchy para las sucesiones {xn} y {yn} de
n´umeros reales, lo que significa que esas sucesiones son convergentes. Por el teorema 1, esto implica que la sucesi´on de n´umeros complejos {zn}={{xn+iyn} es convergente.
1.3
Funciones de variable compleja. L´ımite y
continui-dad
1.3.1
Conceptos fundamentales
El concepto de funci´on de una variable compleja ser´a introducido de forma similar a la definici´on com´un de funci´on de una variable real.
Veamos, previamente, algunos conceptos que son necesarios para introducir el concepto de funci´on.
Sea {E} un conjunto arbitrario de puntos del plano complejo. Diremos que z es un punto interior del conjunto {E} si se puede encontrar un entorno ε de z totalmente contenido en
{E}.
Por ejemplo, todo punto z que cumpla que |z| < 1 es un punto interior del conjunto |z| ≤ 1, en tanto que el punto z = 1 no es interior de dicho conjunto, ya que todo entornoε del mismo hay puntos que no pertenecen al conjunto. Un conjunto formado solo por puntos interiores se llama conjunto abierto. Un conjunto se llama conexosi dos puntos cualesquiera del mismo pueden ser unidos por una l´ınea formada enteramente por puntos del conjunto.
Por ejemplo, (ver figura 1.6) el conjunto |z| <1 es un conjunto abierto y conexo. Igualmente, el conjunto 2 < |z| < 3 es un conjunto abierto y conexo. Sin embargo, la uni´on de ambos no es un conjunto conexo, ya que los puntos de |z| < 1 no pueden ser unidos a los puntos de 2<|z|<3 por una l´ınea de puntos formada totalmente por puntos del conjunto.
El punto z se llama punto exterior del conjunto {E}, si existe un entorno ε del mismo de puntos no pertenecientes a {E}.
El conjunto de puntos que no pertenecen a {E}pero que en todo entornoεde cada uno de ellos hay puntos de{E}se llamafrontera de{E}. Representaremos la frontera de un conjunto con distintas letras, por ejemplo Γ, C u otras.
Por ejemplo, la frontera del conjunto |z| < 1 es la circunferencia |z| = 1. La frontera del conjunto 2 <|z| < 3 est´a compuesta por las circunferencias |z| = 2 y |z| = 3. El n´umero de partes no conexas de la frontera de un conjunto se llama orden de conexi´on del conjunto. As´ı por ejemplo, el conjunto |z| < 1 es un conjunto simplemente conexo pues su frontera est´a formada por una sola l´ınea, en tanto que el conjunto 2<|z|<3 es un conjuntobiconexo
pues su frontera est´a formada por dos l´ıneas no conexas.
Llamaremos dominio D en el plano complejo al conjunto {E} de puntos de dicho plano que sea abierto y conexo. El nombre de dominio para los conjuntos abiertos y conexos est´a dado por el hecho de que en ellos ser´an definidas las funciones de una variable compleja. En la figura 1.7 se muestra un ejemplo de dominio multiconexo(en particular, cinco veces conexo) cuya frontera Γ est´a formada por los contornos cerrados Γ0, Γ1 y Γ2, por los cortes γ1 y γ2 y por el
Funciones de Variable Compleja 31
Figura 1.6: Conjuntos conexos y no conexos
El conjunto de puntos formado por el dominio D y todos los puntos de su frontera Γ ser´a llamado dominio cerrado y se representar´a por ¯D=D+ Γ, o tambi´en ¯D=DS
Γ ya que el signo ”+” lo utilizaremos en el texto en el sentido de uni´on de conjuntos.
En la figura 1.8 (a) tenemos el ejemplo de un dominio biconexo y en la figura 1.8 (b) el de un dominio simplemente conexo.
Diremos que la frontera de un dominio es recorridaen sentido positivo cuando es recorrida de manera que el dominio que ella contiene siempre quede a la izquierda del recorrido; en el caso contrario diremos que es recorrida en sentido negativo.2
Diremos que en el dominioDest´a dada una funci´on de la variable complejaz si a cada punto de
Dse pone en correspondencia mediante una ley dada un n´umero complejo w. Simb´olicamente representaremos lo dicho por
2El escoger un sentido positivo y el otro negativo es totalmente arbitrario y se hace as´ı por razones hist´oricas;
Figura 1.7: Dominio multiconexo
w=f(z) (1.25)
El conjunto de valores w recibe el nombre de valores funcionales, rango o codominio de la funci´on f. Como quiera que el valor funcional w = u+iv es un n´umero complejo, definir una funci´on de la variable compleja z =x+iy equivale a definir dos funciones reales u(x, y) y
v(x, y) de las variables reales x y y, de forma que la funci´on de variable compleja (1.25) puede ser escrita de la forma
w =u(x, y) +iv(x, y) (1.26)
A menudo se hace necesario analizar funciones multivaluadas, que son aquellas en las que a cada valor de z corresponden m´as de un valor de w. Para el estudio de esas funciones tiene importancia capital el an´alisis de lo que se llama sus ramas univaluadas. La funci´on univaluada f(z) se llama rama univaluada de la funci´on multivaluada F(z) si el valor de
Funciones de Variable Compleja 33
Figura 1.8: Dominio biconexo y dominio simplemente conexo
trabajaremos solamente con funciones univaluadas y dejaremos para cuando estudiemos el concepto deprolongaci´on anal´ıtica el an´alisis detallado de las funciones multivaluadas.
1.3.2
Continuidad
Para seguir el mismo orden l´ogico que se establece en el estudio de las funciones de una variable real, estudiemos la definici´on de l´ımite de una funci´on de una variable compleja:
El n´umero complejocse llamal´ımitede la funci´onf(z) cuandoz tiende az0 (a veces tambi´en
se dice ”para z tiende a z0”), si para cualquier ε > 0 existe un n´umero δ(ε) > 0 tal que
0< |z−z0| < δ implica que |c−f(z)| < ε. El hecho de que c es el l´ımite de la funci´on f(z)
cuandoz tiende a z0 se representa mediante el s´ımbolo
lim
Debemos destacar que en la definici´on de l´ımite dada no se exige que z tienda a z0 por una
trayectoria determinada ya que para la existencia del l´ımite se pide que cuando la distancia modular (o sea, simplemente la distancia) entre z y z0 sea menor que δ, independientemente
del argumento de los n´umeros z y z0, la distancia entre los n´umeros complejos c y f(z) sea
menor que ε. Lo dicho significa que el l´ımite cuando z tiende a z0 existe solamente cuando
el valor de f(z) se acerca al n´umero c independientemente de la trayectoria por la que
z se acerque a z0. Si por distintas trayectorias se obtienen valores l´ımites diferentes de f(z),
entonces el l´ımite de f(z) en el punto z0 simplemente no existe. Este hecho nos conducir´a a
resultados importantes pr´oximamente.
Veamos una afirmaci´on casi evidente:
Teorema 4
Para que el n´umeroc=a+ib sea el l´ımite de la funci´onf(z) cuandoz tiende az0 es necesario
y suficiente que existan los siguientes l´ımites:
lim
x→x0;y→y0u(x, y) =a, x→x0lim;y→y0v(x, y) =b
Demostraci´on:
1. Necesidad
Como se cumple que |c−f(z)|< ε para |z−z0|< δ, tendremos que
|a−u(x, y)| ≤ |c−f(z)|< ε, |b−v(x, y)| ≤ |c−f(z)|< ε
siempre que |x−x0| ≤ |z−z0|< δ;|y−y0| ≤ |z−z0|< δ, lo que demuestra la necesidad
de la afirmaci´on.
2. Suficiencia
Como se cumple que
|a−u(x, y)|< √ε
2; |b−v(x, y)|<
ε
√
2
siempre que
|x−x0|<
δ
√
2; |y−y0|<
δ
√
2
se obtiene que
|c−f(z)|=p(a−u)2+ (b−v)2 < ε
Funciones de Variable Compleja 35
|z−z0|=
p
(x−x0)2+ (y−y0)2 < δ
lo que demuestra la suficiencia.
Demostrado el teorema.
Definici´on
Se dice que la funci´on f(z) es continua en el punto z0 del dominio D, si el valor funcional
de f(z0) existe, el l´ımite de dicha funci´on cuando z tiende a z0 existe y es igual a la funci´on
evaluada en dicho punto, es decir, si
lim
z→z0f(z) = f(z0) (1.28)
Si la funci´on f(z) es continua en cada punto del dominio D, se dice que es continua en el dominio.
Es evidente que la condici´on necesaria y suficiente para que una funci´on de variable compleja
f(z) =u(x, y) +iv(x, y)
sea continua en el punto z0 = x0 +iy0 es que sean continuas su parte real u(x, y) y su parte
imaginaria v(x, y) en el punto (x0, y0) del plano (x, y). La demostraci´on de esta afirmaci´on se
basa en el teorema anterior y se deja al lector como ejercicio.
Lo arriba dicho nos permite trasladar a las funciones de variable compleja las propiedades fun-damentales que gozan las funciones de dos variables reales; por ejemplo, la suma y el producto de dos funciones f1(z) y f2(z) continuas en el dominio D son continuas en dicho dominio; la
funci´on φ(z) = f2f1((zz)) es continua en todos los puntos del dominio D donde f2(z) no se anule,
etc.
1.3.3
Ejemplos
1. Analicemos la funci´on
w=kz (1.29)
donde k es una constante real positiva.
Si llamamos r = |z|, R = |w|, ϕ = argz y θ = argw, la funci´on (1.29) se escribir´a en forma de dos igualdades3:
3Aqu´ı en realidad deber´ıa escribirseθ=ϕ+ 2nπ. Sin embargo, esto no es indispensable, pues en el caso que
R =kr; θ =ϕ (1.30)
Las ecuaciones (1.30) nos permiten aclarar el sentido geom´etrico de la funci´on (1.29). En efecto, la segunda igualdad (1.30) nos dice que la funci´on (1.29) no realiza ninguna rotaci´on del rayo Oz trazado desde el origen de coordenadas hasta un punto arbitrario
z del plano al transformar el plano z en el plano w. La primera igualdad (1.30) indica que los m´odulos de los n´umeros z crecen si k > 1 (o decrecen si k < 1) k veces al pasar del plano z al plano w. De esta forma, la funci´on (1.29) realiza un estiramiento (o un encogimiento, si k <1) del plano z en todas direcciones con coeficiente de estiramiento k
(Fig. 1.9).
Figura 1.9: Representaci´on de la funci´onw=kz
En lo adelante usaremos en nuestro lenguaje la siguiente terminolog´ıa: diremos que la funci´onw=f(z) realiza larepresentaci´ondel planozen el planowo lo que es lo mismo,
Funciones de Variable Compleja 37
2. Veamos la funci´on
w=z2 (1.31)
En virtud de la f´ormula (1.18) para la potencia de un n´umero complejo, tenemos que
R =r2; θ= 2ϕ (1.32)
Por consiguiente, ante la representaci´on (1.31) todos los puntos que se encuentren en el rayo argz =ϕ0 se transforman en los puntos que se encuentran en el rayo argw= 2ϕ0 y
todos los puntos que se encuentran sobre la circunferencia |z|=r0 se transforman en los
puntos que est´an sobre la circunferencia|w|=r2 0.
Figura 1.10: Representaci´on de la funci´onw=z2
As´ı, por ejemplo, el dominio encerrado en el ´angulo de la figura 1.10, es decir, el sector 0≤argz ≤π/3 se transforma mediante la funci´on (1.31) en el sector 0≤argw≤2π/3 de forma tal que, por ejemplo, los puntos que se encuentren sobre el sector de circunferencia
|z|= 2 se transformar´an en los puntos que se encuentran sobre el sector de circunferencia
3. Veamos la funci´on de variable compleja w =f(z), definida en el c´ırculo cerrado |z| ≤ 1 por las igualdades4
f(z) = 1
1− |z|, ∀|z|<1
f(z) = ∞, ∀|z|= 1 (1.33)
Esta funci´on transforma el c´ırculo cerrado |z| ≤ 1 en el segmento cerrado {1 ≤ u ≤ ∞, v = 0} del plano complejow.
4. Veamos la funci´on de variable compleja
w=|z|z (1.34)
Para ella tendremos que
R=r2; θ =ϕ (1.35)
La representaci´on (1.34) nos recuerda a la representaci´on (1.31), pero no coincide con ella, pues, por ejemplo, el sector de la figura 1.10 se transforma en el mismo sector con la diferencia de que los puntos de la circunferencia |z| = r0 se transforman en los de la
circunferencia |w| = r2
0. M´as adelante podremos percatarnos de la gran diferencia que
existe entre los ejemplos 1 y 2 y los ejemplos 3 y 4. En cuanto a la continuidad de las funciones, es f´acil comprobar que las funciones de los ejemplos 1, 2 y 4 son continuas en el plano z. La funci´on del ejemplo 3 es continua en los c´ırculos abiertos|z|<1 y|z|>1.
5. Analicemos la funci´on de variable compleja
w=f(z) = 1 2i
z z∗ −
z∗ z
(1.36)
Teniendo en cuenta que z = r(cosϕ+isinϕ) y que z∗ = r(cosϕ−isinϕ) y utilizando relaciones trigonom´etricas conocidas, no es dif´ıcil concluir que
w= sin 2ϕ (1.37)
En (1.37) se observa claramente que en un entorno arbitrario del punto z0 = 0 la funci´on
toma todos los valores posibles del intervalo [−1,1]. Por consiguiente, para ning´unw0 =c
la desigualdad |w0 −w| < ε puede cumplirse a la vez para todas las z de un entorno
arbitrariamente peque˜no del punto z0 = 0 con solo suponer que ε < 1. Esto significa,
simplemente, que esta funci´on no tiene l´ımite cuando z tiende a cero. Sin embargo, si z
tiende a cero a lo largo de cualquier trayectoria z =z(t) (que pase por el puntoz = 0) el l´ımite de la funci´on f(z) = f[z(t)] existe; sin embargo, semejantes l´ımites, tomados a lo largo de trayectorias distintas, difieren entre s´ı.
4La segunda igualdad en (1.33) tiene que ser escrita expl´ıcitamente, ya que la divisi´on por cero no ha sido
Funciones de Variable Compleja 39
1.4
Derivaci´
on con respecto al argumento complejo.
Funciones anal´ıticas
Hasta este instante la teor´ıa de las funciones de una variable compleja ha venido construy´endose de forma completamente an´aloga a la teor´ıa de las funciones de una variable real. Sin embargo, el concepto de funci´on diferenciable o derivable, que introduciremos en la variable compleja de forma an´aloga a como se introduce en las funciones de una variable real, nos conducir´a a diferencias sustanciales entre ambas teor´ıas en lo que a las propiedades y al comportamiento de las funciones de variable compleja se refiere.
1.4.1
Derivadas y diferenciales
Definici´on 1
Sea D el dominio de definici´on de la funci´on de variable compleja f(z) y sea z0 un punto de
dicho dominio. Si existe el l´ımite
lim
∆z→0
f(z0+ ∆z)−f(z0)
∆z (1.38)
entonces la funci´on f(z) se dice que es derivable en el punto z0 con respecto a la variable
complejaz.
Para representar esta derivada se usa el s´ımbolof0(z0).
Del hecho de que existe el l´ımite (1.38) se desprende que la raz´on incremental puede ser escrita de la siguiente forma
∆f
∆z =
f(z0+ ∆z)−f(z0)
∆z =f
0
(z0) +α(z0,∆z)
dondeα es una funci´on infinitesimal con respecto a ∆z; es decir, α →0, cuando ∆z →0. De aqu´ı, el incremento de la funci´on puede expresarse en la forma
∆f =f0(z0)∆z+α(z0,∆z)∆z (1.39)
Definici´on 2
La parte principal, lineal con respecto a ∆z del incremento (1.39) se llama diferencial de la funci´onf(z) en el punto z0 y se representa por
pues ∆z ≡ dz ya que si en (1.40) hacemos f(z) = z, obtenemos df = dz = 1·∆z. El hecho de que la funci´on tenga diferencial tal y como lo hemos definido aqu´ı se expresa diciendo que
f(z) esdiferenciable. Al igual que en la teor´ıa de funciones de una variable real, toda funci´on de una variable compleja derivable es diferenciable. Es decir, aqu´ı tambi´en los conceptos de funci´on derivable (que existe el l´ımite (1.38)) y de funci´on diferenciable (que existe la expresi´on (1.40)) son equivalentes: toda funci´on derivable en un punto es diferenciable en dicho punto y viceversa.
De esta manera se justifica aqu´ı el uso de la notaci´on para la derivada de una funci´on como la raz´on de los diferenciales de la funci´on y de la variable independiente z, al igual que en el caso de las funciones de una variable real:
f0(z0) =
df dz
Hagamos ´enfasis en el hecho de que, en virtud de la definici´on de l´ımite, si existe el l´ımite (1.38), ´este no depende de la trayectoria por la que ∆z tienda a cero, es decir por la que el punto z0+ ∆z se acerque a z0. Veremos de inmediato que este hecho conduce a determinadas
condiciones que deber´an cumplirse para la existencia de la derivada de una funci´on de variable compleja respecto a su argumento complejo.
1.4.2
Condiciones de diferenciabilidad de una funci´
on
Teorema 5
Si la funci´on
f(z) =u(x, y) +iv(x, y)
es diferenciable (derivable) en el punto z0 =x0+iy0, entonces en el punto (x0, y0) existen las
derivadas parciales de u(x, y) yv(x, y) las que satisfacen en (x0, y0) las ecuaciones
∂u
∂x =
∂v ∂y;
∂u
∂y =−
∂v
∂x (1.41)
que se conocen con el nombre de condiciones de Cauchy-Riemann.5
Demostraci´on:
Analicemos la raz´on incremental
5Estas relaciones en realidad fueron obtenidas por primera vez por D’Alembert (1752) y Euler (1755) en sus
Funciones de Variable Compleja 41
f(z0 + ∆z)−f(z0)
∆z
la que por hip´otesis del teorema tiene l´ımite, pues f(z) es derivable en z0. Como existe, este
l´ımite es independiente de la trayectoria por la que se tome el incremento ∆z. Tomemos, pues, un incremento paralelo al eje Ox: ∆z = ∆x (y=const.). Entonces tendremos:
f(z0 + ∆z)−f(z0)
∆z =
u(x0+ ∆x, y0)−u(x0, y0)
∆x +i
v(x0+ ∆x, y0)−v(x0, y0)
∆x
Como el l´ımite de la izquierda existe, existir´a el l´ımite de la parte derecha cuando ∆z = ∆x→0. Tomando dicho l´ımite obtenemos
df(z0)
dz =
∂u(x0, y0)
∂x +i
∂v(x0, y0)
∂x (1.42)
Tomemos ahora un incremento paralelo al ejeOy: ∆z =i∆y (x=const.). Entonces:
f(z0 + ∆z)−f(z0)
∆z =
u(x0, y0+ ∆y)−u(x0, y0)
i∆y +i
v(x0, y0+ ∆y)−v(x0, y0)
i∆y =
= v(x0, y0+ ∆y)−v(x0, y0)
∆y −i
u(x0, y0+ ∆y)−u(x0, y0)
∆y
De nuevo, el l´ımite de la izquierda existe, por lo que existir´an los l´ımites de la parte derecha. Como el l´ımite de la izquierda existe, es independiente de la trayectoria y de nuevo da la derivada de f(z) respecto a z, de manera que obtenemos cuando ∆y →0:
df(z0)
dz =
∂v(x0, y0)
∂y −i
∂u(x0, y0)
∂y (1.43)
Comparando las expresiones (1.42) y (1.43) y en virtud de que dos n´umeros complejos son iguales s´ı y solo s´ı son iguales sus partes reales y sus partes imaginarias, se obtienen las ecua-ciones (1.41).
Demostrado el teorema.
Veamos ahora un teorema en cierta medida rec´ıproco del anterior.
Teorema 6
Si las funcionesu(x, y) yv(x, y) de las variables realesxyyson diferenciables en el punto (x0, y0)
f(z) =u(x, y) +iv(x, y)
es derivable en el punto z0 =x0+iy0.
Demostraci´on:
Del An´alisis Matem´atico de funciones de varias variables se sabe que una funci´on de varias variables es diferenciable (tiene diferencial) en un punto si sus derivadas parciales son continuas en dicho punto. Bajo esta suposici´on, la diferenciabilidad implica que los incrementos ∆u =
u(x0 + ∆x, y0 + ∆y)−u(x0, y0) y ∆v = v(x0 + ∆x, y0 + ∆y)−v(x0, y0) de las funciones se
pueden escribir de la siguiente forma:
∆u=ux(x0, y0)∆x+uy(x0, y0)∆y+α(x0, y0,∆x,∆y)h
∆v =vx(x0, y0)∆x+vy(x0, y0)∆y+β(x0, y0,∆x,∆y)h (1.44)
dondeh=p∆x2+ ∆y2 es la distancia incremental yαyβ son funciones infinitesimales de ∆x
y ∆y que tienden a cero cuando h tiende a cero. Por consiguiente, para la raz´on incremental ∆f /∆z de la funci´on f tenemos:
∆f
∆z =
(ux∆x+uy∆y) +i(vx∆x+vy∆y)
∆x+i∆y +
(α+iβ)h
∆x+i∆y
y como por hip´otesis del teoremauy =−vx,vy =ux obtenemos, haciendo los pasos pertinentes,
la siguiente expresi´on:
∆f
∆z =
(ux+ivx)∆x+ (−vx+iux)∆y
∆x+i∆y +
(α+iβ)(∆x−i∆y)
h =
=ux+ivx = (α+iβ)
∆x
h −i
∆y h
Al hacer ∆x → 0 y ∆y → 0, como ∆hx −i∆hy permanece acotado en tanto (α +iβ) → 0 obtenemos en el l´ımite
f0(z0) =ux(x0, y0) +iv(x0, y0)
lo que significa que, efectivamente, f(z) es derivable en z0.
Demostrado el teorema.
Funciones de Variable Compleja 43
parciales deuyv en el punto (x0, y0) y que ellas satisfacen las condiciones de Cauchy-Riemann,
mientras que el teorema 6 exige la continuidad de esas derivadas parciales, adem´as de que cumplan con las condiciones de Cauchy Riemann. Uniendo ambos teoremas podemos enunciar una condici´on necesaria y suficiente de derivabilidad de una funci´on de variable compleja en los siguientes t´erminos:
Para que la funci´on f(z) = u(x, y) +iv(x, y) de la variable compleja z = x+iy sea derivable respecto az en el punto z0 =x0+iy0 es necesario y suficiente que las derivadas parciales de u
yv en el punto (x0, y0)sean continuas y satisfagan las condiciones de Cauchy-Riemann (1.41).
En segundo lugar y gracias a lo arriba expresado, contamos con un algoritmo bien preciso para hallar la derivada de una funci´on de variable compleja respecto al argumento complejo: Calculamos las derivadas parciales deuyv. Si estas son continuas en el punto donde queremos calcular la derivada y cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann, entonces la derivada existe en ese punto y se calcula por la f´ormula
f0(z0) =ux(x0, y0) +ivx(x0, y0) (1.45)
1.4.3
Ejemplos
Veamos c´omo calcular la derivada de algunos ejemplos.
1. Sea la funci´on
w=kz
donde k es una constante real. Tenemos que w = k(x+iy) = kx+iky. Por lo tanto, tenemos que u(x, y) = kx y v(x, y) = ky. Calculemos las derivadas parciales de u y
v para determinar d´onde son continuas y cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann, condici´on necesaria y suficiente para que la derivada respecto a z exista. Tenemos:
ux=k, uy = 0, vx = 0, vy =k
Por tanto se verifica que las condiciones de Cauchy-Riemann ux = vy, uy = −vx se
cumplen para toda x y toda y. As´ı pues, la derivada de w =kz respecto a z existe para toda z y es igual a
w0 =ux+ivx =k+i·0 = k
2. Para la funci´on
w=z2
