PREUNIVERSITARIO BELÉN UC MATEMÁTICAS
GUIA 18 : Geometría
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA.
I.-Definición de circunferencia: dado un punto O y una distancia r, se llama circunferencia de centro O y radio r al conjunto de todos los puntos del plano que están a una distancia r del punto O.
1.- Cuerda: trazo cuyos extremos son dos puntos de la circunferencia.
2.- Diámetro: cuerda que contiene al centro de la circunferencia.
3.- Radio: trazo cuyos extremos son el centro de la circunferencia y un punto de ésta.
4.- Secante: Recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia.
5.- Tangente: recta que intersecta a la circunferencia
en un solo punto (dicho punto se conoce como punto de tangencia).
6.- Arco: es una parte de la circunferencia determinada por dos puntos distintos de ella.
II.- ÁNGULOS:
1.- Ángulo del centro: es todo ángulo interior cuyo vértice es el centro de la circunferencia y sus lados son radios de la circunferencia. En la figura, un ángulo del centro es el .
Nota: la medida angular de un arco es igual a la medida del ángulo del centro que subtiende dicho arco. En la figura, la medida angular del arco AB es la medida del ángulo .
2.- Ángulo inscrito: es todo ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y parte de sus rayos son cuerdas de la circunferencia. En la figura un ángulo inscrito es el .
3.- Ángulo semi-inscrito: es todo ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia, uno de sus rayos es tangente a la circunferencia justo en el vértice y parte de otro rayo es una cuerda de la circunferencia. En la figura, un ángulo semi-inscrito es el (o el ).
I.- Todo ángulo inscrito en una circunferencia tiene como medida la mitad del ángulo del centro que subtiende el mismo arco.
En la figura siguiente, hay tres ejemplos de lo anterior donde se cumple que:
II.- Todo ángulo semi-inscrito en una circunferencia tiene igual medida que cualquier ángulo inscrito que subtienda el mismo arco.
En la figura siguiente, hay tres ejemplos de lo anterior donde se cumple que:
III.- Todoslos ángulos inscritos en una circunferencia que subtienden un mismo arco tienen igual medida.
IV.- Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es
recto (90º).
V.- En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia los ángulos opuestos son suplementarios (juntos suman 180º)
VI.- Si un radio de una circunferencia es perpendicular a una cuerda, entonces dimidia (divide en dos trozos iguales) y viceversa.
VII.- Si un radio de una circunferencia es perpendicular a una cuerda, entonces dimidia al arco que
subtiende y viceversa.
VIII.- Cuerdas congruentes subtienden arcos congruentes y viceversa.
IX.- Cuerdas congruentes equidistan del centro y viceversa (están a la misma distancia medidas desde el centro).
X.- Cuerdas paralelas determinan entre ellas arcos congruentes.
XI.- La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia.
tangente en
XII.- Los segmentos tangentes trazados desde un punto de la circunferencia, son congruentes.
XIII.- En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia la suma de las longitudes de los lados opuestos es la misma.
EJERCICIOS.
1. ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) siempre verdadera(s)? I) Tres puntos distintos y no colineales determinan una circunferencia.
II) El diámetro es la cuerda de mayor longitud.
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III
2. En la circunferencia de la figura adjunta, de las siguientes afirmaciones cuál(es) es(son) verdadera(s)? I) El ángulo inscrito en el arco ADC es .
II) El ángulo semi-inscrito es .
III) La medida del arco AC es de igual valor que el A) Sólo I
B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III
3. En la circunferencia de la figura adjunta, se cumple que mAB = mCD y mAED + mBC = 3mAB. Entonces, la medida del es
A) 45º B) 60º C) 72º D) 84º E) 90º
4. En la circunferencia de centro O de la figura adjunta, es diámetro. Entonces el valor de es A) 10º
B) 20º C) 40º D) 80º E) 140º
5. En la circunferencia de la figura adjunta, está inscrito el y la recta es tangente en el punto A.
Si = 50º y = 72º, entonces =
A) 116º B) 90º C) 72º D) 58º E) 40º
6. En el cuadrilátero inscrito en la circunferencia de la figura adjunta, = 120º. Si , ¿cuánto mide el ángulo x?
D) 150º E) 155º
7. En la circunferencia de centro O de la figura adjunta, Entonces, mide A) Falta información
B) 80º C) 60º D) 40º E) 20º
8. O es centro de la circunferencia de la figura adjunta, y QROP es cuadrado. ¿Cuánto mide el ángulo RSP? A) 22.5º
B) 30º C) 45º D) 60º E) 90º
9. En la circunferencia de centro O, Entonces mide A) 55º
B) 60º C) 45º D) 65º
E) No se puede determinar
10. En la circunferencia de centro O, ¿Cuánto mide el ángulo ACB? A) 22.5º
B) 30º C) 40º D) 45º E) 90º
11. O es centro de la circunferencia adjunta, y ¿Cuánto mide el ángulo PTQ?
A) 54º B) 36º C) 35º D) 27º E) 18º
12. BC es un cuarto de circunferencia con centro en A. Si , entonces mide A) 15º
13. La circunferencia de la figura adjunta, tiene centro en O. El ángulo inscrito ACB mide 20º ¿cuál es el valor del ángulo ABO?
A) 70º B) 40º C) 35º D) 20º E) 10º
14. En la circunferencia de centro O de la figura adjunta, . Si y ,
entonces mide A) 2 cm
B) 3 cm C) 4 cm D) 5 cm E) 10 cm
15. En la circunferencia de centro O de la figura adjunta, .Si y , entonces mide
A) 18º B) 36º C) 54º D) 72º
E) No se puede determinar
16. En la circunferencia de centro O de la figura adjunta, y son diámetros. Si y
, entonces es
A) 9 cm B) 12 cm C) 13 cm D) 14 cm E) 15 cm
17. Para que la cuerda sea paralela a la cuerda en la circunferencia de centro O de la figura adjunta, debe cumplirse que
A)
B) AC = BD C)
D)
E) AB = CD
18. En la figura adjunta, es tangente a la circunferencia de centro O y es radio. Si y , entonces
19. En la figura adjunta, y son tangentes a la circunferencia de centro O, en Q y R respectivamente. Si y , entonces la medida del ángulo QPR es A) 12º
B) 40º C) 70º E) Otro valor
E) No se puede determinar
20. ¿Cuál es la suma de los lados del cuadrilátero circunscrito a la circunferencia de la figura adjunta? A) 34
B) 32 C) 28 D) 22 E) 14
21. En la figura adjunta, la circunferencia de centro O, está inscrita en el cuadrilátero ABCD, siendo F y E
puntos de tangencia. Si y , entonces la suma de los lados del
cuadrilátero es A) 31 cm B) 44 cm C) 50 cm D) 52 cm E) 54 cm
22. En la figura adjunta, la circunferencia de centro O es tangente interior al cuadrilátero ABCD en los puntos
E, F, G y H. Si , , y , entonces =
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 7
23. En la circunferencia de centro O de la figura adjunta, AB =BC. Si , entonces x mide:
A) 25º B) 40º C) 45º D) 50º E) 70º
A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 40
25. En la figura adjunta, la circunferencia de centro O está inscrita en el , siendo D, F y E los puntos de tangencia. Si y , entonces el perímetro del triángulo es
A) 12 cm B) 15 cm C) 18 cm D) 21 cm E) 24 cm
26. En la circunferencia de centro O de la figura adjunta, .Entonces =
A) 36º B) 45º C) 54º D) 60º E) 72º
27. En la circunferencia de centro O de la figura adjunta, se tiene: .Entonces, el es
A) Equilátero B) Acutángulo
C) Isósceles acutángulo D) Isósceles rectángulo E) Rectángulo escaleno
28. En la circunferencia de centro O de la figura adjunta, se tiene: , y .Entonces, la medida de es
A) 2 cm B) 3 cm C) 6 cm D) 10 cm
E) Faltan datos para determinarlo
A) 3 B) 3 -C) 3 D) 3 E)
30. es diámetro de la circunferencia de centro O. La medida del se puede determinar si: (1)
(2)
A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
