Curs d’Anivellament de Matem`
atiques
Montserrat Corbera / Vladimir Zaiatsc
2012 Universitat de Vic
Sagrada Fam´ılia, 7 08500 Vic (Barcelona)
´Index
Unitat 6. Resoluci´o d’inequacions 4
6.1 Definicions . . . 4
6.1.1 Transformacions elementals d’inequacions . . . 5
6.2 Resoluci´o d’inequacions polin`omiques de grau 1 . . . 7
6.3 Resoluci´o d’inequacions polin`omiques de grau 2 . . . 7
6.4 Resoluci´o d’inequacions polin`omiques de grau superior . . . 9
6.5 Resoluci´o d’inequacions racionals . . . 10
Exercicis d’autoavaluaci´o 14
Glossari de termes 16
Unitat 6. Resoluci´
o d’inequacions
6.1
Definicions
Definici´o 6.1.1:
Una inequaci´o ´es una expressi´o d’una de les formes seg¨uents
f(x)6g(x), f(x)< g(x), f(x)>g(x), f(x)> g(x), (6.1.1)
on f i g s´on funcions reals de variable reala
i l’element desconegut x ´es la inc`ognita de la inequaci´o.
a
Les funcions reals de variable real s’estudien a la Unitat 8
Resoldre la inequaci´o (6.1.1) consisteix en trobar tots els valors de x que satisfan la desigualtat. Aquests valors de x s’anomenen soluci´o de la inequaci´o. En general, la soluci´o d’una inequaci´o ´es un interval o una uni´o d’intervals que poden ser degenerats a un punt, o una semirecta o uni´o de semirectes o uni´o de semirectes i intervals
Nota: La notaci´o que es fa servir aqu´ı per als intervals i semirectes ´es la seg¨uent.
• L’interval obert (a, b)indica tots els punts compresos entre a i b excloent els puntsa ib; dit d’una altra manera,(a, b)´es el conjunt{x : a < x < b}.
• L’interval tancat[a, b]indica tots els punts compresos entreaibincloent-hi els punts ai b; dit d’una altra manera, [a, b]´es el conjunt {x : a6x6b}.
• L’interval[a, b)indica tots els punt compresos entre ai b incloent-hi el punt
a, el punt b est`a excl`os de l’interval; dit d’una altra manera, [a, b) ´es el conjunt{x : a6x < b}.
• Lasemirecta(−∞, a)´es el conjunt format per tots els nombres m´es petits que a; ´es a dir, {x : x < a}.
• La semirecta (−∞, a]´es el conjunt format per tots els nombres m´es petits o iguals quea; ´es a dir, {x : x6a}.
• La semirecta(a,∞)´es el conjunt format per tots els nombres m´es grans que
a; ´es a dir, {x : x > a}.
• La semirecta [a,∞) ´es el conjunt format per tots els nombres m´es grans o iguals que a; ´es a dir, {x : x>a}.
✈ ✈ ❢ ❢
❢ ❢ ✈ ✈
a b a b
interval obert (a, b) interval tancat [a, b]
a
interval (−∞, a) a
interval (a,+∞)
a
interval (−∞, a) a
interval (a,+∞)
Figura 6.1.1: Representaci´o gr`afica d’intervals i semirectes.
Definici´o 6.1.2:
Dues inequacions s´on equivalents si tenen les mateixes solucions.
6.1.1
Transformacions elementals d’inequacions
I1 Siguiα ∈Rqualsevol, llavors
f(x)6g(x) ´es equivalent a f(x) +α6g(x) +α f(x)< g(x) ´es equivalent a f(x) +α < g(x) +α f(x)>g(x) ´es equivalent a f(x) +α>g(x) +α f(x)> g(x) ´es equivalent a f(x) +α > g(x) +α
Dit d’una altra manera, si sumem als dos membres d’una inequaci´o el mateix nombre real obtenim una inequaci´o equivalent a la inicial.
I2 Siguiα >0, llavors
f(x)6g(x) ´es equivalent a f(x)·α6g(x)·α f(x)< g(x) ´es equivalent a f(x)·α < g(x)·α f(x)>g(x) ´es equivalent a f(x)·α>g(x)·α f(x)> g(x) ´es equivalent a f(x)·α > g(x)·α
´
I3 Siguiα <0, llavors
f(x)6g(x) ´es equivalent a f(x)·α>g(x)·α f(x)< g(x) ´es equivalent a f(x)·α > g(x)·α f(x)>g(x) ´es equivalent a f(x)·α6g(x)·α f(x)> g(x) ´es equivalent a f(x)·α < g(x)·α
´
Es a dir, si multipliquem els dos membres d’una inequaci´o per un nombre negatiu obtenim una inequaci´o equivalent a la inicial per`o amb la desigualtat canviada.
A continuaci´o presentem un m`etode que serveix per a resoldre una inequaci´o qualsevol. Aqu´ı nom´es resoldrem inequacions polin`omiques i inequacions racionals.
Pas 1: Usant les transformacions elementals I1, I2 i I3, transformem la inequaci´o inicial en una inequaci´o d’una de les formes f(x) > 0, f(x) > 0, f(x) 6 0 o f(x) < 0. Per simplificar suposem que obtenim una inequaci´o de la formaf(x)> 0(els altres casos es tractarien de manera semblant).
Pas 2: Resolem l’equaci´o f(x) = 0.
Pas 3: Observem que les solucions de l’equaci´of(x) = 0 divideixen la recta real en un nombre finit (o numerable) d’intervals. Pel Teorema de Bolzano se sap que si una funci´o ´es cont´ınua a l’interval (a, b) i f(x)6= 0 per a tot x∈(a, b), llavors el signe de f(x)´es constant a l’interval (a, b). Per tant, si f(x) ´es cont´ınua els possibles canvis de signe de f(x) es produiran a les solucions de l’equaci´o f(x) = 0. Si la funci´o presenta punts de discontinu¨ıtat, els possibles canvis de signe es produiran a les solucions de l’equaci´o f(x) = 0 i als punts de discontinu¨ıtat.
Nota: Un polinomi ´es continu a tot R. Una funci´o racional ´es cont´ınua a tot R excepte els punts que anul·len el denominador.
Tenim moltes maneres d’estudiar el signe de f(x), aqu´ı en presentem 3. Siguin a i b dos punts consecutius associats a un possible canvi de signe de la funci´o.
– Prenem un puntα∈(a, b)qualsevol i calculem f(α). Si f(α)>0, llavorsf(x)>0 per a tot x∈(a, b). Sif(α)<0, llavors f(x)<0 per a tot x∈(a, b).
– Quanf ´es un polinomi podem factoritzar f(x) (la factoritzaci´o de polinomis s’explica a la Unitat 3) i estudiar el signe dels seus factors a l’interval(a, b)(com veurem en els exemples, aquesta opci´o ´es una mica m´es r`apida que l’anterior).
– Estudiem el signe de la funci´o a partir de la representaci´o gr`afica de f.
6.2
Resoluci´
o d’inequacions polin`
omiques de grau 1
Exemple 6.2.1 a) Resoluci´o de la inequaci´o 2x−567.
2x−567 ( ∗1)
99K 2x612 ( ∗2)
99K x6 12 2 = 6.
(∗1) Sumem5als dos membres de la inequaci´o (transformaci´o I1).
(∗2) Dividim la inequaci´o per2(transformaci´o I2).
La soluci´o de la inequaci´o ´es: x66.
b) Resoluci´o de la inequaci´o −3x+ 965x+ 2.
−3x+ 965x+ 2 ( ∗1)
99K −3x−5x62−9 99K −8x6−7 ( ∗2)
99K x> −7 −8 =
7 8.
(∗1) Restem5xi9als dos membres de la inequaci´o (transformaci´o I1).
(∗2) Dividim la inequaci´o per−8que ´es negatiu, aix´ı doncs haurem de canviar la desigualtat (trans-formaci´o I3).
La soluci´o de la inequaci´o ´es: x> 78.
6.3
Resoluci´
o d’inequacions polin`
omiques de grau 2
Exemple 6.3.1 a) Resoluci´o de la inequaci´o x2−x−2>0.
Siguif(x) =x2−x−2. Com quef´es un polinomi i ´es continu a totR, no haurem de tenir en compte els punts de discontinu¨ıtat de f.
– Resolem l’equaci´o f(x) = 0: x2−x−2 = 0 99K x= 1±
√
1 + 8
2 =
(
2
−1 .
– Les solucions de l’equaci´o f(x) = 0 divideixen la recta real en tres intervals (−∞,−1),(−1,2),
(2,∞). Mirem el signe de f(x) en cadascun d’aquests intervals. Aqu´ı ho farem de les tres maneres diferents que hem proposat, vosaltres escolliu la que us vagi millor.
∗ Prenem, per exemple, α=−2∈(−∞,−1). Com que f(−2) = 4>0 tenim quef(x)>0
per a tot x∈(−∞,−1).
Prenem α= 0∈(−1,2). f(0) =−2<0 99K f(x)<0per a tot x∈(−1,2).
∗ La factoritzaci´o de f(x) ´esf(x) = (x+ 1)·(x−2).
El factor x+ 1´es positiu per x >−1 i negatiu perx <−1. El factor x−2´es positiu per x >2 i negatiu perx <2. Aix´ı doncs,
six∈(−∞,−1), llavorsf(x)>0(producte de dos factors negatius),
six∈(−1,2), llavorsf(x)<0(producte d’un factor positiu i un factor negatiu), six∈(2,∞), llavors f(x)>0 (producte de dos factors positius).
∗ La representaci´o gr`afica de f ´es
-2 -1 1 2 3
-2 -1 1 2 3 4
Observem que f(x) > 0 per x ∈ (−∞,−1), f(x) < 0 per x ∈ (−1,2) i f(x) > 0 per
x∈(2,∞).
– Com que la inequaci´o ´es de la forma f(x) > 0 els x tals que f(x) = 0 tamb´e s´on soluci´o de
la inequaci´o; ´es a dir, x = −1 i x = 2 s´on soluci´o de la inequaci´o. Aleshores la soluci´o de la inequaci´o ´es x∈(−∞,−1]∪[2,∞).
b) Resoluci´o de la inequaci´o x2+x−6<0.
– Resolem l’equaci´o: x2+x−6 = 0 99K x= −1±
√
1 + 24
2 =
(
2
−3 .
– Sigui f(x) = x2 +x−6. Les solucions de l’equaci´o f(x) = 0 divideixen la recta real en tres
intervals(−∞,−3),(−3,2),(2,∞). Procedint de manera semblant al cas a) veiem quef(x)>0
perx∈(−∞,−3),f(x)<0per x∈(−3,2) if(x)>0perx∈(2,∞).
– Com la inequaci´o ´es de la forma f(x)<0elsxtals que f(x) = 0no s´on soluci´o de la inequaci´o;
´es a dir, x =−3 i x= 2 no s´on soluci´o de la inequaci´o. Aleshores la soluci´o de la inequaci´o ´es
x∈(−3,2).
c) Resoluci´o de la inequaci´o x2+ 4x+ 460.
Siguif(x) =x2+ 4x+ 4. La factoritzaci´o def(x)´es f(x) = (x+ 2)2, aix´ı doncs f(x)>0per a tot
x∈R. En particular f(x) = 0 perx=−2.
La soluci´o de la inequaci´o ´es: x=−2.
d) Resoluci´o de la inequaci´o x2−2x+ 2>0.
– Resolem l’equaci´o: x2−2x+ 2 = 0 99K x= 2±
√
4−8
– Siguif(x) =x2−2x+ 2. Com quef(x)6= 0 per a tot x∈Rtindrem que o b´e f(x)>0 per a
totx∈R o b´ef(x)<0 per a totx∈R.
Veiem quef(0) = 2>0 99K f(x)>0 per a tot x∈R.
– La soluci´o de la inequaci´o ´es x∈R.
e) Resoluci´o de la inequaci´o (x−1)(3−x)>5.
– Primer transformem la inequaci´o en una inequaci´o de la forma f(x)>0o f(x)<0.
(x−1)(3−x)>5 99K 3x−x2−3 +x >5 99K −x2+ 4x−8>0 99K x2−4x+ 8<0
Siguif(x) =x2−4x+ 8.
– Resolem l’equaci´o: x2−4x+ 8 = 0 99K x= 4±
√
16−32
2 99K No t´e soluci´o real.
– Com que f(x) 6= 0 per a tot x∈R tindrem que o b´ef(x)>0 per a tot x ∈Ro b´e f(x) <0
per a totx∈R.
Veiem quef(0) = 8>0 99K f(x)>0 per a tot x∈R.
– La inequaci´o no t´e soluci´o.
6.4
Resoluci´
o d’inequacions polin`
omiques de grau superior
Exemple 6.4.1 a) Resoluci´o de la inequaci´o x3−2x2−x+ 2>0.
Siguif(x) =x3−2x2−x+ 2. Com quef ´es un polinomi i ´es continu a totRno haurem de tenir en compte els punts de discontinu¨ıtat def.
– Resolem per Ruffini (la resoluci´o d’equacions polin`omiques mitjan¸cant la regla de Ruffini s’explica
a la Unitat 5) l’equaci´o: x3−2x2−x+ 2 = 0 99K x=
−1 1 2
.
– Les solucions de l’equaci´of(x) = 0divideixen la recta real en quatre intervals(−∞,−1),(−1,1),
(1,2) i (2,∞). Mirem el signe de f(x) en cadascun dels intervals a partir, per exemple, de la
factoritzaci´o de f(x).
f(x) = (x+ 1)·(x−1)·(x−2).
Aleshores
si x∈(−∞,−1), llavorsf(x)<0 (producte de tres factors negatius),
si x∈(−1,1), llavorsf(x)>0 (producte d’un factor positiu i dos de negatius),
si x∈(1,2), llavors f(x)<0 (producte de dos factors positius i d’un de negatiu),
si x∈(2,∞), llavors f(x)>0 (producte de tres factors positius).
– La soluci´o de la inequaci´o ´es x∈[−1,1]∪[2,∞).
b) Resoluci´o de la inequaci´o −x3−x2+x+ 160.
– Siguif(x) =−x3−x2+x+ 1. Factoritzem el polinomi: f(x) =−(x+ 1)2(x−1).
Les solucions de l’equaci´o f(x) = 0 s´onx =−1 i x= 1. Aquestes solucions divideixen la recta
real en tres intervals(−∞,−1),(−1,1) i(1,∞). Mirem el signe def(x)en cadascun d’aquests intervals.
El factor (x+ 1)2 sempre ´es positiu.
El factor x−1´es positiu per x >1 i negatiu perx <1. Aix´ı doncs,
si x∈(−∞,−1), llavorsf(x)>0,
si x∈(−1,1), llavorsf(x)>0,
si x∈(1,∞), llavors f(x)<0.
– Estem resolent la inequaci´o f(x) 6 0, per tant els x tals que f(x) = 0 tamb´e s´on soluci´o de
la inequaci´o; ´es a dir, x = −1 i x = 1 s´on soluci´o de la inequaci´o. Aleshores la soluci´o de la inequaci´o ´es x∈ {−1} ∪[1,∞).
6.5
Resoluci´
o d’inequacions racionals
Exemple 6.5.1 a) Resoluci´o de la inequaci´o 5x+ 3
x−4 60.
Siguif(x) = g(x)
h(x) on g(x) = 5x+ 3 i h(x) =x−4. En aquest cas f ´es continua per a tot x ∈R
excepte en les arrels del denominador. Aix´ı els possibles canvis de signe de f vindran donats per les arrels del numeradorg i les del denominadorh.
– Resolem les equacionsg(x) = 0 ih(x) = 0.
5x+ 3 = 0 99K x=−3/5,
– Les solucions de les equacions g(x) = 0 i h(x) = 0 divideixen la recta real en tres intervals
(−∞,−3/5), (−3/5,4), (4,∞). Estudiem el signe de f(x) sobre cadascun d’aquests intervals. Ho farem a partir de les factoritzacions de g(x) i h(x) per`o es podria haver fet de qualsevol de les altres maneres que hem proposat.
5x+ 3 x−4 =
5(x−3/5) x−4
El factor x−3/5´es positiu per x >−3/5i negatiu per x <−3/5. El factor x−4´es positiu per x >4 i negatiu perx <4.
Aleshores
si x∈(−∞,−3/5), llavors f(x)>0 (dividim dos factors negatius),
si x∈(−3/5,4), llavors f(x)<0 (dividim un factor positiu amb un de negatiu), si x∈(4,∞), llavors f(x)>0 (dividim dos factors positius).
Per altra banda x = 4 no ´es soluci´o de la inequaci´o perqu`e ´es un punt on el denominador s’anul·la. En canvi x = −3/5 si que ´es soluci´o de la inequaci´o ja que f(−3/5) = 0 i est`avem
buscant solucions def(x)60.
– La soluci´o de la inequaci´o ´es x∈[−3/5,4).
b) Resoluci´o de la inequaci´o x
2+ 2x−3
x2−4 >0.
Siguif(x) = g(x)
h(x) ong(x) =x
2+ 2x−3 ih(x) =x2−4.
– Factoritzemg(x) i h(x).
x2+ 2x−3 = (x+ 3)·(x−1),
x2−4 = (x+ 2)·(x−2).
Les solucions de l’equaci´og(x) = 0s´onx= 1ix=−3 i les solucions de l’equaci´oh(x) = 0 s´on
x=−2ix= 2.
– Les solucions de les equacions g(x) = 0 i h(x) = 0 divideixen la recta real en cinc intervals
(−∞,−3),(−3,−2),(−2,1),(1,2)i(2,∞). Estudiem el signe def(x)sobre cadascun d’aquests
intervals a partir de les factoritzacions deg(x) i h(x):
x2+ 2x−3
x2−4 =
(x+ 3)·(x−1) (x+ 2)·(x−2)
El factor x−2´es positiu per x >2 i negatiu perx <2. Aleshores
si x∈(−∞,−3), llavorsf(x)>0 (4 factors negatius),
si x∈(−3,−2), llavorsf(x)<0(3 factors negatius i un de positiu),
si x∈(−2,1), llavorsf(x)>0 (2 factors negatius i 2 factors positius),
si x∈(1,2), llavors f(x)<0 (1 factor negatiu i 3 factors positius),
si x∈(2,∞), llavors f(x)>0 (4 factors positius).
Per altra bandax=−2ix= 2no s´on soluci´o de la inequaci´o perqu`e s´on punts on el denominador s’anul·la. En canvix=−3 ix= 1si que ´es soluci´o de la inequaci´o ja que f(−3) = 0if(1) = 0
i est`avem buscant solucions def(x)>0.
– La soluci´o de la inequaci´o ´es x∈(−∞,−3]∪(−2,1]∪(2,∞).
c) Resoluci´o de la inequaci´o x 2
2x−3 < x x+ 4.
– Transformem la inequaci´o en una del tipus f(x) < 0 restant x
x+ 4 als dos membres de la
inequaci´o.
x2 2x−3 <
x
x+ 4 99K x2 2x−3 −
x x+ 4 <0
(∗1)
99K x(x
2+ 2x+ 3)
(2x−3)(x+ 4) <0
(∗1) Sumem les fraccions alg`ebriques (la suma de fraccions alg`ebriques s’explica a la Unitat 4)
x2
2x−3 − x x+ 4 =
x2
(x+ 4)−x(2x−3) (2x−3)(x+ 4) =
x3
+ 2x2
+ 3x (2x−3)(x+ 4) =
x(x2
+ 2x+ 3) (2x−3)(x+ 4)
Siguif(x) = g(x)
h(x) ong(x) =x(x
2+ 2x+ 3) ih(x) = (2x−3)(x+ 4).
– Es pot veure f`acilment que l’equaci´o x2+ 2x+ 3 = 0no t´e soluci´o real. Aleshores la soluci´o de
g(x) = 0´esx= 0 i les solucions de h(x) = 0 s´onx= 3/2i x=−4.
– Les solucions de les equacions g(x) = 0 i h(x) = 0 divideixen la recta real en quatre intervals
(−∞,−4), (−4,0), (0,3/2), i (3/2,∞). Estudiarem el signe de f(x) sobre cadascun d’aquests
intervals a partir de les factoritzacions deg(x) i h(x).
x3+ 2x2+ 3x (2x−3)(x+ 4) =
x(x2+ 2x+ 3) (2x−3)(x+ 4)
El factor x+ 4´es positiu per x >−4 i negatiu perx <−4. El factor x´es positiu per x >0 i negatiu perx <0.
El factor 2x−3´es positiu perx >3/2i negatiu per x <3/2.
Aleshores
si x∈(−∞,−4), llavorsf(x)<0 (3 factors negatius i un de positiu), si x∈(−4,0), llavorsf(x)>0 (2 factors negatius i 2 factors positius),
si x∈(0,3/2), llavors f(x)<0(1 factor negatiu i 3 factors positius),
si x∈(3/2,∞), llavorsf(x)>0 (4 factors positius).
Per altra banda x = −4 i x = 3/2 no s´on soluci´o de la inequaci´o perqu`e s´on punts on el denominador s’anul·la. x= 0 tampoc ´es soluci´o de la inequaci´o ja quef(x) = 0 no ´es soluci´o.
– La soluci´o de la inequaci´o ´es x∈(−∞,−4)∪(0,3/2).
Es podria pensar en resoldre aquesta inequaci´o “multiplicant en creu” per treure els denominadors tal i com es feia en les equacions. “Multiplicar en creu” ´es equivalent a multiplicar tota la inequaci´o per
(2x−3) i per(x+ 4). Aix`o nom´es ´es possible si es fa de la manera correcta.
Multipliquem la inequaci´o per (2x−3). A partir de les transformacions I2 i I3 tenim:
si (2x−3)>0, la inequaci´o x 2
2x−3 < x
x+ 4 ´es equivalent ax
2< x(2x−3)
x+ 4
si (2x−3)<0, la inequaci´o x 2
2x−3 < x
x+ 4 ´es equivalent ax
2> x(2x−3)
x+ 4
Multipliquem la inequaci´o que hem obtingut per(x+ 4). A partir de les transformacions I2 i I3 tenim:
si (x+ 4)>0,
la inequaci´ox2< x(2x−3)
x+ 4 ´es equivalent ax
2(x+ 4)< x(2x−3)
la inequaci´ox2> x(2x−3)
x+ 4 ´es equivalent ax
2(x+ 4)> x(2x−3)
si (x+ 4)<0,
la inequaci´ox2< x(2x−3)
x+ 4 ´es equivalent ax
2(x+ 4)> x(2x−3)
la inequaci´ox2> x(2x−3)
x+ 4 ´es equivalent ax
2(x+ 4)< x(2x−3)
Aleshores
per x∈(−∞,−4) haurem de resoldre la inequaci´ox2(x+ 4)< x(2x−3)
per x∈(−4,3/2) haurem de resoldre la inequaci´o x2(x+ 4)> x(2x−3)
per x∈(3/2,∞) haurem de resoldre la inequaci´o x2(x+ 4)< x(2x−3)
Exercicis d’autoavaluaci´
o
1.
Escriure amb la notaci´o d’interval els seg¨uents subconjunts de R i representar-los gr`aficament:
a) nombres m´es grans que −1.
b) nombres m´es petits o iguals que −2.
c) nombres m´es petits que−5.
d) nombres m´es grans o iguals que −5.
e) nombres m´es grans que−1 i m´es petits que1.
f) nombres m´es grans o iguals que 4i m´es petits que 9.
g) nombres m´es petits o iguals que −1i m´es grans que −3 2.
h) nombres m´es grans o iguals que −2i m´es grans o iguals que 2.
i) nombres m´es petits que −1 i m´es grans o iguals que 2.
j) nombres m´es grans que −9
2 i m´es petits o iguals que √
2.
k) nombres m´es petits que −1 o m´es grans que 1.
l) nombres m´es petits o iguals que −3o m´es grans o iguals que −1.
m) nombres m´es petits que 1, excepte el 0.
n) nombres m´es petits que −1 o m´es grans que 1, excepte el 0.
o) nombres m´es grans que 2 o m´es petits o iguals que 0, excepte el 1.
p) nombres m´es grans o iguals que 0excepte el 1i el 2.
Soluci´o
a) (−1,+∞) b) (−∞,−2]
e)(−1,1) f) [4,9) g)(−3
2,−1] h) [2,+∞)
i) 6 ∃ j) (−9
2, √
2]
k) (−∞,−1)∪(1,+∞) l) (−∞,−3]∪[−1,+∞) m)(−∞,0)∪(0,1) n) (−∞,−1)∪(1,+∞) o)(−∞,0]∪(2,+∞) p) [0,1)∪(1,2)∪(2,+∞)
2.
Resoleu les seg¨uents inequacions.
a) 4x+ 763x−4 b) 2x−4>7x
c) −5x+ 1562x+ 4 d) 2
7x+ 1 3 6−
3 2x+ 4 e) |x+ 4|>2 f) y2−4y+ 4<0
g)z2−1>0 h) x2−2x−1560
i) 9x2 + 4612x j) x3 −7x2+ 3660
k) x
3−7x+ 6
x+ 2 >0 l)
x2
x2−2 6
x x−2
m) x
2+ 2x−3
x−2 >0 n)
(2x−1)2
4 −
(3x+ 1)2
9 > 1 6
Soluci´o
a) x6−11 b) x6−4/5 c) x>11/7
d)x 6154/75 e) x>−2, x6−6 f) No t´e soluci´o
g)z >1, z <−1 h) −36x65 i) x= 2/3
j) x∈(−∞,−2]∪[3,6] k) x∈(−∞,3]∪(−2,1]∪[2,∞) l) x∈(−√2,0]∪[1,√2)∪(2,∞)
Glossari de termes
Inequacions definici´o, 4 equivalents, 5
polin`omiques de grau 1, 7 polin`omiques de grau 2, 7 polin`omiques de grau superior, 9 racionals, 10
soluci´o, 4
transformacions elementals, 5 Interval
obert, 4 tancat, 4
