INESTABILIDAD DE BARRAS PRISMÁTICAS. PANDEO
• Columna de Euler
• Influencia de las condiciones de apoyo. Longitud de pandeo.
• Tensión crítica de Euler. Radio de Giro. Esbeltez mecánica.
Castillo López, G. García Sánchez, F. López Taboada, C. Pedraza Rodríguez, C. (2014) Resistencia de Materiales. OCW-Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es Bajo licencia Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Spain
*fuente: Wikipedia.org
P x P
z
Columna de Euler
Castillo López, G. García Sánchez, F. López Taboada, C. Pedraza Rodríguez, C. (2014) Resistencia de Materiales. OCW-Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es Bajo licencia Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Spain
P P
P x P
y
z
x y
z
Columna de Euler
P P
P x P
z
x y
z
Columna de Euler
Castillo López, G. García Sánchez, F. López Taboada, C. Pedraza Rodríguez, C. (2014) Resistencia de Materiales. OCW-Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es Bajo licencia Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Spain
P P
P
P x P
y
z
x y
z
x y
z
Columna de Euler
P P
P P
M z (x)
y(x)
P x P
z
x y
z
x y
Columna de Euler
Castillo López, G. García Sánchez, F. López Taboada, C. Pedraza Rodríguez, C. (2014) Resistencia de Materiales. OCW-Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es Bajo licencia Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Spain
P P
M z (x)
y(x)
0 z ( ) ( ) 0
M = ⇒ M x + P y x =
∑
( ) z ( )
z
y x M x
′′ = EI EI y x z ′′ + ( ) P y x ( ) = 0
k = P EI z
( ) 2 ( ) 0 y x ′′ + k y x =
(0) 0
y =
( ) 0 y L =
x y
z
P P M z (x)
y(x)
( ) 2 ( ) 0
y x ′′ + k y x = y (0) 0 = y L ( ) 0 =
( ) ( ) ( )
y x = a sen k x + b cos k x b = 0 a sen k L ( ) = 0 0
a =
, 1,2,...
k L = n π n =
Solución sin pandeo
2
, 1,2,...
z
P n EI n
L
π
= =
Solución con pandeo
x y
z
Columna de Euler
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( )
y x a sen x L π
=
( ) 2
y x a sen x L π
=
( ) 4
y x a sen x L π
=
( ) 0 y x =
2
P EI z
L π
=
2
4 z
P EI
L π
=
2
9 z
P EI
L π
=
A P
y
max( ) L 2 z
P
π EI
1 4 9
2
cr z
P EI
L π
=
Carga crítica
de Euler
Influencia de las condiciones de apoyo
2
cr z
P EI
L π β
=
*fuente: Wikipedia.org
Castillo López, G. García Sánchez, F. López Taboada, C. Pedraza Rodríguez, C. (2014) Resistencia de Materiales. OCW-Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es Bajo licencia Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Spain
Longitud de
pandeo
2
cr z
P EI
L π β
=
β L
Influencia de las condiciones de apoyo
*fuente: Wikipedia.org
β = 1 β = 0.5 β = 0.7 β = 2
2
cr z
P EI
L π β
=
Longitud de
pandeo β L
Influencia de las condiciones de apoyo
*fuente: Wikipedia.org
Castillo López, G. García Sánchez, F. López Taboada, C. Pedraza Rodríguez, C. (2014) Resistencia de Materiales. OCW-Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es Bajo licencia Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Spain
Otros factores
Excentricidad de la carga y max / L
cr
P P
1
0.2 1.06
y
max+ e
cr
P P
1
e
P e
P
( )
y x a sen x L π
=
y
max+ a
cr
P P
1
a
Deformada previa Grandes
deformaciones
Tensión crítica 2 2
z
cr z
cr A
I
P EI
A L A L E
π π
σ β β
= = =
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k
k
L i λ = β
2 2
z z
L i
E E
β π π
λ
= =
Radio de
giro Esbeltez
mecánica
k k
i I
= A
2 2
z
cr z
cr A
I
P EI
A L A L E
π π
σ β β
= = = =
Tensión crítica
2 2
z
cr cr
z
L i
P E E
A β
π π
σ λ
= == =
k
k
L i λ = β
Radio de giro
Esbeltez mecánica k
k
i I
= A
σ cr ( MPa )
σ
=
= 210
e 260
E GPa
MPa
Tensión crítica
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( )
cr MPa
σ
σ
=
= 210
e 260
E GPa
MPa σ e
λ max
2 2
z
cr cr
z
L i
P E E
A β
π π
σ λ
= == =
k
k
L i λ = β
Radio de giro
Esbeltez mecánica k
k
i I
= A
λ
Tensión crítica
σ cr ( MPa )
λ
Resultados
reales
( )
cr MPa
σ
210
e 260
E GPa σ MPa
=
= σ e
2 2
z
cr cr
z
L i
P E E
A β
π π
σ λ
= == =
k
k
L i λ = β
Radio de giro
Esbeltez mecánica k
k
i I
= A
Resultados reales
Tensión crítica
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Comprobación a pandeo (para estructuras de acero)
según el código técnico
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Comprobación a pandeo según el código técnico
(acero)
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Comprobación a pandeo según el código técnico
(acero)
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