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í s i c a
OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE
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í s i c a
Ley de Hooke
Caracterización del Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) Velocidad y aceleración en el M.A.S.
Ejemplos. Resortes en posición horizontal y vertical Péndulo simple
Péndulo físico
Energía en el movimiento armónico
Movimiento armónico amortiguado
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Ley de Hooke
L0 L
x
x = L-L0
F kx F = −
ma
ma F =
2ª ley de Newton:
2 2
dt x md kx =
−
2 0
2 + x =
m k dt
x d
Ecuación diferencial de 2º orden: solución de la forma x(t) = Acos(ωt +δ)
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Caracterización del M.A.S.
Solución de la ecuación: 2 0
2 + x =
m k dt
x d
δ , Constantes A
Amplitud Fase inicial
2 0
2
2 + x =
dt x
d ω
Fase
) cos(
)
(t = A ωt+δ x
f = T1 Frecuencia angular
m
= k
ω (rad/s)
Periodo (s)
T ω = 2π
Frecuencia (Hz)
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Comprobación de la forma armónica de la solución
) cos(
)
(t = A ωt +δ
Por derivación de x y sustitución en 2 0
2 + x =
m k dt
x d
) sen(ω δ
ω +
−
= A t
dt Derivada primera: dx
x t
dt A x
d 2 2
2 2
)
cos(ω δ ω
ω + = −
−
= Derivada segunda:
2 + = 0
− x
m x k 0 ω
2 ⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛− + x
m ω k
2 ⎟ =0
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛− + m ω k
) cos(
)
(t = A ωt +δ
x es solución de 2 0
2 + x =
m k dt
x
d si
m
= k ω2
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í s i c a
ωt
π
ωt = 2 ωt = 4π
π
ωt = ωt =3π 2
ωt =π
2 5π ωt =
2 3π ωt =
2 7π ωt =
=0 ωt ) cos( t A
y = ω
A
A t = T
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í s i c a
ωt
π δ
ωt + = 2 ωt+δ =4π
π δ
ωt + = ωt+δ =3π 2
δ π ωt + =
2 5π δ
ωt + =
2 3π δ
ωt + =
2 7π δ
ωt + = 0
)
cos( + >
= A ωt δ δ
y
t = T t = T
A
A )
cos(δ
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í s i c a 0
)
cos( − >
= A ωt δ δ
y
ωt
) cos(−δ
= 0
−δ
ωt ωt −δ = 2π ωt −δ =4π
π δ
ωt− = ωt −δ =3π 2
δ π ωt − =
2 5π δ
ωt − =
2 3π δ
ωt − =
2 7π δ
ωt − =
t = T t = T
A
A
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ωt ωt ωt
) cos( t y = ω
) cos(ω +δ
= t
y
Adelanta ) cos(ω −δ
= t
y
Atrasa
Resumen
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Velocidad y aceleración en el M.A.S.
) cos(
)
(t = A ωt +δ x
Aceleración ( ) 2cos( ) 2 ( )
2 2
t x t
dt A t x
x&&= d = − ω ω +δ = −ω ⋅
=0 xx =0
Aceleración nula Velocidad máxima
Velocidad = ( ) =−Aωsen(ωt +δ) dt
t x& dx
A x =
Aceleración máxima Velocidad nula
Ejemplo. Resorte en posición horizontal.
Un resorte ideal de constante elástica 20 N/m sujeta un bloque de masa 312.5 g sobre una superficie horizontal sin rozamiento. El resorte se estira 8 cm, se suelta y la masa oscila libremente alrededor de la posición de equilibrio. Se pide:
a) Ecuación del movimiento armónico simple resultante y periodo de las oscilaciones.
b) Aceleración del bloque cuando se encuentra en un extremo, y velocidad cuando pasa por la posición de equilibrio.
c) Velocidad y aceleración del bloque cuando ha transcurrido 1 s.
) cos(
)
(t = A⋅ ωt +δ x
rad/s 3125 8
. 0
20 =
=
= m
ω k
m 08 .
=0 A
) cos(
)
(t = A⋅ ωt +δ x
s 785 . 0 4 s
8 2
2 = = =
= π π
ω T π
S.I.) (unidades
8 cos 08 . 0 cos
)
(t A t t
x = ⋅ ω = ⋅
1
cosδ = cosδ = ±2nπ (n =0,1,2...) A
A
x(0) = ⋅cos(0+δ) =
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í s i c a L0
L
x=A
-k·A x=0
L0
-k·x x&
Sistema en reposo
Resorte extendido:
inicio de la oscilación
dt x x
x&&= d22 = −ω2 ⋅
2 2 0.08 5.12m/s
8 ⋅ = −
−
= A x&&(x=A) = −ω2 ⋅
Punto intermedio: el oscilador se dirige hacia el origen
4 > t >0 T
L0
x=0
L0
-k·x
x
x&
x& El oscilador pasa por la posición de equilibrio con velocidad máxima y aceleración nula
4 t =T
t dt A
x& = dx = − ω ⋅senω ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⋅ ⎛
−
= =
4 sen 2
) 0 (
T A T
x& x ω π
m/s 64 . 0 8
08 . 2 0
sen ⎟ = − ⋅ = −
⎠
⎜ ⎞
⎝
⋅ ⎛
−
= Aω π
El oscilador sobrepasa la posición de equilibrio mientras su velocidad decrece y su aceleración aumenta
Cuando pasa por x=0 ha transcurrido un cuarto de periodo
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¿Qué ocurre después, hasta que t = T? ¿Cómo es la velocidad y la aceleración?
¿Cuál es la velocidad y aceleración del bloque cuando ha transcurrido 1 s?
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Ejemplo 2. Resorte con una carga en posición vertical
D.S.L.
Ley de Hooke
F = −kxmg F
L0
L
F
x = L-L0 x
ma
→
→
→g+ F = ma m
2ª ley de Newton:
2 2
dt x md kx mg − = g
m x k dt
x
d22 + =
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Ecuación del oscilador armónico (resorte vertical)
g mx
k dt
x
d22 + =
) cos(
)
( = + A ωt +δ k
t mg x Forma de la solución:
) sen(ω δ
ω +
−
= A t
dt dx
)
2cos(
2
2 = −Aω ωt +δ dt
x Derivadas: d
g mx
k dt
x
d22 + =
2 2
dt x
d x
m k
= g )
2cos(ω δ
ω +
− A t
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ + +
+ Acos(ωt δ ) k
mg m
k
m
= k ω2
Si se verifica la igualdad g
m t
A k + +
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡− +
= ω2 cos(ω δ)
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Péndulo simple
mg T θ
θ
X Y
T
L O
θ O
θ sen ⋅ ⋅
= L mg M
mg θ
⋅sen mg
θ
⋅cos mg
L
θ
⋅sen mg
El momento MO tiende a restaurar la
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Momento de la componente X del peso respecto de O: MO = −L⋅mg⋅senθ
Ecuación fundamental de la dinámica de rotación:
dt MO = dJ
θ O
L
θ
⋅sen mg
v
dt L d v = ⋅ θ
dt mL d mv
L
J = ⋅ = 2 θ
2 2 2
dt mL d dt
dJ = θ
2 2
sen 2
dt mL d mg
L⋅ ⋅ θ = θ
−
0
2 sen
2θ + θ =
L g dt
d
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0
2 sen
2θ + θ =
L g dt
Compárese d
Péndulo simple
con 2 0
2 + x =
m k dt
x d
Resorte
Para ángulos pequeños sen θ → θ
puede sustituirse por 2 0
2θ + θ = L g dt
0 d
2 sen
2θ + θ =
L g dt
Entonces d
L
= g ) ω
cos(
)
( ω δ
θ t = A t + Forma de la solución:
g
T π L
ω π 2 2 = Periodo: =
¿Qué son ángulos pequeños?
1 rad R
R
R
θ R
R
s
R s =θ ⋅
Longitud del arco
Ángulo (radianes)
Radio
0 0.0000 0.0000 0.0 2 0.0349 0.0349 0.0 5 0.0873 0.0872 0.1 8 0.1396 0.1392 0.3 10 0.1745 0.1736 0.5 12 0.2094 0.2079 0.7 15 0.2618 0.2588 1.1 18 0.3142 0.3090 1.6 20 0.3491 0.3420 2.0 22 0.3840 0.3746 2.4 25 0.4363 0.4226 3.1 28 0.4887 0.4695 3.9 30 0.5236 0.5000 4.5 32 0.5585 0.5299 5.1
θ(º) θ(rad) sinθ dif %
<1%
≈2%
<5%
ángulos pequeños <15º
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Péndulo Físico
θ O
mg mgcosθ θ
sen mg θ
O
d
mg
→× τ
→
→
→ = d×m g τ
θ α mgd sen I =
recuperador
0
2 sen
2θ + θ =
I mgd dt
d
→
→= α τ I
R
0
2 sen
2θ + θ =
I mgd dt
d Ángulos pequeños 2 0
2θ + θ =
I mgd dt
d
ω2
Ecuación de un M.A.S.
I
= mgd
ω mgd
T =2π I
mg d
2 2
2
1mR md
I = + 2 2
2
1 mR +mR
= 2
2 3mR
=
mgR mR mgd
T I
2
2 3 2
2π = π
= g
R 2 2π 3
= 9.80
20 . 0 2 2 3⋅
= π =1.1s
Ejemplo. Un disco homogéneo de radio R = 20 cm se cuelga de un clavo por un punto muy próximo a su periferia y se deja oscilar con pequeña amplitud. ¿Cuál es el periodo de las oscilaciones, despreciando el rozamiento?
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CARACTERÍSTICAS COMUNES MOVIMIENTOS ARMÓNICOS
1º Existe una fuerza recuperadora (o momento recuperador) proporcional a la elongación.
2º El sistema sobrepasa su posición de equilibrio y a partir de ese momento la fuerza recuperadora tiende a devolverlo a dicha posición de equilibrio.
3º Cuando existen fuerzas de fricción pequeñas el movimiento se atenúa lentamente (movimiento subamortiguado).
4º Cuando las fuerzas de fricción son lo suficientemente grandes, el movimiento puede producirse sin oscilaciones.
5º Es posible influir sobre el movimiento, variando sus características, mediante fuerzas externas (movimiento forzado).
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Energía en el movimiento armónico
F x
kx
F =− dW = F ⋅dx = −kx⋅dx
dx
= ∫ ⋅x
o
dx F
W =−∫ ⋅xkx dx
0
2
2 1kx
−
=
2
2 1 kx U = Energía potencial: ∆U = −W ∆
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ENERGÍA CINÉTICA
2 2
2 1 2
1mv mx
Ec = = & ( )
2
1 2ω2 2 ω +δ
= mA sen t
m
= k ω2
ENERGÍA POTENCIAL
2
2 1kx U =
∆ cos ( )
2
1 2 2 ω +δ
= kA t cos ( )
2
1 2ω2 2 ω +δ
= mA t
ENERGÍA MECÁNICA U
EC +∆
{
( ) cos ( )}
2
1 2ω2 2 ω +δ + 2 ω +δ
= mA sen t t 2 2 2
2 1 2
1mA = kA
= ω
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Movimiento armónico amortiguado
F
x b bv
FR =− = − &
ma
dt x dx v = & =
x FR
→
→
→+ F = ma
F R
kx F =−
2 2
dt x md x b kx− =
− &
2 0
2 + + x =
m x k m
b dt
x
d &
m
= b γ
m
= k
2
ω0 2 0
2 0
2 + x+ x =
dt x
d γ& ω
2 0
2 0
2 + x+ x =
dt x
d γ& ω
Solución de la forma:
) 2 cos(
exp γ ω +δ
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
= t t
A x
2 2 2
2 0 2
4 4m
b mk −
=
−
=ω γ ω
Factor de calidad γ ω0
=
Q Cuando crece Q la energía del
0 10 20 30 40 50
0 10 20 30 40 50
0 10 20 30 40 50
t y = cosω0
) 2 / exp( t
y = ± −γ
rad/s 5 .
0 = 0 ω
1
s-
05 .
= 0 γ
t t
y = exp(−γ /2)⋅cosω
4
2 2 0
ω γ
ω = −
05 10 . 0
5 .
0 =
= Q
= 0 δ
t (s)
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Amortiguamiento crítico
) 2 cos(
exp γ ω +δ
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
= t t
A
x 2
2 2
2 0 2
4 4m
b mk −
=
−
=ω γ ω
4
2 2
0
ω =γ
Cuando No hay movimiento oscilatorio
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
1
s-
05 .
= 0 γ
http://www.physics.rutgers.edu/ugrad/193/lectures/Examples1124.ppt
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