La integral indefinida.

La integral indefinida.

En el curso de Cálculo Diferencial, se estudió el siguiente problema: dada una función se debía encontrar su derivada, es decir la función .

Ahora, consideremos el problema inverso: dada una función se desea hallar una función cuya derivada sea igual a es decir:

Definición 1. Si en todos los puntos del intervalo se verifica la ecuación

la función se llama primitiva de la función en ese intervalo.

Es fácil ver que si la función dada tiene una función primitiva, esta no es la única.

Teorema. Si y son dos funciones primitivas de la función en el intervalo entoces su diferencia es una constante.

Demostración. Por la definición de función primitiva se tiene:

para toda x en el intervalo Sea

según las igualdades establecidas en [1] tenemos

o

como entonces o bien



Las notas de esta sección son modificaciones del texto de N. Piskunov, Cálculo Diferencial en Integral,

Montaner y Simón, España, 1983.

Del teorema anterior, se deduce que, si conocemos cualquier función primitiva de la función entonces cualquier otra función primitiva tiene la forma

donde C es una constante.

Definición 2. Si es una función primitiva de la expresión se llama integral definida de la función y se designa mediante el símbolo Así pues, según la definición: Si

entonces

En este caso, se llama integrando, se llama elemento de integración y el símbolo se llama símbolo de integración.

Así, la integral indefinida representa una familia de funciones de la forma

El proceso que permite determinar la primitiva de una función se llama integración de Surge ahora una pregunta:

¿Toda función tiene una función primitiva (y por consiguiente una integral definida)? La respuesta es negativa. La condición para que una función tenga una primitiva (y por tanto una integral definida), es que dicha función sea continua en un intervalo

Observación: mientras que la derivada de una función elemental es también una función elemental,

la primitiva de una función elemental puede no expresarse mediante un número finito de

funciones elementales. Las primitivas de funciones como no pueden expresarse mediante un

número finito de funciones elementales (por más trucos que haga).

Propiedades de la integral indefinida respecto de la derivada y la diferencial.

1. La derivada de una integral indefinida es igual al integrando, es decir, si entonces:

2. La diferencial de una integral indefinida es igual al elemento de integración:

3. La integral definida de la diferencial de una función es igual a la suma de esta función más una constante arbitraria

Lo anterior se demuestra mediante derivación: las diferenciales de ambos miembros de la igualdad son iguales a

Propiedades de linealidad.

Teorema 1. La integral indefinida de la suma de dos funciones integrables, es igual a la suma de sus integrales.

Demostración. Derivemos el primer y segundo miembros de la ecuación anterior:

Lado izquierdo

Lado derecho

Así, ambas derivadas difieren a lo más por una constante.

Teorema 2. La integral de una función por una constante es igual a la constante por la integral de la función.

Demostración. Derivemos el primer y segundo miembros de la ecuación anterior:

Lado izquierdo

Lado derecho

Así, ambas derivadas difieren a lo más por una constante.

En el cálculo de integrales se deben considerar las siguientes reglas:

I. Si

entonces

En efecto, si derivamos ambos miembros de la igualdad anterior, tenemos:

Lado izquierdo

Lado derecho

II. Si entonces

En efecto, si derivamos ambos miembros de la igualdad anterior, tenemos:

Lado izquierdo

Lado derecho

III. Combinando las reglas II y III:

Si

Entonces

La integral definida.

El problema del cálculo integral es la determinación del área debajo de la curva de una función definida por ^{y  f x}   ^.

Sea ^{y  f x}   una función continua dada en un intervalo   ^{a b , .} Designemos por m y M sus valores mínimo y máximo en ese intervalo, respectivamente. Efectuemos una partición de dicho intervalo mediante los siguientes puntos:

0 , , , ..., 1 2 _n 1 , _n , a x x x  x _ x  b siendo

0 1 2 ... _n .

x   x x  x y llamemos

1 0 1 , 2 1 2 , ..., _{n n} 1 2 . x  x   x x    x x x  x _   x

Designemos ahora los valores mínimo y máximo de la función ^{f x}  

en el intervalo  x x 0 , 1  , _por m ₁ y M ₁ , en el intervalo  x x 1 , 2  , _por m ₂ y M ₂ , ...

en el intervalo  x _{n } 1 , x _n  , _por m _n y M _n , respectivamente. Ver figura 1.



Las notas de esta sección son modificaciones del texto de N. Piskunov, Cálculo Diferencial en Integral, Montaner y Simón, España, 1983.

y

0 x

a x 

x n  b x 1 x ₂ x _i

m n M ⁿ

Figura 1. Aproximación del área de una curva por una suma de rectángulos.

Formemos las sumas

1 1 2 2

1

... ⁿ

n n n i i

i

s m x m x m x m x



         

1 1 2 2

1

...

n

n n n i i

i

s M x M x M x M x



         

llamadas suma inferior y suma superior, respectivamente.

Las sumas anteriores satisfacen las siguientes desigualdades:

  n n   ^.

m b a   s  s  M b a 

En cada uno de los intervalos  x x 0 , 1   , x x 1 , 2   , ..., x _{n } 1 , x _n  elijamos ahora, un punto que designaremos respectivamente por   1 , 2 ,..., ,  _{n tal que}

0 1 1 , 1 2 2 , ..., _n 1 _{n n} . x    x x    x x _    x

En cada uno de estos puntos calculemos el valor de la función f      1 , f  2 , ... , f    _{n y} formemos la suma

  1 1   2 2    

1

... ⁿ ,

n n n i i

i

s f  x f  x f  x f  x



         

que se llama la suma integral de la función ^{f x}   en el intervalo   ^{a b , .} Ver figura 2.

Sea  ⁱ un punto arbitrario perteneciente al intervalo  x _{i } 1 , x _i  . Se cumple que

  ^,

i i i

m  f   M

y como todos los  x i son mayores que 0, entonces

  ^,

i i i i i i

m x   f    x M x 

Por consiguiente,

 

1 1 1

,

n n n

i i i i i i

i i i

m x f  x M x

  

    

  

o sea

n n n . s  s  s

La interpretación geométrica de la última desigualdad es que, para ^{f x}   ^{ 0,} la curva cuya área es igual a s

está limitada por una curva comprendida entre las curvas escalonadas “inscrita” y circunscrita”. Ver figura 2.

Figura 2. Ilustración de la construcción de la suma integral.

La suma s

depende de la partición del intervalo [ , ] a b en los intervalos  x _{i } 1 , x _i  , así como de la elección de los puntos  ⁱ dentro de estos últimos.

Designemos por max  x _{i } 1 , x _i  a la mayor longitud de los intervalos  x x 0 , 1   , x x 1 , 2   , ..., x _{n } 1 , x _n  . Consideremos diferentes particiones del intervalo [ , ] a b en los intervalos  x _{i } 1 , x _i  tales que

 1 

max x _{i } , x _i  0.

Es evidente que, con el proceso de partición seguido, el número n de intervalos tiende a infinito.

Eligiendo los valores correspondientes de  _i , se puede formar, para cada partición, la suma integral

 

1

,

n

i i

i

f  x



 

de modo que se puede hablar de particiones sucesivas y de la correspondiente sucesión de integrales. Supongamos que para una sucesión dada de particiones con max  x _{i } 1 , x _i   0, _esta suma tienda a un límite I.

  1

f  f    2 f    n

a x  0  ₁ x ₁  ₂ x ₂ x _{n  1}  _n x _n  b ^x

y

Definición. Si para cualquier partición del intervalo   ^{a b ,} _{tal que} max  x _{i } 1 , x _i   0, cualesquiera que sean los puntos

i ,



la suma  

1 n

i i

i

f  x



 

tiende a un mismo límite I, se dice que la función

 

f x es integrable en el intervalo   ^{a b , ;} al límite I se le llama la integral definida de la función

 

f x en el intervalo   ^{a b ,}

y se designa por  _a ^{b f x dx}   ^. Simbólicamente,

   

max 0

1

lim .

i

n b

i i a

x i

f  x f x dx

  

   

Los números a y b se llaman límite inferior y límite superior de la integral, respectivamente. El intervalo   ^{a b ,} se llama intervalo de integración, y x es la variable de integración.

Importante. Toda función ^{y  f x}   que sea continua en un intervalo   ^{a b ,} es integrable en el mismo intervalo.

Observación 1. La integral definida depende sólo de los límites de integración y de la función

  ^,

f x pero no de la variable de integración, simbólicamente:

    ^...  

b b b

a f x dx  a f t dt   a f z dz

  

Observación 2. Al introducir el concepto de integral definida, se supuso que a b  . _Si b a  , _por definición tenemos

    ^.

b a

a f x dx   b f x dx

 

Ahora, por definición, cuando a b  se tiene que

  ^0.

a

a f x dx 



Propiedades de la integral indefinida.

Propiedades de linealidad.

 Si ^{f x}   es una función integrable en el intervalo   ^{a b ,} y c es una constante, entonces

   

b b

a c f x dx c  a f x dx

 

 Si f x 1   y f x 2   son funciones integrables en el intervalo   ^{a b , ,} _entonces

       

1 2 1 2 .

b b b

a   f x  f x dx    a f x dx  a f x dx

  

La integral y el orden.

 Si en el intervalo   ^{a b , ,} _donde ^{a b  ,} las funciones ^{f x}   ^{y }   ^x satisfacen la desigualdad

    ^,

f x   x _entonces

    ^.

b b

a f x dx  a  x dx

 

Figura 3. Ilustración de la propiedad anterior.

 

f x

  ^x



x y

   

f x   x

a b

 Si m y M son los valores mínimo y máximo de la función ^{f x}   en el intervalo   ^{a b , ,}

respectivamente, y a b  , _entonces:

  _a ^b     ^.

m b a    f x dx M b a  

Figura 4. Ilustración de la propiedad anterior.

Teorema del valor medio.

Si la función f x es continua en el intervalo     a b entonces existe en este intervalo un punto ^{, ,}  tal que se verifica la siguiente igualdad:

      ^.

b

a f x dx  b a f  



Figura 5. Ilustración del teorema del valor medio. Existe uno (o varios) números  para los cuales la integral de la función f x en el intervalo     a b coincide con el área de un rectángulo de base b a ,  y altura ^f   ^{ .}

a b

M m

 

f x

b a 

x y

a  b

 

f 

 

f x

Propiedad sobre los límites de integración.

Dados tres números a, b y c, se verifica la siguiente igualdad:

      ^,

b c c

a f x dx  a f x dx  b f x dx

  

en el supuesto que estas tres integrales existan.

Figura 6. Ilustración de la propiedad anterior.

x y

a c b

 

f x

Cálculo de la integral definida. Fórmula de Newton – Leibniz.

Suponga que en la integral definida

 

b

a f x dx



el límite inferior a es fijo, mientras que el límite superior b varía. Es evidente que también variará el valor de la integral, es decir, la integral dependerá de su límite superior.

Designemos el límite superior por x, y para evitar cualquier confusión designemos la variable de integración por t. Obtenemos entonces la integral

 

x

a f t dt



Ya que a es una constante, la integral sólo es función límite superior x, designemos esta función por

  ^{x :}



  ^x _a ^{x f t dt}   ^.

  

Si f t es una función no negativa, el valor de   ^   ^x será numéricamente igual al área del trapecio curvilíneo aAXx (ver figura 1). Evidentemente, esta área varía en función de x.

Determinemos ahora la derivada de ^   ^x respecto de x, es decir, la derivada de la integral definida respecto de su límite superior.

Figura 1. La integral definida como función dependiente del límite superior.

3

Las notas de esta sección son modificaciones del texto de N. Piskunov, Cálculo Diferencial en Integral, Montaner y Simón, España, 1983.

a x  x   x

A

X

 

f 

  ^x



  

x y

  ^x

y  f

Teorema 1. Si ^{f x}  

es una función continua y ^   ^{x }  _a ^{x f t dt}   ^, se verifica la igualdad

  ^x _dx ^d  ^{a x f t dt}    ^{f x   .}

    

En otras palabras, la derivada de una integral definida respecto a su límite superior es igual al integrando, en el cual la variable de integración está sustituida por el valor del límite superior (a condición de que la función en del integrando sea continua).

Demostración. Demos al argumento x un incremento arbitrario  x :

 ^{x x}  _a ^{x  x f x dx}   _a ^{x f x dx}   _x ^{x  x f x dx}   ^.

        

El incremento de la función es igual a

 ^{x x}    ^x _a ^{x f x dx}   _x ^{x  x f x dx}   _a ^{x f x dx}   ^.

            

Al cancelar dos integrales de la suma anterior, se tiene que

  ^.

x x

x ^ f x dx

  

Si se le aplica a esta integral el teorema del valor medio, que es una de las propiedades de la integral definida, entonces existe un número  , comprendido entre x y x   x _{tal que}

     ^.

f  x x x f  x

      

Ahora, determinemos la razón del incremento de la función al incremento de la variable:

    ^.

f x

x x f

 ^ 

  

 

Para determinar ^{ }   ^x es necesario obtener el límite cuando   x 0 :

0 0  

lim lim .

x x f

x 

   

 



Observamos que conforme   x 0 _también   x , de tal manera que

   

lim 0 lim .

x f x f

  

   

Como la función ^{f x}  

es continua, entonces ^lim     ^.

x f f x

 

 

Por lo tanto, hemos demostrado que

  ^{x d} _a ^{x f t dt}   ^{f x}   ^.

 dx

   

El teorema anterior tiene la siguiente interpretación geométrica: el incremento ^{  f}   ^{  x} _es

igual al área del trapecio curvilíneo de base  x , y la derivada ^{ }   ^{x  f x}   es igual a al longitud del segmento xX.

Del teorema anterior se deduce, en particular, que toda función continua admite una función primitiva.

Teorema 2. (Fórmula de Newton – Leibniz). Si ^{F x}   es una primitiva de una función ^{f x}   ^, _se

verifica que

      ^.

b

a f x dx F b   F a



Demostración. Sea ^{F x}  

una primitiva de ^{f x}   ^.

Según el teorema 1, la función 

^{f t dt}   _es

también una primitiva de ^{f x}   ^. Pero dos primitivas de una misma función difieren sólo por una constante C. De esta forma, podemos escribir

    ^.

x

a f t dt F x   C



Con una elección adecuada de C, esta igualdad es válida para todos los valores de x, o sea, es una identidad. Para determinar esa constante C, hagamos x a  ; _entonces

    ^,

a

a f t dt F a   C



como  _a ^{a f t dt}   ^{ 0,} se tiene que ^{C   F a}   ^.

Por consiguiente,

      ^.

x

a f t dt F x   F a



Haciendo x b  , obtenemos la fórmula de Newton – Leibniz:

      ^.

b

a f t dt F b   F a



o bien, si restituimos la variable de integración original x, tenemos:

      ^.

b

a f x dx F b   F a



Nota: a menudo se emplean las notaciones

         

b b b

a a

a f x dx F b   F a    F x    F x

