Problemas con Dígitos

(1)

Problemas con D´ıgitos

Claudio Vicente Espinoza Choqquepura

Lima, agosto de 2010

(2)

Introducci´ on

Al enfrentar problemas que involucran los d´ıgitos de un entero

positivo, sabemos antes de resolver el problema dos cosas: El

primer d´ıgito del n´ umero es significativo, es decir distinto de 0, y

adem´ as cada uno de los d´ıgitos est´ a en el conjunto {0, 1, 2, . . . , 9},

asumiendo que estemos usando la representaci´ on decimal del

n´ umero. El prop´ osito de esta presentaci´ on es resaltar algunos

resultados m´ as que se pueden utilizar para solucionar este tipo de

problemas.

(3)

Uso de Desigualdades

Consideremos el siguiente problema introductorio de la AMC(American Mathematics Competition):

Ejemplo

Hallar todos los n´ umeros enteros positivos menores que 1000 que

son iguales a seis veces su suma de d´ıgitos.

(4)

Uso de Desigualdades

Consideremos el siguiente problema introductorio de la AMC(American Mathematics Competition):

Ejemplo

Hallar todos los n´ umeros enteros positivos menores que 1000 que

son iguales a seis veces su suma de d´ıgitos.

(5)

Uso de Desigualdades

El primer dato nos dice que los n´ umeros tienen a lo m´ as 3 cifras, luego estamos en capacidad de analizar cada caso:

I

Si el n´ umero fuese de la forma abc, entonces necesitamos resolver

abc = 6(a + b + c)

=⇒ 100a + 10b + c = 6a + 6b + 6c

=⇒ 94a + 4b = 5c.

Luego como a ≥ 1, pues es primer d´ıgito, entonces 5c ≥ 94 lo

cual es un absurdo pues 5c es a lo m´ as 45.

(6)

Uso de Desigualdades

El primer dato nos dice que los n´ umeros tienen a lo m´ as 3 cifras, luego estamos en capacidad de analizar cada caso:

I

Si el n´ umero fuese de la forma abc, entonces necesitamos resolver

abc = 6(a + b + c)

=⇒ 100a + 10b + c = 6a + 6b + 6c

=⇒ 94a + 4b = 5c.

Luego como a ≥ 1, pues es primer d´ıgito, entonces 5c ≥ 94 lo

cual es un absurdo pues 5c es a lo m´ as 45.

(7)

Uso de Desigualdades

El primer dato nos dice que los n´ umeros tienen a lo m´ as 3 cifras, luego estamos en capacidad de analizar cada caso:

I

Si el n´ umero fuese de la forma abc, entonces necesitamos resolver

abc = 6(a + b + c)

=⇒ 100a + 10b + c = 6a + 6b + 6c

=⇒ 94a + 4b = 5c.

Luego como a ≥ 1, pues es primer d´ıgito, entonces 5c ≥ 94 lo

cual es un absurdo pues 5c es a lo m´ as 45.

(8)

Uso de Desigualdades

El primer dato nos dice que los n´ umeros tienen a lo m´ as 3 cifras, luego estamos en capacidad de analizar cada caso:

I

Si el n´ umero fuese de la forma abc, entonces necesitamos resolver

abc = 6(a + b + c)

=⇒ 100a + 10b + c = 6a + 6b + 6c

=⇒ 94a + 4b = 5c.

Luego como a ≥ 1, pues es primer d´ıgito, entonces 5c ≥ 94 lo

cual es un absurdo pues 5c es a lo m´ as 45.

(9)

Uso de Desigualdades

El primer dato nos dice que los n´ umeros tienen a lo m´ as 3 cifras, luego estamos en capacidad de analizar cada caso:

I

Si el n´ umero fuese de la forma abc, entonces necesitamos resolver

abc = 6(a + b + c)

=⇒ 100a + 10b + c = 6a + 6b + 6c

=⇒ 94a + 4b = 5c.

Luego como a ≥ 1, pues es primer d´ıgito, entonces 5c ≥ 94 lo

cual es un absurdo pues 5c es a lo m´ as 45.

(10)

Uso de Desigualdades

I

Si el n´ umero fuese de la forma ab, entonces nos queda la ecuaci´ on

ab = 6(a + b)

=⇒ 10a + b = 6a + 6b =⇒ 4a = 5b Ahora tenemos que a es un d´ıgito, distinto de cero pues es primera cifra, que es m´ ultiplo de 5. Luego a = 5 y por la tanto b = 4 y el ´ unico n´ umero en este caso es 54.

I

Si el n´ umero es de un d´ıgito nos queda a = 6a, luego aqui no hay soluciones enteras positivas.

Por lo tanto el ´ unico n´ umero que cumple es 54.

(11)

Uso de Desigualdades

I

Si el n´ umero fuese de la forma ab, entonces nos queda la ecuaci´ on

ab = 6(a + b) =⇒

10a + b = 6a + 6b =⇒ 4a = 5b Ahora tenemos que a es un d´ıgito, distinto de cero pues es primera cifra, que es m´ ultiplo de 5. Luego a = 5 y por la tanto b = 4 y el ´ unico n´ umero en este caso es 54.

I

Si el n´ umero es de un d´ıgito nos queda a = 6a, luego aqui no hay soluciones enteras positivas.

Por lo tanto el ´ unico n´ umero que cumple es 54.

(12)

Uso de Desigualdades

I

Si el n´ umero fuese de la forma ab, entonces nos queda la ecuaci´ on

ab = 6(a + b) =⇒ 10a + b = 6a + 6b

=⇒ 4a = 5b Ahora tenemos que a es un d´ıgito, distinto de cero pues es primera cifra, que es m´ ultiplo de 5. Luego a = 5 y por la tanto b = 4 y el ´ unico n´ umero en este caso es 54.

I

Si el n´ umero es de un d´ıgito nos queda a = 6a, luego aqui no hay soluciones enteras positivas.

Por lo tanto el ´ unico n´ umero que cumple es 54.

(13)

Uso de Desigualdades

I

Si el n´ umero fuese de la forma ab, entonces nos queda la ecuaci´ on

ab = 6(a + b) =⇒ 10a + b = 6a + 6b =⇒ 4a = 5b Ahora tenemos que a es un d´ıgito, distinto de cero pues es primera cifra, que es m´ ultiplo de 5. Luego a = 5 y por la tanto b = 4 y el ´ unico n´ umero en este caso es 54.

I

Si el n´ umero es de un d´ıgito nos queda a = 6a, luego aqui no hay soluciones enteras positivas.

Por lo tanto el ´ unico n´ umero que cumple es 54.

(14)

Uso de Desigualdades

I

Si el n´ umero fuese de la forma ab, entonces nos queda la ecuaci´ on

ab = 6(a + b) =⇒ 10a + b = 6a + 6b =⇒ 4a = 5b Ahora tenemos que a es un d´ıgito, distinto de cero pues es primera cifra, que es m´ ultiplo de 5. Luego a = 5 y por la tanto b = 4 y el ´ unico n´ umero en este caso es 54.

I

Si el n´ umero es de un d´ıgito nos queda a = 6a, luego aqui no hay soluciones enteras positivas.

Por lo tanto el ´ unico n´ umero que cumple es 54.

(15)

Uso de Desigualdades

I

Si el n´ umero fuese de la forma ab, entonces nos queda la ecuaci´ on

ab = 6(a + b) =⇒ 10a + b = 6a + 6b =⇒ 4a = 5b Ahora tenemos que a es un d´ıgito, distinto de cero pues es primera cifra, que es m´ ultiplo de 5. Luego a = 5 y por la tanto b = 4 y el ´ unico n´ umero en este caso es 54.

I

Si el n´ umero es de un d´ıgito nos queda a = 6a, luego aqui no hay soluciones enteras positivas.

Por lo tanto el ´ unico n´ umero que cumple es 54.

(16)

Uso de Desigualdades

En este problema, el primer dato que hemos utilizado es que los n´ umeros eran menores que 1000, es decir nos dec´ıan de manera t´ acita la cantidad de d´ıgitos que pod´ıa tener el n´ umero, con lo cual s´ olo ten´ıamos que resolver algunas ecuaciones lineales, como ocurre en varios problemas. Ahora que hubiese pasado si no nos daban la cantidad de d´ıgitos, incluso aunque analicemos los primeros casos no podr´ıamos resolver completamente el problema si antes no acotamos la cantidad de cifras del n´ umero en cuesti´ on.

La siguiente proposici´ on puede ser ´ util para estos casos:

(17)

Uso de Desigualdades

Proposici´ on

Sean C (n) y S (n) la cantidad de d´ıgitos y la suma de d´ıgitos del n´ umero n respectivamente, entonces

10

^{C (n)−1}

≤ n < 10

^{C (n)}

y S (n) ≤ 9C (n)

(18)

Uso de Desigualdades

Proposici´ on

Sean C (n) y S (n) la cantidad de d´ıgitos y la suma de d´ıgitos del n´ umero n respectivamente, entonces

10

^{C (n)−1}

≤ n < 10

^{C (n)}

y S (n) ≤ 9C (n)

(19)

Uso de Desigualdades

Usemos el resultado anterior para generalizar el problema anterior

Ejemplo

Hallar todos los n´ umeros enteros positivos que son iguales a seis

veces su suma de d´ıgitos.

(20)

Uso de Desigualdades

Usemos el resultado anterior para generalizar el problema anterior Ejemplo

Hallar todos los n´ umeros enteros positivos que son iguales a seis

veces su suma de d´ıgitos.

(21)

Uso de Desigualdades

Soluci´ on

Sea n uno de dichos n´ umeros y sean k y S la cantidad y suma de d´ıgitos de n.Por el resultado anterior tenemos

10

^k−1

≤ n y S ≤ 9k. Por condici´ on del problema n = 6S , entonces

10

^k−1

≤ 6S ≤ 54k

Notemos que 10

³

> 54 × 4, supongamos que 10

^m−1

> 54m para alg´ un m > 3, entonces

10

^m

= 10

^m−1

× 10 > 540m > 54(m + 1).

Luego por el principio de inducci´ on matem´ atica 10

^m−1

> 54m para

todo m ≥ 4.Con esto hemos probado que k ≤ 3, es decir nuestro

n´ umero n tiene a lo m´ as tres d´ıgitos y desde aqu´ı s´ olo repetir lo

hecho en el ejemplo anterior.

(22)

Uso de Desigualdades

Soluci´ on

Sea n uno de dichos n´ umeros y sean k y S la cantidad y suma de d´ıgitos de n.

Por el resultado anterior tenemos 10

^k−1

≤ n y S ≤ 9k. Por condici´ on del problema n = 6S , entonces

10

^k−1

≤ 6S ≤ 54k

Notemos que 10

³

> 54 × 4, supongamos que 10

^m−1

> 54m para alg´ un m > 3, entonces

10

^m

= 10

^m−1

× 10 > 540m > 54(m + 1).

Luego por el principio de inducci´ on matem´ atica 10

^m−1

> 54m para

todo m ≥ 4.Con esto hemos probado que k ≤ 3, es decir nuestro

n´ umero n tiene a lo m´ as tres d´ıgitos y desde aqu´ı s´ olo repetir lo

hecho en el ejemplo anterior.

(23)

Uso de Desigualdades

Soluci´ on

Sea n uno de dichos n´ umeros y sean k y S la cantidad y suma de d´ıgitos de n.Por el resultado anterior tenemos

10

^k−1

≤ n y S ≤ 9k.

Por condici´ on del problema n = 6S , entonces 10

^k−1

≤ 6S ≤ 54k

Notemos que 10

³

> 54 × 4, supongamos que 10

^m−1

> 54m para alg´ un m > 3, entonces

10

^m

= 10

^m−1

× 10 > 540m > 54(m + 1).

Luego por el principio de inducci´ on matem´ atica 10

^m−1

> 54m para

todo m ≥ 4.Con esto hemos probado que k ≤ 3, es decir nuestro

n´ umero n tiene a lo m´ as tres d´ıgitos y desde aqu´ı s´ olo repetir lo

hecho en el ejemplo anterior.

(24)

Uso de Desigualdades

Soluci´ on

Sea n uno de dichos n´ umeros y sean k y S la cantidad y suma de d´ıgitos de n.Por el resultado anterior tenemos

10

^k−1

≤ n y S ≤ 9k.

Por condici´ on del problema n = 6S , entonces 10

^k−1

≤ 6S ≤ 54k

Notemos que 10

³

> 54 × 4, supongamos que 10

^m−1

> 54m para alg´ un m > 3, entonces

10

^m

= 10

^m−1

× 10 > 540m > 54(m + 1).

Luego por el principio de inducci´ on matem´ atica 10

^m−1

> 54m para

todo m ≥ 4.Con esto hemos probado que k ≤ 3, es decir nuestro

n´ umero n tiene a lo m´ as tres d´ıgitos y desde aqu´ı s´ olo repetir lo

hecho en el ejemplo anterior.

(25)

Uso de Desigualdades

Soluci´ on

Sea n uno de dichos n´ umeros y sean k y S la cantidad y suma de d´ıgitos de n.Por el resultado anterior tenemos

10

^k−1

≤ n y S ≤ 9k.

Por condici´ on del problema n = 6S , entonces 10

^k−1

≤ 6S ≤ 54k

Notemos que 10

³

> 54 × 4, supongamos que 10

^m−1

> 54m para alg´ un m > 3, entonces

10

^m

= 10

^m−1

× 10 > 540m > 54(m + 1).

Luego por el principio de inducci´ on matem´ atica 10

^m−1

> 54m para todo m ≥ 4.

Con esto hemos probado que k ≤ 3, es decir nuestro

n´ umero n tiene a lo m´ as tres d´ıgitos y desde aqu´ı s´ olo repetir lo

hecho en el ejemplo anterior.

(26)

Uso de Desigualdades

Soluci´ on

Sea n uno de dichos n´ umeros y sean k y S la cantidad y suma de d´ıgitos de n.Por el resultado anterior tenemos

10

^k−1

≤ n y S ≤ 9k.

Por condici´ on del problema n = 6S , entonces 10

^k−1

≤ 6S ≤ 54k

Notemos que 10

³

> 54 × 4, supongamos que 10

^m−1

> 54m para alg´ un m > 3, entonces

10

^m

= 10

^m−1

× 10 > 540m > 54(m + 1).

(27)

Uso de Desigualdades

Veamos ahora un problema un poco m´ as dif´ıcil de una olimpiada rusa.

Ejemplo

Hallar todos los n´ umeros naturales n tales que la suma de d´ıgitos

de 5

ⁿ

es igual a 2

ⁿ

.

(28)

Uso de Desigualdades

Veamos ahora un problema un poco m´ as dif´ıcil de una olimpiada rusa.

Ejemplo

Hallar todos los n´ umeros naturales n tales que la suma de d´ıgitos

de 5

ⁿ

es igual a 2

ⁿ

.

(29)

Uso de Desigualdades

Soluci´ on:

En primer lugar notemos que 5

ⁿ

< 10

ⁿ

, es decir 5

ⁿ

tiene a lo m´ as n d´ıgitos y por lo tanto su suma de d´ıgitos es a lo m´ as 9n. Luego los n´ umeros n que buscamos deben cumplir que

2

ⁿ

≤ 9n.

Ahora vamos a tabular los primeros valores de n, 2

ⁿ

y 9n: n 2

ⁿ

9n

1 2 9

2 4 18

3 8 27

4 16 36

5 32 45

6 64 54

7 128 63

.. . .. . .. .

(30)

Uso de Desigualdades

Soluci´ on:

En primer lugar notemos que 5

ⁿ

< 10

ⁿ

, es decir 5

ⁿ

tiene a lo m´ as n d´ıgitos y por lo tanto su suma de d´ıgitos es a lo m´ as 9n. Luego los n´ umeros n que buscamos deben cumplir que

2

ⁿ

≤ 9n.

Ahora vamos a tabular los primeros valores de n, 2

ⁿ

y 9n: n 2

ⁿ

9n

1 2 9

2 4 18

3 8 27

4 16 36

5 32 45

6 64 54

7 128 63

.. . .. . .. .

(31)

Uso de Desigualdades

Soluci´ on:

En primer lugar notemos que 5

ⁿ

< 10

ⁿ

, es decir 5

ⁿ

tiene a lo m´ as n d´ıgitos y por lo tanto su suma de d´ıgitos es a lo m´ as 9n. Luego los n´ umeros n que buscamos deben cumplir que

2

ⁿ

≤ 9n.

Ahora vamos a tabular los primeros valores de n, 2

ⁿ

y 9n:

n 2

ⁿ

9n

1 2 9

2 4 18

3 8 27

4 16 36

5 32 45

6 64 54

7 128 63

(32)

Uso de Desigualdades

Observemos que a partir de n = 6 se cumple que 2

ⁿ

> 9n, la prueba de esto se realiza por inducci´ on. Como para n = 6 esto es cierto y adem´ as

2

ⁿ

> 9n =⇒ 2

ⁿ⁺¹

> 18n =⇒ 2

ⁿ⁺¹

> 9(n + 1),

tenemos que 2

ⁿ

> 9n para todo n ≥ 6. Los ´ unicos valores de n que podr´ıan son

n 5

ⁿ

S (5

ⁿ

) 2

ⁿ

1 5 5 2

2 25 7 4

3 125 8 8

4 625 13 16

(33)

Uso de Desigualdades

Veamos ahora otro resultado tambi´ en ´ util

Proposici´ on

Si S (n) representa la suma de d´ıgitos de n entonces se cumplen las siguientes propiedades

S (a + b) ≤ S(a) + S(b)

S (ab) ≤ S(a)S(b)

(34)

Uso de Desigualdades

Veamos ahora otro resultado tambi´ en ´ util Proposici´ on

Si S (n) representa la suma de d´ıgitos de n entonces se cumplen las siguientes propiedades

S (a + b) ≤ S(a) + S(b)

S (ab) ≤ S(a)S(b)

(35)

Uso de Desigualdades

Demostraci´ on:

Consideremos las representaciones polin´ omicas de a y b a = a

₀

+ a

₁

10 + a

₂

10

²

+ · · · b = b

₀

+ b

₁

10 + b

₂

10

²

+ · · · , donde para cada i se cumple a

_i

, b

_i

∈ {0, 1, . . . , 9}. Luego

a + b = (a

0

+ b

0

) + (a

1

+ b

1

)10 + · · · + (a

i

+ b

i

)10

ⁱ

+ · · · Si ocurriese que a

_i

+ b

_i

∈ {0, 1, . . . , 9} para cada i entonces

S (a + b) = S (a) + S (b)

(36)

Uso de Desigualdades

Si esto no ocurriese tendr´ıamos que corregir el numeral comenzando por los d´ıgitos de menor orden, cada vez que necesitemos realizar esta operaci´ on restamos 10 a cada d´ıgito y sumamos 1 al d´ıgito de orden inmediato superior, luego cada vez que realicemos esta operaci´ on estamos restando 9 a S (a) + S (b) para al final obtener S (a + b).

Luego hemos probado que S (a + b) = S (a) + S (b) − 9k, donde k es la cantidad de correciones necesarias al realizar la suma de manera vertical, en particular tenemos

S (a + b) ≤ S (a) + S (b).

(37)

Uso de Desigualdades

En el caso del producto ocurre algo similar:

ab = (a

0

+ a

1

10 + · · · )(b

0

+ b

1

10 + · · · )

= a

₀

b

₀

+ (a

₀

b

₁

+ a

₁

b

₀

)10 + · · · + ( X

i +j =k

a

_i

b

_j

)10

^k

+ · · ·

= X

k≥0

c

_k

10

^k

.

Podr´ıa ocurrir que c

k

≤ 9 para todo k, en este caso los n´ umeros c

k

ser´ıan iguales a los d´ıgitos de ab, si esto no ocurriese tendr´ıamos que corregir el n´ umeral en cuya caso S (ab) ser´ıa menor que la suma de los c

k

. En ambos casos se cumple que:

S (ab) ≤ X

k≥0

c

_k

= X

k≥0



 X

i +j =k

a

_i

b

_j



 = ( X

i ≥0

a

_i

)( X

j ≥0

b

_j

) = S (a)S (b).

(38)

Uso de Desigualdades

En el caso del producto ocurre algo similar:

ab = (a

0

+ a

1

10 + · · · )(b

0

+ b

1

10 + · · · )

= a

₀

b

₀

+ (a

₀

b

₁

+ a

₁

b

₀

)10 + · · · + ( X

i +j =k

a

_i

b

_j

)10

^k

+ · · ·

= X

k≥0

c

_k

10

^k

.

Podr´ıa ocurrir que c

k

≤ 9 para todo k, en este caso los n´ umeros c

k

ser´ıan iguales a los d´ıgitos de ab, si esto no ocurriese tendr´ıamos que corregir el n´ umeral en cuya caso S (ab) ser´ıa menor que la suma de los c

k

. En ambos casos se cumple que:

S (ab) ≤ X

k≥0

c

_k

= X

k≥0



 X

i +j =k

a

_i

b

_j



 = ( X

i ≥0

a

_i

)( X

j ≥0

b

_j

) = S (a)S (b).

(39)

Uso de Desigualdades

En el caso del producto ocurre algo similar:

ab = (a

0

+ a

1

10 + · · · )(b

0

+ b

1

10 + · · · )

= a

₀

b

₀

+ (a

₀

b

₁

+ a

₁

b

₀

)10 + · · · + ( X

i +j =k

a

_i

b

_j

)10

^k

+ · · ·

= X

k≥0

c

_k

10

^k

.

Podr´ıa ocurrir que c

k

≤ 9 para todo k, en este caso los n´ umeros c

k

ser´ıan iguales a los d´ıgitos de ab, si esto no ocurriese tendr´ıamos que corregir el n´ umeral en cuya caso S (ab) ser´ıa menor que la suma de los c

k

. En ambos casos se cumple que:

S (ab) ≤ X

k≥0

c

_k

= X

k≥0



 X

i +j =k

a

_i

b

_j



 = ( X

i ≥0

a

_i

)( X

j ≥0

b

_j

) = S (a)S (b).

(40)

Uso de Desigualdades

En el caso del producto ocurre algo similar:

ab = (a

0

+ a

1

10 + · · · )(b

0

+ b

1

10 + · · · )

= a

₀

b

₀

+ (a

₀

b

₁

+ a

₁

b

₀

)10 + · · · + ( X

i +j =k

a

_i

b

_j

)10

^k

+ · · ·

= X

k≥0

c

_k

10

^k

.

Podr´ıa ocurrir que c

k

≤ 9 para todo k, en este caso los n´ umeros c

k

ser´ıan iguales a los d´ıgitos de ab, si esto no ocurriese tendr´ıamos

que corregir el n´ umeral en cuya caso S (ab) ser´ıa menor que la

suma de los c

k

. En ambos casos se cumple que:

(41)

Uso de Desigualdades

Una aplicaci´ on de la proposici´ on anterior, puede ser el siguiente problema:

Ejemplo

Para cada entero positivo n, sea S (n) la suma de d´ıgitos de n. Probar que para todo n se cumple

S (2n) ≤ 2S (n) ≤ 10S (2n)

(Irlanda 1996)

(42)

Uso de Desigualdades

Una aplicaci´ on de la proposici´ on anterior, puede ser el siguiente problema:

Ejemplo

Para cada entero positivo n, sea S (n) la suma de d´ıgitos de n.

Probar que para todo n se cumple

S (2n) ≤ 2S (n) ≤ 10S (2n)

(Irlanda 1996)

(43)

Uso de Desigualdades

Soluci´ on

Usando la primera parte de la proposici´ on con a = b = n obtenemos:

S (2n) = S (n + n) ≤ S (n) + S (n) = 2S (n)

Ahora usando la segunda parte de la proposici´ on con a = 2n y b = 5 nos queda:

S (n) = S (10n) ≤ S (2n)S (5) = 5S (2n)

Multiplicando por 2 a cada lado obtenemos el resultado pedido.

(44)

Uso de Desigualdades

Soluci´ on

Usando la primera parte de la proposici´ on con a = b = n obtenemos:

S (2n) = S (n + n) ≤ S (n) + S (n) = 2S (n)

Ahora usando la segunda parte de la proposici´ on con a = 2n y b = 5 nos queda:

S (n) = S (10n) ≤ S (2n)S (5) = 5S (2n)

Multiplicando por 2 a cada lado obtenemos el resultado pedido.

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