TEMA 2

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TEMA 2. GEOMETRIA DEL PLANO

2.1 VECTORES

Dados dos puntos A y B, llamaremos vector AB , al segmento orientado que va → desde el punto A hasta el punto B. El punto A se llama origen y al punto B se le llama extremo.

El vector AB , queda perfectamente determinado por los puntos A y B, y es → un vector que llamaremos fijo. Además, en un vector podemos considerar:

* Módulo: Longitud del segmento, si lo expresamos AB →

* Dirección: Es la de la recta que pasa por los dos puntos, y también la de sus

paralelas, así, dos vectores tienen la misma dirección si están sobre la misma recta o en rectas paralelas.

* Sentido: es el del recorrido desde el origen hasta el extremo.

Dos vectores que tengan el mismo módulo, dirección y sentido se llaman

equipolentes. Por tanto, si tenemos un vector AB y todos sus equipolentes a el, → obtenemos un conjunto de vectores que se llama vector libre, que en la práctica es lo que vamos siempre a considerar.

2.1.1 Coordenadas del vector: Dado el vector AB , si →

) a b , a b ( AB )

b , b ( B

) a , a ( A

y y x x y

x y x

− −

= 

 

 →

Ejemplo: A( ,1−3) B(4,4)

→

AB=(4− ,14−(−3)) =(3,7)

→

AB ₌ 32 ₊72 ₌ 58

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2.1.1 Operaciones con vectores

* Multiplicación por un escalar: k·uG=k·(a,b)=(ka,kb); es decir estamos

agrandando o reduciendo el vector, incluso, si k negativo, le estamos modificando su sentido.

* Suma de vectores: u+v =(ax +bx,ay +by)

G G

o bien gráficamente mediante la

regla del paralelogramo

* Producto escalar de vectores:

o →u·→v = uG · vG ·cos(uG∧,vG) y en función de las coordenadas del vector

o u·v =u1·v1+u2·v2

→ →

Esto nos da lugar a calcular el ángulo formado por dos vectores

v · u

v · u v · u ) v , u

cos(G∧G ₌ 1 1_G+_G2 2

Ejemplos: uG=(3,2) vG=(− ,15) k = 3

a) k·uG=3·(3,2)=(9,6)

b) uG+vG=(3+(−1),2+5)=(2,7)

c) uG ₌ 32 ₊22 ₌ 9₊4 ₌ 13 _vG ₌ ₍₋₁₎2 ₊₅2 ₌ ₁₊₂₅ ₌ ₂₆

2 2 1 1·v u ·v u

v ·

u →= +

→

7 10 3 5 · 2 ) 1 ( ·

3 − + =− + =

=

v · u

v · u v · u ) v , u

cos(G∧G ₌ 1 1_G+_G2 2 ₀_'₃₈₀₇

26 2 7 2 13

7 26 · 13

7 ₌ ₌ ₌

=

" 12 ' 37 º 67

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2.2 LA RECTA EN EL PLANO

Se denomina recta al conjunto de puntos X determinado por un punto fijo P y una dirección uG , en la forma siguiente:

u · P

X= +λ G, λ∈ℜ

Es decir, cualquier punto X, que pueda expresarse como P+λ·uGpara algún valor

real de λ, estará en la recta y viceversa.

Si lo expresamos en función de las coordenadas será:

) u , u ( · ) b , a ( ) y , x

( = +λ 1 2 y se denomina Ecuación Vectorial de la recta

Si realizamos las operaciones e identificamos las primera coordenadas con las primeras coordenadas y las segundas con las segundas nos queda

2 1 u b y

u a x

λ + =

y se denomina Ecuación Paramétrica de la recta

Si despejamos el valor de λ, llamado parámetro e igualamos nos queda:

2

1 u

b y u

a

x −

= −

, y se denomina Ecuación Continua de la recta

Podemos ahora realizar las operaciones, es decir, multiplicar en cruz y luego pasarlo todo al primer miembro y el resultado se parecerá mucho a la expresión siguiente:

0 C By

Ax+ + = que se denomina Ecuación General de la recta.

Si en lugar de lo anterior, solamente pasamos el u al otro lado, nos queda: ₂

(

x a

)

· u u b y

1 2 ₋

=

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Si en cualquiera de las dos expresiones anteriores hacemos operaciones y despejamos y quedara algo parecido a y=mx+n, que se llama Ecuación Explicita

de la recta, donde m representa la inclinación de la recta también llamada pendiente.

Ejemplos:

a) Determinar todas las ecuaciones de la recta que pasa por P(2,3) y lleva la dirección del vector uG=(3,−1)

Vectorial: (x,y)=(2,3)+λ·(3,−1)

Paramétrica:

λ − =

λ + =

3 y

3 2 x

Continua:

1 3 y 3

2 x

− − = −

General: x+3y−11=0

Punto-Pendiente: (x 2) 3

1 3

y− = − −

Explicita:

3 11 x 3

1 y= − +

b) Determinar todas las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A(1,2) y B(-1,1)

En primer lugar tenemos que determinar el vector que pasa por dichos puntos, es

decir, el vector AB (si queremos también se puede usar el → BA ) →

→

AB=(1−(−1),2−1)=(21,)y ya tenemos el vector, ahora la solución del ejercicio

es bastante similar al problema anterior, tomando como punto fijo el que queramos tanto A como B y como dirección el vector que acabamos de calcular.

2.3 POSICION RELATIVA DE DOS RECTAS

Como todos sabemos, dos rectas en el plano tienen que estar en alguna de estas posiciones: Secantes, Paralelas o Coincidentes, dicho de otra manera, tienen un punto en común, no tienen ninguno, o bien, todos los puntos son comunes a las dos Vamos ahora a ver que procedimiento seguir para averiguar en que posición están dos rectas, sin necesidad de representarlas

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0 ' C y ' B x ' A :' r 0 C By Ax : r = + + = + +

, para averiguar en que posición están podemos intentar

resolver el sistema, si me sale solución, es evidente que son secantes y si no me sale serán entonces o paralelas o coincidentes.

Caso 1: Las rectas son secantes:

1º Se cortan en un punto, dicho punto es la solución del sistema 2º No son paralelas, esto quiere decir que sus pendientes tienen

que ser diferentes, por lo tanto sus vectores no pueden ser

proporcionales, por lo tanto:

' B B ' A A _≠

Caso 2: Las rectas son paralelas:

1º El sistema no puede tener solución

2º Sus pendientes son iguales y por lo tanto sus vectores

proporcionales: ' C C ' B B ' A

A ₌ _≠ _;_m₌_m_'

Caso 3: Las rectas son coincidentes

1º Obtenemos una identidad al intentar resolver el sistema

2º Las pendiente iguales, y las ordenadas del origen también:

' C C ' B B ' A

A ₌ ₌ _;_m₌_m_'

Ejemplos:

Determinar la posición relativa de las rectas:

a) 0 5 y 6 x 3 : s 8 y 4 x 2 : r = + − = −

En primer lugar las ponemos las dos de la misma manera, es

decir 0 5 y 6 x 3 : s 0 8 y 4 x 2 : r = + − = − −

y ahora como

5 8 6 4 3

2 _≠ −

− −

= , las rectas son paralelas

b) 0 1 y 3 x : s ) 2 x ( 2 1 y : r = + − − = −

Tenemos que tener las dos expresadas en la mima forma para

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a su forma general nos queda:

0 1 y 3 x : s

0 3 y x 2 : r

= + −

= − −

donde fácilmente se ve que:

3 1 1 2

− − ≠

y las rectas son secantes. Si quisiéramos además saber en que punto son secantes, o dicho de otra manera, cuál es el punto de corte, resolveremos el sistema por alguno de los métodos ya conocidos.

Despejamos x en la segunda ecuación x=3y−1 sustituimos en la primera

y nos queda:; 2(3y−1)−y−3=0 ⇒ 5y−5=0 ⇒ y=1.

Sustituyendo este valor donde habíamos despejado antes, x = 3-1=2. El punto de corte de las rectas es (2,1)

c)

1 y 2

1 x : s

2 y 4 x 2 : r

− = −

, como en los ejercicios anteriores, antes de empezar, tenemos

que tener ambas ecuaciones en la misma forma; por lo que pasamos la segunda a la

forma general

1 y 2 x : s

2 y 4 x 2 : r

= −

y fácilmente se ve que

1 2 2 4 1

2 ₌

− −

= , es decir que las

rectas son coincidentes, esto es, son la misma recta.

2.4 ÁNGULO Y DISTANCIAS ENTRE RECTAS

Ángulo entre dos rectas: Es el menor que forman sus vectores directores. Para calcularlos se localiza el vector de cada recta y luego se calcula el ángulo.

Distancia entre dos puntos: Es el módulo del vector que une dichos puntos,

es decir, d(A,B)= AB→

Distancia entre un punto y una recta: Es el módulo del vector que une dicho punto con su proyección ortogonal sobre la recta; es otras palabras, hay que trazar la perpendicular desde el punto hasta la recta, y el punto de corte es la proyección ortogonal. El desarrollo teórico de la fórmula siguiente es complejo así que la

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Distancia entre dos rectas: Evidentemente, solo tiene sentido si las rectas son paralelas, ya que si don secantes, la distancia es cero y si son coincidentes,

pues lo mismo.

( )

2 2 _B A

' C C s , r d

+ − =

Ejemplos:

a) Ángulo entre las rectas r:3x−2y=1, s:−x+2y=3

Los vectores de las rectas son uG=(2,3) y vG=(21,)aplicando la formula para el

coseno e dos vectores:

65 7 5 · 13

1· 3 2 · 2

cosα= + = , usando la calculadora α=29º 44'42"

b) Distancia entre las rectas, 2x+3y−4=0 y 2x+3y+7=0

( )

2 2 ₃ 2

7 4 s

, r d

+ − −

= =

13 11

c) Distancia entre el punto (-1,2) y la recta 4x−3y+1=0

( )

5 9 5

9 )

3 ( 4

1 2 · 3 ) 1 ( 4 r , P d

2

2 =

− = − +