Apuntes de Microeconomía
Capítulo 3
Bernardita Vial
Felipe Zurita
3
Oferta individual
En este capítulo estudiaremos la teoría del comportamiento de empresas que operan en ambientes perfectamente competitivos, esto es, los deter-minantes de las decisiones de contratación de insumos (que en virtud de la simplicidad restringimos a las nociones vagas de capital y trabajo, pero cuyo espíritu es amplio, abarcando decisiones como localización, inver-sión, etc.), de producción y de venta.
A diferencia del caso del consumidor, en que en principio se considera a la preferencia como un factor completamente subjetivo, en el caso de la empresa se supone un objetivo particular, el de la maximización de las ganancias.
En cierta medida, este supuesto es necesario para mantener la coherencia con la teoría del consumidor. En efecto, supongamos que el consumi-dor es una persona (y no, por ejemplo, una familia). Ese consumiconsumi-dor es probablemente a la vez un trabajador o un empresario. ¿Qué significa que su comportamiento en estos otros roles sea coherente con su com-portamiento como consumidor? Entre otras cosas, significa que si como consumidor no está saciado, entonces en sus otros roles optará por deci-siones que le permitan conseguir un mayor nivel de consumo en tanto ello no interfiera con otros objetivos. Así, el trabajador escogerá la ocupación que le ofrezca el mayor ingreso total (entendido como ingreso monetario más valor del ocio), y el empresario tomará decisiones tendientes a con-seguir el mayor ingreso neto (ganancia) de su empresa.
con el trabajo o la empresa, en cuyo caso estas otras características com-petirían con el ingreso del trabajador o con las ganancias del empresario. Que el trabajador tenga una preferencia que depende sólo del ocio y del ingreso significa que no tiene preferencias por tipos de trabajo, lo que seguramente no se ajusta a la realidad. Quizás los artistas, por ejemp-lo, mayoritariamente sienten que están renunciando a mayores niveles de consumo a cambio de dedicarse a activides que los llenan de satisfacción. Como toda teoría, el propósito de la teoría de la oferta de trabajo alu-dida es puntual, y no dice relación con estos aspectos. En virtud de la simplicidad, entonces, se sacrifican (grandes) cuotas de realismo descrip-tivo en aspectos de menor importancia respecto del problema que interesa analizar. En cambio, esos aspectos son incorporados cuando se consid-eran importantes para el problema que se analiza. Así, por ejemplo, la incorporación de los gustos por determinadas actividades es el centro de la teoría de las diferencias igualizantes.
De igual manera, que el empresario busque exclusivamente maximizar ganacias significa que le son indiferentes la tasa de mortalidad de em-pleados por accidentes laborales, vender automóviles con desperfectos mecánicos o causar un desastre ecológico, en tanto esas decisiones generen mayores ganancias que las alternativas, lo que ciertamente no describe adecuadamente el comportamiento ético de un gran número de empresa-rios. Para el análisis de situaciones en que las preferencias por conductas éticas son importantes, es relativamente sencillo complicar el análisis que desarrollamos en este capítulo. El modelo simple del que nos ocupamos ahora, en cambio, es útil para el análisis de decisiones éticamente neu-trales.
hechizoceteris paribus. Quizás este aspecto metodológico sea la causa de que se vea a veces a la economía como simplista. No lo es, aunque se debe admitir que existen economistas que olvidan revertir el hechizo.
Existe otra complejidad relacionada con las ya mencionadas, cuyo análi-sis postponemos de la misma forma: la pregunta acaso anterior de si la empresapuedeo no maximizar ganacias. Puede ser que los dueños de una empresa quieran conseguir la mayor ganancia o lucro posible, pero ya sea por la necesaria especialización en las tareas o en razón del tamaño de las operaciones, se vean obligados a delegar buena parte de las de-cisiones. Es perfectamente imaginable que la delegación de tareas sea imperfecta, y que redunde en que muchas decisiones no sean las que el o los dueños preferirían hubiesen sido (un ejemplo inmediato: el gasto de papel, luz y teléfono en las oficinas). Sin embargo, si bien en este capí-tulo suponemos que los dueños de las empresas tienen un control total sobre los insumos, es posible incorporar en cierta medida los costos de la delegación al describir las posibilidades tecnológicas del empresario.
Matemáticamente, entonces, suponemos que las decisiones de contrata-ción de insumos, de produccontrata-ción y de venta del (único) bien o servicio que la empresa ofrece, provienen de:
max
{x,z1,...,zn}
π = (px)−(w1z1+...+wnzn) ((30))
sujeto a 0 ≤ x≤f(z1, ..., zn)
z1, z2, ..., zn ≥ 0
donde x es el número de unidades del bien vendidas al precio unitario
dep,zj el número de unidades del insumoj (j = 1,2, ..., n)contratadas
o empleadas en la producción del bien,wj el precio unitario del insumo
j, y f(z1, ..., zn) es el máximo número de unidades del bien que, con
la tecnología disponible y la canasta de insumos (z1, ..., zn), la empresa
La ganancia(π)corresponde a la diferencia entre el ingreso total por
ven-tas y los costos de producción. El supuesto de competencia se manifiesta en que los precios de insumos y del producto se toman como dados, esto es, no hay negociación posible sobre esos valores.
Este capítulo, entonces, estudia la forma de la solución del problema (30). En la primera sección se ahonda (y abunda) en la descripción de la res-tricción. En la segunda se estudian los costos en conexión con las posi-bilidades. La última sección estudia la solución en forma global.
Lecturas recomendadas:
Armen Alchian (“Uncertainty, Evolution, and Economic Theory”, The Journal of Political Economy, Vol. 58, No. 3., 1950, pp. 211-221) señala la posibilidad de que aunque las empresas no maximicen consciente-mente las ganancias, el proceso evolutivo seleccione aquellas empresas que ex post tomaron mejores decisiones, de modo que el comportamien-to de las sobrevivientes se podría entender como si maximizaran utili-dades. Prajit Dutta y Roy Radner (“Profit Maximization and the Market Selection Hypothesis”, The Review of Economic Studies, Vol. 66, No. 4., 1999, pp. 769-798) disputan este argumento, mostrando que en un mundo con incertidumbre, casi seguramente las empresas que sobrevi-ven en el largo plazo siguen otras reglas de decisión.
Funciones de producción
En concordancia con el método delineado en los dos capítulos anteriores, entender un problema de decisión parte por entender el conjunto de posi-bilidades a que el individuo se enfrenta.
resulta en la generación de un determinado producto. Quizás existen di-versas maneras de generar el mismo nivel de producto, o quizás el uso de una misma canasta de insumos puede resultar en diversos niveles de producto. Lo que sin duda es cierto es que independientemente de la tec-nología con que se combinen los insumos, la cantidad de producto que se obtiene de una canasta finita de insumos debe serfinita. Considerando que otras canastas de insumos probablemente tienen otros límites máxi-mos de producción, escribimáxi-mos formalmente:
x≤f(z1, ..., zn) (29)
La función de producción describe el límite (o frontera) de estas posibili-dades. Matemáticamente, es una función que asigna a cada combinación de factoresz1, z2, ..., znel máximo nivel de producto posible (lo que
con-sidera de manera implícita la tecnología existente como un dato). Si () describe las posibilidades, la función de producción
x=f(z1, ..., zn) (30)
describe su frontera.
En general en este curso consideraremos el caso de dos factores, que usualmente llamaremos capital y trabajo, y denotaremos porK yL
res-pectivamente.
Podemos, al igual que en el caso de la función de utilidad, caracterizar la función de producción en términos de sus derivadas parciales (gradiente) y de sus curvas de nivel (llamadas en este contexto isocuantes). A dife-rencia de la función de utilidad, sin embargo, consideramos a la función de producción como cardinal, esto es, cualquier transformación def
gen-era posibilidades distintas. En términos del gráfico en tres dimensiones, su altura absoluta es importante. De hecho, le llamamos progreso técnico al crecimiento de esta frontera.
tec-nología existente, o función de producción, que en último término la ca-racterizan, a saber: (1) qué ocurre con la cantidad producida al variar
K oL; (2) qué ocurre con la cantidad producida si cambian ambos
fac-tores a la vez; y (3) cuál es el grado de sustituibilidad entre los facfac-tores. Analizaremos cada una de estas tres preguntas por separado.
1. Productividad de los factores.
La idea de productividad se refiere a la idea de que el insumo genera el producto, o es necesario para generarlo. Un insumo es más produc-tivo si la misma cantidad de insumo genera más unidades de producto. Existen, sin embargo, diversas maneras en las que podemos pensar en productividad, y conviene distinguirlas. Se define la Productividad Marginal(o el Producto Marginal) de un factorj como:
P M gj =
∂f ∂zj
Así, la Productividad Marginal corresponde al (máximo) número de unidades de producto que se pueden conseguir si se aumenta el insumo
j en una unidad, y sólo el insumo j. Observe que el que se trate
de una derivada parcial significa que existe una condición de ceteris paribussobre el resto de los insumos. Es importante notar que, por la misma razón, la Productividad Marginal de un insumo depende de la cantidad usada de cada uno de los otros insumos. Así, por ejemplo, la productividad del trabajo depende de la cantidad de capital que se emplee, y viceversa. En el caso en que la función de producción es diferenciable dos veces, tenemos además la siguiente condición de simetría:
∂P M gL
∂K =
∂ ∂K
µ
∂f ∂L
¶
= ∂
2f
∂K∂L =fKL =fLK = ∂2f
∂L∂K =
∂P M gK
∂L
La Productividad Media, en cambio, corresponde a la simple razón entre el número de unidades de producto que (en promedio) se con-siguen a partir del número de unidades del insumo empleado:
P M ej =
x zj
del insumo. En particular, tenemos:
∂P M ej
∂zj
= ∂
∂zj
µ
f(z1, z2)
zj
¶
= fjzj−f(z1, z2) z2
j
= 1
zj
µ
fj −
x zj
¶
= 1
zj
(P M gj−P M ej)
Luego, la Productividad Media de un factor es creciente cuando la Pro-ductividad Marginal es mayor que ella, decreciente cuando es menor, y constante cuando ambas son iguales.
El cambio porcentual en x ante un cambio porcentual en uno de los
factores corresponde a la elasticidad insumo-producto (εx,L y εx,K
paraLyK respectivamente):
εx,L =
∂x ∂L
L
x =
P M gL
P M eL
εx,K =
∂x ∂K
K
x =
P M gK
P M eK
2. Rendimientos a escala:
¿Qué ocurriría con el nivel de producción si se aumentara la contrata-ción de todos los insumos en la misma proporcontrata-ción (λ−1) %? Si el
nivel de producción aumenta en(λ−1) %, decimos que la tecnología
enx0 es derendimientos constantes a escala; si aumenta en menos, decimos que enx0 es derendimientos decrecientes a escala, y si lo hace en más, que enx0es derendimientos crecientes a escala.
Ten-emos:
f tiene rendimientos
crecientes constantes decrecientes
a escala
si x1−x0
x0 ≡
f(λK,λL) f(K, L) −1
> = <
(λ−1)
ejem-plo, montar dos fábricas en la misma ubicación, o pedirle a Madonna que dé dos conciertos en países distintos a la misma hora. Siem-pre existen insumos (esto es, variables que afectan el resultado de la producción) insustituibles, replicables sólo parcialmente, o limitados. Luego, si bien una descripción completa de la tecnología consideraría a todos los factores que afectan el proceso productivo, en la prácti-ca se suele optar por descripciones parciales, en que la producción es función fundamentalmente de insumos variables o controlables por la empresa. Así, si bien en una descripción completa el conocimiento sería un insumo (aunque fijo en el corto plazo), en las descripciones habituales está fuera de la función, y explica los cambios en ella cuan-do el conocimiento crece (progreso técnico).
Observe el parecido entre la definición de rendimientos a escala y la definición de función homogénea de grado 1. En efecto, la función de producción es homogénea de grado 1 si y sólo si tiene rendimientos constantes a escalaen todox. En general, una función de producción
puede no ser homogénea. Las funciones homogéneas tienen algunas características interesantes. Dos de ellas son las siguientes:
a. Si la función de producción es homogénea de grado r, entonces
tiene rendimientos crecientes a escala sir >1, constantes sir= 1,
y decrecientes sir < 1. En efecto, sif es homogénea de grador
satisface:
f(λK,λL) =λrf(K, L)
Luego,
f(λK,λL) f(K, L) =λ
r
Peroλr >λsi y sólo sir >1.
b. Si la función de producción es homogénea de grado r, la razón
de productividades marginales entre factores depende sólo de la razón de uso entre factores, y no del nivel de uso de cada uno por separado. En efecto, para todoλtenemos:
f(λK,λL) =λrf(K, L)
Si escogemosλ = 1
L obtenemos:
f
µ
K L,1
¶
= 1
Lrf(K, L)
⇔ f(K, L) =Lrf
µ
K L
¶
⇒ fL=rLr−1f
µ
K L
¶
− LK2Lrf0
µ
K L
¶
⇒ fK =Lr−1f0
µ
K L
por lo que:
fL
fK
= rL
r−1f¡K L
¢
−LK2Lrf0
¡K L
¢
Lr−1f0¡K L
¢
= Rf
¡K L
¢
f0¡K L ¢ − µ K L ¶
Esta propiedad es realidad común a cualquier función homotética (esto es, funciones homogéneas o transformaciones crecientes de funciones homogéneas).
Por otro lado, se define la elasticidad producto total εP T como el
cambio porcentual enxante un cambio equiproporcional en todos los
factores dea%.
εP T = 4
%x a%
donde4%L=4%K =a%. Entonces, tenemos lo siguiente:
4%x = dx
x =
fLdL+fKdK
x =fL
dL L
L x +fK
dK K K x = a% µ
P M gL
P M eL
+P M gK P M eK
¶
= a% (εx,L+εx,K)
De modo que obtenemos
εP T = (εx,L +εx,K)
De esta forma, Sif tiene rendimientos crecientes a escala si y sólo si εP T > 1; rendimientos constantes a escala si y sólo si εP T = 1, y
rendimientos decrecientes a escala siεP T <1.
Nuevamente en el caso de las funciones homogéneas de grador,
sabe-mos por Euler que:
fLL+fKK = rx
⇒ εP T =r
de modo que la elasticidad producto total es igual al grado de homo-geneidad de la función.
3. Sustituibilidad entre factores (movimiento a través de la isocuanta): Se define la isocuante de la manera siguiente:
Def 3.1Una isocuanta es un conjunto de combinaciones de factores(z1, z2)
con la propiedad que todas entregan el mismo número de unidades dex
La pendiente de la isocuanta se obtiene de:
dx = 0 =fLdL+fKdK
⇒ dKdL
¯ ¯ ¯ ¯
xconstante
=−fL fK
El valor absoluto de la pendiente de la isocuanta, que llamaremosTasa Marginal de Sustitución Técnica (TMST), indica cuántas unidades adicionales de capital es necesario contratar para mantener el nivel de producción si se deja de contratar una unidad deL.
La forma de la isocuanta indica el grado de sustituibilidad entre fac-tores en la producción de ese bien determinado: si la pendiente de la isocuanta es constante, decimos que los factores son sustitutos per-fectos (sustituibilidad infinita); si la función es de proporcionesfijas, decimos que no hay posibilidad de sustitución (sustituibilidad nula). Esto se puede representar a través de la elasticidad de sustitución di-recta entre factores:
σ = 4% (K/L)
4% (FL/FK)
Los casos extremos son el de la función de producción de proporciones
fijas, cuya ecuación es x = min{aKK, aLL}, y el de la función de
producción lineal, con ecuaciónx=aKK+aLL.
La tecnología se encuentra, entonces, resumida en la función de produc-ción. Ésta indica el límite de las posibilidades. Una inspección rápida del problema que nos ocupa, esto es:
max
{x,z1,...,zn}
π = (px)−(w1z1+...+wnzn)
sujeto a 0 ≤ x≤f(z1, ..., zn)
z1, z2, ..., zn ≥ 0
f(0, ...,0) = 0), pudiendo el problema reescribirse como:
max
{x,z1,...,zn}
π = (px)−(w1z1+...+wnzn)
sujeto a x = f(z1, ..., zn)
z1, z2, ..., zn ≥ 0
o, equivalentemente, como:
max
{z1,...,zn}
π =pf(z1, ..., zn)−(w1z1+...+wnzn)
sujeto a z1, z2, ..., zn≥0
Por otro lado, resulta pedagógico dividir este problema de optimización en dos etapas:
i. Buscar, para un nivel de productofijo, la combinación de insumos que resulta más barata. Analíticamente, esto corresponde a:
min
{z1,...,zn}
(w1z1+...+wnzn)
sujeto a x≥f(z1, ..., zn)
Denote por C(x) al mínimo costo resultante, esto es,C(x) = w1z1∗∗+
...+wnzn∗∗.
ii. Buscar, conociendo el mínimo costo de cada nivel de producto, la cantidad que conviene producir. Analíticamente:
max
{x≥0}(px−C(x)) Éste es el camino que recorremos a continuación.
Minimización de costos
Deseamos encontrar el mínimo costo al que lafirma puede producir cada nivel dex, dada la tecnología y los precios de los factores. Para ello es
necesario encontrar la combinación óptima de factores para cada nivel dex, entendiendo “óptima” como aquella combinación de mínimo costo
para cada nivel de producción.
Gráficamente, lo que buscamos es la combinación deK yLque permite
isocosto. Dado que suponemos en esta parte del curso que lasfirmas son tomadoras de precios, la isocosto será una línea recta. La pendiente de la isocosto se obtiene de:
dC = 0 =wLdL+wKdK
⇒
µ
dK dL
¶
Cconstante
=−wL wK
El valor absoluto de la pendiente de la isocosto, que llamaremos Tasa Marginal de Sustitución de Mercado(TMSM) corresponde al costo al-ternativo de L en términos deK. De manera que el problema consiste
en encontrar la combinación de K y Lperteneciente a una determinada
isocuanta que pertenezca a la isocosto más baja (o de menor costo).
Formalmente, el problema es el siguiente:
minC = wLL+wKK
s/a : f(K, L) =x
Para resolver el problema de optimización usamos el lagrangeano:
min$=wLL+wKK +λ(x−f(K, L)) (33)
de modo que las condiciones de primer orden son:
∂$
∂L = wL−λfL= 0 ∂$
∂K = wK−λfK = 0 ∂$
∂λ = x−f(K, L) = 0
De las CPO se desprende la siguiente condición:
wL
wK
= fL fK
(35)
observa en lafigura.
L K
L w
w −
0 x K
L K
L w
w −
0 x K
Consideremos la intuición detrás de esta condición de óptimo. Si por ejemplo tenemos queT M SM = a yT M ST = b, cona < b, sabemos
que se puede obtener una unidad más de L entregando a unidades de
K y manteniendo el costo constante; pero para mantener la producción,
sabemos que si L aumenta en una unidad, podemos disminuir K hasta
en b unidades. Luego, dado que b > a, es posible disminuir el costo
sin afectar la producción (entregando b unidades de K), por lo que es
claro que la situación inicial no era óptima (alternativamente, es posible aumentar la producción sin modificar el costo entregandoa unidades de
K).
La condición de segundo orden de este problema es similar a la que obteníamos en teoría del consumidor, y análogamente exige la convex-idad de las isocuantas, o que la función de producción sea cuasicóncava.
Entonces, al resolver el sistema de ecuaciones que se obtiene de las tres condiciones de primer orden, obtenemos la cantidad deKyLdemandada
por la firma para cada nivel de precios de los factores y de producto:
L∗ = L(w
L, wK, x) y K∗ = K(wL, wK, x). Estas funciones son las
Def 3.2 La demanda condicionada por el factorz (K oL) es una
fun-ción que asigna, para cada nivel de producfun-ciónxy precios de los factores wL, wK,la cantidad demandada dezque permite alcanzar el menor
niv-el de costo posible al productor. Denotamos esta función como z∗ = z(x, wL, wK)
Además, del sistema de ecuaciones obtenemos λ∗ = λ(wL, wK, x). Al
reemplazar las funciones de demanda condicionadas de factores dentro de la función objetivo, obtenemos la función de mínimo costo, o función de costos de lafirma:
C∗ = wLL∗(wL, wK, x) +wKK∗(wL, wK, x)
= C(wL, wK, x)
A partir del teorema de la envolvente obtenemos el costo marginal como:
CM g = ∂C
∗(w
L, wK, x)
∂x =λ
∗(w
L, wK, x)
El costo medio se obtiene a su vez como:
CM e= C
∗(w
L, wK, x)
x
Luego,
∂CM e
∂x =
∂¡Cx∗¢
∂x =
¡∂C∗ ∂x
¢
x −
C∗ x2 =
CM g−CM e
x
de modo que el costo medio crece cuandoCM g > CM e, decrece cuando
CM g < CM ey permanece constante cuando ambos son iguales.
Economías de escala:
Si el costo medio crece a medida que aumentax, es decir, ∂CM e
∂x >0,
de-cimos que hay deseconomías de escala. Si a la inversa, el costo medio cae a medida que aumentax, es decir,∂CM e∂x <0, decimos que hay economías
lo anterior podemos calcular entonces la elasticidad costo total:
εCT =
∆%CT ∆%x =
∂C∗ ∂x
x C∗ =
CM g CM e
Entonces, siCM g > CM e, el costo total crece porporcionalmente más
que el producto, por lo que el costo medio aumenta conx.
Cuando la función de producción es homotética2, los conceptos de
rendimien-tos a escala y de economías a escala coinciden: si la elasticidad producto total es mayor que la unidad (rendimientos a escala crecientes), quiere de-cir que si aumentan los dos factores en una%, el producto aumenta en un
porcentaje más alto (b%> a%). Luego, el costo aumentó en una%y el
producto enb%> a%, por lo que la elasticidad costo total es menor que
uno, y hay economías a escala.
De este modo, la función de costos tiene una forma que refleja las carac-terísticas de la tecnología, que a su vez se resume en la función de pro-ducción. El problema de decisión del empresario está, entonces, condi-cionado por ésta.
Maximización de ganancias
Volvemos entonces al problema original de la empresa. Decíamos que existen dos maneras equivalentes de pensarlo:
1. Maximizar ganancias eligiendo el nivel de producto, dado que ya se definió cuál es la combinación óptima de factores para cada nivel de
x(es decir, considerando la función de costo totalC∗(w
L, wK, x)
en-contrada antes). En este caso el énfasis está en la cantidad óptima a producir, y la cantidad de factores a utilizar se puede obtener de las demandas condicionadas, una vez que ya determinamos x∗. De aquí
se obtiene la función de oferta de lafirma.
2. Maximizar ganancias eligiendo el nivel de uso de factores. En este caso llegamos a la misma condición de óptimo que antes, pero
aho-2 Es decir, cuando la senda de expansión es una recta que pasa por el origen, puesto
ra obtenemos la función de demanda no condicionada de factores. Luego, el énfasis está en el uso de factores que maximiza las ganancias, y de los factores utilizados se infiere la cantidad óptima de producto.
Analizaremos ambas aproximaciones:
Oferta de la empresa
En la primera formulación, tenemos el siguiente problema de maximización:
max
{x} π =px−C
∗(w
L, wK, x) (36)
La condición de primer orden es:
∂π
∂x =p−
∂C∗(w
L, wK, x)
∂x = 0 (37)
Es decir, la cantidad óptima a producir es aquella en que se iguala el precio al costo marginal. Este punto crítico es efectivamente un máximo si se cumple la CSO:
∂2π
∂x2 =−
∂2C∗(w
L, wK, x)
∂x2 =−
∂CM g ∂x <0
por lo que se requiere que el costo marginal sea creciente. De esto se desprende que la curva de oferta (si existe) debe tener pendiente positiva.
Además, si existe la opción de no producir, para que convenga producir debe ser cierto que la utilidad obtenida con producción es mayor (o igual) que sin producción. Si hay costos inevitables, esto implica que se debe dar la siguiente condición:
px∗ −C∗(wL, wK, x∗)≥ −CF I
donde x∗ denota la cantidad encontrada de la CPO, y CF I denota el
costo fijo inevitable (que se debe pagar a unque no se produzca). Si separamos el costoC∗(w
CE(wL, wK, x∗)) de la inevitable, obtenemos:
px∗−CE(wL, wK, x∗)−CF I ≥ −CF I
⇔px∗ ≥CE(wL, wK, x∗)
⇔p≥ CE(wL, wK, x ∗)
x∗ ≡CM eE
Dado que mientras produzca, la firma lo hace igualandop = CM g, la
condición anterior va a ser cierta siempre que CM g ≥ CM eE, por lo
que se requiere que p ≥ CM eEm´ınimo (ya que mientras el costo medio
evitable vaya cayendo, sabemos que es porqueCM g < CM eE). Luego,
la condición para que lafirma no cierre es que p ≥ CM eEm´ınimo.
Ob-serve que esto significa que la curva de oferta puede ser discontinua.
Demanda no condicionada por factores
En la segunda formulación, tenemos el siguiente problema de maximización:
max
{K,L}π=pf(K, L)−wLL−wKK (38)
Luego, las CPO son de la forma:
∂π
∂L = pfL−wL = 0 ∂π
∂K = pfK −wK = 0
De estas condiciones se obtiene nuevamente la condición de tangencia que obteníamos de la minimización de costos:T M SM =T M ST. Pero
además se obtiene la condición de igualdad del valor del producto marginal de cada factor con su precio: pfL = wL ypfK = wK. El punto crítico
encontrado con las CPO es máximo si se cumple la condición de segundo orden:
H =
Ã
πLL πLK
πLK πKK
!
=p
Ã
fLL fLK
fLK fKK
!
negativa definida
⇔ fLL, fKK <0;fLLfKK −fLk2 >0
respuesta es que con la maximización de gananciass estamos buscando más respuestas que con la minimización de costos: no sólo cómo pro-ducir, sino también cuánto producir. Por eso es que el requisito para que se cumpla la CSO en este caso es más fuerte: con cuasiconcavidad basta para contestar cómo producir, pero no alcanza para contestar cuánto pro-ducir, a menos que la función sea cóncava. A las CPO y CSO tendríamos que agregar además una condición de no cierre como la que se obtuvo en la sección anterior; ello, por cuanto nos interesa ver el máximo global.
De hecho, lo que la CSO está señalando es que los rendimientos cre-cientes a escala son incompatibles en cierta medida con el supuesto de competencia perfecta. En competencia perfecta, ninguna empresa puede vender más caro que el precio de mercado porque nadie le compraría, ni le conviene vender a un precio menor, porque no necesita rebajar el precio para vender toda su producción. Pero si el costo medio es de-creciente, cada vez que el empresario aumenta la escala de producción aumenta también su margen unitario, por lo que a un precio determina-do quisiera vender infinitas unidades. Esto evidentemente es imposible, porque en algún momento toparía con la demanda; cuando eso ocurra, tendría que rebajar el precio para aumentar las unidades vendidas, y en ese caso ya no es tomador de precios.
De las dos CPO obtenemos un sistema de ecuaciones, y al resolverlo encontramos la demanda no condicionada por factores.
Def 3.3 La demanda no condicionada por el factor z (K o L) es una
función que asigna, para cada precio del producto p y precios de los
factores wL, wK, la cantidad demandada de z que permite alcanzar el
mayor nivel de utilidad posible al productor. Denotamos esta función comoz∗ =z(p, w
L, wK)
cantidad demandada de cada factor al cambiar la cantidad producida de
x. Entonces, si por ejemplo estamos considerando la demanda por L,
sabemos que al cambiarwLno sólo va a cambiarLpor efecto sustitución
(movimiento a través de la isocuanta: demanda condicionada), sino que además cambia el costo marginal de producción, y al mismo preciopeso
indica que cambia la cantida producida del bien, por lo que se modifica también la cantidad demandada deLpor efecto escala.
Para analizar el signo del efecto escala es necesario saber cuánto cambia el costo marginal al cambiar el precio del factor, y cuánto cambia la can-tidad demandada del factor al cambiar la cancan-tidad producida. Para ello definimos un factor superior como aquel en que aumenta la cantidad contratada al aumentar la cantidad producida del bien; unfactor inferi-orcomo aquel en que la cantidad contratada cae al aumentar la cantidad producida del bien, y un factor neutrocomo aquel en que la cantidad contratada no cambia al cambiar la producción. En términos de la de-manda no condicionada, entonces, tenemos que el factor z es superior
cuando la derivada ∂z∗(x,wL,wK)
∂x es positiva, inferior cuando es negativa, y
neutro cuando es nula. Ahora bien, por teorema de la envolvente sabemos quez∗(x, w
L, wK) = ∂C
∗(x,wL,wK)
∂wz , por lo que tenemos:
∂z∗(x, w
L, wK)
∂x =
∂2C∗(x, w
L, wK)
∂wz∂x
= ∂CM g ∂wz
Luego, si el factor es superior tenemos que al aumentar wz aumenta el
costo marginal, por lo que cae la cantidad producida dex, y cae también
la cantidad demandada dez, de modo que el efecto escala va en la misma
dirección del efecto sustitución. En el caso del factor inferior, a su vez, al aumentarwz disminuye el costo marginal, por lo que aumenta la cantidad
producida y esto lleva a que nuevamente caiga la cantidad demandada de z, de modo que el efecto escala también va en la misma disrección
disminuir la cantidad producida, el costo cae menos que antes del alza en el precio, porque al reducir la cantidad producida se contrata más de un factor (inferior) que ahora es más caro (y se contrata menos de otros factores cuyo precio no ha cambiado).
Largo plazo versus corto plazo:
Consideremos el caso en que una vez que se contrata un insumo (capital), ya no se puede modificar en el corto plazo (difícil vender la máquina, el contrato de arriendo es por un plazo largo, etc.). Entonces, si se contrata un nivel de capital K, que es el óptimo para el nivel de producción x,
¿cómo es el costo total, medio y marginal de producción para niveles de producción distintos de x? Claramente la respuesta a esta pregunta es
importante, ya que de ello depende cómo es la oferta de lafirma de corto plazo.
Existen dos casos que se pueden dar, dependiendo de las condiciones de la producción. En el primero, la empresa no puede contratar más capital (maquinarias), pero puede dejar capacidad sin usar:
max
{K,L}π = pf(K, L)−wLL−wKK
s/a K ≤ K
En el segundo, en cambio, debe usar la cantidad de que dispone:
max
{K,L}π = pf(K, L)−wLL−wKK
s/a K = K
En ambos casos, necesariamente el costo total de producción es mayor que en ausencia de la restricción, lo que es sencillo ver por el argumento ya familiar de que las restricciones disminuyen los conjuntos de posibili-dades, y las posibilidades no pueden hacer daño.
problema en uno de una variable:
max
{L} π =pf
¡
K, L¢−wLL−wKK
Entonces, el costo del capital se convierte en un costofijo. Si es evitable o no depende de si se debe pagar en caso de escoger un nivel nulo de producción. Se sigue también que el costo medio será superior al de largo plazo, salvo en aquél nivel de producción para el cual ese nivel de capital es óptimo, esto es, x. Por ello, distintas curvas de costo medio
de corto plazo comparten un punto con la curva de costo medio de largo plazo, esto es, esta última es la envolvente inferior de ellas.
E
JERCICIOS1. La empresa XX emplea hoy 24 unidades de capital a un precio de $14 por unidad, y 25 unidades de trabajo a un salario de $10 por unidad.
a. Si el precio del producto es de $10 por unidad, y suponiendo mer-cados competitivos, ¿cuál es el costo marginal de producción?
b. Suponga que la función de producción de la empresa presenta rendimien-tos constantes a escala. ¿A cuánto asciende la producción de la empresa? ¿Los beneficios netos?
c. Suponga que si sube el salario a $12 por unidad, y si se decidiera producir lo mismo que inicialmente, las cantidades contratadas de capital y trabajo cambiarían a 26 y 23 unidades respectivamente. ¿Cuál es la elasticidad de sustitución de la función de producción de la empresa?
2. Considere el caso de una industria compuesta por 500firmas compet-itivas e idénticas, todas con una función de producción del tipo
q=aK1/4L1/4
Donde a es un parámetro que mide la tecnología disponible para la
firma. Seapel precio del productofinal, ywK ywLlos precios de los
factoresK yLrespectivamente.
a. Derive la curva de oferta de cada firma, y calcule su elasticidad precioεq,p.
b. La firma individualmente no es capaz de afectar el parámetro a.
Pero suponga que a medida que la industria como un todo au-menta su producción, la tecnología va mejorando, de manera que
ava aumentando. En particular, suponga que la relación entreay Q, dondeQes la producción de la industria, es de la forma:
a=Q1/4
¿Esperaría que la elasticidad de la oferta de la industriaεQ,p fuera
mayor o menor que la de cadafirma individual (εq,p)? Responda
esta pregunta sin calcular la elasticidad εQ,p, sólo explicando la
intuición.
c. Derive la oferta de la industria y calcule su elasticidad precioεQ,p.
3. Considere una industria compuesta porN firmas competitivas e
idén-ticas, cada una con una función de producción de la forma:
q=aK1/4L1/4
Donde a es un parámetro que mide la tecnología disponible para la
firma. Seapel precio del productofinal, ywK ywLlos precios de los
a. Derive la curva de oferta de cadafirma si puede elegir libremente la cantidad de factores a contratar (largo plazo de lafirma), y calcule su elasticidad precioεq,p.
b. Derive la curva de oferta de cada firma si el capital está fijo en un nivelK (corto plazo de lafirma), y calcule su elasticidad
pre-cioεq,p. Compare con su resultado en a) y explique por qué son
diferentes ambas elasticidades (intuición).
c. Suponga ahora que, si produce, la firma debe pagar una patente de monto F = 100(fijo). Encuentre la curva de oferta de la fi
r-ma, e indique cuál será el precio que prevalecerá en ellargo plazo de la industria(en que pueden entrar libremente nuevas firmas a la industria, y salir de ella). En su respuesta suponga que todos los factores son variables, y que a = 1 = wL = wK. Justifique
claramente su respuesta.
4. Considere unafirma competitiva cuya tecnología se representa medi-ante la siguiente función de producción: X = F (K, L) = K0.2L0.2. Los precios de los factores y del producto son wK,wLypX
respecti-vamente. Independientemente de si produce o no, lafirma debe pagar un costofijo de montoF.
a. Derive la demanda condicionada por K y calcule su elasticidad
precio (ηcond
KK). Encuentre además la función de costo marginal.
b. Derive la demanda no condicionada porKy calcule su elasticidad
(ηno condKK ). Explique por qué ambas elasticidades difieren, refi
rién-dose explícitamente a la dirección del efecto escala.
c. Calcule el excedente del productor si los precios de los factores y del bien fueranwL =wK = 100ypX = 4.000respectivamente, y
F = 10.000.
5. Unafirma competitiva produceY, cuyo precio inicial esP0
Y, utilizando
dos insumos, M y N, cuyos precios iniciales sonw0M yw0N
respecti-vamente. El precio de M aumentó en un21%, y el gobierno quiere
evitar que por esta razón disminuya la cantidad producida de Y. Por
ello, decide dar un subsidio a lafirma dez%sobre el precio inicial de Y (es decir,P1
Y = (1 +z%)·PY0). Si la función de producción de esta firma es: Y = (M)1/4
·(N)1/4, ¿en qué porcentajez%debe aumentar el precio deY para que la cantidad producida deY no cambie?
6. Considere unafirma tomadora de precios, cuya función de producción esX =K1/2+L1/2. Los precios de los factoresK yLsonwKywL
respectivamente.
b. Derive la función de demanda condicionada por L (L en función
de precios de factores y X), y encuentre una expresión para su
elasticidad precio.
Ayuda: para llegar a una expresión para la elasticidad conviene utilizar la definiciónε= ∂∂wL∗
L
wL
L∗, no aplicar logaritmo.
c. ¿Es superior o inferior el factorL? (justifique su respuesta). ¿Qué
ocurre entonces con el costo marginal cuando aumenta wL?
Ex-plique la intuición de su respuesta.
d. Derive la función de demanda no condicionada porL(Len función
de precios de factores yp), y calcule su elasticidad.
e. Compare las elasticidades calculadas end)y enb), indicando cuál
de ellas es mayor en valor absoluto; explique por qué difieren,
re-firiéndose explícitamente a la dirección del efecto escala en este caso particular.
f. ¿Cambiaría la función de demanda no condicionada por L si K
estuvierafijo (corto plazo de lafirma)? Explique la intuición de su respuesta.
7. Considere una industria compuesta por J firmas idénticas, con
fun-ciones de producción de la forma q = AK1/4L1/4, donde A es un parámetro que la firma no puede afectar, q es la cantidad producida
por lafirma (yQ la cantidad producida por la industria). Los precios
de los factores K yL sonwK = wL = 1. Si produce, la firma debe
pagar una patente de monto50(es decir, este es un costofijo evitable).
Lafirma enfrenta un precioppor el producto.
a. Derive la curva de oferta de la firma cuandoK yLson variables,
y grafíquela. En su respuesta debe expresar la oferta comoq en
función del preciop.
b. Suponga que A = 2. Describa y grafique la curva de oferta de
la industria cuando hay libertad de entrada y salida defirmas a la industria (largo plazo de la industria).
c. Suponga ahora que A = Q (es decir, hay efectos externos).
Ex-plique cómo debería ser la oferta de la industria de largo plazo en este caso, y por qué. Derive esta curva de oferta de largo plazo de la industria, y compare con la deb).
8. Considere una firma tomadora de precios, que tiene disponible dos tecnologías (mutuamente excluyentes) para fabricar el bienX. SeaL
el número de trabajadores contratados, y K el número de máquinas
contratadas. Si elige la tecnología A, su función de producción es
de la forma: X = KA1/4L1/4. Si elige la tecnología B, su función
pX = 100. No hay costosfijos de producción.
