Capítulo III SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES

(1)

Capítulo III

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES

3.1 INTRODUCCIÓN:

La resolución de las Ecuaciones Diferenciales persigue encontrar expresiones equivalentes que, prescindiendo de derivadas o diferenciales, satisfagan las condiciones de esas ecuaciones.

En otros términos, la determinación de las “Funciones Primitivas ” constituye la parte fundamental de la solución de las ecuaciones diferenciales.

Ejemplo 1:

Dada la siguiente ecuación diferencial:

1 x dx 2

dy = −

La resolución de dicha ecuación consiste en encontrar la función que, sin contener derivadas o diferenciales, sea equivalente a la expresión anterior.

Inmediatamente se cae en cuenta que, para encontrar la solución, solamente se requiere integrar la expresión previa, obteniéndose la siguiente función primitiva:

C x x y = ²− + Donde:

C: Constante de integración arbitraria

La última expresión constituye una familia de curvas parabólicas, con eje focal paralelo al eje

“y”, coincidente con la recta “x=1/2”, cuyo gráfico se presenta a continuación.

(2)

La posición vertical del foco de cada parábola de la familia dibujada (también la posición vertical del vértice de las curvas especificadas) depende del valor asignado a la constante arbitraria de integración “C”.

La tabla que sirve de base para la generación del gráfico anterior se la puede elaborar en una hoja electrónica con un contenido similar al siguiente:

En ocasiones, la solución de las ecuaciones diferenciales puede basarse en procesos de simple integración como el que se presentó en el ejemplo previo; alternativamente se puede recurrir a procesos de derivación; en otras circunstancias se pueden utilizar artificios matemáticos que dependerán de la forma general de las ecuaciones, y en otras ocasiones se utilizarán propiedades especiales de las ecuaciones diferenciales.

Cuando no es factible determinar las funciones primitivas correspondientes a una ecuación diferencial, puede resultar conveniente la utilización de métodos numéricos que nos permitan entender su comportamiento, e inclusive pueden favorecer la obtención de una representación gráfica.

Problema Resuelto 1*:

Verificar si la función detallada a continuación es solución de la ecuación diferencial planteada.

1 e 2

y = ³^x + Función solución 3

y dx 3

dy = − Ecuación diferencial

Solución:

Calculando la primera derivada de la función solución:

x

e3

dx 6 dy =

Reemplazando la función solución y su derivada en la ecuación diferencial.

(3)

3 y dx 3

dy = −

3 ) 1 e 2 ( 3 ) e 6 (

y x 3 dx

dy

x

3 = + −

48 47 6 8 7 6

Simplificando:

3 ) 3 e 6 ( e

6 ³^x = ³^x+ − 3 3 e 6 e

6 ³^x = ³^x + −

x 3 x 3 6e e

6 = Verificado

NOTA 1: Se ha verificado que la función es solución de la ecuación diferencial mediante derivación de la función y reemplazo de la función y su derivada en la ecuación diferencial.

Al obtenerse una identidad se verifica la hipótesis del problema.

NOTA 2: Es importante notar que la función presentada no es la única solución de la ecuación diferencial. Cualquier valor que preceda a la expresión exponencial “e^3x ” cumplirá con la ecuación diferencial, por lo que una solución general sería:

1 e . A

y = ³^x + Función solución general Donde:

A: Constante arbitraria

Problema Resuelto 2:

x 2

y = Función solución

(4)

x 2y

dy =dx Ecuación diferencial Solución:

dx 2 dy =

Reemplazando la función solución y su derivada en la ecuación diferencial:

x 2y dx dy =

} }

x ) x 2 2 ( ) 2 (

y dx

dy

=

Simplificando:

4 2=

4

2 ≠ No se verifica

NOTA: La función presentada no es solución de la ecuación diferencial propuesta.

x2

y = Función solución

x 2y

dy =dx Ecuación diferencial Solución:

x dx 2 dy =

Reemplazando la función solución y su derivada en la ecuación diferencial:

x 2y dx dy =

x ) x 2( ) x 2 (

= 2

Simplificando:

x 2 x

2 = Verificado

(5)

NOTA: La función presentada no es la única solución de la ecuación diferencial. La siguiente es la solución general:

x2

. A

y = Función solución general Donde:

1 x

y = − Función solución

1 x

y dx dy

= − Ecuación diferencial Solución:

dx 1 dy =

Reemplazando la función solución y su derivada en la ecuación diferencial.

1 x

y dx dy

= −

}

1 x

) 1 x ) ( 1 (

y dx

dy

−

=

8 7 6

Simplificando:

(6)

1

1= Verificado

NOTA: La función presentada no es la única que es solución de la ecuación diferencial. La siguiente es la solución general:

) 1 x ( A

y = − Función solución general Donde:

3.2 MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES:

Consiste en colocar, en expresiones separadas de la ecuación diferencial, las funciones de cada variable con su respectivo diferencial y proceder a la integración. Los detalles característicos de la ecuación diferencial son los que definen los mecanismos para lograr la separación de las variables.

Resolver la siguiente ecuación diferencial y representarla gráficamente:

0 1 x x 6 x 3

y′− ³ + ² − − = Solución:

Despejando la primera derivada de “y”:

1 x x 6 x 3

y′= ³− ² + +

La derivada se puede expresar como:

dx y′= dy

Reemplazando:

(7)

1 x x 6 x dx 3

dy ₃ ₂

+ +

−

=

Separando las diferenciales del miembro izquierdo:

dx ) 1 x x 6 x 3 (

dy= ³− ² + +

Integrando ambos miembros:

∫

^dy⁼ ⁽³^x³ ⁻⁶^x²⁺^x⁺¹⁾^dx

Ejecutando las integrales:

C x 2x

x 1 3 x 6 4

y= 3 ⁴ − ³+ ² + +

Simplificando:

C x 2x x 1 2 4x

y = 3 ⁴ − ³ + ² + + Solución Donde:

C: Constante de integración arbitraria

La hoja electrónica que permite graficar la función puede ser la siguiente:

(8)

Verificación:

El punto de partida es la función solución:

C x 2x x 1 2 4x

y= 3 ⁴ − ³+ ² + +

La derivada de “y” respecto a “x” es:

1 2x x 2 6 4 x

y′=12 ³− ² + +

Simplificando:

1 x x 6 x 3

y′= ³ − ² + +

La ecuación diferencial original es:

0 1 x x 6 x 3

y′− ³+ ²− − =

Reemplazando la derivada “y′ ” en la ecuación diferencial se tiene:

0 1 x x 6 x 3 ) 1 x x 6 x 3

( ³ ²

y 2

3− + + − + − − =

′4448 4

4

4 7

6

Simplificando:

0

0 = Verificado

NOTA 1: Se ha conseguido resolver la ecuación diferencial mediante su transformación en un proceso de integración. Para el efecto se han realizados manejos algébricos que permiten la separación de las variables y de sus diferenciales.

NOTA 2: La presencia de la constante de integración arbitraria dentro de la solución de la ecuación diferencial da lugar a una familia de curvas que cumplen con la ecuación diferencial.

0 e 2 y′− ³^x =

(9)

Solución:

Despejando la primera derivada de “y”:

x

e3

2 y′=

La derivada se puede expresar como:

dx y′= dy

x

e3

dx 2 dy =

dx e 2 dy= ³^x

∫

^dy⁼ ²^e³^x^dx

C 3e

y = 2 ³^x + Solución Donde:

C: Constante de integr ación arbitraria

La hoja electrónica que dio origen al gráfico es:

(10)

Verificación:

La función solución es:

C 3e

y= 2 ³^x +

La derivada de “y” respecto a “x” es:

x

e3

3 y′= 6

Simplificando:

x

e3

2 y′=

0 e 2 y′− ³^x =

Reemplazando la derivada “y′ ” en la ecuación diferencial se tiene:

0 e 2 ) e 2

( ³^x

y x

3 − =

′8 7 6

Simplificando:

0

0 = Verificado

Resolver la siguiente ecuación diferencial:

0 5 x 3 x 4

y′′+ ² − − = Solución:

Despejando la segunda derivada de “y”:

5 x 3 x 4

y′′=− ²+ +

(11)

La segunda derivada normalmente se la expresa como:

2 2

dx y y′′=d

Pero la segunda derivada es también “la derivada de la primera derivada ”:

dx y y d ′

′′=

Reemplazando:

5 x 3 x dx 4

y

d ′ =− ₂ + +

dx ) 5 x 3 x 4 ( y

d ′= − ²+ +

∫

^d^y^′⁼ ⁽⁻⁴^x² ⁺³^x⁺⁵⁾^dx

2 1

3 x 5x C

2 x 3 3

y′=−4 + + +

Reemplazando “y′ ” por su expresión equivalente:

dx y′= dy

1 2

3 x 5x C

2 x 3 3 4 dx

dy =− + + +

Separando las diferenciales:

dx C x 5 2x x 3 3

dy 4 ³ ² ₁



 



− + + +

=

∫

^dy⁼ ^_^⁻₃⁴^x³ ⁺₂³^x²⁺⁵^x⁺^C¹^_^^dx

2 2 1

3

4 x C x C

2 x 5 6 x 3 12

y=− 4 + + + +

Simplificando:

2 2 1

3

4 x C x C

2 x 5 2 x 1 3

y =−1 + + + + Solución

(12)

Donde:

C1: Constante de integración arbitraria C2: Constante de integración arbitraria Verificación:

2 1 2 3

4 x C x C

2 x 5 2 x 1 3

y=−1 + + + +

La primera derivada de “y” respecto a “x” es:

2 1

3 x C

2 x 10 2 x 3 3

y′=−4 + + +

Simplificando:

1 2

3 x 5x C

2 x 3 3

y′=−4 + + +

La segunda derivada de “y” es:

5 2x x 6 3

y′′=−12 ² + +

Simplificando:

5 x 3 x 4

y′′=− ²+ +

0 5 x 3 x 4

y′′+ ² − − =

Reemplazando la segunda derivada “y″ ” en la ecuación diferencial y simplificando se tiene:

0 5 x 3 x 4 ) 5 x 3 x 4

( ²

y

2 + + + − − =

−

′′4 84 4

4 7 6

Simplificando:

0

0 = Verificado

NOTA 1: La resolución de la ecuación diferencial de segundo orden ha sido transformada en un doble proceso de integración, lo que produjo 2 constantes de integración arbitrarias. La verificación se efectuó mediante un doble proceso de derivación.

NOTA 2: Con el objeto de facilitar la realización de las 2 integraciones requeridas, ejecutándolas de manera separada, la segunda derivada se expresó como “la derivada de la primera derivada”.

(13)

0 5 x 2 x 3

y′′+ ²− + = Solución:

Despejando la segunda derivada:

5 x 2 x 3

y′′=− ²+ −

La segunda derivada es la derivada de la primera derivada de la función:

dx y y′′=d ′

5 x 2 x dx 3

y

d ′ =− ₂ + −

dx ) 5 x 2 x 3 ( y

d ′= − ²+ −

∫

^d^y^′⁼ ⁽⁻³^x²⁺²^x⁻⁵⁾^dx

2 1

3 x 5x C

2 x 2 3

y′=−3 + − +

Simplificando:

2 1

3 x 5x C

x

y′=− + − +

Reemplazando “y′ ” por las diferenciales correspondientes:

2 1

3 x 5x C

dx x

dy =− + − +

dx ) C x 5 x x (

dy= − ³+ ²− + ₁ Integrando ambos miembros:

∫

^dy⁼ ⁽⁻^x³⁺^x²⁻⁵^x⁺^C¹⁾^dx

2 2 1

3

4 x C x C

2 x 5 3 x 1 4

y =−1 + − + + Solución

Donde:

C1: Constante de integración arbitraria C2: Constante de integración arbitraria

(14)

Verificación:

2 1 2 3

4 x C x C

2 x 5 3 x 1 4

y=−1 + − + +

2 1

3 x C

2 x 10 3 x 3 4

y′=−4 + − +

Simplificando:

2 1

3 x 5x C

x

y′=− + − +

5 x 2 x 3

y′′=− ²+ −

0 5 x 2 x 3

y′′+ ² − + =

Reemplazando la segunda derivada “y″ ” en la ecuación diferencial se tiene:

0 5 x 2 x 3 ) 5 x 2 x 3

( ²

y

2 + − + − + =

−

′′4 84 4

4 7 6

Simplificando:

0

0 = Verificado

0 7 ) x 2 ( Cos 3 y

2 ′′+ − =

Solución:

7 ) x 2 ( Cos 3 y

2 ′′=− +

2 ) 7 x 2 ( 2Cos

y′′=−3 +

La segunda derivada es la derivada de la primera derivada:

dx y y d ′

′′=

2 ) 7 x 2 ( 2Cos 3 dx

y

d ′ =− +

(15)

2 dx ) 7 x 2 ( 2Cos y 3

d 



 



− +

′=

∫

^d^y^′⁼ ^_^⁻ ₂³^Cos⁽²^x⁾⁺₂⁷^_^^dx

C1

2x ) 7 x 2 ( 4Sen

y′=−3 + +

dx y′= dy

C1

2x ) 7 x 2 ( 4Sen 3 dx

dy =− + +

dx C 2x ) 7 x 2 ( 4Sen

dy 3 ₁



 



− + +

=

∫

^dy⁼ ^_^⁻ ₄³^Sen⁽²^x⁾⁺₂⁷^x⁺^C¹^_^^dx

2 1

2 C x C

4x ) 7 x 2 ( 8Cos

y = 3 + + + Solución

Donde:

C1: Constante de integración arbitraria C₂: Constante de integración arbitraria Verificación:

2 2 1

C x C 4x

) 7 x 2 ( 8Cos

y= 3 + + +

C1

4 x ) 14 x 2 ( 8Sen

y′=−6 + +

Simplificando:

C1

2x ) 7 x 2 ( 4Sen

y′=−3 + +

(16)

La segunda derivada de “y” respecto a “x” es:

2 ) 7 x 2 ( 4Cos

y′′=−6 +

Simplificando:

2 ) 7 x 2 ( 2Cos

y′′=−3 +

0 7 ) x 2 ( Cos 3 y

2 ′′+ − =

0 7 ) x 2 ( Cos 2 3

) 7 x 2 ( 2Cos 2 3

y

=

−

+



 



− +

′′4448 4

4

4 7

6

Simplificando:

0 7 ) x 2 ( Cos 2 3

) 14 x 2 ( 2Cos

6 + − =



 



− +

[

⁻³^Cos⁽²^x⁾⁺⁷

]

⁺³^Cos⁽²^x⁾⁻⁷⁼⁰

0

0 = Verificado

0 ) t 3 ( Sen y′′− = Solución:

) t 3 ( Sen y′′=

Por la forma de las expresiones que aparecen en la ecuación diferencial, “y″ ” es la segunda derivada de “y” respecto a “t” (no es la segunda derivada de “y” respecto a “x”).

2 2

dt y y′′=d

Pero la segunda derivada es también la derivada de la primera derivada:

dt y y d ′

′′=

Reemplazando se tiene:

) t 3 ( dt Sen

y d ′ =

(17)

dt ) t 3 ( Sen y

d ′=

dt ) t 3 ( Sen y

d

∫

^′⁼

C1

) t 3 ( 3Cos

y′=−1 +

dt y′= dy

C1

) t 3 ( 3Cos 1 dt

dy =− +

dt C ) t 3 ( 3Cos

dy 1 ₁



 



− +

=

∫

^dy⁼ ^_^⁻₃¹^Cos⁽³^t⁾⁺^C¹^_^^dt

2 1t C C ) t 3 ( 9Sen

y = −1 + + Solución

Donde:

C1: Constante de integración arbitraria C₂: Constante de integración arbitraria

(18)

NOTA: Las curvas obtenidas son sinusoides que se desarrollan sobre ejes de referencia correspondientes a rectas en diferentes partes del plano y con inclinaciones diferentes. La posición y orientación del eje de referencia depende de los valores de las constantes “C1” y

“C2”

La tabla que dio origen al gráfico es:

Verificación:

2 1t C C ) t 3 ( 9Sen

y=−1 + +

La primera derivada de “y” respecto a “t” es:

C1

) t 3 ( 9Cos

y′=−3 +

Simplificando:

C1

) t 3 ( 3Cos

y′=−1 +

La segunda derivada de “y” respecto a “t” es:

) t 3 ( 3Sen y′′=3

Simplificando:

) t 3 ( Sen y′′=

0 ) t 3 ( Sen y′′− =

(19)

0 ) t 3 ( Sen ) t 3 ( Sen

y

=

− 4′′8 47 6

Simplificando:

0

0 = Verificado

0 3 x 12 e

y ′′′+ ⁻^x + − = Solución:

Despejando la tercera derivada de “y”:

3 x 12 e

y′′′=− ⁻^x− +

La tercera derivada es la derivada de la segunda derivada:

dx y y d ′′

′′′=

Reemplazando:

3 x 12 dx e

y

d ′′ =− ₋_x − +

dx ) 3 x 12 e

( y

d ′′= − ⁻^x − +

∫

^d^y^′′⁼ ⁽⁻^e⁻^x ⁻¹²^x⁺³⁾^dx

1 2

x x 3x C

2 e 12

y′′= ⁻ − + + Simplificando:

2 1

x 6x 3x C e

y′′= ⁻ − + +

La segunda derivada es la derivada de la primera derivada:

dx y y d ′

′′=

Reemplazando:

1 2

x 6x 3x C

dx e y

d ′ = ₋ − + +

(20)

dx ) C x 3 x 6 e ( y

d ′= ⁻^x− ²+ + ₁ Integrando ambos miembros:

∫

^d^y^′⁼ ⁽^e⁻^x⁻⁶^x² ⁺³^x⁺^C¹⁾^dx

2 2 1

3

x x C x C

2 x 3 3 e 6

y′=− ⁻ − + + +

Simplificando:

2 2 1

3

x x C x C

2 x 3 2 e

y′=− ⁻ − + + +

dx y′= dy

2 1 2 3

x x C x C

2 x 3 2 dx e

dy =− ⁻ − + + +

dx C x C 2x

x 3 2 e

dy ^x ³ ² ₁ ₂



 



− − + + +

= ⁻

∫

^dy⁼ ^_^⁻^e⁻^x ⁻²^x³ ⁺ ₂³^x² ⁺^C¹^x⁺^C²^_^^dx

3 2 2

1 3 4

x x C x C

2 x C 6 x 3 4 e 2

y= ⁻ − + + + +

Simplificando:

3 2 2

1 3 4

x x C x C

2 x C 2 x 1 2 e 1

y = ⁻ − + + + + Solución

Donde:

C1: Constante de integración arbitraria C2: Constante de integración arbitraria C3: Constante de integración arbitraria Verificación:

(21)

3 2 2

1 3 4

x x C x C

2 x C 2 x 1 2 e 1

y= ⁻ − + + + +

1 2 2 3

x x C

2 C x 2

2 x 3 2 e 4

y′=− ⁻ − + + +

Simplificando:

2 2 1

3

x x C x C

2 x 3 2 e

y′=− ⁻ − + + +

2 1

x x C

2 x 6 6 e

y′′= ⁻ − + + Simplificando:

2 1

x 6x 3x C e

y′′= ⁻ − + +

La tercera derivada de “y” es:

3 x 12 e

y′′′=− ⁻^x− +

0 3 x 12 e

y′′′+ ⁻^x + − =

Reemplazando la tercera derivada “y″′ ” en la ecuación diferencial se tiene:

0 3 x 12 e

) 3 x 12 e

( ^x

y

x − + + + − =

− ⁻

′′′

−4 4 84

4 7 6

0

0 = Verificado

NOTA 1: La solución a la ecuación diferencial es una familia de parábolas de cuarto grado más una “función exponencial amortiguada ” (exponente con signo negativo) para los valores positivos de “x”.

NOTA 2: La resolución de la ecuación diferencial de tercer orden ha sido transformada en un triple proceso de integración, lo que produjo 3 constantes de integración arbitrarias. La verificación se efectuó mediante un triple proceso de derivación.

NOTA 3: Para facilitar la realización de las 3 integrales requeridas en la resolución de la ecuación diferencial, ejecutándolas por separado, la tercera derivada se expresó como “la derivada de la segunda derivada ”, y la segunda derivada se describió como la “derivada de la primera derivada ”.

(22)

y x dy =dx Solución:

Separamos todas las expresiones en “x” de las expresiones en “y”:

dx . x dy .

y =

∫

^y^.^dy⁼ ^x^.^dx

2 C x 2 y² ²

+

=

Agrupando las variables en un solo miembro:

2 C x 2 y² ²

=

−

Multiplicando por “2”:

C 2 x y² − ² =

Reemplazando “2C” por una nueva constante “k”:

k x

y²− ²= Solución

NOTA: Cuando “k” tiene valor positivo, la solución es la ecuación de una familia de hipérbolas con centro en el origen de coordenadas y eje focal coincidente con el eje de las

“x”. Si el va lor de “k” es negativo la solución es también una familia de hipérbolas con centro en el origen de coordenadas, pero el eje focal coincide con el eje de las “y”.

(23)

NOTA: En ambas circunstancias estamos hablando de una relación y no de una función, pues en el primer caso para cada valor de “x” existen 2 valores de “y” (dos puntos, en dos segmentos de curva), y en el segundo caso para cada valor de “y” existen 2 valores de “x”.

Verificación:

La solución es:

k x y² − ² =

Obteniendo diferenciales en la expresión (las reglas de diferenciación son similares a las de derivación):

0 dx . x 2 dy . y

2 − =

dx . x 2 dy . y

2 =

Simplificando:

dx . x dy .

y =

Reagrupando las diferenciales en forma de derivadas:

y x

dy =dx Verificado

NOTA: A diferencia de los problemas anteriores en que la ecuación diferencial solo contenía una de las derivadas de la variable dependiente, pero no la variable “y”, en el presente caso, debido a la presencia simultánea de “y”, “y′ ” y alguna función de la variable independiente

“x”, la verificación ha consistido en recuperar la ecuación diferencial original en base a su solución matemática.

(24)

x y dy =dx Solución:

x dx y dy =

∫

^dy_y ⁼ ^dx_x

Ejecutando las integrales, que claramente conducen a expresiones logarítmicas por presentar en el numerador de las fracciones las derivadas (propiamente las diferenciales) de los correspondientes denominadores:

C ) x ln(

) y

ln( = +

Por facilidad de simplificación posterior se reemplaza la constante “C” por el logaritmo natural de otra constante (“k”), de modo que todas las expresiones sean funciones logarítmicas.

) k ln(

) x ln(

) y

ln( = +

La suma de logaritmos es el logaritmo de un producto:

) x . k ln(

) y ln( =

Aplicando el antilogaritmo natural a ambos miembros:

x . k

y = Solución

NOTA 1: Debido a que los procesos de integración condujeron solamente a expresiones logarítmicas, resultó conveniente reemplazar la constante de integración por el logaritmo de otra constante, pues permitió una simplificación importante de la expresión final de la solución.

NOTA 2: La solución (la función primitiva) es la ecuación de una familia de rectas que pasan por el origen y tienen una pendiente variable “k” (en Geometría Analítica la ecuación de esa familia de rectas se escribe “y=m.x”).

(25)

Verificación:

La solución es:

x . k y=

Obteniendo la derivada de “y” respecto a “x”:

dx k dy =

En la función solución se despeja “k”:

x k = y

Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí:

x y

dy =dx Verificado

NOTA 1: Mientras mayor sea la complejidad de la ecuación diferencial, más artificiosa se puede volver la verificación.

NOTA 2: En todos los casos en que aparecen variables y sus derivadas se toma como punto de partida la solución obtenida y como punto de llegada la ecuación diferencial original.

2 2

y x 1 dx

dy −

= Solución:

(26)

dx ) x 1 ( dy .

y² = − ²

∫

^y²^.^dy ⁼ ⁽¹⁻^x²^).^dx

3 C x x 3

y³ ³

+

−

=

C 3 x x 3

y³ = − ³+

0 C 3 x 3 y

x³+ ³− − =

Reemplazando “-3C” por otra constante (“k”):

0 k x 3 y

x³+ ³− + = Solución Donde:

k: Constante arbitraria

NOTA 1: En muchos casos es conveniente el reemplazo de constantes de integración por otras expresiones también constantes para simplificar las expresiones.

NOTA 2: La hoja electrónica es especialmente útil para encontrar valores para las constantes involucradas, de modo que los gráficos de las funciones sean representativos de la solución.

Verificación:

La solución es:

0 k x 3 y

x³+ ³− + =

Derivando respecto a “x” se tiene:

(27)

0 dx 3

.dy y 3 x

3 ² + ² − =

Simplificando:

0 dx 1

.dy y

x²+ ² − =

Despejando la derivada:

2

2 1 x

dx .dy

y = −

Despejando la derivada:

2 2

y x 1 dx

dy = − Verificado

) x ( Tan ).

y ( dx Sec dy =

Solución:

Separando las variables:

dx ).

x ( ) Tan y ( Sec

dy =

Colocando las funciones trigonométricas en Senos y Cosenos:

) dx x ( Cos

) x ( dy Sen ).

y (

Cos = ⋅

Integrando:

∫

^Cos⁽^y^).^dy⁼ _Cos^Sen₍⁽_x^x₎⁾^⋅^dx

[

^Cos⁽^x⁾

]

^C

ln ) y (

Sen =− +

[

^Cos⁽^x⁾

]

^C

ln ) y (

Sen + = Solución

Donde:

C: Constante arbitraria de integración

(28)

NOTA 1: La solución a la ecuación diferencial es una expresión periódica que tiene valores dentro del campo de los reales en ciertos intervalos y carece de soluciones en otros intervalos.

Los intervalos en que no existe solución corresponden a aquellos valores en que el Coseno de

“x” adquiere valores negativos y por consiguiente no es factible obtener su logaritmo, lo que se refleja en la hoja electrónica que se utiliza para generar los gráficos.

NOTA 2: Debido a la presencia de funciones Seno y Coseno, cuyos valores fluctúan entre “- 1” y “+1”, no existe solución real para todos los valores de “C”, pues cuando “C≤-3” o

“C≥+1” no existen valores reales que cumplan con la “Función Primitiva”.

Verificación:

La solución es:

[

^Cos⁽^x⁾

]

^C

ln ) y (

Sen + =

Obteniendo diferenciales de la expresión:

0 ) dx

x ( Cos

) x ( dy Sen

).

y (

Cos +− ⋅ =

(29)

Simplificando:

0 ) dx x ( Cos

) x ( dy Sen ).

y (

Cos − ⋅ =

Pero la expresión “Sen(x)/Cos(x)” es igual a “Tan(x)”:

0 dx ).

x ( Tan dy ).

y (

Cos − =

Separando las variables:

dx ).

x ( Tan dy ).

y (

Cos =

Agrupando las diferenciales:

) y ( Cos

) x ( Tan dx dy =

Reemplazando “Cos(y)” por el inverso de “Sec(y)”:

) x ( Tan ).

y ( dx Sec

dy = Verificado

NOTA: Generalmente los pasos seguidos en la resolución de la ecuación diferencial dan la pauta de los artificios requeridos para su verificación.

3.3 FACTORES Y DIVISORES DE INTEGRACIÓN:

Existen determinadas expresiones algébricas que al multiplicar o dividir a las ecuaciones diferenciales las simplifican pues facilitan la separación de variables y posibilitan su integración; tales factores o divisores se denominan factores o divisores de integración, de acuerdo al caso.

0 dy ) y x y ( dx ) xy x 4

( + ² + + ² =

Solución:

Factorando la ecuación diferencial para facilitar la separación de variables:

0 dy ) x 1 ( y dx ) y 4 (

x + ² + + ² =

Dividiendo para el producto “(4+y²).(1+x²)” constituido por las expresiones que impiden la integración directa de los 2 términos de la ecuación diferencial, que es el “divisor de integración”. El inverso de la expresión es el “factor de integración”.

0 )

x 1 ).(

y 4 (

dy ) x 1 ( y dx ) y 4 ( x

2 2

2

2 =

+ +

+ + +

0 ) x 1 ).(

y 4 (

dy ) x 1 ( y ) x 1 ).(

y 4 (

dx ) y 4 ( x

2 2

+ = +

+ + + +

+

(30)

Simplificando:

0 y 4

dy . y x 1

dx . x

2

2 =

+ + +

Integrando:

C y 4

dy . y x

1 dx . x

2

2 =

+ +

+

∫

C ) y 4 2ln(

) 1 x 1 2ln(

1 ₂ ₂

= + +

+

C 2 ) y 4 ln(

) x 1

ln( + ² + + ² =

Reemplazando “2C” por el logaritmo natural de “k”:

) k ln(

) y 4 ln(

) x 1

ln( + ² + + ² =

El logaritmo del producto es la suma de logaritmos:

{

⁽¹ ^x ^).(⁴ ^y ⁾

}

^ln(^k⁾

ln + ² + ² =

Aplicando el antilogaritmo a ambos miembros:

k ) y 4 ).(

x 1

( + ² + ² = Solución Donde:

k: Constante arbitraria de integración

Verificación:

La solución es:

(31)

k ) y 4 ).(

x 1

( + ² + ² =

Obteniendo diferenciales de la expresión anterior:

0 dx ).

x 2 ).(

y 4 ( dy ).

y 2 ).(

x 1

( + ² + + ² =

Simplificando:

0 dx ).

y 4 ( x dy ).

x 1 (

y + ² + + ² =

Efectuando los productos:

0 dx ).

xy x 4 ( dy ).

y x y

( + ² + + ² =

Reordenando:

0 dy ) y x y ( dx ) xy x 4

( + ² + + ² = Verificado

dy . x dx . y dy . x

4 − = ²

Solución:

Agrupando las diferenciales:

dx . y dy . x dy . x

4 − ² =

dx . y dy ).

x x 4

( − ² =

Dividiendo para el producto “(4x-x²).y”, que es el “divisor de integración”:

y ).

x x 4 (

dx . y y

).

x x 4 (

dy ).

x x 4 (

2 2

2

= −

−

Simplificando:

x2

x 4

dx y

dy

= −

) x 4 ( x

dx y

dy

= −

Descomponiendo el miembro derecho en fracciones parciales y reemplazando:

x 4

B x A ) x 4 ( x

1

+ −

− =

Obteniendo denominador común en el miembro derecho:

) x 4 ( x

x . B ) x 4 ( A ) x 4 ( x

1

− +

= −

−

Destruyendo paréntesis en el numerador:

(32)

) x 4 ( x

x . B Ax A 4 ) x 4 ( x

1

− +

= −

− Agrupando:

) x 4 ( x

A 4 ) A B ( x ) x 4 ( x

1

− +

= −

−

Convirtiendo al numerador de la fracción izquierda en un polinomio similar al del numerador derecho.

) x 4 ( x

A 4 x ) A B ( ) x 4 ( x

1 x . 0

− +

= −

− +

De donde, al igualar los polinomios de los numeradores de las 2 fracciones se tiene:

1 A 4

0 A B

=

−

Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene:

4 / 1 A=

4 / 1 B=

La fracción original es equivalente a:

x 4

4 / 1 x

4 / 1 ) x 4 ( x

1

+ −

− =

x 4

4dx 1 x 4dx 1 y dy

+ −

=

x 4

dx x

dx y dy . 4

+ −

=

4 x

dx x dx y dy . 4

− −

= Integrando:

∫

⁴^._y^dy ⁼ ^dx_x ⁻ _x^dx₋₄

C ) 4 x ln(

) x ln(

) y ln(

.

4 = − − +

Reemplazando “C” por el “ln(k)”:

) k ln(

) 4 x ln(

) x ln(

) y ln(

.

4 = − − +

Agrupando los logaritmos:



 





= −

4 x

x . ln k ) y ln( ⁴

Calculando los antilogaritmos:

(33)

4 x

x . y⁴ k

= − Solución Donde:

0 dy ) y x y x 2 ( dx ) xy y x 3

( ² − + ³ ² + ³ ⁴ =

Solución:

Factorando la ecuación diferencial para facilitar la separación de variables:

0 dy ) y y 2 ( x dx ) x x 3 (

y ² − + ³ ² + ⁴ =

Dividiendo para el producto “x³.y”, que es el “divisor de integración”:

0 y

. x

dy ) y y 2 ( x dx ) x x 3 ( y

3

4 2 3

2 − + + =

0 y

. x

dy ) y y 2 ( x y

. x

dx ) x x 3 ( y

3 4 2 3 3

2 − + + =

Simplificando:

y 0 dy ) y y 2 ( x

dx ) x x 3

( ² ⁴

3

2 − + + =

0 dy ) y y 2 ( x

dx ) 1 x 3

( ₃

2 + + =

−

Separando los componentes de la integración y simplificando:

0 dy . y dy . y 2 x dx x

dx . x

3 ₃

2

2 − + + =

(34)

0 dy . y dy . y 2 dx . x x

dx

3 ₂ ₃

= +

+

− ⁻

Integrando:

C dy . y dy . y 2 dx . x x

dx .

3 −

∫

₂ +

∫

+

∫

₃ =

∫

⁻

4 C y 2 y 2 1 ) x x ln(

. 3

4 2

1 + + =

− −⁻ Simplificando:

4 C y y x ) x ln(

. 3

2 4

1+ + =

+ ⁻

4 C y y x ) 1 x ln(

. 3

2+ 4 = +

+ Solución

Donde:

NOTA: Para graficar la solución podría resultar conveniente representarla como una ecuación de segundo grado en que la variable independiente es “y² ”, que puede ser representada como una nueva variable “z”.

Reordenando la expresión:

x C ) 1 x ln(

. 3 4 y

y⁴ ₂

= + +

+

0 x C

) 1 x ln(

. 3 4 y

y⁴ ₂

=

− + +

+

Reemplazando la constante “-C” por una constante “k”:

0 x k

) 1 x ln(

. 3 4 y

y⁴ ₂

= + + +

+

Agrupando el término independiente de “y² ”:

0 x k

) 1 x ln(

. 3 4 y

y⁴ ₂ =



 



 + +

+ +

0 x k

) 1 x ln(

. 3 . 4 y 4

y⁴ ²  =



 



 + +

+ +

Poniendo la expresión en función de “y² ”:

[ ] [ ]

^y² ² ⁺⁴ ^y² ⁺⁴^.^_^³^.^ln(^x⁾⁺ _x¹⁺^k^_^⁼⁰

Para simplificar el procedimiento puede utilizarse la siguiente ecuación paramétrica:

y2

z = o y=± z Ecuación paramétrica para graficación

(35)

0 x k

) 1 x ln(

. 3 . 4 z 4

z² =



 



 + +

+ +

Resolviendo la ecuación de segundo grado para la variable “z” se tiene:

) 1 ( 2

x k ) 1 x ln(

. 3 . 4 ) 1 ( 4 4 4 z

2







 



 



 + +

−

±

−

=

Simplificando:

2

x k ) 1 x ln(

. 3 16 16 4 z



 



 + +

−

±

−

=

2

x k ) 1 x ln(

. 3 1 16 4

z 



 



 



 + +

−

±

−

=

Extrayendo el “16” de la expresión radical:

2

x k ) 1 x ln(

. 3 1 4 4 z



 



 + +

−

±

−

=

2

x k ) 1 x ln(

. 3 1 4 4 z

−

±

= −

Simplificando:

x k ) 1 x ln(

. 3 1 2 2

z =− ± − − −

Reemplazando “z” en función de “y”:

y2

z =

x k ) 1 x ln(

. 3 1 2 2

y² =− ± − − −

Despejando “y”:

x k ) 1 x ln(

. 3 1 2 2

y =± − ± − − −

Para el valor negativo del radical interior no existen valores dentro del conjunto de los números reales por lo que la expresión para la graficación es:

x k ) 1 x ln(

. 3 1 2 2

y =± − + − − − Solución para graficación

Un aspecto que es importante mencionar es que no siempre se podrá obtener con facilidad una representación gráfica de las funciones equivalentes a las ecuaciones diferenciales y condiciones de frontera planteadas.

(36)

0 dy ).

1 x ( y dx ).

1 y (

x² + + ² − =

Solución:

Dividiendo para “(y+1).(x-1)”, que son los factores que impiden la integración directa:

) 0 1 x ).(

1 y (

dy ).

1 x ( y dx ).

1 y (

x² ² =

− +

+

) 0 1 x ).(

1 y (

dy ).

1 x ( y ) 1 x ).(

1 y (

dx ).

1 y (

x² ²

− = + + −

− +

+

Simplificando:

1 0 y

dy . y 1 x

dx .

x² ² =

+ +

−

Separando la parte entera (divisible) de la parte no divisible en las 2 fracciones:

La determinación de la parte entera polinómica y la parte fraccionaria polinómica se puede realizar mediante una sencilla división, en la que el cociente es la parte entera y el residuo dividido para el divisor es la parte fraccionaria no divisible.

) x (

D d(x) ....

... Q(x) )

x ( R

) x ( d

) x ( ) R x ( ) Q x ( d

) x (

D = +

(37)

1 x 1 1 1 x

x x²

+ − +

− =

x² x−1

+

−x² x x+1

+ x

+

− x 1

+ 1

1 y 1 1 1 y

y y²

+ +

− + =

y² y+1

−

− y² y _y₋₁

− y

+ + y 1

+ 1

Reemplazando las equivalencias se tiene:

0 dy 1 . y 1 1 y dx 1 . x 1 1

x  =

 + +

−

 +



 



 + − +

Separando los componentes de la integración y simplificando:

1 0 y dy dy ).

1 y 1 ( x dx dx ).

1 x

( =

+ +

−

− + + +

Integrando:

1 C y dy dy ).

1 y 1 ( x dx dx ).

1 x

( =

+ +

−

− + +

+

∫ ∫ ∫

∫

C ) 1 y ln(

2 y ) y 1 x ln(

2 x

x² ²

= + +

− +

+ Solución

Donde:

NOTA: Cuando es difícil o imposible despejar una de las variables, de modo que se pueda construir la representación gráfica de una función (como en la expresión anterior), la hoja electrónica se puede organizar de tal manera que por tanteos convergentes se llegue a una aproximación aceptable de evaluación (que la evaluación del miembro izquierdo sea muy parecida a la evaluación del miembro derecho).

(38)

La tabla a través de la cual se pudo construir el gráfico anterior es:

Para cada valor de “x” se asignan diferentes valores de “y”, de modo que en las columnas

“C”, “E” y “G” se evalúa el miembro izquierda de la ecuación y se procura que alcance un valor que se aproxime mucho a “200”, “500” y “1000”.

) 3 y ( x

y 4 dx

dy

= − Solución:

dx . y 4 dy ).

3 y (

x − =

Dividiendo para “x.y”, que son los factores que impiden la integración directa:

(39)

y . x

dx . y 4 y

. x

dy ).

3 y (

x − =

Simplificando:

x dx 4 y

dy ).

3 y

( − =

Separando los componentes del miembro izquierdo:

x dx 4 y dy . 3 y dy .

y − =

x dx 4 y dy . dy−3 =

Integrando:

∫

^dy⁻ ³^._y^dy⁼ ⁴^dx_x

C ) x ln(

. 4 ) y ln(

. 3

y− = +

Reemplazando “C” por el “ln(k)”:

) k ln(

) x ln(

. 4 ) y ln(

. 3

y− = +

El logaritmo del producto es la suma de logaritmos:

) x . k ln(

. 4 ) y ln(

. 3

y− = Solución

Donde:

NOTA: La solución podría tener una expresión exponencial alternativa que eventualmente podría favorecer su representación gráfica.

Introduciendo el valor “3” y el “4” como exponentes de las expresiones logarítmicas:

4 3) ln(k.x) y

ln(

y− =

) x . k ln(

) y ln(

y− ³ = ⁴ ⁴

Reemplazando la constante por otra más simple:

) x . k ln(

) y ln(

y− ³ = ₁ ⁴

Agrupando las expresiones logarítmicas:

) x . k ln(

) y ln(

y = ³ + ₁ ⁴

El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos:

) y . x . k ln(

y = ₁ ⁴ ³

La expresión exponencial equivalente es:

3 1 4 y k .x .y e =

De esta expresión se podría despejar “x” y obtener una expresión de esa variable en función de “y”, lo que facilitaría la graficación.