Ley de Gauss
Ley de Gauss
Integral sobre una superficie
cerrada…
«flujo» de campo eléctrico Carga encerrada dentro de la
superficie cerrada
Superficie cerrada (encierra un volumen) Producto punto entre dos vectores
Profa.mfo 2
La ley de Gauss es útil en casos de simetría
Si el campo es constante, sale
de la integral
Notar que la integral de los diferenciales
de área, es el área
Magnitud del
campo
Área que quedó de la integral
Ley de Gauss
• Existe una manera relativamente fácil de calcular campos eléctricos en situaciones de simetría (puntos, esferas, cilindros,
placas, etc)
• Estos cálculos están basados en lo que se conoce como Ley de Gauss
• → Para ello requerimos definir el concepto
de «flujo eléctrico» (por analogía con el
flujo de fluidos)
Recordar de fluidos: flujo, caudal o gasto
Flujo de agua en una tubería o manguera ¿Cuánta agua sale por segundo por este extremo?
→ flujo
El flujo Q es igual al volumen de líquido que pasa por una superficie, por unidad de tiempo
Puede demostrarse que el flujo también puede escribirse como
Donde A es el área (sección) del tubo y v la velocidad del
(m
3/seg )
Profa.mfo 5
Flujo de un fluido
Queremos saber el flujo (cantidad de agua por segundo)
que atravesará una superficie imaginaria
Área A
Velocidad de flujo: v
¡El flujo depende de cómo coloquemos a la superficie en el agua!
(importa la orientación del área A)
Flujo de un fluido
Si la superficie se coloca perpendicular al flujo… (así
definimos el caudal anteriormente) Área
A
Velocidad de flujo: v
El flujo se calcula como
Q = Av
Flujo de un fluido
Si la superficie se coloca paralela al flujo…
Área A
Velocidad de flujo: v
¡El flujo vale cero!
Q = 0
Esto porque el agua no atraviesa la superficie, sino que pasa tangente a ella…
¡El flujo depende de la
orientación de la superficie!
Velocidad de flujo: v
Q = 0 Q = Av
¿Cómo se escribe esto en una ecuación?
(y para una inclinación cualquiera)
Se puede describir la
superficie con un vector
Vector área
• La magnitud del vector indica el valor del área A
• La dirección del vector indica la orientación del área
→ Con ayuda de este vector se puede definir el flujo y sus características
El flujo de agua
Velocidad de flujo…
Q = 0 Q = Av
Vector área paralelo a la velocidad de
flujo
Vector área perpendicular a
la velocidad de flujo
Vector área formando un ángulo q con la
velocidad de flujo
q
El producto interno o producto punto puede describir el flujo
Velocidad de flujo: v
Q = 0 Q = Av
q
Porque q = 0° y cos(0°) = 1
Porque q = 90° y cos(90°) = 0
Q = Avcos( q )
Por la inclinación de la superficie…
Entonces, el flujo de agua puede escribirse como…
Q = 0
Q = Av
Vector área paralelo a la velocidad del
fluido
Vector área perpendicular a la
velocidad del
Velocidad de flujo del fluido
q
Vector área formando un ángulo q la velocidad del fluido
Por analogía con el flujo del agua…
f = 0 f = EA
Vector área paralelo al campo eléctrico
Vector área perpendicular al
campo eléctrico
Vector área formando un ángulo q con el campo eléctrico Se puede hablar de un «
flujo de campo eléctrico
»:f
…Campo eléctrico E (toma el lugar de la velocidad de flujo)
q
Por analogía, el flujo de campo eléctrico es…
El flujo de agua era…
Si Q es la cantidad de agua que pasa por segundo (m3/seg), f está relacionado con la cantidad de líneas de campo que cruzan una superficie
El flujo en superficies arbitrarias
Esta forma de escribir el flujo es válida para un plano, que hace un ángulo constante con el campo eléctrico
q
En general, en una superficie cualquiera, el campo y el vector área no tendrán siempre la misma dirección → sumar sobre los elementos de área (integrar)
Entonces, el flujo de campo eléctrico sobre la superficie se escribe…
Se suma la contribución de los diferenciales de área dA
Profa.mfo 16
Ley de Gauss
Relaciona el flujo de campo eléctrico en una superficie cerrada con la carga eléctrica Recordar: líneas de campo debidas a una carga puntual
¿Cómo es el flujo de campo eléctrico en una superficie cerrada?
Imaginar cómo si fuera agua…
Dos casos:
1. La carga fuera de la superficie 2. La carga dentro de la superficie
El flujo de campo eléctrico
Flujo de campo eléctrico en una superficie cerrada
Caso 1: Carga fuera de la superficie…
En este caso, el flujo de campo eléctrico es cero, pues cada línea que entra, sale después
Flujo de campo eléctrico en una superficie cerrada
Caso 2: Carga dentro de la superficie…
En este caso, todas las líneas salen de la superficie, pero ninguna entra… el flujo no puede ser cero…
El flujo depende de la carga encerrada
Carga fuera de la superficie Carga encerrada en la superficie
flujo nulo flujo diferente de cero
Ley de Gauss
• La ley de Gauss resume estas observaciones
• El flujo de campo eléctrico se debe a las cargas eléctricas encerradas o no en superficies
«flujo» de campo eléctrico Es cero solamente si la carga encerrada es nula
Ley de Gauss
Integral sobre una superficie
cerrada…
«flujo» de campo eléctrico Carga encerrada dentro de la
superficie cerrada
Superficie cerrada (encierra un volumen) Producto punto entre dos vectores
Profa.mfo 22
Una aplicación de la Ley de Gauss: carga en un conductor
Trozo de material conductor (metálico): las cargas
tienen libertad de movimiento
Las cargas se mueven hasta que las fuerzas entre
ellas sean cero
Es decir, el campo dentro del volumen es cero
(E = 0 en todo el volumen)
Ahora consideramos una superficie cerrada dentro del conductor
Aplicar Ley de Gauss considerando
E = 0
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Una aplicación de la Ley de Gauss: carga en un conductor
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Ley de Gauss
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Si E = 0 en todo punto dentro de la superficie cerrada, entonces necesariamente la carga encerrada en ella vale cero qencerrada = 0 (sólo así se cumple la
ecuación)
Aplicar Ley de Gauss considerando
E = 0
Una aplicación de la Ley de Gauss: carga en un conductor
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Ley de Gauss
Si E = 0, entonces q
encerrada= 0 (sólo así se cumple la ecuación
)q encerrada = 0
Una aplicación de la Ley de Gauss: carga en un conductor
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Se puede repetir este
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proceso con
superficies arbitrarias y se llega al conclusión de que en un conductor las cargas en exceso residen en su superficie externa
Aplicaciones:
• Jaula de Faraday
• Rayo que cae en un carro
La Jaula de Faraday
La carga en exceso en un conductor se acomoda en su superficie externa
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La ley de Gauss es útil en casos de simetría
Si el campo es constante, sale
de la integral
Notar que la integral de los diferenciales
de área, es el área total
Magnitud del
campo eléctrico
Área que quedó de la integral
Profa.mfo 28
