Capítulo 01) Escalas y Medidas

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Capítulo 01) Escalas y Medidas

A) Definición operacional de unidades

Dos amigos se van a encontrar para ir al cine. Uno de ellos le dice al otro: “Juntémonos mañana a las 6 de la tarde, en la Plaza de Viña del Mar”.

En la situación descrita por la frase, así como en todo fenómeno físico están presentes dos cantidades físicas fundamentales: tiempo y distancia.

Cantidades Físicas: Todas las cosas o fenómenos con las cuales trabajan los físicos, que son cosas que pueden ser medidas, y por lo tanto cuantificadas. Por ejemplo: tiempo, distancia, velocidad, masa, etc.

Para que el mensaje tenga sentido y efectividad, es necesario que exista un acuerdo respecto a ciertas referencias.

• Referencias de tiempo: Si uno de los amigos tiene el reloj con la hora de Viña del Mar, y el otro con la hora de Sydney, difícilmente se van a encontrar.

• Referencias de distancia: Supongamos que ninguno de los amigos conoce Viña del Mar. Si uno de ellos usa un Mapa de Viña del Mar y el otro usa un mapa de Sydney, difícilmente se van a encontrar.

Todos tenemos una idea acerca de lo que es el tiempo. Sentimos que el tiempo transcurre en forma continua. Sabemos que hay hechos que ya ocurrieron y otros que van a ocurrir. Podemos ordenar eventos en una secuencia temporal: por ejemplo: en una carrera, primero se da la partida, luego los competidores corren, y al final empiezan a llegar a la meta. Sentimos que hay acontecimientos que duran más que otros, etc.

Sin embargo, intentemos definir el tiempo, en palabras. O busquemos una definición en un diccionario. Observaremos que todas las definiciones resultan “circulares”, es decir, frases en que se usa la misma palabra que se desea definir, o uno de sus sinónimos. Por ejemplo: “tiempo es aquello que transcurre” parecería ser una buena definición. Pero, entonces: “¿qué es “transcurrir”?.

Algo similar ocurre si se intenta definir distancia. Encontraremos frases como: “distancia es la separación entre dos puntos” u otras similares en que se usan palabras como: lejanía, espacio, separación, longitud del trazo entre los puntos, etc.

Tiempo: “Duración de los fenómenos”

Duración: “Tiempo que dura una cosa”

Distancia: Intervalo que separa dos puntos del espacio o del tiempo.

Pequeño Larousse Ilustrado”, Ediciones Larousse, Buenos Aires, Argentina.

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Si todos tenemos una idea clara de lo que es tiempo y distancia, ¿por qué sus definiciones se no escapan en esta frustrante forma? La razón es que son conceptos fundamentales (o primarios, o básicos); es a partir de éstos que se van construyendo todos los demás conceptos. Por ejemplo, rapidez media de un cuerpo es la distancia recorrida por él, dividida por el intervalo de tiempo que se demoró. Observe que los conceptos fundamentales quedan sin definición.

Esta situación es altamente insatisfactoria: ¿de qué sirve esa definición de rapidez media, si contiene dos términos que no están definidos? Desde el punto de vista de las “definiciones de diccionario”, no existe claridad absoluta respecto a la definición precisa de estos conceptos. Además, gastar tiempo en establecer tal claridad sería inútil y detendría el progreso del pensamiento. Por ello, para efectos de desarrollo científico, basta con que estemos de acuerdo en que al hablar de tiempo y distancia nos estamos refiriendo a la misma cosa.

Científicos e ingenieros han encontrado la siguiente solución a este dilema: una cantidad (por ejemplo, intervalo de tiempo) queda definida cuando se define su método de medición. De este modo, dos personas que usen el mismo método para medir una cantidad determinada sabrán que se están refiriendo a la misma cosa y obtendrán resultados comparables.

En Física, lo realmente importante es dar reglas para medir. Es por ello que las cantidades físicas se definen de manera que puedan ser medidas. A esas definiciones se les llama “definiciones operacionales”.

Para medir intervalos de tiempo, en primer lugar, debe buscarse algún fenómeno repetitivo que usaremos como patrón, por ejemplo, las oscilaciones de un péndulo. Una vez establecido el patrón, se mide la duración de un acontecimiento, contando cuántos ciclos patrón ocurrieron.

El método dado en el párrafo anterior es una definición operacional de intervalo de tiempo. Observe que esta definición es genérica, es decir, aplicable a cualquier tipo de aparato o método para medir el tiempo. En la práctica, medimos el tiempo mediante relojes. Un reloj, de cualquier tipo, es un instrumento que hace automáticamente el conteo mencionado en la definición.

Intentemos dar una definición operacional de largo (de una mesa). En primer lugar habría que escoger algún objeto patrón, por ejemplo, un lápiz. El largo de la mesa queda definido contando cuántas veces (y fracción) “cabe” el objeto patrón entre los bordes de la mesa. En la práctica, se ha establecido un patrón universal, el metro patrón, y se han construido instrumentos, como la huincha métrica, que hacen automáticamente el conteo mencionado en la definición.

Todas las cantidades usadas en Ciencia y Tecnología pueden definirse operacionalmente, en forma similar a los ejemplos anteriores.

En Física, se denomina “medir” al proceso de comparar dos cosas A y B del mismo tipo, como por ejemplo dos longitudes. En este proceso, se escoge

Figura 4) Número de medición y unidad de medición de la longitud de un lápiz

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una de las cosas, por ejemplo, A, como unidad de medición, y se cuenta cuántas veces B está contenida en A.

Número de medición: Número que expresa la medición de un fenómeno, a través del cuociente entre éste y la unidad de medida.

Las unidades de medición son arbitrarias, lo que significa que se obtienen mediante acuerdo o convenio. Cuando el convenio es de carácter internacional, se habla de unidad patrón, como el metro o el segundo.

La unidad patrón es un lenguaje común usado por los científicos para comunicarse. En cualquier parte del mundo, sea China, Europa o Sudamérica, están todos de acuerdo que 1 [m] representa la misma longitud y que 1 [s] representa el mismo intervalo de tiempo.

Una buena unidad patrón debe cumplir dos condiciones:

• Debe ser fácilmente reproducible.

• Debe poder guardarse sin que sufra alteraciones significativas.

En ocasiones, las unidades se hacen demasiado

grandes o demasiado pequeñas para medir algunos fenómenos. Así, se hace necesario definir subunidades o múltiplos de unidades, que pueden ser

definidas arbitrariamente, o bien en base a otro fenómeno relacionado con el usado como patrón.

B) Tiempo

Fenómenos Cíclicos

Desde sus comienzos, el ser humano sintió la necesidad de medir el tiempo, y para ello buscó la unidad patrón que le permitiera hacerlo. Su sentido común le indicó que una buena unidad patrón sería algún fenómeno que suceda una y otra vez en forma regular, es decir fenómenos cíclicos a partir de los cuales se pudiera hacer un conteo.

Dentro de los posibles fenómenos cíclicos a considerar están la respiración y los latidos del corazón. Sin embargo, como todos sabemos, la frecuencia de respiración y de los latidos del corazón varía según nuestro cansancio y estado de ánimo, lo que los hace inútiles como unidades patrón.

Figura 5) Ciclo completo de un péndulo

1/2 ciclo 1/2 ciclo

1 ciclo

A B A

A B

Péndulos A y B en fase

Péndulos A y B fuera de fase

Figura 6) Péndulos en fase y fuera de fase

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Un arquetipo conocido de fenómeno cíclico es el péndulo, como el que se muestra en la figura 5.

Supongamos que el péndulo se suelta desde cierta posición inicial A, y oscila hasta la posición B, donde se devuelve hacia la posición inicial A, completando un ciclo u oscilación completa.

Se define la frecuencia (f) de un péndulo como el número de ciclos u oscilacionnes que éste hace en un segundo. La frecuencia se mide en [1/s], también denominado “hertz” [Hz].

Se define el período (T) como el tiempo empleado por cada partícula en realizar un ciclo.

Matemáticamente se cumple que f T =1.

Considere el par de péndulos A y B de la figura 6, cuyos períodos son TA y TB. Si, en un instante dado, ambos péndulos tienen la misma posición angular, se dice que están en fase. En caso contrario, se dice que están fuera de fase.

Considere dos péndulos A y B, con diferentes períodos de oscilación (TA ≠ TB), y que parten desde cierta posición inicial. Después de un tiempo T0, dado por el mínimo común múltiplo entre TA y TB, ambos péndulos volverán a encontrarse en sus respectivas posiciones iniciales. Durante todo ese tiempo, el péndulo A hará NA = T0/TA oscilaciones, y el péndulo B hará NB = T0/TB oscilaciones.

En un momento dado, el hombre se dio cuenta que, en cierto instante, el Sol estaba justo encima de su cabeza. Vio que, a medida que transcurría el tiempo, el Sol se movía hacia el este y se ponía, haciéndose de noche. Posteriormente, vio que el Sol salía por el Oeste, y seguía moviéndose hasta llegar nuevamente a estar encima de su cabeza. El hombre siguió observando este fenómeno muchas veces hasta percatarse que el intervalo de tiempo transcurrido entre dos ocasiones consecutivas en que el Sol estaba encima de su cabeza era similar. Así, el fenómeno del

“movimiento” del sol (está entre comillas, porque ahora sabemos que la que se mueve es la Tierra), dio origen a los conceptos de “día” y “noche”

Posteriormente, el hombre puso su atención en los ciclos lunares: luna llena, luna nueva, cuarto menguante y cuarto creciente, y notó que la duración de cada ciclo era similar. Así, el fenómeno de los ciclos de la luna dio origen al concepto de “mes”.

Más adelante, el hombre se percató que el estado del clima cambiaba en forma cíclica. Así, notó que las épocas en donde hacía mucho calor (verano), donde las hojas caían de los árboles (otoño), donde se ponía a llover (invierno) y donde florecían los árboles (primavera) tenían una duración similar y se sucedían cíclicamente. Así, el fenómeno de las estaciones climáticas dio origen al concepto de “año”.

La unidad de tiempo universalmente aceptada por el mundo científico es el “segundo” [s]. La definición operacional de [s] ha ido evolucionando.

• Inicialmente, se definió como “1/86400 de un día solar medio”.

• En la década de 1950 se formuló la siguiente definición: “Se define que el año trópico 1900 tiene 31556925,9747 [s]” (365 [día] 5 [h] 48 [min] 45,9747[s] “

Asociamos la idea de “distancia” a dos situaciones específicas

• Cuando queremos saber qué tan grande o pequeña es una cosa

• Cuando queremos saber qué tan lejos o tan cerca está una cosa

Desde el inicio de los tiempos, el hombre se vió en la necesidad de medir distancias. En el siguiente trozo del Antiguo Testamento, Dios usa unidades de longitud para darle las instrucciones a Noé para la construcción del arca

“Hazte un arca de madera de gofer; harás aposentos en el arca, y la calafatearás con brea por dentro y por fuera. Y de esta manera la harás: de trescientos codos la longitud del arca, de cincuenta codos su anchura, y de treinta codos su altura. Una ventana harás al arca, y la acabarás a un codo de elevación por la parte de arriba; y pondrás la puerta del arca a su lado;

y le harás piso bajo, segundo y tercero.”

Genesis 6, 14-16 En las civilizaciones antiguas, se usaron como unidades patrones longitudes relacionadas con su cuerpo. Así, el “pie” fue usado por muchas culturas.

Unidades de distancia en la antigüedad En la Antigua Roma, ¹

[

^milla

]

^≅²⁰⁰⁰

[

^pie

]

En Babilonia, la unidad básica es el (~1.65 [cm]). Unidades derivadas:

[ ] [ ]

[^legua] ¹⁸⁰[^cuerda]

1

codo 120 cuerda 1

codo 12 percha 1

dedo 30 codo 1

dedo 20 pie 1

≡

Actualmente, en el mundo existen dos sistemas de unidades de distancias dominantes: el sistema métrico y el sistema británico.

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El sistema métrico tiene como unidad patrón básica el “metro” ([m]). Tal como pasó con el segundo, la definición operacional de metro ha ido evolucionando con el tiempo.

• En 1791, el metro se definió como “la diez millonésima parte de un cuadrante de meridiano terrestre”.

• En 1889, se estableció la siguiente definición: “metro es la distancia entre dos trazos grabados sobre una barra de platino e iridio, a la temperatura de 0[ºC] y a la presión atmosférica normal, que se encuentra depositada en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas de Sevres, París”.

• En 1960, se estableció una definición algo más retorcida: “el metro es el largo igual a 16590763,73 longitudes de onda en el vacío, de la radiación correspondiente a la transición entre los niveles 2p10 y 5d5 del átomo de Kriptón 86”.

La unidad patrón básica del sistema británico es la yarda o [yard]. Su definición operacional también ha evolucionado.

• El rey Enrique I dio la primera en 1101: “Una yarda es la mayor distancia entre la punta de mi nariz y el extremo de mi pulgar”.

• En 1824, se adoptó otra definición más reproducible (y menos autorreferente): “La Imperial Standard Yard es la distancia entre los trazos medios sobre los dos tarugos de oro de una barra de bronce a 62 [ºF] que se guarda en el Board of Trade en Westminster”.

Otra de las unidades importantes es la pulgada o [in]. En 1324, el rey Eduardo II formuló la siguiente definición operacional para esta unidad: “la pulgada es la distancia formada por tres granos de cebada tomados de la parte central de una espiga y colocados a lo largo, uno tras otro”. Otras unidades importantes son el pie o [ft] y la milla o [mile].

Equivalencias dentro del sistema británico

[ ] [ ]

[^mile] ⁵²⁸⁰[ ]^ft

1

in 12 ft 1

ft 3 yd 1

≡

Equivalencias entre el sistema británico y el sistema métrico

[ ] [ ]

[

^mile

]

^1609,34

[ ]

^m

1

cm 2,54 in

1

cm 30,48 ft

1

cm 91,44 yd

1

≡

C.1) La importancia de la conversión de unidades: el error garrafal de la NASA y Lockheed Martin

El fracaso de la misión de la nave Mars Climate Orbiter, ocurrido en 1998, fue el episodio más catastrófico en la historia de las misiones a Marte de la NASA. Y la causa de este chasco fue ni más ni menos que un problema de conversión de unidades. Al diseñar la nave, la NASA entregó datos

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críticos de navegación en el sistema británico de unidades. Sin embargo, los ingenieros de Lockheed Martin, empresa que construyó la nave, no se percataron de esto, y los interpretaron como datos del sistema métrico, en vez de hacer la conversión de unidades correspondiente. A consecuencia de este error (impresentable y vergonzoso para ingenieros y especialistas de instituciones del nivel de la NASA y de la Lockheed Martin, y grave en ámbitos como la ingeniería espacial, donde la precisión es fundamental), la nave, cuyo costo fue de 117 millones de euros, se quemó en la atmósfera de Marte.

Este episodio ilustra mejor que ninguno la importancia de saber convertir unidades. Si se quiere sumar dos longitudes, ambas deben estar en las mismas unidades, y si están en unidades diferentes, hay que convertir una de ellas antes de sumar.

C.2) Velocidad de la Luz

De acuerdo a la física moderna estándar, toda radiación electromagnética (incluida la luz visible) se propaga o mueve a una velocidad constante en el vacío, conocida comúnmente como velocidad de la luz. La velocidad de la luz en el vacío es por definición una constante universal. Se denota con la letra c, proveniente del latín celéritās (velocidad), y también es conocida como la constante de Einstein. La velocidad de la luz fue incluida oficialmente en el Sistema Internacional de Unidades como constante el 21 de octubre de 1983, pasando el metro a ser una unidad dada en función de esta constante y el tiempo. En inglés la velocidad de la luz se abrevia SOL (Speed Of Light).

La luz se propaga en el vacío con velocidad constante (denominada “c”) y siguiendo una trayectoria recta (al menos en principio). El valor de esta velocidad ha sido medido y su valor ha ido evolucionando. Según la conferencia general de pesos y medidas, en 1974 era de

[ ] ^m _s

71 299792533

c ≅ ±

, y en 1975 era

^c ^≅ ^299792458 [ ] ^m _s

. Para efectos de cálculo, se considera el valor aproximado

^c ^≅ ³ ^⋅ ¹⁰

⁸

[ ] ^m _s

Si la luz recorre una distancia d en un tiempo t, se cumple la relación t

c = d . A partir de ella, se pueden derivar las siguientes relaciones: d =c⋅t y

c t = d .

A partir de este dato, en 1983 se estableció una nueva definición operacional para “metro”: “El Metro es el largo del camino recorrido por la luz en vacío durante un intervalo de tiempo de (1/299792458) de un segundo”.

La velocidad a través de un medio que no sea el vacío es siempre menor a c (según el índice de refracción del medio).

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D)

Sistemas de Unidades

Durante el desarrollo del presente curso se introducirán diferentes cantidades físicas, cada una de las cuales tiene asociada una dimensión física. En general, existen dos tipos de sistemas de unidades:

• Los sistemas físicos, cuyas unidades básicas son tiempo, longitud y masa.

• Los sistemas técnicos, cuyas unidades básicas son tiempo, longitud y fuerza.

Tal como se muestra en la figura 7, cada uno de estos tipos de sistemas se divide a su vez en sistemas

métricos (metro, kilogramo, etc) y en sistemas ingleses (pie, libra, etc)

En la siguiente tabla se resumen las unidades de tiempo, longitud, masa y fuerza para estos sistemas de unidades.

Sistemas Métricos Sistemas Ingleses

Físico Técnico Físico Técnico

MKS CGS

Tiempo 1 [s] 1 [s] 1 [s] 1 [s] 1 [s]

Longitud 1 [m] 1 [cm] 1 [m] 1 [ft] 1 [ft]

Masa 1 [kg] 1 [g] 1 [utm] 1 [lb] 1 [slug]

Fuerza 1 [N] 1 [Dy] 1 [kp] 1 [pdl] 1 [lbf]

E) Notación Científica

En el quehacer científico es frecuente encontrarse con cantidades físicas cuyos valores numéricos son

• muy grandes, como por ejemplo la estimación de la edad de la Tierra en segundos: 160 000 000 000 000 000 (ciento sesenta mil billones)

• muy pequeñas, como por ejemplo el período de vibraciones nucleares, en segundos, que es 0,000000000000000000001 (un miltrillonésimo)

Esta forma extendida de escribir los números adolece de varias desventajas:

• Es una notación incómoda (resulta muchas veces exasperante escribir tantos ceros)

• Genera dificultades de visualización (cuesta “imaginarse” lo que representa un número con tantas cifras)

• Es difícil operar con ellos.

Figura 7) Tipos de sistemas de unidades

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Por ello, los científicos idearon un tipo de notación especial que permitiera salvar estas incomodidades, facilitando el trabajo con estos números. Esta notación se denomina notación científica.

La notación científica consiste en escribir un número B en el formato N=f ⋅10^α, es decir, como el producto de otros dos:

• f: Un número cualquiera (al menos en principio)

• 10^α: Una potencia de 10 conveniente.

En principio, existen infinitas maneras de escribir un mismo número usando notación científica. Por ejemplo, el número 300000 se puede expresar así:

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=30000 10¹ 30 10⁴ 0.03 10⁷ 300000

Con el fin de obtener una escritura uniforme, para efectos de este curso se establece el siguiente convenio: “Al escribir un número real usando potencia de 10 se elegirá un factor de valor absoluto entre 1 y 10 acompañado a la potencia de 10 correspondiente”, es decir:

10f

;110f N

adecuado exponente de

10 de potencia 10 y1

entre absoluto valor de

numérico factor REAL NUMERO

α <≤

⋅=

 







 







 ⋅

 





 







=

Para el ejemplo anterior, usando este convenio 300000=3⋅10⁵

F) Prefijos de múltiplos y submúltiplos de unidades de medición.

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A partir de una unidad básica para cierta cantidad física, se pueden elegir unidades más grandes multiplicando la unidad básica por potencias de 10. En la siguiente tabla se aprecian las más importantes

Prefijo Valor Símbolo

exa... 10¹⁸ E...

peta... 10¹⁵ P...

tera... 10¹² T...

giga... 10⁹ G...

mega... 10⁶ M...

Kilo... 10³ k...

hecto... 10² h...

deca... 10¹ da...

Similarmente, a partir de una unidad básica para cierta cantidad física, se pueden elegir unidades más pequeñas dividiendo la unidad básica por potencias de 10. En la siguiente tabla se aprecian las más importantes

Prefijo Valor Símbolo

deci... 10^-1 d...

centi... 10^-2 c...

mili... 10^-3 m...

micro... 10^-6 µ...

nano... 10^-9 n...

pico... 10^-12 p...

femto... 10^-15 f...

atto... 10^-18 a...

G) Orden de Magnitud y Aproximaciones

Ya sea por el resultado de una medición, o por efectos de cálculo, una cantidad física puede ser comunicada mediante un número que

contenga más cifras (dígitos) que los requeridos en una situación particular. En esos casos, se efectúan aproximaciones numéricas.

Con el fin de tener un criterio común para aproximar números, adoptamos para el efecto un convenio: Para aproximar a k cifras un

número de n cifras (n > k), acordamos las siguientes reglas para la k-ésima cifra (la que ocupa el lugar número k contando de izquierda a derecha, como se aprecia en la figura 8)

Figura 8) Convenio para aproximaciones

Capítulo 01) Escalas y Medidas