Aplicación de Funciones en La Ingenieria de Sistemas (Julio Canepa)

INTRODUCCION

INTRODUCCION

Las funciones matemáticas son de gran importancia para darle solución Las funciones matemáticas son de gran importancia para darle solución a

a mucmuchohos s prprobloblemaemas s de de la la vidvida a cocotidtidianiana, a, popor r lo lo cucual al papara ra nunuestestrara carr

carrera también son era también son muy útiles por muy útiles por el cual el cual podemos estudiar fenómenopodemos estudiar fenómenoss en

en el el cucual al se se pupuedede e prprededececir ir popor r memedidio o de de fufuncncioionenes s rresespupuesestatass tangibles o aproximarse a un resultado.

tangibles o aproximarse a un resultado. En el presente trabajo, se detallarán las

En el presente trabajo, se detallarán las caractercaracter  sticas de las diferentessticas de las diferentes funciones

funciones matemáticasmatemáticas y sus aplicaciones sobre las distintas y sus aplicaciones sobre las distintas cienciasciencias yy la vida cotidiana.

la vida cotidiana. Las

Las funcionesfunciones a las !ue nos dedicaremos son las siguientes" a las !ue nos dedicaremos son las siguientes"

•

• #unción#unción $rigonométrica $rigonométrica •

• #unción#unción %uadrática %uadrática •

• #unción &fn 'Lineal(#unción &fn 'Lineal( •

• #unción Logartmica#unción Logartmica •

• #unción Exponencial#unción Exponencial •

• #unción )olinómica#unción )olinómica  $

 $ambién ambién hablarhablaremos emos un un poco poco sobre sobre algunoalgunos s conceptoconceptos s básicos básicos de de laslas funciones.

Fu

Funciones Constantes Numéricas o

nciones Constantes Numéricas o Absolutas

Absolutas

*na constante es una expresión !ue tiene un valor +jo. *na constante *na constante es una expresión !ue tiene un valor +jo. *na constante nu

numéméririca ca se se esescrcribibe e cocomo mo un un núnúmemerro o rreaeal. l. EsEstotos s soson n ejejememplplos os dede constantes numéricas"

constantes numéricas"

27123,7600,0076 27123,7600,0076

Los números negativos son especi+cados con el signo '(. )or ejemplo" Los números negativos son especi+cados con el signo '(. )or ejemplo"

−

−

2727

−

−

123,760123,760

−

−

0,00760,0076

%onstante &bsoluta %onstante &bsoluta

*na constante absoluta es a!uella !ue en todos los problemas tienen *na constante absoluta es a!uella !ue en todos los problemas tienen siempre el mismo valor- existen muchas más constantes absolutas siempre el mismo valor- existen muchas más constantes absolutas )or ejemplo" El número

)or ejemplo" El número PIPI

((

π π 

))

o sea la relación entre el diámetro y elo sea la relación entre el diámetro y el per

permmetretro o de de ununa a circircuncunferferenencia cia en en gegeomometretra a eueucliclidiadiana na en en /0- /0- elel número

número ee  'la constante neperiana(. 'la constante neperiana(.

%onstantes &rbitrarias %onstantes &rbitrarias *na constante &rbitraria

*na constante &rbitraria, es , es a!uella a la a!uella a la !ue se le !ue se le pueden dar diferenpueden dar diferentestes valores, siempre y cuando no altere a la ecuación diferencial.

valores, siempre y cuando no altere a la ecuación diferencial.

%oncepto de 1ariable %oncepto de 1ariable

*na variable es la expresión simbólica representativa de un elemento no *na variable es la expresión simbólica representativa de un elemento no espe

especi+cci+cado ado compcomprenrendiddido o en en unun conjuntoconjunto. Este. Este conjuntoconjunto constituido porconstituido por todos los

todos los elementoselementos o variables, !ue pueden sustituirse unas a otras es el o variables, !ue pueden sustituirse unas a otras es el

universo

universo de variables. 2e llaman as por!ue varan, y esa variación es de variables. 2e llaman as por!ue varan, y esa variación es observable y medible.

observable y medible. )o

)or r ejemejemploplo""  x x  es una variable del es una variable del universouniverso {{22,,44,,66,,88}} . )or lo tanto,. )or lo tanto,

 x

 x _{puedpuede tener cual!ue tener cual!uiera de dichosiera de dichos valoresvalores, es decir !ue puede ser, es decir !ue puede ser}

reempla3ada por

reempla3ada por cual!uier número par menor a 4cual!uier número par menor a 4..

5ntervalo de una variable 5ntervalo de una variable

Los intervalos son los subconjuntos conexos de /. 6ás precisamente, Los intervalos son los subconjuntos conexos de /. 6ás precisamente, son las únicas partes 5 de / !ue veri+can la propiedad siguiente"si x e y son las únicas partes 5 de / !ue veri+can la propiedad siguiente"si x e y

pertenecen a 5, x 7 y, entonces para todo 3 tal !ue x 7 3 7 y, 3 pertenece a 5. ')( 2e pueden clasi+car los intervalos según sus caractersticas topológicas 'intervalos abiertos, cerrados, semi abiertos, abiertos y cerrados( o según su caractersticas métricas 'su longitud" nula, +nita no nula, o in+nita(.2e usan habitualmente dos notaciones" 8a-b( o 8a- b8 para representar el conjunto de los x tal !ue a 7 x 9 b. La primera es la vigente en el mundo anglosajón, la segunda en #rancia y en la francofona. La regla del corchete invertido resulta más intuitiva si uno se imagina !ue el corchete es una mano !ue tira hacia fuera o empuja hacia dentro, respectivamente, un extremo del intervalo. En el ejemplo anterior, a  pertenece al intervalo mientras !ue b  no.

 $ambién existe una regla mnemotécnica para el uso del paréntesis" si se dibuja sobre la recta real dos intervalos adyacentes, como ':- ;( y ';- 0( 'es decir, se pinta la recta real y se coloca cuatro paréntesis donde corresponda(, entre los dos intervalos cabe un signo ; 'o lo !ue corresponda según los intervalos( cabe, apretado pero cabe. 6ientras !ue si los dos intervalos son ':, ;< y 8;, 0(, o ':, ;< y ';, 0( el número no cabe, o cabe muy estrangulado. = sea, !ue si los dos intervalos son abiertos, el número ; no pertenece a ninguno, y por tanto hay espacio para meterlo en medio. &!u están todos los casos posibles, con a 7 b, y x perteneciente al intervalo, y l su longitud"

; .

[

a , b

]

 intervalo cerrado de longitud +nita l

=

b

−

a . a ≤ x ≤ b .

0

o

¿

a , b

¿

.

¿

intervalo cerrado en a, abierto en b 'semicerrado, semi

abierto(, de longitud +nita l

=

b

−

a . a ≤ x

<

b .

>.

¿

a , b

¿

o

¿

intervalo abierto en a, cerrado en b, de longitud +nita

l

=

b

−

a . a

<

 x ≤b .

? _.o

_¿

(

_{a , b}a , b

_¿

)

 intervalo abierto, de longitud +nita l

=

b

−

a . a

<

 x

<

b .

@. o

_¿−

(−

_{∞, b}∞, b

_¿

)

intervalo abierto de longitud in+nita.  x<b .¿−∞ , b¿o¿ intervalo 'semi(cerrado de longitud in+nita.  x ≤ b .

A

¿

a ,

+

∞

¿

.

¿

 intervalo 'semi(cerrado de longitud in+nita. a 7 x.

B _.o

_¿

(

_{a ,}a ,

₊

+

_∞∞

_¿

)

 intervalo abierto de longitud in+nita. a 9 x.

C .

¿−

∞ ,

¿

+

∞

¿

o

(−

∞,

+

∞

)

 o /, intervalo a la ve3 abierto y cerrado, de

longitud in+nita. x pertenece a /.

4.Da intervalo cerrado de longitud nula. Es un conjunto unitario. 'corresponde al caso a F b(. x F a

;:.D F G el conjunto vaco, intervalo a la ve3 abierto y cerrado. x no existe.

&mplitud de un 5ntervalo

Hentro de los conceptos fundamentales de la estadstica y la representación grá+ca de variables !ue son continuas, existe una conveniencia por agrupar los valores de una variable en intervalos !ue por lo general serán del mismo tamaIo- elección !ue se hace por cierto en función del número de datos de !ue se dispone y de la variación de los mismos.

%ada intervalo !uedará entonces de+nido por sus lmites superior e inferior...a la diferencia entre ambos extremos se le denomina amplitud del intervalo

*n intervalo cual!uiera viene dado por dos números !ue forman sus lmites por ejemplo, 0A>: es un intervalo donde el lmite inferior es 0A y el superior es >:, entonces comprende los valores 0A, 0B, 0C, 04, >:- la amplitud es de cinco unidades de medida. '5ncluye ambos lmites(.

%oncepto de #unción

/elación entre dos conjuntos !ue asigna a cada elemento del primero un elemento del segundo o ninguno

%ampo de existencia de una #unción Ejemplo"

Jallar el campo de existencia de la función f de+nida por

/esolución"

La función anterior asigna a cada número x, el valor

El campo de existencia está formado por todos los números reales x, para los !ue su imagen está de+nida mediante la función f.

La expresión  _x

₋

1₂   está de+nida para todos los números reales, salvo para a!uellos !ue anulen el denominador, puesto !ue la expresión 1

/

0 no es un número real. El denominador  x

−

2 se anula cuando  x

=

2 .

)or tanto, el campo de existencia de la función es /  D0.

He+nición de #unción

*na función es una relación entre dos variables, de forma !ue a cada valor de la variable independiente , le asocia un único valor de la variable dependiente , !ue llamaremos imagen de . Hecimos !ue y es función de y lo representamos por

%aractersticas de una #unción

*na función es toda relación entre dos variables en donde a cada valor de una de ellas !ue se la llama variable independiente, le corresponde un único valor de la otra variable, !ue se llama variable dependiente. 2e puede simboli3ar"

f 

 (

 x

)

: R → R

/

f 

 (

 x

)=

3 x _{2igni+ca !ue } f  _{ es una función aplicada de}

reales en reales, tal !ue a cada valor  x  del conjunto de partida, le hace corresponder su triple.

%aractersticas de funciones"

• %orrespondencia" a cada valor de la variable independiente le

corresponde un único valor de la variable dependiente.

• *nicidad" cada valor de la variable independiente tiene !ue tener una única imagen.

#ormas de de+nir una función"

• diagrama de 1enn • tabla

• formula

• gra+co cartesiano

FUNCION LINEAL

*na función es lineal cuando presenta la siguiente fórmula"

f 

 (

 x

)

=m x+b ó y=m x+b

 m  y  b  son números reales. m  se llama pendiente y representa la inclinación de la recta.  b  se llama ordenada al origen 'ordenada del punto de intersección con el eje  y (.

• si la pendiente es positiva, el eje  x  forma con la recta en

sentido antihorario un ángulo menor !ue 90 °  y se dice !ue la función es creciente, ya !ue al aumentar la variable independiente también aumentan los valores de la variable dependiente.

• si la pendiente es negativa, el eje  x  forma con la recta en

sentido antihorario un ángulo mayor !ue 90° y menor !ue

180° _{. la función en este caso es decreciente, ya !ue al aumentar}

lo valores de la variable independiente, disminuyen los valores de la variable dependiente.

• si la pendiente es igual a cero

(

m

=

0

)

, la recta es paralela al eje

de las  x , o sea !ue es una recta hori3ontal !ue recibe el nombre de función constante.

En matemática, se conoce como ra3 'o cero( de una función  'de+nida sobre un cierto cuerpo algebraico( f 

 (

 x

)

a todo elemento x perteneciente al dominio de dicha función tal !ue se cumpla" f 

 (

 x

)

=0 . )or ejemplo, dada la función"

)lanteando y resolviendo la ecuación"

)odemos a+rmar !ue 0 y ? son races ya !ue f 

 (

2

)=

0 y f 

 (

4

)=

0 .

Clasifcación de las Funciones #unción &fn 'o #unción Lineal("

2e puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economa 'uso de la oferta  y la demanda( los ecónomos se basan en la linealidad de esta función y las leyes de la oferta y la demanda  son dos de las relaciones fundamentales en cual!uier análisis económico. )or ejemplo, si un consumidor desea ad!uirir cual!uier producto, este depende del precio en !ue el artculo esté disponible. *na relación !ue especi+!ue la cantidad de un artculo determinado !ue los consumidores estén dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se denomina ley de demanda. La ley más simple es una relación del tipo  P

=

mx

+

b , donde

 P  _{es el precio por unidad del artculo}  y _, m  _y b  _{son constantes.}

*na de las aplicaciones de la función lineal en el ámbito de la 5ngeniera de 2istemas de las empresas es la de representar los costos de la misma, bajo el supuesto de !ue siguen una tendencia lineal. *na empresa puede clasi+car sus costos de muchas maneras, una de ellas consiste en considerar los costos totales como la suma de los costos +jos más los costos variables. Los costos +jos son a!uellos !ue no dependen del nivel de producción, es decir, no varan al cambiar la cantidad de producto !ue se elabore tales como, al!uiler de edi+cios o depreciación en el caso de ser propios, salarios del personal administrativo como gerentes, contadores y recepcionistas, depreciación del e!uipo o su

al!uiler, mantenimiento y depreciación de la tierra si la empresa lo re!uiere, entre otros. Esta dada por la formula  y

=

mx

+

b  donde m y

b _{son números reales llamados pendiente y ordenada al origen}

respectivamente. 2u grá+ca es una recta. Hada la ecuación  y

=

mx

+

b "

2i m

=

0 , entonces  y

=

b . Es decir, se obtiene la función constante, cuya grá+ca es una recta paralela al eje x !ue pasa por el punto ':,b(. 2i bF:, entonces yFmx. Esta ecuación tiene por grá+ca una recta !ue pasa por el origen de coordenadas ':,:(.

#unción %uadrática

El estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés  no sólo en matemática  sino también en fsica y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo" la trayectoria de una pelota lan3ada al aire, la trayectoria !ue describe un ro al caer desde lo alto de una montaIa, la forma !ue toma una cuerda Koja sobre la cual se despla3a un e!uilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al tiempo transcurrido, cuando una partcula es lan3ada con una velocidad inicial. )uede ser aplicada en la ingeniera de sistemas, para resolver problemas espec+cos tomando como punto de apoyo la ecuación de segundo grado, en los métodos de aproximación para hacer modelos con base en los datos- éstos nos daran datos de predicciones sobre resultados futuros.

Existen fenómenos fsicos !ue el hombre a través de la historia ha tratado de explicarse. 6uchos hombres de ciencias han utili3ado como herramienta principal para reali3ar sus cálculos la ecuación cuadrática. %omo ejemplo palpable, podemos mencionar !ue la altura 2 de una partcula lan3ada verticalmente hacia arriba desde el suelo  está dada por"

S

=

v₀t 

−

½g t 2

S  _{Es la altura}

v0  Es la velocidad inicial de la partcula,

g  _{Es la constante de gravedad} t   _{es el tiempo.}

La función cuadrática responde a la fórmula"  y=a x2+bx+c  con a ≠ 0 . 2u grá+ca es una curva llamada parábola cuyas caractersticas son"

2i a es mayor a : es cóncava y admite un mnimo. 2i a es menor a : es convexa y admite un máximo.

1értice" )untos de la curva donde la función alcan3a el máximo o el mnimo.

Eje de simetra"  x= xv . 5ntersección con el eje  y .

5ntersecciones con el eje  x " se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado.

#unción Logartmica

La geologa como ciencia re!uiere del planteamiento de ecuaciones logartmicas para el cálculo de la intensidad de un evento, tal como es el caso de un sismo. La magnitud / de un terremoto está de+nida como

 R

=

log

(

 A

/

 A₀

)

  _{en la escala de /ichter, donde}  A   _{es la intensidad y}  A_{0  es una constante. '} A  _{es la amplitud de un sismógrafo estándar,}

!ue está a ;:: ilómetros del epicentro del terremoto(.

Los astrónomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta utili3an ciertos cálculos de carácter logartmico. La ecuación logartmica les permite determinar la brillante3 y la magnitud.

En la fsica la función logartmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales se puede mencionar el cálculo del volumen  L  en decibeles de un sólido, para el cual se emplea la siguiente ecuación  L

=

10log

(

 I 

/

 I 0

)

 ,

donde  I   es la intensidad del sonido 'la energa cayendo en una unidad de área por segundo(,  I 0  es la intensidad de sonido más baja !ue el

odo humano puede or 'llamado umbral auditivo(. *na conversación en vo3 alta tiene un ruido de fondo de A@ decibeles. El logaritmo en base

b  _{de un número} a  _{es igual a}  N  _{, si la base} b  _{elevada a}  N   _da

como resultado logba

=

 N → b  N 

₌

a

#unción Exponencial

2e aplica a la !umica y fsica. En algunos elementos radioactivos son de tal naturale3a  !ue su cantidad disminuye con respecto al tiempo, se cumple la ley exponencial y se dice !ue el elemento decrece o decae. En la !umica, el )J es la]JM[, donde ]JM[de una sustancia se de+ne

como" J F Log concentración de iones de una sustancia expresada en moles por litro. El )J del agua destilada es B. *na sustancia con un )J menor !ue B, se dice !ue es ácida, mientras !ue su )J es mayor !ue B, se dice !ue es base. Los ambientalistas miden constantemente el )J del agua de lluvia debido al efecto daIino de la  lluvia ácida !ue se origina por las emisiones de dióxido de a3ufre de las fábricas y plantas eléctricas !ue trabajan con carbón.

=tras de la aplicación de las funciones exponencial fue con el descubrimiento del )olonio 'elemento radioactivo( descubierto por 6arie %urie en ; C4C decae exponencialmente de acuerdo a la función"

m

=

m0e

−0,005 t 

, donde m0  es la masa inicial del )olonio, m  es la masa

al cabo de un tiempo y t es el tiempo en das.

El crecimiento poblacional ' Hemografa( de una región o población en aIos, parece estar sobre una curva de caracterstica exponencial !ue sugiere el modelo matemático dado por"  N 

=

 N 0e

kt 

, donde  N o  es la

población inicial, t es el tiempo transcurrido en aIos y  es una constante. 'En ;B4C, el economista inglés  $homas 6althus observó !ue

la relación  N 

=

 N 0e kt 

 era válida para determinar el crecimiento de la población mundial y estableció, además, !ue como la cantidad de alimentos creca de manera lineal, el mundo no poda resolver el problema del hambre. Esta lúgubre predicción ha tenido un impacto tan importante en el pensamiento económico, !ue el modelo exponencial de crecimiento poblacional se conoce con el nombre de modelo 6althusiano(.

#unciones $rigonométricas

Las funciones trigonométricas son valores sin unidades !ue dependen de la magnitud de un ángulo. 2e dice !ue un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje  x . En la +gura >, el punto ) está situado en una lnea recta !ue pasa por el origen y !ue forma un ángulo θ  con la parte positiva del eje  x . Las coordenadas  x e  y  pueden ser positivas o negativas según el cuadrante '5, 55, 555, 51( en !ue se encuentre el punto  P -  x será cero si el punto  P  está en el eje  y  o y será cero si  P  está en el eje x . La distancia   entre el punto y el origen es siempre positiva e igual a

√ 

 x2

+

 y2 , aplicando el teorema de )itágoras.

Las seis funciones trigonométricas más utili3adas se de+nen de la siguiente manera"

%omo la  x  y la  y  son iguales si se aIaden 2π   radianes al ángulo Nes decir, si se aIaden >A:ON es evidente !ue sin

(

θ+2π 

)

=sinθ . Lo mismo ocurre con las otras cinco funciones. Hadas sus respectivas de+niciones, tres funciones son las inversas de las otras tres, es decir,

2i el punto ), de la de+nición de función trigonométrica, se encuentra en el eje y, la x es cero- por tanto, puesto !ue la división por cero no está de+nida en el conjunto de los números reales, la tangente y la secante de esos ángulos, como 4:O, 0B:O y 0B:O no están de+nidas. 2i el punto ) está en el eje x, la y es :- en este caso, la cotangente y la cosecante de esos ángulos, como :O, ;C:O y ;C:O tampoco está de+nida. $odos los ángulos tienen seno y coseno, pues r no puede ser igual a :.%omo r es siempre mayor o igual !ue la x o la y, los valores del sinθ y cosθ varan entre

−

1 y

+

1 . La tanθ y la cotθ !ue son ilimitadas, y pueden tener cual!uier valor real. La !ecθ y la c!c " pueden ser mayor o igual !ue

+

1 o menor o igual !ue

−

1 .%omo se ha podido ver en los anteriores apartados, el valor de las funciones trigonométricas no depende de la longitud de r, pues las proporciones son sólo función del ángulo. 2i θ  es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo '+gura ?(, las de+niciones de las funciones trigonométricas dadas más

arriba se pueden aplicar a θ   como se explica a continuación. 2i el vértice  A  estuviera situado en la intersección de los ejes  x e  y de la +gura >, si  A#   descansara sobre la parte positiva del eje  x  y si

$ _{es el punto}  P _{de manera !ue}  A$

=

 AP

=

 _{, entonces el}

sinθ

=

 y

/



=

a

/

c _{, y as sucesivamente"}

Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de ciertos ángulos se pueden obtener con facilidad. )or ejemplo, en un triángulo rectángulo isósceles, se tiene !ue θ

=

45°  y !ue b

=

a , y además se sabe, por el $eorema de )itágoras, !ue c2

=

b2

+

a2 . He a!u se deduce !ue c2

=

2a2  o !ue c

=

√ 2 a . )or tanto"

Expresión matemática formada por una suma de productos de números reales 'o más generalmente de números de cual!uier anillo(, por potencias enteras de una variable generalmente representada por la letra  x - es decir, un polinomio es una expresión del tipo

 P

(

 x

)

=a+bx+c x2+% x3+e x4+& _{, en la !ue la mayor potencia de la variable}

se la llama grado del polinomio.

%oncepto de %urva

En matemáticas, el concepto de curva intenta capturar la idea intuitiva de lnea continua, de una dimensión, !ue vara de dirección paulatinamente. Ejemplos sencillos de curvas cerradas son la elipse o la circunferencia, y de curvas abiertas la parábola, la hipérbola o la catenaria. La recta sera el caso lmite de una curva de radio in+nito.

Pra+ca de una función

En matemáticas, la grá+ca de una función f : ' → (   es la visuali3ación de la correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen mediante su representación iconográ+ca. $ambién

puede de+nirse como el conjunto formado por todos los pares ordenados

(

 x , f 

 (

 x

))

_{de la función} f  _{- es decir, como un subconjunto del producto}

cartesiano  ' )(  .

Las únicas funciones !ue se pueden visuali3ar de forma completa son las de una sola variable, representables como un sistema de coordenadas cartesianas, donde cada abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada representa el valor correspondiente del conjunto imagen. 2i la función es continua, entonces la grá+ca formará una curva.

En el caso de funciones de dos variables es posible visuali3arlas de forma unvoca mediante una proyección geométrica, pero a partir de tres variables tan solo es posible visuali3ar cortes de la función para los !ue los valores de todas las variables excepto dos permane3can constantes.

El concepto de grá+ca de una función se generali3a a la grá+ca de una relación. Qotar !ue si bien cada función tiene una única representación grá+ca, pueden existir varias funciones !ue tengan la misma pero con dominios y codominios diferentes.

Ejemplos"

• La grá+ca de la función

es D';,a(, '0,d(, '>,c(.

Eercicios de Eem!los de A!licaciones de las Funciones" Problema #

*n lan3ador de peso puede ser modelado usando la ecuación

 y

=−

0,0241 x2

+

 x

+

5,5 _{- donde}  x  _{es la distancia recorrida en pies y}  y

es la altura 'medida también en pies(- !ue tan largo es el tiroR 2olución"

El lan3amiento termina cuando la pesa llega a tocar el suelo, por lo !ue

 y

=

0  _{y esno nos lleva a tener una ecuación de la forma"}

0

=−

0,0241 x2

+

 x

+

5,5

*sando la fórmula de la ecuación cuadrática tenemos !ue"

a x2

+

bx

+

c

=

0→ x

=−

b *

√ 

b

2

₋

4ac 2a

/eempla3amos los valores y procederemos a hallar  x , asi"

 x

=

−

1*

√ 

(

1

)

2

−

4

(−

0,0241

) (

5,5

)

2

(−

0,0241

)

=

{

 x₁

=

46,4  x₂

=−

4,9

%omo podemos ver, la solución es  x

=

46,4 +e!  ya !ue la otra solución no es válida ya !ue nos resulta una distancia negativa.

2i !ueremos saber dónde se encontrará el peso en su máxima altura podemos hacer una grá+ca para hallar tal distancia

He la grá+ca se puede observar !ue en aproximadamente la distancia desde el punto de lan3amiento a 0; pies, se encuentra la bala en su máxima altura la cual seria ;@,CB;4pies aprox.

Problema $

*n algodonero recoge 30 -g cada hora, y demora media hora preparándose todos los das cuando inicia la jornada. La función lineal !ue representa esta situación es"

 y

=

30t  15

Honde  y representa los Sg de algodón recogido y t  el tiempo transcurrido en horas.

 $abule y gra+!ue la función lineal- Tcuánto algodón ha recogido el algodonero en una jornada de C horasR

2olución"

/eempla3ando valores en la función lineal tenemos !ue"

 y=30

(

8

)

 _ 15=225 _-g

)or lo !ue en una jornada de trabajo de CJ, el algodonero logra recolectar 00@g de algodón.

Problema %

*na población de aves, cuenta inicialmente con @: individuos y se triplica cada 0 aIos.

;. T%uál es la fórmula de la función !ue representa el crecimiento de la población de avesR

0. T%uántas aves hay después de ? aIosR

>. THespués de cuánto tiempo la población de aves será de ;::: individuosR

2olución"

;. *sando la fórmula de la ecuación exponencial tenemos !ue"

f 

 (

 x

)=

50

(

3 x/2

)

0. &hora las aves !ue hay pasado ? aIos es la siguiente"

f 

 (

4

)

=50

(

34/2

)

=50

(

32

)

=50

(

9

)

=450 _Ave!

>. El tiempo !ue tarda en !ue la población de aves sea ;::: se calcula asi"

1000

=

50

(

3 x/2

)

→ 20

=

3 x/2

&hora aplicamos la ley de los logaritmos y tenemos !ue"

ln20

=

 x

2 ln 3→ x

=

2

(

ln20

l /3

)

=

5,45a0o!

&hora tabulemos valores y gra+!uemos la función, como se muestra a continuación"