CÁLCULO I I FUNCIONES DE UNA VARIABLE, LÍMITES Y CONTINUIDAD

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CÁLCULO I

I FUNCIONES DE UNA VARIABLE, LÍMITES Y CONTINUIDAD Leer [S1, 2.1] y [S1,2.2] o bien [S3, 4.1] y [S3,4.2].

F1.- Indicar si la relación especificada por las siguientes gráficas es una función:

a) b) c) Y X d) e) f) Y X

F2.- Indicar si las relaciones que se presentan a continuación son funciones:

a) b)

F4.- Indicar cuáles de los siguientes conjuntos de relaciones definen una función: a)

{

( ) ( ) ( )

1 2 2 3 3 4,− , , , ,

}

b)

{

( ) ( ) ( ) ( )

2 1 11 31 1 3, , , , , , ,

}

c)

{

( ) ( ) ( ) ( )

3,0, 7,1, 1,2, 0,3

}

F5.- Dibujar los siguientes conjuntos de parejas ordenadas y determinar cuáles definen una función.

a)

{

( )

x y x R y, ∈ , =8

}

b)

{

( )

x,y x∈R,y>1

}

F6.- Indicar cuáles de las siguientes expresiones definen a una función de R en R.

a) f x

( )

x si x si x x = + −    ≥ < 1 1 7 7 b) g x

( ) ( )

x x si si x x = −    < < − 4 5 3 2 c) 4cos_x₊_y₋_x5 ₌0_d)_x2 ₋_y2 ₌₀ F7.- (S2.2,2) Si f(x)=10 para toda x∈R, calcular:

(2)

F8.- (S2.2,4) Si ₂ 1 ) ( x x x f +

= para toda x∈R, demostrar que: a) f(x)=−f

( )

−x b) f(1/x)= f

( )

x .

F9.- (S2.2,2) El costo de eliminar p% de la suciedad de un lago está dada por p p p b − = 105 10 )

( . Calcular y determinar qué significa b

(

50+h

) ( )

−b50 si h≥0. F10.- Si

( )

1 1 8 1 1 2 ≥ < < −    − + = x x si x si x x

f encontrar los siguientes valores:

a) f

( )

2 b) f

( )

−2 c) f

( )

0 d) f

( )

−9 e) f

( )

1 F11.- Indicar el dominio y el rango de las siguientes funciones:

a)

{

( ) ( ) ( ) ( )

3 0 2 2 1 2 0 3, , , , , , ,

}

b)

{

( ) ( ) ( )

1 2 2 3,− , , , −4 5,

}

F12.- Sea f W: _→R donde W =

{

−2,0,1,3,14

}

y f

( )

x =−x−2. ¿Cuál es el rango de f ? F13.- ¿Está −9 en la imagen de f

( )

x = x−4− x+5?

F14.- Considerar las siguientes funciones:

f₁: −2 2, →R f₂: ,0 4 →R f₃ :

(

−∞,−6

]

→R f₄: −1 5, →R

La regla de correspondencia para todas estas funciones viene dada por: _f

( )

_x ₌_x2 es decir, a cada número x, mediante f , se le asigna x2_{. Determinar el rango de}

f₁, f₂, f₃, y f₄.

F15.- Determinar el dominio de las siguientes funciones: a) f x

( )

x x = + − 1 1 b) f x

( )

x x = + − 1 9 2 c) f x

( )

x si x x si x = − ≤ − >    3 3 10 3 d) f x

( )

x x x = − 2 ₂ e)

( )

₇ 1 − + = x x x f f)

( )

7 1 − + = x x x f F16.- Dibujar las siguientes funciones:

a)(piso)

_{ }

       < ≤ < ≤ < ≤ − − = = M M M M M M 2 1 1 0 0 1 1 0 1 ) ( x x x si si si x x f b)(techo)

_{ }

       ≤ < ≤ < ≤ < − = = M M M M M M 2 1 1 0 0 1 2 1 0 ) ( x x x si si si x x f

TAREA: De la Tarea de Cálculo I, 2. Funciones hacer los problemas 1, 2, 6, 7, 19, y 20. Hacer algunos de los ejercicios del

S1 Sec. 2.2 del 1 al 17, o bien de S3 Sec. 4.2, 1 al 15.

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Para las gráficas que se presentan a continuación determinar: a) Dominio y rango,

b) Intervalos en los que la función es positiva, intervalos en los que es negativa, c) Intervalos en los que la función es creciente, intervalos en los que es decreciente, d) Indicar si es una función par, impar o ninguna de las dos cosas.

F17.- F18.- F19.- X Y X Y X Y F20.- F21.- F22.- X Y X Y X Y

F23.- Determinar si las siguientes funciones son pares, impares o ninguna de las dos cosas:

a) f x

( ) (

= −x 2

)

2 b) f x

( )

=x2+₃_c)_{f x}

( )

₌₃_x₊₁ d) f x

( )

x

= 1 e) _f

( )

_x ₌₋_x3 _f) _f

( )

_x ₌_x3 ₊₂ F24.- Para cada inciso, dibujar aparte para completar la gráfica de tal manera que

represente una función par y luego completar para que represente una función impar.

a) b) c)

TAREA: De la Tarea de Cálculo I, 2. Funciones hacer los problemas 3, 4, 16, 17 y 21. Hacer algunos de S1 Sec. 3.6 el problema 1, o bien de S3 Sec. 5.6 el 1. Si es necesario un repaso de Introducción a la Matemática Superior leer de S1 las secciones 2.3 a 2.5, y 3.1 a 3.4, o bien de

(4)

OPERACIONES CON FUNCIONES Suma, multiplicación Leer [S3, 5.1] y [S3,5.2].

F25.- En cada uno de los siguientes incisos determinar f +g, f ⋅g, g

f

y 2f + f ⋅g así como el dominio de cada una de las funciones obtenidas.

a) 8 1 ) ( − − = x x x f 25 12 ) ( 2 ₋ − = x x x g b) 8 1 ) ( − − = x x x f    > < − = 4 2 7 2 ) ( x x x x x g c)      < < ≤ ≤ < − + = 8 6 5 1 1 8 5 ) ( 2 x x x si si si x x x f    > < − = 4 2 7 2 ) ( x x x x x g

TAREA: De la Tarea de Cálculo I, 2. Funciones hacer el problema 5. De S3 Sec. 5.1 los problemas de 1 a 5.

Composición

F26.- (Prob. 38, Sec. 3.7 de Swokowski) Utilizando las funciones definidas en la tabla que aparece abajo calcular a)

(

T_oS

)( )

1 b)

(

S_oT

)( )

1 c)

(

T_oT

)( )

1 d)

(

S_oS

)( )

1

T 0 1 2 3

T(t) 2 3 1 0

S(t) 1 0 3 2

En los problemas F27 a F31 determinar a) f g x

( )

b) g f x

(

( )

)

c) indicar el dominio de f x

( )

, g x

( )

, f g x

( )

y g f x

(

( )

)

F27.- f :{(1,2), (2,3), (3,4)} g : {(1,3), (3,5), (4,8)} F28.- f(x)=3x+1; g(x)= x+5 F29.- _f₍_x₎₌ ₉₋₍_x₋₁₎2 _;_g₍_x₎₌ ₂₅₋_x2 F30.-    ≥ < + − = 2 2 1 7 1 2 ) ( x x si si x x x f _g(_x)₌ _x2 ₊_x₋3 F31.-    > ≤ − + = 1 1 5 ) ( x x si si x x x f    > ≤ − = 3 3 7 2 ) ( x x si si x x x g F32.- Si     > ≤ − + = 1 1 15 ) ( x x si si x x x f determinar f ( f ( x )) y su dominio. F33.- Proporcionar (f _og_oh)(x) si _f(_x)₌_x2 ₊4_{, 1}_g₍_x₎₌₂_x₊ _{, 1}_h₍_x₎₌_x₊ .

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F34.- El sueldo semanal de un vendedor depende del número de artículos vendidos de cada semana x, 50s= g(x)=2x+ , pero el número de artículos vendidos depende del precio p del producto x =h(p)=150+2.5p. ¿Cuál es el sueldo de vendedor con respecto al precio? Si el precio es 30 ¿cuál es su sueldo?

F35.- Si el dominio de la función f es [0,1], en cada inciso cuál es el dominio a) f

(

2x+5

) (

f x+9/4

)

b) 2f

(

3x−1

) (

− f x+4

)

TAREA: De la Tarea de Cálculo I, 1. 2 Funciones hacer los problemas 8, 9, y del 12 al 15. De S3 Sec. 5.1 los problemas 3 y 4.

Inversa

Leer [S1, 7.6] o bien [S3, 5.3]. ( Hay que omitir lo que corresponda a derivadas que se verá más adelante)

F36.- Indicar si la función es inyectiva, justificando con una demostración, si no lo es restringir el dominio. Justificar.

a) (T21) _f(_x)₌ _x3 ₋1_b)_f₍_x₎₌ _x₋₂ _c)_f₍_x₎₌_x4

c) (T2) d) (T6)

F37.- Encontrar la inversa de las siguientes funciones. Indicar D_f , D_f−1.

a) (T14) _f₍_x₎₌_x2_{con x}_≤₀ _{b) (T16)} _f₍_x₎₌_x2 ₋₂_x₊₁_{con 1}_≤_x d) x x x f( )= +1 f) f(x)= x−2 con x ≤ 2 g) f(x)= −x h) (T14) i) (T15)

F38.- (Tarea 2 Funciones 11f y 11a).

a) si g(x)= x−5 y (_g _f)(_x)₌ _x3₋5

o , determinar f(x). b) si f(x)₌3x₊7 y (g_o f)(x)₌2x₋1, determinar g(x).

TAREA: De la Tarea de Cálculo I, 1. 2 Funciones hacer los problemas 10, 11 y 18. Hacer algunos de los ejercicios de S1 Sec. 7.6 del 1 a 5 y 7 a 9, o bien de S3 Sec. 5.3 del 1 al 9.