TEMA 5 FUNCIONES Y PROGRESIONES

TEMA 5

Sucesiones

Definición: una

sucesión

es un conjunto ordenado

de números reales:

𝑎

, 𝑎

, 𝑎

, …

Otras definiciones relacionadas:

• Cada elemento de la sucesión se denomina término.

• El primer término es 𝑎₁, el segundo 𝑎₂, el tercero 𝑎₃, …

• El término general de una sucesión es un criterio que nos permite calcular cualquier término de la sucesión (Notación: a cada “n”, le asigna un “𝑎_𝑛”).

Sucesiones

• En la sucesión de los números pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …..

¿Cuál es el primer término? 2 ¿Cuál es el quinto término? 10

¿Cuál es el término general? 𝑎_𝑛 = 2𝑛

• En la sucesión de los números: 1, 4, 9, 16, 25… ¿Cuál es el término general? 𝑎_𝑛 = 𝑛2

Progresiones aritméticas

Definición: las progresiones aritméticas son sucesiones en las que cada término se obtiene a partir del anterior sumándole una cantidad constante “d” llamada DIFERENCIA.

NOTA: en una progresión aritmética, la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante.

Ejemplos

• ¿Cuál es la sucesión si 𝑎₁ = 3 y la diferencia es d= 2? 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, …

• ¿Cuál es la diferencia de la progresión aritmética 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, …? d= 4

Propiedades de las progresiones

aritméticas

El término general puede escribirse como:

𝑎𝑛 = 𝑎₁ + (n – 1) d 𝑎𝑠 = 𝑎𝑟 + (s– r) d a₁ = a₁ a₂ = a₁ +d a₃ = a₂ + d = a₁ + 2d a₄ = a₃ + d = a₁ + 3d ……… a_n = a_n-1 + d = a₁ + (n-1) d 𝑎_𝑠 = 𝑎₁ + 𝑠 − 1 𝑑 𝑎_𝑟 = 𝑎₁ + 𝑟 − 1 𝑑 → 𝑎₁ = 𝑎_𝑟 − 𝑟 − 1 𝑑  𝑎_𝑠 = 𝑎_𝑟 − 𝑟 − 1 𝑑 + 𝑠 − 1 𝑑  𝑎_𝑠 = 𝑎_𝑟 + 𝑠 − 𝑟 𝑑

Propiedades de las progresiones

aritméticas

La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es: 𝑆_𝑛 = 𝑎₁ + 𝑎₂ + … + 𝑎_𝑛−1 + 𝑎_𝑛 = 𝑎1 + 𝑎𝑛 𝑛 2 En particular, 1 + 2 + ⋯ + 𝑛 = 𝑛 + 1 𝑛 2

Progresiones geométricas

Definición: las progresiones geométricas son sucesiones en las que cualquier término es igual al anterior multiplicado por una constante r llamada RAZÓN.

NOTA: La razón r se obtiene dividiendo un término cualquiera entre su anterior.

Ejemplos:

1, 2, 4, 8, 16, 32, ….  razón =2, término general=2n-1

El término general puede escribirse como: a₁ = a₁ a₂ = a₁ . r a₃ = a₂ . r = a₁ . r2 a₄ = a₃ . r = a₁ . r3 ……… a_n = a_n-1 . r = a₁ . rn - 1

𝑎

= 𝑎

𝑟

Propiedades de las progresiones

geométricas

Ejemplo: Un hombre ahorra cada año los 2/3 de lo que ahorró el año anterior. Si ahorró el 5º año 160 euros, ¿cuánto ha ahorrado cada uno de los 5 años?

Solución:

Como cada año ahorra los 2/3 del anterior, estamos ante una progresión geométrica de razón r=2/3. Por tanto, sabemos que

a_n = a₁ 2 3 n−1 . Como 𝑎₅ = 160 , entonces 𝑎₅ = 𝑎₁ 2 3 4 = 160. Luego el 1º año ahorró:

𝑎₁ = 160 3 2

4

= 160 81

16 = 10 × 81 = 810.

En el resto de años ahorró: 2º año 𝑎₂ = 𝑎₁ × 2 3 = 810 × 2 3 = 270 × 2 = 540 3º año𝑎₃ = 𝑎₂ × 2 3 = 540 × 2 3 = 180 × 2 = 360 4º año𝑎₄ = 𝑎₃ × 2 3 = 360 × 2 3 = 120 × 2 = 240

Definición: Una

constante

es una cantidad que no

cambia, que se considera estable.

Ejemplos:

- Límite de velocidad en autovías (120 km/h)

- Temperatura de ebullición del agua

- Capacidad del aula donde damos clase

Definición: Una

variable

es una cantidad que puede

tomar distintos valores numéricos.

Ejemplos:

- Altura o peso de un niño que crece

- Velocidad que llevo en un coche

- Número de alumnos que asisten a clase

Las variables suelen denotarse con una letra: x, y, a, b,…

Ejemplo: si llamamos x al número de personas en clase e ‘y’ al número de ojos en la clase, sabemos que ambas variables guardan una relación y=2x. Diremos que el número de ojos (y) depende del número de personas (x).

En general, dadas 2 variables definiremos:

V. independiente como la variable que puede tomar cualquier valor.

V. dependiente como la variable cuyo valor está determinado por el de la otra variable.

Función

• Definición: Dados dos conjuntos A y B, una función

(aplicación) entre ellos es una regla f que a cada

elemento de A le asigna un único elemento de B.

• Se dirá que A es el dominio de la función.

No función Función

Función

CC de kinsmalac

Nota: En este tema, nos centraremos en las funciones cuyo dominio es R o un subconjunto de R

Ejemplos de funciones y no funciones

Cuidado…

Ejemplos de función

1) Dado un número x de gatos, f(x)=4x es la

función que nos da el número de patas que

tienen.

2) Dado un cuadrado de lado “x”, la función

f(x)=x

_{indica el área del cuadrado.}

3) Si vamos a la papelería y nos cobran un 0,9

euros por bolígrafo, la función f(x)=0,9x nos da

el precio total de x bolígrafos.

Ejemplos de funciones y no funciones

Formas de representar funciones

Además de escribir una función con su fórmula, es decir, como f(x)=2x, x2_{, 0.9x…, se puede representar una}

función con una tabla de valor, gráfico o una

Formas de representar funciones

Si en copistería nos cobran cada fotocopia a 3 céntimos, hay una correspondencia entre las variables “número de fotocopias” y “dinero (en céntimos)”. En particular, a la variable independiente “número de fotocopias” le corresponde un valor de la variable dependiente “dinero”.

(descripción de la situación)

Como fórmula:

Si llamamos “x” al número de fotocopias y “d” al dinero (en céntimos), escribiremos que d=3x”.

Formas de representar funciones

Como tabla de valores:

Fotocopias 1 2 3 4 5 Precio 3 6 9 12 15 Como gráfico: 0 5 10 15 20 0 2 4 6 _{Nº fotocopias} Dinero (cts.)

Dominio y recorrido

Dominio de una función:

- Son los elementos “x” para los cuales la función f asocia algún valor “y”

Recorrido (rango/imagen) de una función:

Nosotros decidimos el dominio cuando definimos una función. Ahora bien, el recorrido dependerá del dominio elegido.

Un dominio diferente da una función diferente.

Ejemplo: una simple función como f(x) = x2 _{puede tener dominio (lo que entra) los}

números naturales {1,2,3,...}, y el recorrido será entonces el conjunto {1,4,9,...}

Y otra función g(x) = x2 _{puede tener como dominio los enteros {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...},}

entonces el rango será el conjunto {0,1,4,9,...}

Aunque las dos funciones toman la entrada y la elevan al cuadrado, operan en conjuntos

diferentes de entradas, y por eso dan salidas diferentes.

También tienen diferentes propiedades. Por ejemplo f(x) siempre da resultados distintos, pero g(x) puede dar la misma respuesta para dos entradas diferentes (g(-2)=4 y g(2)=4)

Ejemplos de dominio y recorrido de

funciones

¡CUIDADO CON LO SIGUIENTE!

Ejemplo:

Consideremos la siguiente tabla de valores entre

el tiempo de combustión (en horas) de una vela

y su altura (en centímetros).

- ¿Se observa alguna regularidad en los datos?

- ¿Se podrá expresar la altura en función del

tiempo?

NECESITAMOS MÁS INFORMACIÓN



¡CUIDADO!

TIEMPO 0 1 2 3

TIPOS DE FUNCIONES

Afín

Cuadrática

FUNCIONES POLINÓMICAS

Definición: las funciones polinómicas son las funciones P(x), donde P es un polinomio en x, es decir una combinación finita de sumas y productos entre números y la variable x.

De ellas, estudiaremos las funciones afines y las cuadráticas.

• Función afín: aquella que asocia a cada número “x” la expresión algebraica “mx + b”, donde “m” y “b” son dos constantes. Gráficamente, estas funciones son rectas.

Posibles representaciones de las

funciones afines

Las funciones afines se pueden representar como

1) x



Propiedades de las funciones afines

1) Su representación gráfica es una recta que pasa por el punto (0,b)

2) Dado una función afín f(x)=mx +b, a “m” se la llama

pendiente de la recta (nos indica la mayor o menor

inclinación con respecto al eje horizontal) y a “b”

ordenada en el origen (nos indica el punto de corte con el eje vertical).

3) Sólo se necesitan un par de puntos de la gráfica para representarla.

Propiedades de las funciones afines

4) En general, salvo que se diga lo contrario, su dominio y recorrido son todos los números reales.

5) Si r1 es y=m1 x+b1 y r2 es y=m2 x+b2, entonces:

• r1 y r2 son paralelas si m1=m2

Cómo calcular la pendiente de una recta

• Si conocemos la expresión algebraica, la escribiremos de la forma y=mx+b, y la pendiente será el número que multiplica a la x.

• Si no conocemos la expresión algebraica de la recta pero sí dos de sus puntos, que vamos a llamar (x1,y1) y (x2,y2), entonces: Estos puntos, al estar en la recta, cumplen que

y1=m x1+b y2=m x2+b y2-y1=m (x2-x1) 𝑚 = 𝑦2 − 𝑦1_{𝑥2 − 𝑥1} (x1, y1) (x2, y2) (x2, y1) y2-y1 x2-x1

Ejemplos

1) Expresa algebraica y gráficamente la ecuación de una recta: a) Que pasa por los puntos (8,1) y (13,2)

b) De la recta que pasa por el origen y el punto (6,4)

c) De la recta cuya gráfica corta al eje de ordenadas (el vertical) en el valor 2/5 y al eje de abscisas (el horizontal) en el valor 2. 2) La ecuación y=3x-5 representa un río. En el punto (4,4) se ha instalado un registro de agua para riego. Halla en qué punto del río ha de hacerse la toma de agua para que esté lo más próximo posible del registro.

Por el punto (5,5) se quiere construir una carretera que vaya paralela al río, halla su ecuación.

Función cuadrática. La parábola

Definición: una función cuadrática es aquella que a cada valor de “x” le asocia la expresión “ax²+bx+c”, donde a, b y c son constantes.

Se puede representar de forma algebraica como

Propiedades de la función cuadrática

3) Si a>0 Si a<0

4) Eje de simetría: x_v=-b/2a 5) Vértice (x_v, y_v), con y_v= f(x_v)

Propiedades de la función cuadrática

6) Puntos de corte con los ejes

Con el eje OX: son puntos que están sobre ese eje y por tanto tienen

la coordenada “y” igual a cero.

y=0  f(x)=0  ax²+bx+c=0  x=?

• Si la ecuación no tiene soluciones, la parábola no corta al eje horizontal.

• Si la ecuación tiene una solución, la parábola es tangente al eje horizontal (es decir, la toca en un punto).

• Si la ecuación tiene dos soluciones, la parábola corta al eje horizontal en dos puntos.

Con el eje OY: punto que está sobre ese eje y por tanto tienen la

Ejemplos

1) Representar gráficamente las siguientes funciones dadas en forma algebraica:

a) y= x² -7x+10 b) y= 2x²-x c) y= 2x² - 18 d) y= x² + 16

e) y= -2 x² + 5x-4 f) y= - 3x² -6x+9

2) Hallar la expresión algebraica de la función cuya gráfica es una parábola:

a) que pasa por los puntos (0,9), (2,1) y (5,4).

FUNCIONES A TROZOS

Definición: Una función a trozos es aquella que viene definida por otras funciones que toman valores en diferentes intervalos de la variable x. Es decir, la función cuya expresión analítica no es única sino que depende del valor de la variable independiente.

FUNCIÓN EXPONENCIAL

Definición: una función exponencial es aquella que a cada número real “x” le hace corresponder la potencia 𝑐 ⋅ 𝑎𝑥, donde

a es una constante real positiva que recibe el nombre de base y

c una constante cualquiera.

Nota: el dominio de una función exponencial es R o un

subconjunto de R (los números reales).

Ejemplo: f(x)=3x-1_{, definida en N, es la aplicación que asigna a}

cada número natural el término general de una progresión geométrica de razón 3 y primer término 1.

Propiedades de las funciones

exponenciales f(x)=c a

Las funciones “𝒂𝒙” y “ 𝟏

𝒂𝒙 = 𝒂

−𝒙_{” son simétricas, para cualquier}

constante a.

Propiedades de las funciones

exponenciales f(x)=c a

Si c>0 y

• a >1, la función es creciente

• 0<a<1, la función es decreciente

Propiedades de las funciones

exponenciales f(x)=c a

Si c<0, ocurre lo contrario