Vibraciones mecánicas en una y dos dimensiones: nuevos estudios experimentales

(1)

Ciencias B´

asicas e Ingenier´ıa

Vibraciones mec´

anicas en una y dos

dimensiones; nuevos estudios

experimentales

Tesis de Doctorado

en

Ciencias e Ingenier´ıa de Materiales

presenta:

M. en C. Arturo Arreola Lucas

Asesor Interno: Asesor Externo:

Dr. Alvaro L. Salas Brito Dr. Rafael A. M´endez S´anchez

Universidad Aut´onoma Metropolitana Instituto de Ciencias F´ısicas

(2)

´Indice

Agradecimientos iv Resumen vi Abstract vii Acronimos viii 1 Introducci´on 1 2 Desarrollo experimental 5

2.1 Espectroscopia ac´ustica resonante . . . 5

2.2 Montaje . . . 6

2.2.1 Detalles previos al montaje . . . 6

2.2.2 Instrumentos empleados en la ARS . . . 7

2.2.3 Transductores electromagn´eticos-ac´usticos (EMATs). . . 8

2.2.4 Arreglo instrumental . . . 9

2.3 Ondas mec´anicas en barras rectangulares . . . 11

2.4 Vibraciones en sistemas el´asticos bidimensionales . . . 12

2.5 Desarrollo experimental para el estudio de paquetes de onda en el dominio del tiempo . . . 13

2.5.1 Instrumentos . . . 14

2.5.2 Consideraciones experimentales . . . 15

3 Modos normales en el plano de una placa rectangular 16 3.1 Espectro ac´ustico resonante de la placa rectangular . . . 16

3.2 Ecuaciones que rigen las vibraciones en el plano . . . 16

3.3 M´etodo de expansi´on en ondas planas . . . 17

3.4 Polarizaci´on de ondas en el plano . . . 18

3.5 Medici´on de las amplitudes de onda en el plano . . . 19

(3)

4 Vibraciones en el dominio del tiempo 22

4.1 Fundamento te´orico . . . 23

4.2 Dinámica de paquetes de ondas en barras estructuradas: simulación numérica 26 4.3 Montaje experimental para barras estructuradas . . . 27

4.4 Resultados experimentales . . . 27

4.4.1 Barra lisa . . . 27

4.4.2 Barra estructurada peri´odica . . . 31

4.4.3 Oscilaciones de Bloch en medios el´asticos mec´anicos . . . 34

4.4.4 Atrapamiento de arco´ıris mec´anico . . . 36

5 Transporte ondulatorio a través de billares caóticos con simetr´ıa de re-flexión 40 5.1 Universalidad de las fluctuaciones de la transmisión . . . 40

5.2 Modos de transmisión mecánica a través de gu´ıas de onda elásticas . . . . 42

5.3 Diseño y fabricación de dos cavidades caóticas elásticas con simetr´ıa espec-ular . . . 44

5.3.1 Billar de Sinai . . . 44

5.3.2 Estadio de Bunimovich . . . 44

5.4 Procedimiento experimental . . . 46

5.4.1 Cavidades el´asticas (dimensiones y detalles) . . . 47

5.5 Medio billar de Sinai . . . 49

5.5.1 Transmisi´on para un modo abierto . . . 49

5.5.2 Resultados configuraci´on 1 . . . 49

5.5.3 Histogramas de la transmisi´on el´astica . . . 50

5.5.4 Transmisi´on para dos modos abiertos . . . 60

5.6 Medio estadio de Bunimovich . . . 63

5.6.1 Transmisi´on para un modo . . . 63

5.7 Efecto de la absorci´on en el estudio del transporte el´astico . . . 67

6 Conclusiones 69 A Caos una definici´on simple 71 A.1 El caos . . . 71

A.2 Los billares din´amicos . . . 73

B Modos de transmisión para ondas fuera del plano 75 C Transporte ondulatorio mecánico a través de cavidades caóticas elásticas 77 C.1 Obtención general del modelo teórico del transporte ondulatorio en cavi-dades caóticas . . . 77

(4)

C.2 La matriz S y su distribuci´on estad´ıstica para sistemas con simetr´ıa de reflexi´on especular . . . 78

D Productos 80

(5)

Dedicada a...

Rosa Maria Lucas Lugo

Gracias a t´ı,

he llegado hasta aqu´ı

Gabriela Ba´ez y Rafael M´endez

Todo mi cari˜no y eterno agradecimiento

Estrella Llanin Gonzalez Cruz

Siempre estar´e contigo

(6)

Agradecimientos

A todos aquellos que colaboraron en el desarrollo de mi formaci´on para adquirir el grado de Doctor en Ciencia e Ingenier´ıa de Materiales en la Universidad Aut´onoma Metropolitana unidad Azcapotzalco.

A mis buenos amigos que me apoyaron para la elaboración y conclusión de la misma. Con aportaciones nuevas, debates e incluso discusiones fuertes, entre ellos están; Zeus, Enrique y Filiberto.

Mi gratitud a los Doctores Alvaro Salas Brito y Rafael M´endez S´anchez por haber haceptado ser mis asesores a lo largo de todo el doctorado. Sus direcciones fueron de gran utilidad y sumamente necesarios.

Debo de reconocer al Dr. Moisés Mart´ınez por sus invaluables consejos y direcciones propuestas en el desarrollo de los experimentos de transporte de ondas mecánicas, además de haceptar ser uno de mis sinodales, De igual manera agradesco mis sinodales ; el Dr. Juan Salvador Arellano y al Dr. Alvaro Salas Brito por sus consejos y modificaciones sugeridas, lo que enriqueció y mejoró notablemente esta tesis.

Toda mi gratitud, cariño, reconocimiento y gran parte de mi desarrollo profesional y personal son debidos a la Dra. Gabriela Báez y al Dr. Rafael Méndez debido a que no hubiera podido realizar esta empresa sin su apoyo incondicional.

A mis familiares, mi padre Arturo Arreola Duran y a mis Hermanos, Rosalinda, Marisol y Carlos. Muchas gracias por sus consejos pero sobre todo a la gran mujer que es mi madre Rosa Mar´ıa Lucas Lugo.

Quiero tambi´en dar las gracias a el Dr. Jose Sanchez Dehesa por haberme invitado, en dos ocaciones, a colaborar experimentalmente a la UPV. Con ello la oportunidad de conocer nuevos amigos y a las maravillosas personas de la hermosa ciudad de Valencia, a la cual espero pronto regresar.

Y a Estrella Llanin por ser mi gran apoyo a lo largo de esta gran empresa, sin sus animos en los momentos mas apremiantes no hubiera logrado mis metas, te lo agradesco amor.

Por ´ultimo quiero dar las gracias al apoyo del CONACYT a trav´es de una beca de Doctorado y al apoyo dado por los proyectos DGAPA PAPIIT-IN103115.

(7)

Resumen

En este trabajo se muestran los principales resultados obtenidos en tres experimentos sobre control de ondas mecánicas en sistemas elásticos, usando la técnica conocida como espectroscopia acústica resonante (ARS). En primer lugar, se presentan las amplitudes de onda de los modos normales de vibración en el plano medidas en una placa rectangu-lar. Se miden las dos polarizaciones de los modos normales; el acuerdo con la teor´ıa es excelente. En segundo lugar, se estudia la dinámica de un paquete de ondas cuando éste viaja a través de una estructura que emula un cristal con un campo eléctrico constante para lo cual se modifico el montaje experimental de ARS. En este caso se sustituyo el detector por un vibrómetro Doppler. Los resultado experimentales son espectaculares y muestran el surgimiento de dos fenómenos de las ondas mecánicas: las oscilaciones de Bloch y el atrapamiento de arco´ıris. Por último, se realizó el estudio de las propiedades de transporte de vibraciones mecánicas fuera del plano a través de una cavidad caótica elástica con simetr´ıa izquierda-derecha. Los estudios realizados confirman el mismo com-portamiento presentado por sistemas ondulatorios de distinta naturaleza, evidenciando un comportamiento universal del transporte ondulatorio a través de cavidades caóticas y un excelente acuerdo de las medidas con las predicciones teóricas.

(8)

Abstract

Mechanical vibrations in one and two dimensions; new

experi-mental studies

In this work, the main results obtained in three experiments on mechanical wave control in elastic systems are shown, using the technique known as resonant acoustic spectroscopy (ARS). First, the wave amplitudes of the normal modes of in-plane vibration measured on a rectangular plate are presented. The two polarizations of the normal modes are measured; the agreement with the theory is excellent. Secondly, the dynamics of a wave packet is studied when it travels through a structure that emulates a crystal with a constant electric field. In this case the experimental setup of ARS was modified, replacing the detector with a Doppler vibrometer. The experimental results are spectacular and show the emergence of two phenomena of mechanical waves: the Bloch oscillations and the rainbow trapping. Finally, the study of the transport properties of mechanical vibrations out of the plane was carried out through an elastic chaotic cavity with left-right symmetry. The studies carried out confirm the same behavior presented by undulatory systems of different nature, evidencing a universal behavior of the wave transport through chaotic cavities and an excellent agreement of the measurements with the theoretical predictions.

(9)

Acr´

onimos

A continuación se muestra una lista de los acrónimos usados a lo largo de esta tesis. Las letras mayúsculas muestran el acrónimo, entre paréntesis se indica de donde fueron tomadas las siglas y finalmente una breve explicación.

1 ARS (Acoustic Resonance Spectroscopy). La espectroscopia acústica resonante es una técnica experimental en la que se analiza la respuesta, o el espectro, de una señal enviada a traves de un sistema a estudiar.

2 LOMA (Laboratorio de Ondas y Materiales). Laboratorio experimental, ubicado en la UAM-A, donde se realizaron los experimentos aqu´ı estudiados.

3 ESPI (Electronic Speckle Pattern Interferometry). Ver referencias [17, 20, 21]. 4 EMAT (Electromagnetic Acoustic Transducer). Los transductores electromagn´eticos

ac´usticos son los dispositivos mediante los cuales se generan y detentan vibraciones en los distintos sistemas aqu´ı estudiados.

5 VNA (Vector Network Analizer). El analizador de redes vectorial es un aparato que se encarga de generar, comparar y analizar la se˜nal que entra y sale del dispositivo bajo estudio.

6 GPIB (General Purpose Interface Bus). El Bus de Interfaz de Uso General es un est´andar bus de datos digital de corto rango para conectar dispositivos de testeo y medici´on con dispositivos que los controlen como un ordenador.

7 NI PXI(National Instrumental PXI). Dispositivo que aglomera software, hardwware y diferentes tipos de buses para interconectar componentes perif´ericos.

8 TM (Transfer Matrix). M´etodo para resolver sistemas.

9 BO (Bloch Oscilations). Oscilaciones de Bloch, el fen´omeno se explica en el Cap´ıtulo 4.

10 MRT (Mechanical Rainbow Traping). Atrapamiento de arcoiris mec´anico, el fen´omeno se explica en el Cap´ıtulo 4.

(10)

Cap´ıtulo 1

Introducci´

on

Las vibraciones mecánicas en sistemas elásticos se encuentran presentes en muchos fenómenos de la vida cotidiana. En algunos casos hay que suprimirlas por no ser deseables, como en máquinas o edificios, mientras que en otros se desea amplificarlas, como en el caso de los instrumentos musicales o en algunos juegos mecánicos. Por ello, el estudio de las vibraciones mecánicas es importante en la ciencia e ingenier´ıa de los materiales y, por consecuencia, llevar a cabo un control adecuado. Las aplicaciones, en prácticamente to-das las ramas de la ingenier´ıa, son más que evidentes. Si bien los estudios teóricos de las vibraciones mecánicas son extensos, los resultados experimentales, son escasos.

Se han implementado y complementado muy recientemente y con bastante éxito en el Laboratorio de Ondas y Materiales (LOMA) de la UAM-A, la técnica experimental cono-cida como espectroscopia acústica resonante (ARS, de acoustic resonance spectroscopy) para medios elásticos, en el intervalo audible [1, 2]. Esto ha hecho posible el estudio y caracterización de materiales a partir de varillas y placas simples, as´ı como también de sistemas estructurados. La caracterización de las propiedades mecánicas y la compro-bación experimental de nuevas teor´ıas son un ejemplo de los excelentes resultados que se han logrado en el LOMA-UAMA. Los experimentos en el dominio del tiempo y el transporte en cavidades caóticas son escasos, presentando una oportunidad de estudi-arlos experimentalmente en este trabajo. El estudio más reciente sobre este campo, ha probado la universalidad de las fluctuaciones de la trasmitancia mecánica correspondiente a un sistema sin simetr´ıa [3].

En esta tesis se presentan tres investigaciones experimentales sobre control de vibra-ciones mecánicas en sistemas que van de los simples a los complejos: (1) las vibravibra-ciones en el plano de los modos normales de una placa rectangular, (2) las oscilaciones de Bloch y el atrapamiento de arco´ıris con ondas torsionales en barras estructuradas y (3) el trans-porte de ondas mecánicas fuera del plano a través de cavidades caóticas con simetr´ıa de reflexión.

Estos tres fenómenos elásticos fueron elegidos en razón de su importancia: por ejem-plo: las vibraciones en el plano de placas elásticas tienen mucha utilidad en aplicaciones especializadas de ingenieria como ocurre en sistemas de almacenamiento de datos, en el intervalo de los kiloHertz, en el que vibraciones en el plano causan un problema al

(11)

seguir pistas estrechas de datos [4]. Estas vibraciones también son relevantes en el diseño de cascos de embarcaciones, ya que hay evidencia de que las vibraciones en el plano y el ruido de alta frecuencia en barcos están fuertemente relacionados [5]. Los modos en el plano también desempeñan un papel importante en la transmisión de las vibraciones de alta frecuencia a través de placas con estructura [6]. Además, los picos de resonan-cia en el plano pueden utilizarse para realizar pruebas no destructivas y la evaluación de las constantes elásticas de un material [15]. Finalmente, como las vibraciones en el plano aparecen a frecuencias más altas que las vibraciones transversales fuera del plano, los cálculos de elementos finitos son más dif´ıciles para los primeros que para los segun-dos. Todos estos problemas han llevado a renovar el interés por las vibración en el plano de placas rectangulares que cubren varios órdenes de magnitud desde nanosistemas hasta macroestructuras. Es importante mencionar aparte que hay varias contribuciones teóricas y numéricas significativas recientes para el estudio de las vibraciones en el plano de placas [4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14]. Sin embargo, los resultados experimentales han sido, hasta hace poco, muy escasos [15, 16]. Las posibles razones de este hecho son: primero, las vibraciones en el plano aparecen a altas frecuencias y en segundo lugar, la medición de las vibraciones transversales es más fácil que la excitación y detección de los modos en el plano [16, 17, 18, 19]. Tal estado de las cosas comenzó a cambiar cuando la interfer-ometr´ıa electrónica de patrones de moteado — ESPI u holograf´ıa de TV — hizo posible la medición de los modos en el plano [17, 20, 21]. Por lo tanto, existe la necesidad de investigar las vibraciones en el plano de las placas para consolidar la teor´ıa clásica de las vibraciones en el plano, especialmente a altas frecuencias, para contrastar dicha teor´ıa con los resultados experimentales. Los resultados de esta investigación contribuyen con la literatura sobre el tema de las vibraciones en el plano de placas, que se pueden encontrar en [22].

La motivación para el estudio de las oscilaciones de Bloch y el efecto de atrapamiento de arco´ıris en ondas mecánicas, es el control de las ondas electromagnéticas, que se ha logrado construyendo estructuras artificiales denominadas metamateriales. Es natural pensar, por ello, en el desarrollo de los análogos en metamateriales acústicos y mecánicos, para de igual manera controlar el sonido y las vibraciones, respectivamente. Excelentes art´ıculos de revisión [23, 24] están disponibles, informando de las sorprendentes propiedades de estos nuevos tipos de estructuras artificiales. Aunque se han descrito experimentalmente muchos fenómenos emocionantes y novedosos, como el efecto de atrampamiento de arco´ıris y el análogo de las oscilaciones electrónicas de Bloch, para los metamateriales acústicos, la demostración experimental en sistemas elásticos todav´ıa es inexistente. Las nuevas estruc-turas para el control de las ondas elásticas aun son propuestas teóricasya que las vibra-ciones suelen implicar una mezcla de polarizavibra-ciones, acopladas por ser ondas vectoriales, lo que implica dificultades para medirlas selectivamente. El efecto de atrapamiento del arco iris, es uno de los fenómenos más interesantes recientemente descubiertos en el campo de la óptica [25]. En este efecto, los paquetes de ondas se frenan poco a poco a diferentes profun-didades espaciales, dentro de una estructura sintética que ha incorporado un metamaterial con ´ındice de refracción negativo. Las profundidades espaciales alcanzadas dependen de la frecuencia central del paquete de ondas. Desde su descubrimiento en 2007, muchas

(12)

apli-caciones potenciales han sido reportadas como [26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 40]. Por lo tanto, la luz puede ser atrapada o multiplexada usando este efecto [35, 36, 37, 38, 39]. Se ha informado de una demostración de su análogo acústico mediante el uso de meta-materiales acústicos [41, 42] y cristales fonónicos [43]. Por otro lado, las oscilaciones electrónicas de Bloch se obtienen en los cristales atómicos cuando se aplica un campo eléctrico DC [55]. Este fenómeno cuántico se demostró a finales de los ochenta gracias al descubrimiento de las superredes semiconductoras [56]. Más adelante, el análogo de las oscilaciones de Bloch también se demostró en diferentes estructuras que soportan la propagación de otros tipos de ondas, como las estructuras dieléctricas, gu´ıas de ondas, los átomos ultrafr´ıos, los cristales fonónicos [57, 58, 59], nanoalambres superconductores [60] y más recientemente en movimiento molecular [61]. Se espera que las oscilaciones de Bloch análogas ocurran en estructuras mecánicas. Hasta ahora, no hay demostración de este efecto para ninguna de las diferentes ondas mecánicas que pueden propagarse sobre ellas.

El tercer estudio que realizaremos está relacionado al efecto del caos y las simetr´ıas en el transporte ondulatorio a traves de cavidades caóticas. La teor´ıa del caos inicio apenas hace 50 años y hoy en d´ıa se encuentra en extensa investigación. El estudio de dicha teor´ıa inclusive ha hecho posible ya la producción de algunos aparatos electrodomésticos de uso diario, pero aún hay mucho trabajo por realizar para comprender en su totalidad este nuevo campo de investigación. Se cuenta ya con algunos estudios sobre la sensibilidad de las condiciones iniciales, trayectorias de atractores y repulsores, fenómenos dónde apare-cen estructuras fractales, entre otros. En el caso que nos concierne, la universalidad de las fluctuaciones de la transmisión, han sido parcialmente probada experimentalmente en puntos cuánticos y cavidades de microondas. Incluso, ha dado pie al desarrollo de nuevos modelos teóricos, que incorporan otros parámetros y que presentan otro tipo de univer-salidades. Esto ha hecho posible entender el surgimiento nuevos fenómenos como son la presencia de absorción, la transmisión directa y las orbitas periódicas, entre otros. Es por estas y algunas razones más que es necesario comprender el fenómeno en los campos de la elasticidad.

Como se ha mencionado a lo largo de la introducción, el objetivo principal del trabajo doctoral es estudiar experimentalmente fenómenos ondulatorios en estructuras elásticas mecánicas usando la ARS, cuyos resultados son vertidos en el presente escrito y que han sido organizados de la siguiente forma. En el Cap´ıtulo 2 se describe con detenimiento la técnica experimental de la espectroscopia acústica resonante junto con los instrumentos empleados técnica. También se presentan detalles de montaje y algunas definiciones que serán de suma importancia a lo largo del la tesis. Para el Cap´ıtulo 3 se da el primer resultado obtenido, el cual es la medición de las dos polarizaciones de algunos modos de vibración en el plano de una placa rectangular. La publicación del correspondiente art´ıculo [63], que sustenta la presente tesis, se da en el apéndice D. En el Cap´ıtulo 4 se presentan tres resultados, en el dominio del tiempo, para las vibraciones torsionales de tres barras con estructura al enviar un paquete gaussiano. En la primera se muestra el surgimiento de bandas de frecuencia prohibidas y permitidas. En la segunda se muestra la emergencia de las oscilaciones de Bloch y en la última se presenta la aparición del

(13)

fenómeno llamado atrapamiento de arco´ıris para las mismas ondas torsionales. Estos resultados fueron obtenidos usando la ARS y pero el EMAT detector se remplazó por un vibrometro Doppler. En el cap´ıtulo 5 se exhibe el último resultado experimental para un sistema abierto, como lo es un billar elástico bidimensional. Este billar tiene la particularidad de que, además de ser caótico, posee simetr´ıa de reflexión también conocida como simetr´ıa izquierda-derecha (L-Rsymmetry). En el cap´ıtulo 6, se dan las conclusiones de esta tesis y algunas propuestas para la continuación de los experimentos en temas altamente relacionados. Finalmente en los Apéndices se describen, de forma breve, algunas comceptos relevantes para esta tesis.

(14)

Cap´ıtulo 2

Desarrollo experimental

2.1 Espectroscopia ac´

ustica resonante

Aunque existen diversas técnicas bien conocidas para caracterizar mecánicamente mues-tras de materiales, en esta investigación se opta por usar la espectroscopia acústica reso-nante, ARS por sus siglas en ingles, debido a que presenta grandes ventajas con respecto a otras técnicas experimentales. Son varias las que se pueden mencionar, pero destacan de entre ellas: la posiblilidad de llevar a cabo estudios de materiales ´ıntegros, es decir, no se requiere destruir o tomar una muestra individual. Y el hecho de controlar las frecuencias en las que se produce la señal, tanto en sus intervalos como en tiempo de ejecución.

Figura 2.1: En la figura izquierda se observa un esquema simplificado de la espectroscopia acústica resonante (ARS). A derecha se muestran las gráficas t´ıpicas de las medidas. En la curva de la parte superior se ve la amplitud de la respuesta como función de la frecuencia; y abajo la fase en función de la frecuencia.

(15)

La ARS es una técnica experimental que, de manera muy general, consiste en producir vibraciones en una muestra y registrar la respuesta de ésta, para su análisis y caracter-ización posterior (Figura 2.1). Luego se compara con un patrón, espectro conocido o se contrasta con predicciones teóricas.

La técnica experimental de ARS, en resumen, consiste de tres etapas: la primera es la preparación controlada de la señal que generará la vibración, la cual se produce usando un generador de funciones u otro dispositivo, como un analizador vectorial de redes (VNA del inglés vector network analizer). Esta señal armónica cambia cuas´ı-estáticamente su frecuencia hasta un máximo de aproximadamente 20 kHz, y se debe potenciar usando un amplificador de audio. La segunda etapa, es la interacción sin contacto de la señal con la muestra. Finalmente, en la tercera etapa, se obtiene un espectro inherente a la respuesta del sistema a la exciación a cada frecuencia del cual se extrae la información requerida.

2.2 Montaje

2.2.1 Detalles previos al montaje

Un punto importante a tratar es la forma de colocar el sistema. En los estudios que se van ha realizar, se considera que los sistemas tienen fronteras libres. Por ello, lo ideal es tener suspendido el sistema sin contacto alguno. Debido a que en el laboratorio esto no es posible de realizar, el sistema se monta sobre una estructura que minimiza el contacto y hace posible mantener el peso de un m´aximo aproximado de 10 kilos. Tal estructura consta de soportes universales e hilos de nailon que son tensados, cruzados y sujetados a los soportes.

Figura 2.2: La figura principal muestra el detalle del montaje. Al fondo se observa el sitio donde se colocan los soportes universales. Como ejemplo de sistema bajo estudio se muestra una cavidad el´astica.

(16)

La Figura 2.2 muestra el detalle delc soporte. Este montaje minimiza la superficie que toca la placa ya que sólo existen puntos de contacto entre la placa y los hilos. Los soportes son similares a los empleados en la construcción donde se colocan trabes que distribuyen las cargas a las columnas y mantienen la forma de la estructura. Finalmente es importante recalcar que el sistema debe ser nivelado para evitar inclinaciones, lo que produce que se exiten distintos tipos de ondas que no corresponden a las estudiadas debido a los acoplamientos elásticos.

2.2.2 Instrumentos empleados en la ARS

Los instrumentos empleados en el montaje experimental para la caracterizaci´on por ARS se listan a continuaci´on;

1.-Analizador de redes vectorial, marca Anritsu,

mode-Figura 2.3: Analizador vec-torial de redes

lo MS4630B. Generalmente este tipo de instrumentos sir-ven para analizar las propiedades de las redes eléctricas, especialmente aquellas asociadas con la reflexión y la trans-misión de señales, conocidas como parámetros de dispersión. La transmisión, para los sistemas usados de esta tesis, se mide usando un transductor que convierte la vibración mecánica (onda elástica particular), en un señal eléctrica y viceversa. En este instrumento se miden, entre otras cosas, la fase y la amplitud de la respuesta como función

de la frecuencia, tiempos de retardo y propiedades de circuitos electr´onicos (impedancia, inductancia, etc).

Para la ARS, el VNA es utilizado como un generador de funciones que produce una señal sinusoidal monocromática de frecuencia f que cuasiestáticamente cambia. También es utilizado para filtrar la señal de respuesta eliminado el ruido de fondo generado a dife-rentes frecuencias con respecto de la frecuencia originalf, como lo hace un amplificador lock-in. Finalmente, es posible observar, en tiempo real, la respuesta de la muestra a cada frecuencia, como lo hace un osciloscopio. Los datos se transfieren a una computadora us-ando un puerto GPIB y el programa de automatización y adquisición de datosphase [62] en LabView.

2.-Amplificador de audio de alta fidelidad, marca

Cerwin-Figura 2.4: Amplificador de audio de alta fidelidad

Vega, modelo CV-900. Sistemas elásticos de aluminio, como los que son estudiados en los experimentos, disipan la energ´ıa del sistema con el medio muy rápido y las señales se hacen imperceptibles en los detectores. Se usa, entonces, un amplificador que trabaja en el rango audible ya que son

f´acilmente disponibles comercialmente y de costo bajo. Adem´as han dado excelentes re-sultados en los experimentos [1, 2, 63].

(17)

3.-Transductores electromagn´eticos ac´usticos. Este tipo

Figura 2.5: Transductor Electromagn´etico Ac´ustico (EMAT)

de transductores, denominados comúnmente como EMATs por sus siglas en inglés, consisten básicamente de dos ele-mentos, una bobina de cobre y un imán, que se colocan en diferentes arreglos o configuraciones dependiendo del tipo de vibración que se desea generar de forma preferente o selectiva.

Las ventajas, de la ARS usando EMATs, con respecto a otros métodos para producir vibraciones mecánicas en sistemas elásticos, son: la excitación y detección son sin contacto entre el sistema y los transductores, lo que per-mite mejorar el control de la vibracion, ya que se evita que

los dispositivos EMATs actúen como fronteras que afecten los resultados experimentales. La caracterización de las propiedades mecánicas por ARS no destruye los sitemas. Estos transductores pueden ser usados indistintamente para medir o producir una vibración, es decir, son invertibles. Los EMATs tienen algunas desventajas por ejemplo: solo pueden estudiarse materiales paramagnéticos ya que los transductores operan a través de corri-entes parásitas usando los campos magnéticos de las bobinas e imanes que los constituyen. Además hay interacción entre EMAT detector y excitador aún en ausencia de material. A continuación se profundiza sobre su funcionamiento.

2.2.3 Transductores electromagn´

eticos-ac´

usticos (EMATs).

Recordemos brevemente los principios de funcionamiento de los EMAT; una explicación aun más detallada del funcionamiento de estos transductores se da en la referencias [1, 64]. El EMAT, como excitador o generador de vibraciones mecánicas sin contacto en la vecindad de un material paramagnético, opera de la siguiente manera:

1. Una corriente armónica, de frecuencia f, pasa a través de la bobina del EMAT; esto genera un campo magnético B(t) que var´ıa en el tiempo con misma frecuencia f. 2. Debido a la ley de inducción de Faraday, en cualquier circuito de un material

para-magnético, que esté cerca de la bobina del EMAT, se generan corrientes parásitas locales; estas corrientes también son armónicas de frecuencia F.

3. Las corrientes parásitas, inducidas en el metal paramagnético, interactúan con el imán del EMAT a través de la fuerza de Lorentz.

4. El efecto de la fuerza de Lorentz sobre el metal se convertirá en una vibración mecánica que se propaga por el material.

Los EMAT son invertibles, i.e., pueden detectar las vibraciones de un metal param-agnético. El transductor electromagnético-acústico, funcionando como detector, opera de esta manera:

(18)

1. Se producirá un cambio de flujo magnético en los bucles dentro de un metal para-magnético vibrante cuando el imán permanente de EMAT está cerca de él.

2. El cambio de flujo, por la ley de Faraday, producir´a corrientes par´asitas en el ma-terial; estas corrientes oscilan con la frecuencia f del metal vibrante.

3. Las corrientes parásitas son también variables en el tiempo. Toda corriente variable en el tiempo generará su propio campo magnético alterno. Al acercar un EMAT detector a este campo magnético, una fuerza electromotriz será inducida en la bobina y será medida por el VNA.

2.2.4 Arreglo instrumental

En la Figura 2.6 se muestra un montaje experimental. A continuación se dan los parámetros que son utilizados en los instrumentos para estudiar las vibraciones mecánicas de un sis-tema elástico usando ARS.

1.- El generador de la se˜nal VNA, debe programarse con los siguientes par´ametros: • Intervalo de frecuencia de 200 Hertz en cada corrida.

• 1000 puntos en este intervalo.

• Tiempo de barrido, por intervalo, de 20 minutos. • Potencia de salida de 10 decibelios.

La frecuencia m´ınima es de 250 Hz y la frecuencia m´axima de 20 kHz, pero puede cambiar dependiendo de cada experimento.

2.- Para potenciar la señal, el amplificador de audio consta de dos salidas de potencia independientes, ambas son conectadas en paralelo, como una sola, para lograr mayor ganancia, esto se denomina modo puente. La perilla del volumen se coloca a la mitad de la máxima amplificación debido a que, a partir de 3/4 partes y hasta el máximo volumen, la señal tiende a distorsionarse en estos aparatos.

3.-Después ser amplificada, la señal se dirige a un transductor excitador. Este transductor tipo EMAT, consta de un imán y una bobina construida con alambre de cobre de calibre 18 formando un carrete con 45 mm de diámetro y 40 mm de largo. El imán es de neodimio con 24000 Gauss, diámetro de 19 mm y grosos de 9.5 mm.

4.- La onda viaja por el sistema hasta que se establecen patrones de vibraci´on estacionar-ios.

5.-Se usa un segundo transductor tipo EMAT para medir la respuesta del sistema a la excitaci´on inicial de frecuancia f. La bobina en este caso tiene 14 mm × 11 mm de

(19)

diámetro y largo respectivamente. El calibre de cobre es del número 30, mientras que el imán tiene un diámetro y grosor iguales a 4 mm y 12000 gauss. Este transductor convierte ahora la vibración en un voltaje que se registra en el VNA, mostrando la respuesta del sistema en una gráfica de amplitud en función de la frecuencia. Estos datos también son almacenados para su posterior interpretación y análisis.

Figura 2.6: Esquema del montaje experimental para ARS. Aqu´ı el sistema elástico es un billar caótico simétrico: primero se genera una señal monocromática de frecuencia

f, controlada al usar un VNA (1), está es potenciada con un amplificador de audio (2). La señal amplificada se env´ıa a un transductor, denominado EMAT excitador (3), el cual convertirá la señal eléctrica, de frecuencia f, en vibraciones mecánicas en el sistema elástico de aluminio (4). Al otro extremo del sistema se coloca un transductor EMAT que medirá las vibraciones de respuesta en el medio estudiado (5), convirtiendo ahora la vibración mecánica en una señal eléctrica. La señal medida es enviada de regreso al VNA. Los datos experimentales son almacenados en una computadora (6) v´ıa el puerto USB-GPIB que, a su vez, controla automáticamente el experimento. En el recuadro a) se detalla la composición de un EMAT, cabe destacar que el imán no entra en contacto con la placa. En el recuadro b) se muestra el corte hecho a la gu´ıa de onda para absorber las ondas.

(20)

2.3 Ondas mec´

anicas en barras rectangulares

En las varillas o barras1 _{se pueden distinguir cuatro}

Figura 2.7: Ilustraci´on de una torsi´on en una barra.

tipos de ondas: compresionales, torsionales, flexionales blan-das y flexionales duras. Únicamente las ondas torsionales son longitudinales, las otras tres son transversales. A con-tinuación se pondrá especial enfasis en las vibraciones tor-sionales de una barra con sección transversal uniforme rect-angular (ver Figura 2.7), ya que estas serán las estudidadas en el Cap´ıtulo 4.

Este tipo de vibraciones satisfacen la ecuaci´on de onda:

∂2_Φ ∂z2 − 1 v2 ∂2_Φ ∂t2 = 0, (2.1)

donde Φ es el ángulo de torsión, v = qGα_ρI es la velocidad de las ondas de torsión, dada por Navier [66], con: G, el módulo de cizallamiento; ρ, la densidad de la barra;

I = (hW3₊_h3_W₎_/_{12, el momento de inercia con respecto al eje}_y _{de la barra (Figura 2.7)}

α= 256 π6 ∞ X m=0 ∞ X p=0 1 (2m+ 1)2₍₂_p_{+ 1)}2 hW (2m+1 h )2+ ( 2p+1 W )2 , (2.2)

α es un parámetro geométrico de ajuste (ver referencia [67]). Además h y W son las dimensiones de la sección transversal de la viga. Dado que la barra está libre en uno de sus extremos (z = 0), satisface la siguiente condición de contorno

∂Φ ∂z z=0 = 0. (2.3)

De igual manera, hay que considerar que, para producir

Figura 2.8: Configuraci´on del EMAT para torsiones.

las vibraciones torsionales aqu´ı estudiadas, será necesario modificar la configuración hasta este momento empleada en un transductor tipo EMAT. Se coloca una bobina sobre el ancho de la barra y dos imanes perpendiculares a ésta, se ubica uno en cada lado de la barra y con sus polos encon-trados (ver Figura 2.8). Si se pone sólo un imán, se produce una vibración que comienza con máxima amplitud en el lu-gar donde se situa el imán, mientras que, en el lado opuesto no hay movimiento, generando un movimiento parecido al de una bisagra y no una torsión como es de esperar.

1_{Se ha llamado varilla a aquella que tiene una secci´on transversal circular, mientras que una barra o}

(21)

2.4 Vibraciones en sistemas el´

asticos bidimensionales

Empleando la técnica experimental ARS se pueden generar y medir diferentes tipos de vibraciones en sistemas elásticos. En el caso de sistemas bidimensionales, como billares y placas, se clasifican en general en dos tipos: ondas fuera del plano y ondas dentro del plano. Para definirlas, se considerará que el plano principal, muchas veces llamado el plano neutro, es aquel formado por las dos dimensiones mayores. Con respecto a este plano, se considera que las ondas viajeras son fuera del plano cuando la dirección de propagación del vector la onda es perpendicular al vector de desplazamiento de las part´ıculas que componen el material o a un elemento diferencial del mismo (ondas transversales). A su vez el desplazamiento de las part´ıculas es perpendicular al plano principal. Mientras que, las ondas en el plano abarcan dos casos: primero, se tiene la vibración en la que el desplazamiento de la onda está contenida en este plano y la dirección de desplazamiento de las part´ıculas es paralela al vector de porpagación de la onda (ondas longitudinales), pero también está contenida en el mismo plano (ver Figura 2.9). El segundo caso de ondas en el plano corresponde al caso en que el vector de onda es paralelo al plano principal, pero esta vez el vector de desplazamiento de las part´ıculas es perpendicular al vector de porpagación de la onda y asimismo se encuentra contenido en el plano neutro. Es decir, tenemos ondas longitudinales y transversales en el plano, en ambos casos, tanto el vector de desplazamiento como el vector de onda se encuentran contenidos en el plano principal. Para los análisis llevados a cabo en este trabajo se analizan tanto vibraciones fuera del plano, como dentro del plano. Las configuraciones de los transductores para ondas fuera y dentro del plano se ilustran en las Figura 2.10.

Figura 2.9: Se muestran dos ejemplos de ondas generadas en un sistema bidimensional. En la parte izquierda se tienen ondas transversales fuera del plano, mientras que en la derecha se muestran las compresionales en el plano. Adem´as es posible generar ondas transversales en el plano.

(22)

Figura 2.10: Dos formas de colocar los transductores EMATs alrededor de la placa para generar y detectar ondas: a) en el plano y b) fuera del plano.

2.5 Desarrollo experimental para el estudio de

pa-quetes de onda en el dominio del tiempo

En la actualidad es bien conocida la técnica experimental ARS en el dominio de la fre-cuencia, en la que se usan transductores tipo EMAT para detectar y excitar los diversos tipos de ondas mecánicas. Con objeto de adaptar esta técnica, por sus excelentes resul-tados, al dominio del tiempo, se desarrolló un experimento previo en donde se llevan a cabo detecciones y excitaciones con tres dispositivos diferentes. Para la excitación se uso un vibrador mecánico y un EMAT excitador, mientras que para la detección se emplea un interferómetro láser y un EMAT detector. El objetivo principal es encontrar el mejor conjunto de dispositivos para los experimentos principales. Los comparativos se pueden ver en las seis gráficas de la Figura 2.11.

La excitación y detección empleando los transductores tipo EMAT es sumamente selectiva pero presenta la desventaja de producir una señal aun sin estar presente un medio. Esto produce una l´ınea base de referencia que asciende en función de la frecuencia, en el experimento final. Ahora bien al excitar con el vibrador mecánico, sin importar como que dispositivo se detecta, se miden vibraciones extras, esto es debidoa que no es posible desacoplar los diversos tipos de ondas en la placa, además de ser un método de contacto. Por último excitar con EMAT y detectar con láser anula la l´ınea base mencionada con anterioridad y es posible estudiar sólo las ondas deseadas. Presenta la desventaja que a frecuencias por arriba de 18 kiloHertz el láser comienza a mostrar lecturas deficientes. Esto se debe a que la amplitud de la onda en la resonancia comienza a decaer y excede su m´ınimo l´ımite de medida y, además, la superficie donde éste apunta, debe ser completamente reflectante, o mostrará lecturas erróneas. Al analizar los resultados se considera como la mejor opción excitar usando un EMAT y detectar usando el vibrómetro láser.

(23)

Figura 2.11: Comparativo entre los diferentes dispositivos para excitar y detectar ondas fuera del plano en una placa de aluminio cuadrada de 30 × 30 cm de 1/4 de pulgada de grosor. La l´ınea negra corresponde a excitación y detección usando EMATs, la l´ınea roja corresponde a excitación usando un EMAT y detectando con el láser. Para la l´ınea azul se tiene la excitación con vibrador y detección con EMAT y finalmente se tiene en color verde excitación con vibrómetro y detección con láser.

2.5.1 Instrumentos

1.- NI PXI.- Su utilidad es m´as gen´erica que la de un

Figura 2.12: PXI de Na-tional Instruments

VNA, produce la señal enviada a la muestra, controla la automatización en la medición, recibe, filtra y almacena la respuesta y finalmente es posible utilizarla como estación de trabajo para el análisis de datos (ver Figura 2.12).

2.- Transductor EMAT excitador.- Se usa un EMAT como el mencionado anteriormente, la diferencia radica en

su configuraci´on, ya que el im´an se coloca perpendicular a la bobina.

3.- Amplificador de audio de alta fidelidad.- Potencia la se˜nal que se env´ıa a la mues-tra, en este caso se empleo un aparato similar al usado en el montaje para ARS, marca Cerwin-Vega y modelo es CV-1200.

(24)

4.- Vibr´ometro l´aser Doppler (Fig. 2.13).- Se usa un

Figura 2.13: Vibr´ometro l´aser Doppler

láser marca Metrolaser VibroMet 500V para medir las vi-braciones en las barras propuestas, presenta la ventaja de no tener contacto con las muestras. Además, no hay una l´ınea base como en el caso de la detección con EMATs y su software integrado, permite automatizar la toma de datos. Una de sus desventajas aparece al medir por arriba de los 18 kHz, donde ya no le es posible usar el efecto Doppler, debido a que la vibración es muy pequeña, mientras que los EMATs tienen un rango de medida en frecuencia más altas [65].

2.5.2 Consideraciones experimentales

En los experimento se usan 4 barras de aluminio 1100 de 4.04 metros de largo de sección transversal regtangular con 1 cm de grosor y 3 cm de ancho. Tres de estas barras están constituidas por tres zonas (ver Figura 4.5), en uno de sus costados se tiene un sistema de atenuación de ondas de 44 cm de longitud, a continuación se tiene una parte sin maquinar de 2.02 metros de largo y finalmente una zona con estructura que depende del modelo propuesto por el cálculo numérico. La primera barra se construyó únicamente con la cuña de atenuación. Ahora bien, como en el modelo empleado las fronteras son libres, las barras se suspenden en el aire empleando hilos de nailon colocados en tres posiciones diferentes y alineadas con un nivel tipo láser.

El excitador propuesto es colocado donde comienza el sistema de atenuaci´on. Se env´ıan al EMAT varios pulsos gaussianos centrados en una sola frecuencia, con ello se toman varias medidas y se saca un promedio de la respuesta para eliminar ruidos exte-riores, posteriormente se cambia la frecuencia tomando nuevas lecturas. El intervalo de frecuencias usado para trabajar comienza en los 3 kiloHertz y termina en 18 kiloHertz. Los fen´omenos analizados se observan con mejores resultados al enviar pulsos con anchura gaussiana de 500µs.

Las lecturas, medidas por el l´aser, se registran en la esquina inferior derecha de cada cuboide (Fig. 4.5), esto es debido a que en las esquinas del cuboide se presenta la m´axima amplitud de onda, por ende se puede medir en cualquier otra esquina.

(25)

Cap´ıtulo 3

Modos normales en el plano de una

placa rectangular

En este cap´ıtulo se estudian las vibraciones en el plano de una placa rectangular y los resultados de las mediciones de las polarizaciones de la amplitud de modos normales en el plano. También se da un resumen del método numérico conocido como método de ondas planas, con el cual fueron calculados los modos normales en el plano.

3.1 Espectro ac´

ustico resonante de la placa

rectan-gular

Previo a obtener los modos normales, es necesarios conocer las frecuencias en las cuales aparecen las resonancias que los generan. Las frecuencias se obtiene realizando el espectro ac´ustico resonante de la placa para el tipo de ondas que se desea analizar. Tanto para las ondas en el plano como fuera del plano, los espectros ya han sido estudiados y reportados en la referencia [22]. La Figura 3.1 muestra como se colocan los transductores alrededor de la placa para generar y medir el tipo de onda deseado, de esta manera se obtiene su espectro ac´ustico resonante correspondiente.

3.2 Ecuaciones que rigen las vibraciones en el plano

Las ecuaciones que gobiernan el movimiento en el plano, en la teor´ıa cl´asica placas, [68], son: ∂Nx ∂x + ∂Nxy ∂y =ρh ∂2_u ∂t2, ∂Nxy ∂x + ∂Ny ∂y =ρh ∂2_v ∂t2, (3.1)

dondehyρson el espesor y la densidad de la placa, respectivamente. Las variablesu(x, y) yv(x, y) son los desplazamientos en las direccionesX yY, respectivamente, mientras que

(26)

Figura 3.1: Espectros ac´usticos resonantes de la placa rectangular. En a) se muestra para ondas fuera del plano, mientras que en b) se tiene para las ondas en el plano.

las tensiones de la placa son:

Nx =C(exx+νeyy),

Ny =C(eyy+νexx),

Nxy =C(1−ν)exy,

(3.2)

dondeν es la raz´on de Poisson y C es la rigidez extensional dada por

C = Eh

1−ν2, (3.3)

con E el m´odulo de Young. Las relaciones deformaci´on-desplazamiento son

exx = ∂u ∂x, eyy = ∂v ∂y and exy = 1 2 ∂u ∂y + ∂v ∂x . (3.4)

3.3 M´

etodo de expansi´

on en ondas planas

El método de expansión de ondas se refiere a una técnica computacional para resolver ecuaciones diferenciales parciales como un problema de valor propio [70]. Este método es muy popular entre la comunidad que estudia cristales fotónicos (fonónicos) para obtener la relación de dispersión de los cristales artificiales [71, 72, 73, 74]. En la referencia [19] se demostró que el método de expansión en ondas planas se puede implementar para resolver la ecuación de Kirchhoff-Love fuera del plano, también llamada teor´ıa clásica de placas, para sistemas finitos. Este método numérico también es útil para resolver la ecuación de onda en plano para sistemas finitos [69]. La principal diferencia entre el método de expansión en ondas planas y otros métodos numéricos, como el de los elementos finitos, es que las condiciones de contorno no se imponen sino que son más bien simuladas

(27)

mediante la introducción de un segundo medio con distintas propiedades f´ısicas. En este método se usa una celda rectangular (ver Fig. 3.2) de dimensiones a×b. La placa está situada en el centro de la celda rodeada por un material huésped que, para una placa con extremos libres, imita el vac´ıo y, para una placa con extremos sujetos, imita un medio extremadamente duro [19].

La celda unitaria se repite periódicamente en ambas direcciones y sus parámetros mecánicos son reemplazados por una serie de Fourier truncada a N ondas planas. Una descripción en detalle del método de expansión en ondas planas utilizado para calcular los modos normales en el plano de placas con extremos libres se da en la referencia [69].

Ρ

0 ,

Ν

0 ,

E

0 Ρ

1 ,

Ν

1 ,

E

1 a

b

X

Y

L

_x

L

_y

Figura 3.2: A la izquierda se tiene repetición de la placa para utilizar el método de expansión de ondas planas. A la derecha los detalles de la celda unitaria.

3.4 Polarizaci´

on de ondas en el plano

Como se menciona en la sección 2.4, las ondas mecánicas en el plano pueden ser lon-gitudinales y transversales; en general, en un sistema elástico este tipo de las ondas se encuentran acopladas. Puede verse también en los términos cruzados de las ecuaciones (3.1) y (3.2). En los experimentos además, el acoplamiento de las ondas se pueden mirar en algunos picos de resonancias que no concuerdan con el tipo de onda generado y que tienen amplitud mucho menor comparadas con el resto (ver Figura 3.3) . Las ondas pu-ramente longitudinales tendrán componente en una sola dirección y pueden ser medidas colocando el transductor detector en esa dirección, al girar 90 grados el EMAT detector, la componente será cero. Por otra parte, la onda puramente torsional exhibirá valores

(28)

´

unicamente en la dirección paralela al desplazamiento. Debido al hecho de que las ondas están acopladas, exhiben componentes en ambas direcciones tal y como lo hace una onda polarizada. Al colocar un detector orientando el eje mayor del imán con el eje mayor de la placa en un punto sobre ella (ver recuadro (a) de la Figura 3.5), se mide la componente en la direcciónu (eje X) y si después se gira 90 grados se obtiene el valor en la dirección

v (eje Y). As´ı se mide la polarización de la onda en un punto. La resolución de las ecuaciones (3.1), también nos dan las componentes en X y Y de tal manera que al final podemos compararlas.

Figura 3.3: Distinci´on de dos tipos de ondas acopladas en un experimento usando ARS.

3.5 Medici´

on de las amplitudes de onda en el plano

La medida de los componentes u(x, y) y v(x, y) de las

Figura 3.4: Respuesta del sistema a frecuencia f leido directamente del VNA.

amplitudes de onda de modo normal en el plano se realiza como sigue. Las vibraciones en el plano de la placa de alu-minio se generan usando un EMAT situado en un extremo de la placa en la configuraci´on de la Figura 3.5. Este dis-positivo es controlado por el VNA, el cual env´ıa una se˜nal de barrido alrededor de la frecuencia de resonancia de la amplitud de onda a medir. Como es bien sabido, trazar la norma y la fase de la respuesta da un c´ırculo en el plano

complejo; el radio del c´ırculo es proporcional a la amplitud de la onda. Un ejemplo de este circulo se da en la Figura 3.4. Las mediciones se realizaron en un cuarto de la placa

(29)

en una cuadr´ıcula rectangular. El EMAT mide la aceleración en la dirección del eje de la bobina [75]. La amplitud de onda se mide a continuación utilizando un EMAT situado sobre la placa; el eje dipolar del imán del EMAT es perpendicular al plano X-Y mien-tras que el eje de la bobina está alineado a lo largo de la dirección X o Y para medir la deformación u o v, respectivamente (ver recuadro b) en la Figura 3.5). Para obtener la amplitud de onda en la placa completa, los datos medidos se reflejaron en los dos ejes de simetr´ıa del sistema. En la Figura 3.6 se dan algunas amplitudes de onda de modo normal y se comparan con las calculadas con el método de expansión de onda plana; se obtiene un muy buen acuerdo. Estos modos normales corresponden a los dados en la Figura 3.6 calculados con elementos finitos.

Figura 3.5: Montaje experimental para medir los modos normales en el plano. En 1) se genera la señal con un VNA, la señal pasa a 2) donde es potenciada con un amplificador de audio, la salida llega hasta el transductor excitador en 3). Las vibraciones de la placa (4) son medidas por un EMAT detector en cada intersección de una malla cuadrada sobre puesta en la cuarta parte de su superficie. El recuadro a) muestra la configuración del EMAT detector para medir la deformación en cada cruce de la malla. En el recuadro b), se observa como se coloca el EMAT para medir en las 2 direcciones.

(30)

3.6 Modos normales

En la Figura 3.6 se presenta, en forma de tabla, los resultados obtenidos para dos modos normales en sus respectivas frecuencias resonantes, tanto en forma experimental como en el c´alculo num´erico.

Figura 3.6: Componentes de la deformaci´on horizontal u y vertical v, de dos modos normales en el plano de un placa. La primer fila corresponde al modo a frecuencia 2634

Hz, la segunda fila pertenece al modo a frecuencia 4434 Hz. La primera y la tercera columna son las mediciones experimentales usando la técnica de ARS. La segunda y cuarta columnas corresponden a la solución numérica de las ecuaciones 3.1 usando el método de ondas planas. La primer y segunda columna corresponden a la polarización deu, la tercera y cuarta dan la componente en la dirección v.

(31)

Cap´ıtulo 4

Vibraciones en el dominio del tiempo

Existen algunos métodos de control de las vibraciones que podr´ıan ser utilizados en sis-temas elásticos, como son el control de las frecuencias naturales o resonancias del sistema, en donde por lo general se añade masa al sistema o se cambia la constante de rigidez. También se usan elementos aislantes de vibraciones los cuales se clasifican en activos, que están formados por un servomecanismo que incluye un sensor, un procesador de señal y un actuador, y pasivos, compuestos por un elemento elástico y un elemento disipador de energ´ıa; pasivos como muelles metálicos, un corcho, un fieltro, un resorte neumático, etc. Hay también absorbedores dinámicos de vibraciones o masas auxiliares neutralizadoras de vibraciones. Estos se llaman también amortiguadores dinámicos, t´ıpicamente son un conjunto de masas y resortes añadidos al sistema. Por último se cuenta con el redirec-cionamiento de las vibraciones. Se coloca un material, que gu´ıa las vibraciones a zonas en donde pueden quedar atrapadas para disiparse con el medio, o ser conducidas a donde se desea. Incluso pueden ser descompuestas en diferentes frecuencias tal y como lo hace un filtro electrónico. El estudio aqu´ı propuesto abarca este tipo de control de vibraciones.

Se muestran por primera vez los estudios experimentales realizados para el control de vibraciones mec´anicas para medios el´asticos unidimensionales en el dominio del tiempo.

Los tres tipos de control analizados son:

• Filtro de frecuencias.- El cual permite el paso de ciertas frecuencias mientras que otras son rechazadas (surgimiento de bandas permitidas y prohibidas) usando un sistema peri´odico.

• Atrapamiento de ondas elásticas.- Al producirse una vibración, ésta queda atrapada en una zona de la barra hasta su disipación (surgimiento de las oscilaciones de Bloch). Con ello puede evitarse, por ejemplo, que las vibraciones lleguen a zonas no deseadas que puede deteriorar o dañar una máquina y por otro lado se pueden canalizar vibraciones hacia otra parte donde pueden ser aprovechadas.

• Redireccionar vibraciones.- La oscilaciones en ciertas frecuencias son regresadas o llevadas a otras zonas (aparición del efecto de atrapamiento de arco´ıris mecánico), en donde una vibración se dispersa en distintas partes de un sistema como función de sus componentes en frecuencia.

(32)

4.1 Fundamento te´

orico

Para homogeneizar los t´erminos empleados al nombrar las diferentes partes de una barra estructurada. En la Figura 4.1 se establece la denominaci´on que se emplea aqu´ı.

Figura 4.1: Partes de la barra con estructura. La figura de la parte superior muestra las tres zonas principales de las que se compone la barra. En la figura media se resalta, en tono gris, la secci´on donde se definen los principales componentes de una celda unitaria en la estructura.

Como se ve en la Figura 4.1, las barras constan de tres zonas: la zona amortiguada atrapa y atenúa las vibraciones que provienen de la estructura y de la zona lisa, evitando que las ondas reboten y regresen a dicha estructura, produciendo interferencias y patrones estacionarios. La zona lisa es una gu´ıa de ondas elástica de 2 metros de longitud, la cual es necesaria para generar ah´ı un paquete de ondas torsionales y enviarlas hacia la estructura. La zona estructurada representa un segundo medio elástico diferente de la zona lisa, en donde la onda sufren dispersión. Las celdas unitarias de las que esta compuesta dicha estructura cambiará dependiendo de aquello que se requiera estudiar.

La estructura, en cada barra, está constituida de cuboides (costillas) que irán cam-biando de longitud, pero no su altura ni su anchura. Estos se acoplan entre s´ı, y a la zona lisa, mediante cuboides más pequeños de dimensión constante, llamados muescas. La longitud de la costilla, se construye llevando a cabo el llamado modelo de barra inde-pendiente [67]. Se sabe que la expresión para encontrar las frecuencias de resonancias de los modos normales torsionales de cada uno de estos cuerpos es [8],

f_mn = cn 2ln

(33)

donde fn

m es la m–ésima frecuencia resonante del n–enésimo cuboide, cn es la velocidad torsional,lnes su longitud ym = 0,1,2, ...representa el número de modo de cada cuboide. Para observar los fenómenos de control de vibraciones propuestos, es necesario que las frecuencias de los cuboides sean equidistantes. Por tanto, de la ecuación (4.1), es notorio que se puede cambiar la longitud ln o es posible variar la velocidad de la onda. La velocidad de onda torsional es calculada usando v =qGα_ρI. Con α dado por la ecuación (2.2). La longitudln de la costillan se calcula con la regla [67],

ln=

l

(1 +nγ), (4.2)

donde γ es el parámetro de ajuste. Si se sustituye la ecuación (4.2) en la ecuación (4.1) se obtiene, f_mn = s Gα ρI (1 +nγ)m 2l . (4.3)

Ahora bien, como se mencion´o antes, se desea que las frecuencias de los modos resonantes est´en equidistantes, es decir,

∆f_mn =f_mn+1₋f_mn = s Gα ρI γm 2l , (4.4)

debe ser constante. Esta ecuación es independiente de el ´ındicen; y con ello la ecuación emp´ırica (4.2) queda justificada. De aqu´ı es posible graficar la frecuencia de los modos resonantes como función del parámetroγ como se ve en la Figura 4.2.

El espectro de bandas de los modos de torsión para la estructura chirpeada como función del parámetro γ, se obtuvo numéricamente, utilizando el método de matriz de transferencia (TM) [65]. Los cálculos se realizaron considerando una viga de aluminio con extremos libres y compuesta por una pieza uniforme con una longitud de 203 cm. La parte estructurada fue determinada usando `0 = 9.2 cm. La dinámica de niveles en

función del parámetro γ se muestra en la Fig. 4.2. Para γ = 0 se puede observar una estructura de bandas t´ıpica de un sistema periódico. Dado que se utiliza una superficie libre en ambos extremos de la viga, se produce una banda que comienza a frecuencia cero. Luego las brechas y bandas aparecen secuencialmente con la frecuencia. Paraγ = 0 la primer brecha se encuentra aproximadamente entre 6,5 kHz y 9,5 kHz. Esta última frecuencia define el comienzo de la segunda banda, que termina en _≈13.5 kHz.

Para valores crecientes deγ, la Fig. 4.2 muestra que los niveles en una banda particular comienzan a separarse linealmente. Las bandas se hacen más anchas y las brechas más estrechas. En la segunda banda, tres reg´ımenes diferentes están claramente definidos. El primero corresponde a los valores γ _≈ 0. En este régimen la densidad de niveles es inhomogénea y tiene máximos cercanos a los bordes de la banda; esto es una reminiscencia del sistema periódico original. El segundo régimen aparece en 0.03 < γ < 0.065 donde la densidad de niveles dentro de la banda, para un valor fijo de γ, es aproximadamente

(34)

homog´enea,i.e., los niveles son casi igualmente espaciados. El espectro tipo escaleras de

Wannier-Stark domina este r´egimen [67]. El tercer r´egimen aparece cuando las bandas

vecinas más cercanas comienzan a superponerse. Por lo tanto, después de un valor cr´ıtico del parámetroγ el tunelaje Zenner entre las bandas podr´ıa ser observado en forma de un pico de transmisión mejorado [57, 76]. Los resultados presentados aqu´ı corresponden a los dos primeros reg´ımenes.

En la Figura 4.2, que muestra el espectro de frecuencias del sistema como funci´on de

γ, se pueden ver l´ıneas horizontales las cuales corresponden a modos normales asociados a la zona lisa de la barra. Cuando la zona con estructura es periódica tiene costillas de la misma longitud y γ = 0, aparecen entonces bandas de frecuencias permitidas y prohibidas. En la zona comprendida entre 0 < γ < 0.03 los niveles no equidistan por lo que hay translape de niveles y no es posible encontrar los fenomenolog´ıa aqu´ı estudiada. A partiar deγ = 0.03 se observa que los niveles comienzan a separecer de manera lineal en la segunda banda y es posible observar el fenómeno de atrapamiento de arco´ıris mecánico. Cuando se pasa a γ = 0.06 se notan mejor los espaciamientos de niveles en la misma segunda banda y en donde aparecen las oscilaciones de Bloch. El eje de las ordenadas se muestra por encima de los 20 kHz ya que el alcance experimental se encuentra en el rango audible.

Figura 4.2: Estructura de bandas como funci´on del par´ametro γ, de las barras con muescas.

(35)

4.2 Din´

amica de paquetes de ondas en barras

estruc-turadas: simulaci´

on num´

erica

La evoluci´on temporal de las amplitudes de onda es calculada usando el m´etodo de la matriz de transferencia (MMT) discutido con excelentes resultados en la referencia [65]. ´

Este método consiste en calcular alrededor de 500 modos normales de un sistema completo. Después se expande un paquete de ondas inicial en terminos de los modos normales calculados y finamente se calcula su evolución temporal. El método numérico se probó con varios sistemas como las gráficas obtenidas en la Figura 4.3. El paquete de vibraciones torsionales es enviado es como un pulso Gaussiano centrado en una frecuenciaf.

Figura 4.3: Simulación numérica de la dinámica de un paquete de onda en una barra uni-forme obtenidas con el formalismo de la matriz de transferencia. En el recuadro muestra el tamaño de la barra simulada. Tiempo vs posición se puede ver claramente el rebote con el extremo de la barra y medir su velocidad.

(36)

Figura 4.4: Din´amica del paquete de ondas en una barra con una muesca. Al encontrarse con la muesca, el paquete se divide generando una onda reflejada y otra transmitida al otro lado de la muesca.

4.3 Montaje experimental para barras estructuradas

En la Figura 4.5 se observa la disposici´on instrumental llevada a cabo para las barras estructuradas. El detalle de la cu˜na en un extremo, dada su importancia, se muestra en la Figura 4.6.

4.4 Resultados experimentales

En cada una de las siguientes subsecciones se muestran las dimensiones de maquinación hechas empleando el diagrama de la Figura 4.2 de la sección numérica. Además se da una breve explicación del efecto que se desea probar.

4.4.1 Barra lisa

Antes de construir los sistemas con estructura, se utiliza una barra lisa de sección transver-sal rectangular a la que únicamente se le fabrica una cuña en uno de sus extremos, con las dimensiones geométricas indicadas en las Figuras 4.6 y 4.7. Los objetivos son:

1. Comprobar o medir experimentalmente la velocidad de las ondas torsionales en aluminiopara barras de secci´on transversal rectangular.

(37)

Figura 4.5: Montaje experimental. En (1) se tiene el PXI que genera el pulso gaussiano, adquiere y almacena los datos. En 2) se tiene un amplificador de audio que potencia la señal y la env´ıa al EMAT en (3) el transductor produce la onda torsional mecánica que viaja a través de la barra (4). El vibrómetro láser (5) mide la señal de respuesta la cual regresa al PXI. Además, la figura muestra en A el sistema pasivo de absorción de ondas junto con la cuña. Por último se tiene la longitud `n de la costilla n–ésima calculada con

la ecuaci´on 4.2.

Figura 4.6: Dimensiones del corte en forma de cu˜na realizado en un extremo de las barras.

2. Probar que realmente el sistema de absorción pásivo diseñado atrapa la onda y la amortigua para que no regrese al sistema, interfiriendo con las vibraciones que se desean medir.

(38)

Todos los experimentos subsecuentes la excitación se realiza en el extremo de la barra después de la cuña. Las medidas se van tomando cada 10 cm a lo largo de la barra simple, comenzando desde el extremo opuesto a la cuña y terminando muy cerca de la excitación.

Figura 4.7: Detalles de las dimensiones f´ısicas de la barra lisa o barra simple.

4.4.1.1 Resultados barra lisa

En la Figura 4.8 se muestran algunos de las medidas experimentales a lo largo de la barra simple cuando un pulso torsional gaussiano viajando a través del sistema con tres diferentes anchos (columnas) y centrado en las frecuencias de 4 y 8 kiloHertz (filas). El primer efecto observado, como era de esperarse, es que el ancho del paquete, eje del tiempo, crece. Para seleccionar un ancho de paquete adecuado se toman en cuenta algunos factores: el pulso enviado al llegar a la estructura sufrirá reflexión y refracción, por ello la reflexión no debe interferir con la onda original reflejada en un extremo, el ancho no debe abarcar muchas frecuencias pues pueden existir fenómenos de borde cuando se analizan las bandas y los gaps, por otro lado, un pulso muy angosto no permite observar los fenómenos de atrapamiento de arco´ıris y oscilaciones de Bloch; los experimentos muestran que el ancho adecuado es de aproximadamente de 500µs.

La primer columna de la Figura 4.8, correspondiente a una frecuencia centrada de4 kHz, revela que la cuña no es muy eficiente a bajas frecuencias, ya que es posible ver la vi-bración en forma deV con menor amplitud. Este rebote no es deseable para los objetivos experimentales de estos estudios, por ello se agrega un sistema de absorción pasivo de ondas, que elimina casi en su totalidad la onda reflejada.

Por último, en algunas de las gráficas surgen l´ıneas que no están en concordancia con el resto de los datos apareciendo amplitudes o vibraciones en otras zonas de la gráfica, indicada por una flecha en la Figura 4.8. Esto se debe a que la barra no esta completamente pulida y tiene imperfecciones en su superficie, as´ı cuando el láser toma las lecturas en esa zona muestra resultados erróneos.

(39)

Figura 4.8: Las flechas rojas muestra una zona donde el l´aser tom´o lecturas con errores.

Con los datos adquiridos para esta barra, es posible calcular la velocidad de la onda torsional experimentalmente y con ello corroborar el dato introducido en los cálculos numéricos. El cálculo se realiza a partir de la Figura 4.9, donde se observa que el pulso tarda 3 ms en recorrer toda la barra y regresar al punto de origen, la velocidad corresponde a 1867.04 m/s.

De las mediciones experimentales de la Figura 4.9 es f´acil calcular la velocidad de la onda torsional como,

V elocidad= 6.6m

0.0035 s = 1867.04 m

(40)

Figura 4.9: Las l´ıneas verdes continuas muestran el pulso original enviado y el pulso que regresa al origen tiempo despu´es. El recuadro superior muestra los m´aximos de dicho pulso al ser enviado y su regreso.

4.4.2 Barra estructurada peri´

odica

La primera barra estructurada se dise˜na con una estructura peri´odica en uno de los ex-tremos, sus dimensiones se muestran en la Figura 4.10.

De acuerdo a la gráfica de la Figura 4.2, cuando el campo γ = 0, se tienen intervalos de frecuencia en donde las vibraciones atraviesan la estructura, llamadas bandas de trans-misión e intervalos de frecuencia donde las vibraciones no pueden atravesar la estructura, denominadas comúnmente como brechas. Vale la pena recordar que el cálculo numérico se lleva a cabo únicamente hasta los 22 kHz debido a que los instrumentos de medición trabajan en el rango audible.

Las tres primeras bandas de transmisión, obtenidas por el cálculo numérico para la estructura periódica, se encuentran en,

Banda      Primera 0 Hz hasta 6 kHz, Segunda 9 kHz hasta 13 kHz, Tercera 19 kHz hasta 22 kHz.

(41)

Figura 4.10: Dimensiones de la barra peri´odica.

Mientras que las tres primeras zonas prohibidas estan en,

Brechas      Primera 6 Hz hasta 9 kHz, Segunda 13 kHz hasta 19 kHz, Tercera 22 kHz hasta no definido.

Opuesto a lo que pasa en estado sólido, para una estructura mecánica periódica, se puede ver fácilmente que mientras las banda de transmisión se hacen mas pequeñas con-forme aumenta la frecuencia, las bandas prohibidas comienzan a crecer.

4.4.2.1 Resultados experimentales barra peri´odica

Los experimentos se realizaron en el intervalo de frecuencias, centrando el paquete gaus-siano desde 3 kHz a 20 kHz. Los resultados m´as significativos se muestran en las Figuras 4.11 y 4.12, en donde las filas nos muestran una banda de transmisi´on seguida de una banda prohibida. As´ı, es posible analizar la fenomenolog´ıa suscitada en las dos primeras bandas y los dos primeros gaps.

¿Qué sucede cuando la frecuencia central del pulso gaussiano corresponde a una fre-cuencia de la banda permitida?. La vibración se produce en la región uniforme y viaja con velocidad constante. Al llegar a la frontera con la estructura, parte de la vibración es transmitida y parte reflejada, tal y como sucede en fenómenos ondulatorios de propa-gación de la luz, del sonido, etc, al llegar a una interfase. La onda torsional mecánica que entra a la estructura periódica cambia su velocidad, a manera de transmitirse con un segundo material, viaja hasta llegar al fondo de la estructura y regresa hasta encontrarse de nuevo con la frontera de la región uniforme. Una vez más, hay división de la onda

(42)

Figura 4.11: En la segunda columna se muestra una representación esquemática de la barra para poder observar de mejor forma los rebotes en las fronteras entre la estructura y la zona homogénea. En (a) y (b) la estructura es capaz de permitir la transmisión del paquete, mientras que en (c) y (d) la estructura no permite el viaje del paquete el cual rebota generando bandas de transmisión prohibidas.

viajera en dos partes, transmisión y reflexión. El fenómeno se observa claramente en las 4 gráficas cuya frecuencia central eatá en las bandas de transmisión (ver Figura 4.11 en 4 y 5 kiloHertz y Figura 4.12 en 11 y 12 kiloHertz). Para un pulso centrado en 5 kHz, la vibración que rebota con el fondo de la estructura, al llegar al l´ımite de la estructura y la región uniforme muestra una reflexión muy tenue.

Las cuatro gráficas restantes de las Figuras 4.11 y 4.12, muestran la evolución temporal de pulsos gaussianos centrados en frecuencias en donde se tiene una banda prohibida o brecha. Al igual que en el caso anterior, se env´ıa la vibración torsional desde la región uniforme. El pulso viaja con la misma velocidad que la exhibida en los casos de las bandas permitidas hasta llegar al inicio de la estructura periódica. Se puede observar claramente como la vibración choca en la interfaz y rebota. Esto produce que la vibración no se transmita a la estructura periódica generando zonas de frecuencia en las cuales no es posible que el paquete viaje al fondo de la barra.

De estas mismas figuras es posible analizar, de manera cualitativa, como la amplitud de la vibración decae a medida que la frecuencia se aumenta debido a que se requiere mayor energ´ıa para producir la vibración torsional. Esto es visiblemente claro en las zonas donde no hay vibración, ya que el ruido de fondo comienza a aparecer en un tono