Pág. 1
Walter Orlando Gonzales Caicedo
NÚMEROS RACIONALES (Q)
FRACCIONES
NÚMERO FRACCIONARIO
Se denomina así a todos aquellos números racionales que no representan a números enteros, si denotamos por f al número fraccionario, tendremos:
b
a
f
donde 0b
a
; b 0, a y b ZEjemplo:
-3
2
;
7
5
;
8
3
, etc.
No son números fraccionarios expresiones como:
7
14
;
2
104
;
12
36
FRACCIÓN:
Es el número fraccionario que presenta sus dos términos positivos.
b
a
f
fracción con a y b Z+donde :
a
b
0 (a no es divisible por b), a es el numerador. b 0, b es el denominador.
CLASIFICACIÓN:
I.- Por la comparación de su valor con respecto de la unidad:
F. PROPIA: Es aquella cuyo valor es menor que la unidad; es decir el numerador es menor
que el denominador. Ejemplos:
,
etc
5
4
,
7
3
,
3
2
F. IMPROPIA: Es aquella cuyo valor es mayor a la unidad; es decir el numerador es mayor
que el denominador. Ejemplos:
,
etc
4
5
,
3
7
,
2
3
Nota: Las fracciones impropias generan los llamados números mixtos, los cuales están constituidos por una parte entera y una fracción propia.
Ejemplo:
5
1
2
2
5
11
5 1
II.- Por su denominador:
F. ORDINARIA O COMÚN: es aquella cuyo denominador es diferente de una potencia de 10.
Ejemplos:
,
etc
137
31
;
90
11
;
7
8
;
17
3
F. DECIMAL: es aquella cuyo denominador es una potencia de 10.
Ejemplo:
,
etc
1000
24
;
100
3
;
10
11
III.- Por la razón de igualdad o desigualdad entre sus denominadores:
HOMOGÉNEAS: Cuando tienen el mismo denominador.
Ejemplo:
,
etc
15
17
;
15
16
;
15
7
;
15
3
HETEROGÉNEA: Cuando tienen denominadores diferentes.
Ejemplo:
,
etc
20
17
;
18
15
;
11
7
;
9
3
IV.- Por los divisores de sus términos:
F. IRREDUCTIBLES: Son aquellas fracciones cuyos términos son primos entre sí (no se pueden simplificar)
Ejemplo:
,
etc
20
17
;
19
16
;
11
7
;
5
3
F. REDUCTIBLES: Son aquellas fracciones cuyos términos tienen factores comunes (se pueden simplificar)
Ejemplo:
,
etc
34
17
;
18
16
;
14
7
;
6
3
MCD y MCM DE NÚMEROS FRACCIONARIOS
Ejemplo:
Encontrar el MCD y MCM de:
8
3
y
3
4
;
9
5
;
4
15
Solución:
72
1
)
8
,
3
,
9
,
4
(
M CM
)
3
,
4
,
5
,
15
(
M CD
M CD
60
1 60 ) 8 , 3 , 9 , 4 ( MCD
) 3 , 4 , 5 , 15 ( MCM
MCM
PROPIEDADES Y OPERACIONES
Pág. 2
Walter Orlando Gonzales Caicedo
multiplicados y divididos por el mismo valornumérico k, donde k z - {0}.
Ejemplo:
12
8
4
x
3
4
x
2
3
2
ó3
4
5
15
5
20
15
20
Comparación: Ejemplo:
3
(
4
)
5
(
7
)
4
7
5
3
,
HOMOGENIZAR: significa hacer que las fracciones tengan el mismo denominador.
Ejemplo:
6
9
3
x
2
3
x
3
2
3
6
10
2
x
3
2
x
5
2
5
Adición:15
22
)
5
(
3
)
4
(
3
)
2
(
5
5
4
3
2
Sustracción:
15
2
)
5
(
3
)
4
(
3
)
2
(
5
5
4
3
2
Multiplicación:
15
8
5
x
3
4
x
2
5
4
x
3
2
División:6
5
12
10
4
x
3
5
x
2
4
5
x
3
2
5
4
3
2
Observaciones: *)
2
3
1
32
*)15
14
)
5
(
3
)
7
(
2
7 5 3 2
*)3
8
8 1 3 1
*)2
2
(
3
)
6
3
1
*)
15
2
5
3
2
5
3 2
x
*)3
10
3
)
5
(
2
5 1 3 2
*)6
1
)
3
(
2
1
3
2 1
*)7
3
1
)
3
(
2
3
2
1
31
*)
2
3
3
2
1
*) 4 45
x
3
7
x
2
7
5
3
2
*) 4 45
2
7
3
7
5
3
2
x
x
x
*)5
13
5
3
)
5
(
2
5
3
2
5
3
2
Observación:
Las proposiciones: De, del, de los, antepuesta a una fracción, usualmente indican una multiplicación; mientras que la proposición Por
nos indica una división.
Ejemplo: Hallar los
4
3
de los5
7
de 5 por 7 de 200
Solución:
x
200
150
7
5
x
5
7
x
4
3
RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DECIMALES Y LAS FRACCIONES
Decimales Exactos ( D. E.) o Decimal Terminante
Decimales Inexactos ( D. I. )
*) D. Exacto : Una fracción irreductible dará origen a un decimal exacto cuando el denominador sea una potencia de 2 y/o una potencia de 5.
OBS.: El número de cifras decimales de un número decimal exacto, estará dado por el mayor exponente de 2 ó 5 que tenga el denominador de la fracción
.
Ejm:
16
1
= 4
2
1
= 0,0625 genera 4 cifras decimales
40 3 =
5
2
3
3x
= 0,075 genera 3 cifras decimalesFracción generatriz
0
100
,
ab
ab
,0
1000
,
abc
abc
Ejemplos:
20
9
100
45
45
,
0
,8
1
1000
125
125
,
0
*) D. Inexacto : Una fracción irreductible originará un decimal periódico puro cuando el valor del denominador sea diferente de: un múltiplo de 2 y/o múltiplo de 5.
Ejm :
3 1
= 0,333 ... = 0,3
OBS.: El número de cifras del periodo está dado por el menor número de nueves que contiene al denominador como factor.
Si el denominador es el producto de varios factores primos, el número de cifras del periodo está dado por el MCM de los menores números de nueves que contienen a dichos factores primos.
Pág. 3
Walter Orlando Gonzales Caicedo
TABLA DE NUEVES
9 = 32 99 = 32 x 11 999 = 33 x 37 9999 = 32 x 11 x 101 99999 = 32 x 41 x 271 999999 = 33 x 7 x 11 x 13 x 37
Ej:
...
81572481
5724815724
,
0
407
233
407 = 11x37;
El menor número de nueves que contiene a 11 es el 99 (dos nueves) y
El menor número de nueves que contiene a 37 es el 999 (tres nueves), luego
El MCM (2,3) = 6 cifras periódicas que son 572481.
Fracción generatriz
1 10
a 9 a .... aaa , 0
1 2 10
ab 99 ab .... ababab , 0
1 3 10
abc 999 abc .... abcabcabc ,
0
Ejemplos:
1
10
3
9
3
....
333
,
0
1
10
27
99
27
....
272727
,
0
2
1
10
127
999
127
....
127127127
,
0
3
*) D.I.P. Mixto : Una fracción irreductible dará origen a un decimal inexacto periódico mixto cuando al descomponer el denominador en sus factores primos se encuentran potencias de 2 y/o 5 y además, algún otro factor diferente.
OBS.: La cantidad de cifras no periódicas del decimal inexacto periódico mixto está dado por la regla para el número de cifras decimales de un decimal exacto y el número de cifras de la parte periódica está dado por la regla del número de cifras de un decimal periódico puro.
Ejm :
0
,
3977272727
272
11
2
35
11
8
35
88
35
3
x
x
...
23 3 cifras no periódicas que son 397. 11 2 “nueves” genera 2 cifras periódicas que son 72.
Fracción Generatriz
900
,
0
...
,
0
abccc
ab
c
abc
ab
9900
cd
,
0
...
,
0
abcdcdcd
ab
abcd
ab
Ejemplo : 0,277777... =
2
)
3
(
2
5
18
5
90
25
90
2
27
2 1 cifra no periódica que es el 2. 32 1 “nueve” genera 1 cifra periódica que es el 7.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Luis vende 3/5 de una pieza de tela a un cliente y los 2/3 de lo que resta, a otra persona. Luego de ambas ventas, aún le sobran 10 metros. ¿Cuántos metros de tela tenía inicialmente Luis?
SO L U C I Ó N
Al inició Luis tiene x metros de tela
Se recomienda para este tipo de problema hacer un cuadro en la cual las operaciones son :
Si se vende :
x
5
3
Quedará :
x
5
)
3
5
(
Es decir :
x
5
2
Luego al venderse:
x
5
2
3
2
Quedará :
x
5
2
3
)
2
3
(
=
x
5
2
3
1
Es decir :
x
5
2
3
1
es lo que sobra al final.
Según enunciado :
x
5
2
3
1
= 10
2x = 3 (5) 10 Vende Queda1°
x
5
3
x
5
2
2°
x
5
2
3
2
x
Pág. 4
Walter Orlando Gonzales Caicedo
x = 752. Si el numerador de una fracción aumenta en 2, la fracción resultante es 1/4. Si disminuye el denominador en 6, la fracción es 1/6. ¿Cuál es la fracción inicial?
SO L U C I Ó N
Sea la fracción :
b
a
Según enunciado :
4
1
2
b
a
4a + 8 = b ....(I)
Además :
6
1
6
b
a
6a = b - 6 ....(II)
Remplazando (I) en (II):
6a = 4a + 8 – 6 2a = 2 a = 1
En (I):
b = 4 (1) + 8
b = 12Luego la fracción es :
12
1
b
a
3. Elena gasta su dinero de la manera siguiente: 1/5 en viajes, 1/3 de lo que queda en alimentos,5/8 de lo restante en ropa; quedándole un total de 215 nuevos soles que lo invierte en su familia. ¿Cuánto gasta en viajes?
SOLUCIÓN
Al inicio Elena tenía x nuevos soles. Usando cuadro tenemos :
Gasta Le queda Viajes
x
5
1
x
5
4
Alimentos
x
5
4
3
1
x
x
15
8
5
4
3
2
Ropa
x
15
8
8
5
x
x
5
1
15
8
8
3
Lo que le sobra al final es :
x
5
1
x
5
1
= 215 nuevos soles
Lo que gastó en viajes también fue:
x
5
1
Gastó 215 nuevos soles en viajes.AUTOEVALUACIÓN
01. Calcular el valor de :
) 1 (
2 1
1 ... 4 1 1 3 1 1 2 1 1
1 1 ... 4 1 1 3 1 1 2 1 1
2
n n
n n
n n E
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1/2
02. Un estudiante hace 1/3 de su trabajo en casa antes del desayuno, posteriormente realiza los ¾ del remanente de su asignación, luego decide ir a jugar fútbol, sin completar su tarea, ¿Qué parte de su trabajo le falta completar?
a) 7/12 b) ½ c) 2/3 d)1/6 e) 5/12
03. Elena gasta su dinero de la manera siguiente: 1/5 en viajes, 1/3 de lo que queda en alimentos, 5/8 de lo restante en ropa; quedándole un total de 215 nuevos soles que lo invierte en su familia. ¿Cuánto gasta en viajes?
a) 230 nuevos soles b) 233 nuevos soles c) 235 nuevos soles d) 225 nuevos soles e) 215 nuevos
04. Miguel reparte su dinero de la siguiente manera: a Raúl le da la cuarta parte de lo que tiene. A Elmer la tercera parte de lo que le da a Raúl. Y a Marco la sexta parte de lo que le da a Raúl. Si aún le queda 180 soles. Marco recibió:
a) 15 b) 30 c) 24 d) 27 e) 12
06. Si el numerador de una fracción aumenta en 2, la fracción resultante es 1/4. Si disminuye el denominador en 6, la fracción es 1/6. ¿Cuál es la fracción inicial?
Pág. 5
Walter Orlando Gonzales Caicedo
07. La fracciónb
a
dividida por su inversa da por
cociente
961
169
entonces a + b será igual a :
a) 22 b) 44 c) 32 d) 31 e) 13
08. En el salón de clases del colegio MATHICA 3/5 de los alumnos usan calculadora, 1/3 de los alumnos sólo usan anteojos, y los 2/5 usan anteojos y calculadora. ¿Qué fracción de los alumnos no usan anteojos ni calculadora?
a)
15
7
b)
15
2
c)
15
4
d)
15
1
e)
15
3
09. Al mezclarse 2 cucharadas de Pisco con 8 de miel. ¿Qué parte de la mezcla es Pisco?
a)
5
1
b)
10
3
c)
4
1
d)
2
3
e)
5
4
10. El recíproco multiplicativo de 0,4 es :
a) 0,25 b) 25 c) 2,5 d) 250 e) 400
11. Si a una fracción propia irreductible, se le aumenta una unidad, el numerador aumenta en 12 unidades. ¿Cuál podrá ser la suma de los términos de la fracción original?
a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18
12. ¿Cuál es la fracción que dividida por los 2/3 de su inversa de por cociente 24/25?
a) 4/5 b) 6/5 c) 5/4 d) 3/8 e) 1/5
13. Si a = 7/8; b = 9/11, c = 17/19 ¿En qué orden deberían ser escritas las fracciones para que aparezcan ordenadas de menor a mayor? a) b,a,c b) a,b,c c) c,a,b d) a,c,b e) c,b,a
14. Un tejido pierde al lavarla 1/20 de su longitud y 1/16avo de su ancho. Averiguar ¿Cuántos metros de esta tela deben comprar para obtener después de lavarla 136,80m2?. El ancho primitivo de la tela 6/5 de metro.
a) 130m b) 132m c) 128m d) 140m e) 125m.
15. Simplificar:
4 , 6 7 , 9 ) 71 ( 01 1 , 0 ) 1 , 3 (
3 8 , 1 5 , 3 ) 5 ( 15 , 2 M
a) 15 b) 30 c) 24 d) 27 e) 1
16. Hallar una fracción equivalente a 36/63, sabiendo que el cuadrado de la suma de sus términos es: 4 356 Dar como respuesta el término mayor.
a) 126 b) 96 c) 84
d) 42 e) 189
17. Disminuir 2/3 en los 2/ 3 de sus 2/3.
a) 2/9 b) 4/9 c) 10/27 d) 12/37 e)8/27
18. Que parte representa
4
1
5
de5
4
2
a)
15
8
b)
15
4
c)
8
7
1
d)
8
13
e)
6
7
19. Se tiene un depósito con una mezcla de 90 litros de leche y 30 de agua. Si luego se extraen 12 litros de mezcla y se remplaza por agua. ¿Cuántos litros de leche hay en la nueva mezcla?
a) 81 b) 80 c) 99
d) 78 e) 60
20. ¿De qué número, 350 representa sus
9
2
menos?
a) 360 b) 70 c) 630 d) 450 e) 360
21. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles con denominador 27 existen tal que su numerador sea un número impar?
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
22. ¿Cuál es la menor fracción irreductible mayor
qué
10
3
, tal que al sumar “n” veces el
denominador al numerador y “n” veces el numerador al denominador se obtiene 2 como resultado?
Pág. 6
Walter Orlando Gonzales Caicedo
d) 4/5 e) 7/1323. Una persona pierde y gana alternadamente
en un juego:
8
3
y
7
2
,
4
3
,
5
2
,
3
1
de lo que va
quedando:
¿Qué parte del total aún le queda?
a)
16
13
b)
16
3
c)
4
1
d)
14
3
e)
9
2
24. Calcular la fracción equivalente a 0,8 cuyo numerador esté comprendido entre 25 y 40 y su denominador entre 38 y 53.
a)
45
36
b)
35
34
c)
47
36
d)
35
32
e)
37
32
25. ¿Cuál es la fracción irreductible que dividido por su recíproco da 0,75111...?
a)
15
11
b)
7
2
c)
15
13
d)
25
17
e)
36
49
26. Un hombre tenía S/. 160; si no hubiera comprado un reloj que le costó S/. 40, tan sólo hubiera gastado los 3/5 de lo que gastó. ¿Cuánto no gastó?
a) S/.30 b) S/.40 c) S/.50 d) S/.60 e) S/.70
27. En una fiesta observa que con los 12/35 del volumen de una botella de licor llena los 3/4 de una copa. En el bar sólo hay 7 botellas y él debe repartir 35 copas llenas ¿Cuántas botellas le faltan para cumplir en su labor?
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
28. Los 3/5 de la longitud de una pieza de tela es equivalente a los 4/3 de la longitud de otra, cuyo precio por metro es la mitad de la primera, si la diferencia de sus longitudes es de 66 m y el precio total de la más larga es de S/. 2400. ¿Cuál es el precio de la otra?
a) 540 b) 560 c) 840 d) 1200 e) 1080
