UNIVERSIDAD NACIONAL AUT ´ONOMA DE M´EXICO FACULTAD DE CIENCIAS
CARRERA DE MATEM ´ATICO ECUACIONES DIFERENCIALES I
SEMESTRE: CUARTO CLAVE: 0162
HORAS A LA SEMANA/SEMESTRE TE ´ORICAS PR ´ACTICAS CR´EDITOS
5/80 0 10
CAR ´ACTER: OBLIGATORIA. MODALIDAD:CURSO.
SERIACI ´ON INDICATIVA ANTECEDENTE:Algebra Lineal I, C´´ alculo Diferencial e Integral III.
SERIACI ´ON INDICATIVA SUBSECUENTE:An´alisis Matem´atico II, C´alculo de Va-riaciones, Ecuaciones Diferenciales II, Ecuaciones Diferenciales Parciales I, Ecua-ciones Integrales, F´ısica Computacional, Geometr´ıa Diferencial I, Historia de las Matem´aticas I, Introducci´on a la F´ısica Cu´antica, Introducci´on Matem´atica a la Mec´anica Celeste, L´ogica Matem´atica I, Matem´aticas Avanzadas de la F´ısica, Mec´anica Anal´ıtica, ´Optica, Relatividad, Seminario de Ciencia y Sociedad I, Se-minario de Filosof´ıa de las Matem´aticas, Seminario de Historia y Filosof´ıa de la Ciencia I, Seminario sobre la Ense˜nanza de las Matem´aticas I, Series de Fourier y Teor´ıa de Sturm Liouville, Topolog´ıa I.
OBJETIVO(S): El prop´osito de este curso es introducir al estudiante a la teor´ıa de las ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones en los problemas de la vida real. Para alcanzar este prop´osito el programa tiene los siguientes objetivos:
1. Iniciar al alumno en la modelaci´on matem´atica de problemas a trav´es de la formulaci´on de ecuaciones diferenciales.
NUM. HORAS UNIDADES TEM ´ATICAS 4 1. Introducci´on
1.1 Repaso de nociones b´asicas y planteamiento de problemas gene-rales.
1.2 Campos vectoriales en Rn y su ecuaci´on diferencial asociada. 1.3 Definici´on de espacio fase, espacio fase extendido, soluci´on y re-trato fase de una ecuaci´on diferencial.
1.4 Ejemplos de m´etodos geom´etricos para analizar el retrato fase de una ecuaci´on diferencial: isoclinas, familias de curvas param´etricas tangentes al campo vectorial.
1.5 Planteamiento de problemas generales: Existencia y unicidad de soluciones; aproximaci´on de la soluci´on y cuantificar el error.
5 2. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. 2.1 Ecuaciones homog´eneas.
2.2 Ecuaciones no homog´eneas y m´etodo de variaci´on de par´ametros. 2.3 Teorema de Existencia y Unicidad y dependencia continua res-pecto a condiciones iniciales para este caso, ejemplos.
9 3. Ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden. 3.1 Ecuaciones separables, ecuaciones exactas y el m´etodo del factor integrante.
3.2 Ejemplos y aplicaciones.
3.3 Teorema de Existencia y Unicidad de Picard. 3.4 Ecuaci´on integral, iterados de Picard.
3.5 Convergencia de los iterados de Picard.
3.6 Lema de Gronwall, dependencia de las condiciones iniciales. 10 4. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden.
4.1 Ecuaciones diferenciales homog´eneas con coeficientes constantes. 4.2 Propiedades del conjunto de soluciones, Independencia lineal de soluciones, wronskiano.
4.3 Soluci´on general.
12 5. Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes va-riables.
5.1 M´etodo de soluci´on por series de potencia. 5.2 C´alculo del radio de convergencia.
5.3 Ecuaciones singulares y el m´etodo de Frobenius.
5.4 Ejemplos de ecuaciones de Hermite, Laguerre, Euler, Bessel, Le-gendre, Tchebycheff, Ecuaci´on Hipergeom´etrica.
6 6. Optativo: Transformada de Laplace y de Fourier
6.1 M´etodos de soluci´on de y aplicaciones para resolver ecuaciones de segundo orden.
17 7. Sistemas de ecuaciones de primer orden lineales.
7.1 Reducci´on de ecuaciones de orden na un sistema de necuaciones de primer orden, ejemplos.
7.2 Sistema de ecuaciones de primer orden homog´eneas. 7.3 Soluciones linealmente independientes.
7.4 Ecuaci´on del wronskiano y su soluci´on. 7.5 Matriz fundamental y soluci´on general.
7.6 Ecuaciones con coeficientes constantes, exponencial de una ma-triz, valores y vectores propios.
7.7 N´ucleo de la matriz y vector propio generalizado, teorema de Cayley-Hamilton.
7.8 Sistema de ecuaciones de primer orden no homog´eneas. 7.9 M´etodo de variaci´on de par´ametros, ejemplos.
7.10 Teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones homog´eneas de primer orden caso con coeficientes constantes y coe-ficientes continuos.
7.11 Aplicaciones, osciladores acoplados y modos normales de oscila-ci´on.
7.12 Tanques de salmueras. 7.13 Circuitos el´ectricos.
12 8.Introducci´on a la teor´ıa cualitativa de ecuaciones diferen-ciales.
8.1 Estabilidad de la soluci´on de equilibrio de sistemas lineales ho-mog´eneos con coeficientes constantes.
8.2 Clasificaci´on de los puntos de equilibrio en el plano y en el espacio. 8.3 Plano fase.
8.4 Linearizaci´on de los puntos de equilibrio de un sistema de ecua-ciones diferenciales no lineales.
8.5 Descripci´on cualitativa de los conjuntos l´ımite y el Teorema de Poincar´e Bendixon en el plano.
8.6 Dibujo cualitativo del plano fase, ejemplos.
5 9.Optativo: Ecuaciones en diferencias y m´etodos num´ericos. 9.1 Ecuaciones lineales en diferencias.
9.2 Aplicaciones de ecuaciones de diferencias: el m´etodo de Newton. 9.3 M´etodo de Euler.
9.4 M´etodos de Runge-Kutta.
BIBLIOGRAF´IA B ´ASICA:
1. Arnold, V.I., Ordinary Differential Equations, 3rd edition, Berlin: Springer-Verlag, 1992.
2. Blanchard, P., Devaney, R., Hall, G.,Ecuaciones Diferenciales, M´exico: International Thomson Editores, 1999.
3. Braun, M.,Differential Equations and their Applications, New York: Springer-Verlag, 1993.
SUGERENCIAS DID ´ACTICAS: Lograr la participaci´on activa de los alumnos mediante exposiciones.
SUGERENCIA PARA LA EVALUACI ´ON DE LA ASIGNATURA: Adem´as de las califi-caciones en ex´amenes y tareas se tomar´a en cuenta la participaci´on del alumno.
