FASCÍCULO:
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Una de las aplicaciones más famosas del concepto de determinante es el método para resolver sistemas de m ecuaciones con n incógnitas, aparece en 1750 en la publicación Introduction to the Analysis of Lines of Algebraic Curves, conocida como Regla de Cramer, en honor del matemático Gabriel Cramer (1704-1752).
Más tarde el príncipe de las matemáticas Carl Friedrich Gauss (1777-1855), uno de los tres más grandes matemáticos de todos los tiempos; considerado así por las contribuciones hechas en diversos campos como astronomía, álgebra, variable compleja, mecánica, etc. presenta el método para resolver sistemas de m ecuaciones con n incógnitas llamado Método de Gauss, que es la herramienta matemática para obtener la solución de sistemas presentados en este capítulo.
4.1 Ecuación lineal Definición
Una ecuación lineal es una expresión de la forma
Donde las variables , están elevadas a la primera potencia y no puede ser argumento de ninguna expresión trigonométrica, logarítmica, exponencial, en adición no puede el producto entre variables no es permitido.
A continuación se presenta un ejercicio donde se verificará el concepto de ecuación lineal.
Ejemplo 1 Determinar si las siguientes ecuaciones son lineales o no: c 2X + 4y2 = 79 e) 3x + 4y = -2 b) 9 – sen x = 0 f) x + 2 y = z c) 3x – 2y = 2 g) 3x + 2y – z + yz = 8 d) x1 – 5x2 + 3x3 = -12 h) x1 + 2x2 + 3x3 = 1 Solución a) 2X + 4y2 = 79 no e) 3x + 4y = -2 sí b) 9 – sen x = 0 no f) x + 2y = z sí c) 3x – 2y = 2 sí g) 3x + 2y – z + yz = 8 no d) x1 – 5x2 + 3x3 = -12 sí h) x1 + 2x2 + 3x3 = 1 no
Definición
Una solución de la ecuación lineal
Es
Para aplicar la definición anterior se realizará el siguiente ejemplo:
Ejemplo 2 Determinar el conjunto solución de la siguiente ecuación lineal 4x – 2y = 1
Solución:
x = t y = 2t - 12
Estas expresiones son la solución general de la ecuación en términos del parámetro t. De Por ejemplo si t = 2 1 x = 12 y = 12
El conjunto solución de la ecuación lineal es: t 2 1 -2t , t
Esta última expresión será útil para el estudio del capítulo de Espacios Vectoriales de la asignatura álgebra Lineal
4.2 Sistemas de Ecuaciones Lineales Definición
Un sistema de ecuaciones lineales es una expresión de la forma: α11x1 + β12x2 + … θ1nxn = φ1 α21x1 + β22x2 + …θ2n xn = φ2 α31x1 + β32 x2 + … θ3n xn = φ3 . . …. . . . . …. . . . . …. . . αm1x1+ βm2x2 + … θmn xn = φm
Una solución del sistema de ecuaciones lineales es α11 a1 + β12 a2 + … θ1n an = φ1 α21 a1 + β22 a2 + …θ2n an = φ2 α31 a1 + β32 a2 + … θ3n an = φ3 . . …. . . . . …. . . . . …. . . αm1 a1 + βm2x2 + … θmn an = φm
donde el conjunto (a1,a2, …,an), satisface simultáneamente a las ecuaciones.
Para obtener la solución de este tipo de ecuaciones se utilizarán transformaciones elementales, que son la base del Método de Gauss:
a. Intercambiar renglones (ecuaciones)
b. Multiplicar un renglón (ecuación) por un escalar diferente de cero c. Multiplicar un renglón (ecuación) por un escalar y sumárselo a otro
sustituyendo el resultado en este último.
Antes de continuar se presenta el concepto de matriz Definición
Una matriz es una expresión de la forma
Dicho de otra manera es un arreglo rectangular de números dispuestos en renglones y columnas.
Los renglones son los arreglos horizontales y las columnas los arreglos verticales
renglones
Una de las aplicaciones de matrices, está en los sistemas de ecuaciones lineales, ya que se pueden representar como un producto de matrices, es decir como ecuación matricial, obsérvese el siguiente ejemplo:
Ejemplo 3 Determinar el conjunto solución de los sistemas de ecuaciones lineales siguientes: a) x + y = 4 2x + 2y = 6 b) x1 – x2 = 7 x1 + x2 = 5 c) x1 – x2 = 7 2x1 – 2x2 = 14 Solución a) x + x = 4 ... 1) 2x + 2x = 6 ... (2)
Multiplicando la segunda expresión por ½.
x + y = 4 y + y = 3
Se observa que no existe solución para el sistema de ecuaciones.
Por lo tanto es un sistema de Ecuaciones lineales Incompatible.
No hay solución
Rectas paralelas
y
b) x1 – x2 = 7 ... (1)
x1 + x2 = 5 ... (2)
Se suman las ecuaciones
2x1 = 12 x1 = 6
de la segunda ecuación se tiene
6 + x2 = 5; x2 = 5 – 6 = -1
su solución es x1 = 6
x2 = -1 , única
La solución es única, el Sistema de ecuaciones lineales es compatible determinado.
c) x1 – x2 = 7
2x1 –2x2 = 14
Se multiplica la primera ecuación por 2 2x1 – 2x2 = 14
Se observa que las dos ecuaciones son equivalentes x1 = x1 x2 = x1 – 7 Su solución general es X1 = t t X2 = t – 7 Solución particular t = 7, t = 0 -) X1 = 7, X2 = 0 -) X1 = 0, X2 = -7
Tiene muchas soluciones, el Sistema de ecuaciones lineales es compatible indeterminado. Solución única rectas coincidentes y x muchas soluciones
A continuación se presenta la clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales de acuerdo con su solución
Con la finalidad de mostrar la aplicación del Método de Gauss y verificar que los sistemas de ecuaciones se pueden resolver utilizando el concepto de matriz, presentan los siguientes ejemplos.
Ejemplo 4. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss. a) x + y - z = 0 (1) 2x - y + z = 9 (2) 5x - 2y - z = -6 (3) Solución 6 9 0 1 2 5 1 1 2 1 1 1 6 z y 2 x 5 9 z y x 2 0 z y x sistema al asociada aumentada Matriz liineales s ecuaciione de Sistema
multiplicando la ecuación (1) por –2 y sumándola a la 2da. ecuación. 6 9 0 1 2 5 3 3 0 1 1 1 6 z y 2 x 5 9 z 3 y 3 x 0 0 z y x
multiplicando la ecuación (1) por –5 y sumándola a la ecuación (3)
6 9 0 4 7 0 3 3 0 1 1 1 3 ... 6 z 4 y 7 x 0 2 ... 9 z 3 y 3 x 0 1 ... 0 z y x
multiplicando la ecuación (2) por 13
6 3 0 4 7 0 1 1 0 1 1 1 3 ... 6 z 4 y 7 2 ... 3 z y 1 ... 0 z y x
multiplicando la ecuación (2) por 7 sumándola a la ecuación (3)
27 3 0 3 0 0 1 1 0 1 1 1 3 ... 7 z 3 2 ... 3 z y 1 ... 0 z y x de la ecuación (3) 3z = -27 z = 9 sustituyendo z en la ecuación (2)
y – 9 = -3 y = 6 sustituyendo z, y en la ecuación (1)
x + 6 – 9 = 0 x = 3
por lo tanto la solución del sistema es x = 3 y = 6 z = 9 b) 2x – 3y + 4z = 20 4x + 2y – 3z = 11 3x + 4y + 2z = 53 23 11 10 4 2 17 0 3 2 4 2 2 3 1 53 11 10 2 4 3 3 2 4 2 2 3 1 53 11 20 2 4 3 3 2 4 4 3 2 R1(½) R1(-3) + R3 R1(-4) + R2 7 8 29 10 1 0 0 8 11 1 0 2 2 3 1 238 29 10 4 2 17 0 8 11 1 0 2 2 3 1 23 29 10 4 2 17 0 11 8 0 2 2 3 1 8 1 R2 R2 172 R3 5 x 10 z 2 y 2 3 x 6 y 8 29 z 8 11 y 7 z 7 z c) 2x + y – 3z = 5 x + 2y + z = 11 3x – y + 2z = 4 29 17 11 1 7 0 5 3 0 1 2 1 4 5 11 2 1 3 3 1 2 1 2 1 4 11 5 2 1 3 1 2 1 3 1 2
2 1 R R 3 1 2 1 R 3 R R 2 R 3 1 R2 3 323 17 11 3 32 0 0 3 5 1 0 1 2 1 293 17 11 1 7 0 3 5 1 0 1 2 1 R 7 R2 2 x 11 z y 2 x 4 y 3 17 z 3 5 y 1 z 3 32 z 3 32 d) 4 z y x 6 z y x 14 z y x 10 8 14 0 2 0 2 2 0 1 1 1 4 6 14 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 2 1 R R R 1 R 10 x 14 z y x 1 z 8 z 2 y 2 5 y 10 y 2 e) 2x + 5y – 3z = 17 6x – 2y – 5z = -3 3x + 7y + 4z = -18 54 87 17 4 17 0 17 1 0 3 5 2 2 87 54 17 2 17 2 1 0 4 17 0 3 5 2 18 3 17 4 7 3 5 2 6 3 5 2
3 1 2 1 R 2 3 R R 3 R 2 3 2 R R R217 R3
Ejemplo 5 Sea el sistema de ecuaciones lineales
8 y 2 x 3 4 z 2 x 6 z y x
obtener el conjunto de solución del sistema.
Solución 0 10 6 0 0 0 3 1 0 1 1 1 10 10 6 3 1 0 3 1 0 1 1 1 8 4 6 0 2 3 2 0 1 1 1 1
del segundo renglón del primer renglón
z 3 10 y 10 z 3 y z 2 4 x 6 z z 3 10 x 6 z y x x = -4 + 2k y = 10 – 3k z = k
4.3 Sistemas de Ecuaciones Lineales Homogéneos
Un caso de sistemas de ecuaciones lineales homogéneos es: α11x + β12y + θ13z = 0
α21x + β22y + θ23z = 0
α31x + β32y + θ33z = 0
donde una de las características que tienen este tipo sistemas es que todos los términos independientes son iguales a cero, por lo cual son compatibles y al menos tienen la solución trivial;
x = y = z = 0
α110 + β120 + θ130 = 0
α210 + β220 + θ230 = 0
α310 + β320 + θ330 = 0
Ejemplo 6 Determinar la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales homogéneos.
a) 6x + 3y – 9z = 0 ... (1) 2x + 3y – 3z = 0 ... (2) 2x – 6y + 9z = 0 ... (3)
Solución
3 2 2 3 1 2 1 2 1 R 9 R 6 1 R 0 0 0 12 0 0 0 1 0 3 3 2 0 0 0 12 9 0 0 1 0 3 3 2 0 0 0 12 9 0 0 6 0 3 3 2 R 1 R R 3 R R R 0 0 0 9 6 2 0 6 0 3 3 2 0 0 0 9 6 2 9 3 6 3 3 2 0 0 0 9 6 2 3 3 2 9 3 6 12z = 0 z = 0 y = 0 y = 0 2x + 3y – 3z = 0 x = 0 b) x + 3y + z = 0 ... (1) x + y – z = 0 ... (2) x – 2y – 4z = 0 ... (3) 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 3 1 0 0 0 5 5 0 2 2 0 1 3 1 0 0 0 4 2 1 1 1 1 1 3 1
del segundo renglón
y + z = 0 y = -z
x + 3y + z = 0 x = 2z
solución general una solución particular
x = 2k x = 0
y = -k; k si k = 0 y = 0
z = k z = 0
Ejemplos adicionales
Ejemplo 7 Sea el sistema de ecuaciones lineales:
2x + 4y + 6z = 18 4x + 5y + 6z = 24 2x + 7y + kz = 30
a) Determinar el valor de k para que el sistema sea compatible indeterminado. b) Con el valor de k obtenido en el inciso anterior, obtener la solución del
sistema. Solución: a) 0 12 18 12 k 0 0 6 3 0 6 4 2 12 12 18 6 k 3 0 6 3 0 6 4 2 30 24 18 k 7 2 6 5 4 6 4 2
Para que el sistema sea compatible indeterminado, el tercer renglón de la matriz aumentada debe estar compuesto por ceros, de donde:
b) sustituyendo k = 12 0 4 1 0 0 0 2 1 0 1 0 1 0 4 9 0 0 0 2 1 0 3 2 1 0 12 18 0 0 0 6 3 0 6 4 2
del segundo renglón y + 2z = 4 y = 4 – 2z del primer renglón x –z = 1 x = 1 + z
x = 1 + a
y = a – 2a; a z = a
4.4 Ejemplos de aplicación
Ejemplo 8 Dada la matriz
z 0 1 0 2 1 1 y x B
Obtener los valores x, y, z que satisfacen simultáneamente las siguientes condiciones.
i) que la traza de la matriz B sea igual a seis, ii) que el cofactor del elemento b33 sea igual a dos,
Solución 5 y x 4 1 y x 2 y x 2 2 y x 2 4 z x 6 z 2 x de donde: x = -3; y = 8; z = 7
Ejemplo 9. Determinar el valor de los coeficientes a, b, c de modo que el polinomio p(x) = ax2 + bx + c; pase por los puntos (-2,3), (-1,2) y (1,6).
SOLUCIÓN:
Sustituyendo las coordenadas de los puntos en el polinomio.
6 c b a 2 c b a 3 c b 2 a 4 6 c 1 b 1 a 2 c 1 b 1 a 3 c 2 b 2 a 2 2 2 3 2 6 1 0 0 0 1 0 1 1 1 2 3 6 1 1 1 1 2 4 1 1 1 6 2 3 1 1 1 1 1 1 1 2 4
del tercer renglón c = 3 del segundo renglón b = 2
por lo tanto los valores son:
a = 1 b = 2 c = 3
Ejemplo 10 La suma del segundo y tercer dígitos de un número de tres es igual al primero. La suma del primer dígito y el segundo es igual al tercero más dos, y si el segundo y tercer dígito se intercambian, el nuevo número es igual al número original más 54. Obtener dicho número.
Solución:
El número buscado lo representamos como: x = cdu
donde u son las unidades, d son las decenas y c son las centenas. La suma del segundo y tercer dígitos es igual al primero
d + u = c
La suma del primer dígito y el segundo es igual al tercer dígito más dos c + d = u + 2
Si el segundo y el tercer dígito se intercambian, el nuevo número es igual al original más cincuenta y cuatro
100c + 10u + d = 100c + 10d + u + 54
A partir de estas condiciones se establece el siguiente sistema de ecuaciones lineales.
6 u d 2 u d c 0 u d c
