DOCUMENTO Nº 10. ECUACIONES DE 1°.

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(1)1. INSTITUCION EDUCATIVA INTEGRADO CARRASQUILLA DUSTRIAL AREA: MATEMATICAS GRADO: 8. ASIGANTURA: ALGEBRA. GRUPO: _______. JORNADA: MAÑANA. DOCENTE: RAFAEL SANABRIA TAPIAS ALUMNO: _____________________________________________________ DOCUMENTO Nº 10. ECUACIONES DE PRIMER GRADO una ecuación es una igualdad que sólo se verifica para unos valores concretos de una variable, generalmente llamada x. Por ejemplo: 3x - 2 = 2x + 1 Resolver una ecuación consiste en hallar los valores de la variable que hacen cierta la igualdad. Una ecuación de primer grado con una incógnita es cualquier ecuación que se puede expresar de la forma ax + b = 0, con a distinto de 0. Ejemplo 3x +2 =5 Las ecuaciones se clasifican atendiendo al número de incógnitas y al grado de éstas. Las ecuaciones de primer grado con una incógnita se denominan así porque: ● ●. Tienen una única incógnita. El grado de la incógnita es 1.. PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS ECUACIONES Las siguientes propiedades conocidas como regla de la suma y del producto, respectivamente, se utilizan para resolver ecuaciones. Si a los dos miembros de una ecuación de primer grado se les suma o resta el mismo número, o una expresión semejante a las que aparecen en la ecuación, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada. ● Si en los dos miembros de una ecuación de primer grado se multiplica o divide por un mismo número distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada. ●. TRANSPOSICIÓN DE TÉRMINOS La transposición de términos es una técnica que nos permite resolver ecuaciones de manera sencilla. Con esta técnica se agrupan en un miembro todos los términos con x, y en otro, los términos independientes..

(2) 2. Para resolver ecuaciones, podemos eliminar términos sumando, restando, multiplicando o dividiendo (por números distintos de cero) en los dos miembros. Para abreviar este proceso podemos hacer que un término que aparece en un miembro, aparezca de forma inversa en el otro, es decir: Si está sumando en un miembro, aparece restando en el otro, y si está restando, aparece sumando. ● Si está multiplicando en un miembro, aparece dividiendo en el otro, y si está dividiendo, aparece multiplicando. ●. TIPOS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO Al resolver ecuaciones de primer grado aplicando las reglas anteriores, vamos obteniendo ecuaciones cada vez más sencillas hasta llegar a una expresión de la forma a · x = b, siendo a y b dos números. Según los valores de a y b, podemos distinguir tres tipos de ecuaciones de primer grado: ●. Si a ≠ 0, la solución es x = b /a Decimos que la ecuación es compatible, y tiene una única solución.. ●. Si a = 0 y b ≠ 0 → 0 · x = b La ecuación no tiene solución, es una ecuación incompatible.. ●. Si a = 0 y b = 0 → 0 · x = 0 La ecuación es una identidad, tiene infinitas soluciones.. Son ecuaciones con una incógnita cuando aparece una sola letra (incógnita). Por ejemplo: 𝑥 2 + 1 = 𝑥 + 3 Se dice que son de primer grado cuando dicha letra está elevada a la uno (1). Ejemplos: 1. 3𝑥 + 1 = 𝑥 − 2 2. 1 − 3𝑥 = 2𝑥 − 9 3. 𝑥 − 3 = 5 − 2𝑥 2 3 4. 3 𝑥 = 1 − 𝑥 + 2 𝑥 Son estas últimas las ecuaciones que vamos a resolver. SOLUCIÓN NUMÉRICA.

(3) 3. El procedimiento a seguir es despejar la x haciendo transposición de términos, dejando las x de un lado y los términos independientes al otro lado. La cantidad que pase de un lado a otro cambia de signo y la cantidad que está multiplicando pasa a dividir (las cantidades que permanecen del mismo lado no cambian de signo). Así: EJERCICIO 1:2𝑥 + 4 = 29 − 3𝑥. Solución: 1. 2. 3. 4.. Hacemos transposición de términos: 2𝑥 + 3𝑥 = 29 − 4 Reducimos términos semejantes: 5𝑥 = 25 25 Despejamos la incógnita: 𝑥 = 5 Simplificamos: 𝑅/𝑥 = 5. EJERCICIO 2. Resolver: 3𝑥 − 4𝑥 = −1 − 2 Solución: 1. Reducimos términos semejantes: −𝑥 = −3 2. Multiplicamos por −1 para convertir la variable en positiva: 𝑥 = 3 3. Es finalmente la respuesta: 𝑥 = 3 ECUACIONES QUE NO TIENEN SOLUCIÓN EJERCICIO 3.- Resolver: 𝑥 − 3 = 2 + 𝑥 Solución: 1. Hacemos transposición de términos: 𝑥 − 𝑥 = 2 + 3 2. Reducimos términos semejantes: 0 = 5, ¿qué significa? Desde luego esta igualdad no es cierta independientemente del valor que tome x, y Decimos que en este caso la ecuación no tiene solución. PROBLEMAS DE APLICACIÓN Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones es la de resolver problemas de la vida cotidiana RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES Numerosos problemas se pueden resolver planteando una ecuación, de primer grado, para llegar a la solución buscada. En general, hay que seguir estos pasos o fases:.

(4) 4. 1. Comprensión del problema. Se debe leer detalladamente el enunciado del problema para identificar los datos y lo que debemos obtener, la incógnita x. 2. Planteamiento. Consiste en traducir el enunciado del problema al lenguaje matemático mediante expresiones algebraicas, para obtener una ecuación. 3. Resolución de la ecuación obtenida. 4. Comprobación y análisis de la solución. Es necesario comprobar si la solución obtenida es correcta, y, después, analizar si esa solución tiene sentido en el contexto del problema. POR EJEMPLO: EJERCICIO 1.- El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo y este 3 más que el menor. Si entre todos tiene la edad del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene cada hermano? Para resolver estos problemas debemos elegir algún valor desconocido para llamarle "x". En este caso llamemos: x = edad del hermano menor. A partir de ello expresar los datos del problema y plantear una igualdad (ecuación) con ellos: Será: 𝑥 + 3 : edad del hermano mediano 𝑥 + 3 + 4 = 𝑥 + 7 edad del hermano mayor Ecuación: suma de las edades de los hermanos = 40: (𝑥) + (𝑥 + 3) + (𝑥 + 7) = 40 Solución: 1. 2. 3. 4. 5.. Resolvemos las operaciones indicadas: 𝑥 + 𝑥 + 3 + 𝑥 + 7 = 40 Hacemos transposición de términos: 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 40 − 3 − 7 Reducimos términos semejantes: 3𝑥 = 40 − 10 = 30 30 Despejamos la incógnita: 𝑥 = 3 Simplificamos: 𝑅/𝑥 = 10. luego la solución del problema es: Edades de los tres hermanos: 10, 13 y 17 años respectivamente. EJERCICIOS FINALES 1. 5𝑥 − 4 = 2𝑥 − 1 2. 10𝑥 + 12 = 6𝑥 + 8.

(5) 5. 3. 4. 5. 6. 7. 8.. 9𝑥 − 3 + 7𝑥 = 12𝑥 + 21 + 8𝑥 2𝑥 = 6 3𝑥 − 4 = 𝑥 + 10 2𝑥 − 3 = 6 + 𝑥 2(3𝑥 − 5) = 2(𝑥 + 1) 𝑥−1 𝑥−3 = 2 6 3. 9. 4 (2𝑥 + 4) = 𝑥 + 19 10. 4(𝑚 − 10) = −6(2 − 𝑥) − 6𝑥 EJERCICIO DE APLICACIÓN Plantea y resuelve los siguientes problemas: 1. El perímetro de un jardín rectangular es de 58 m. Si el lado mayor mide 11 m. más que el lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín? (Sol: 9 y 20 m) 2. Halla un número tal que su mitad más su cuarta parte más 1, sea igual al número pedido. (Sol: 4). 3. Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el número? 4. La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30 cm? 5. En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la reunión la componen 96 personas?.

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