Conjuntos

(1)

Oscar Bedoya

oscar.bedoya@correounivalle.edu.co

http://eisc.univalle.edu.co/~oscarbed/MD/

(2)

* Definición de conjunto

* Subconjunto y subconjunto propio * Conjunto potencia

* Producto cartesiano

(3)

(1845-1918)

Teoría de Conjuntos

George Cantor

• Defendió su tesis doctoral

en 1867 sobre teoría de números

• Demostró que los números

reales son no enumerables

• Es considerado el fundador

(4)

Noción de conjunto

• Conjunto de vocales del alfabeto

A={a,e,i,o,u}

• Conjunto de enteros positivos menores que 100

B={1,2,3,4,…,99}

• Conjunto de números naturales

C={0,1,2,3,4,5,6,…}

• Conjunto de operadores aritméticos conmutativos

D={+,x}

(5)

¿Los conjuntos A y B son iguales? A={a,e,i,o,u}

B={u,o,i,e,a}

(6)

¿Los conjuntos A y B son iguales? A={a,e,i,o,u}

B={u,o,i,e,a}

Teoría de Conjuntos

(7)

¿Los conjuntos A y B son iguales? A={a,a,a,a,e,e,e,e,e,i,o,u} B={a,e,i,o,u}

(8)

¿Los conjuntos A y B son iguales? A={a,a,a,a,e,e,e,e,e,i,o,u} B={a,e,i,o,u}

Teoría de Conjuntos

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos sin

(9)

Conjunto vacio

Representa el conjunto que no tiene elementos, se puede expresar de las dos siguientes maneras:

• { }

•

(10)

Determine si los siguientes conjuntos son iguales:

• {1,3,3,3,3,3,3,5,5,5,5} y {5,3,1} • {{1}} y {1}

• {{1,1,1,1,1},1,1,1,1,1} y {1,{1}} • { } y { , { }}

• { } y {{ }, }

• {x|x es un entero positivo menor que 5} y {1,2,3,4}

(11)

Determine si los siguientes conjuntos son iguales:

• {1,3,3,3,3,3,3,5,5,5,5} y {5,3,1}, si • {{1}} y {1}, no

• {{1,1,1,1,1},1,1,1,1,1} y {1,{1}}, si • { } y { , { }}, no

• { } y {{ }, }, si

• {x|x es un entero positivo menor que 5} y {1,2,3,4}, si

(12)

Pertenencia sobre conjuntos

Dado un conjunto A, por ejemplo, A={w,x,y}, se utiliza la notación:

• x A para indicar que el elemento x pertenece al

conjunto A

• z A para el caso contrario

(13)

Sea A={1,2,3,4,5} responda falso o verdadero:

• 1 A • 2 A

• A

• {1} A • {2,3} A

(14)

Sea A={1,2,3,4,5} responda falso o verdadero:

• 1 A, verdadero • 2 A, falso

• A, falso • {1} A, falso

• {2,3} A, verdadero

(15)

Sea A={1,2,{3,4},5,{5,6}} responda falso o verdadero:

• 1 A

• {3,4} A

• A

• 5 A • {5} A

• {3,4,5} A

(16)

Sea A={1,2,{3,4},5,{5,6}} responda falso o verdadero:

• 1 A, verdadero

• {3,4} A, verdadero • A, falso

• 5 A, verdadero • {5} A, falso

• {3,4,5} A, falso

(17)

Subconjunto

El conjunto A es subconjunto de B, A B, si y solo si todo elemento de A es también un elemento de B

• {1,2} {1,2,3,4,5} • {1,2,6} {1,2,3,4,5}

(18)

Subconjunto

• Para cualquier conjunto S, se cumple que S • Para cualquier conjunto S, se cumple que S S

(19)

Sean A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5,6}, C={1,6} indique si se presentan las siguientes relaciones entre conjuntos:

• A B • A C • B A • B C • C A • C B

(20)

Sean A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5,6}, C={1,6} indique si se presentan las siguientes relaciones entre conjuntos:

• A B, si • A C, no • B A, no • B C, no • C A, no • C B, si

(21)

Sean P={1,2}, Q={1,2,3}, R={1,2,3}, indique si:

• P R • Q R

(22)

Sean P={1,2}, Q={1,2,3}, R={1,2,3}, indique si:

• P R • Q R

note que P R y Q=R

(23)

Subconjunto propio

El conjunto A es subconjunto propio de B, A B, si y solo si, A B y A B

(24)

Subconjunto propio

El conjunto A es subconjunto propio de B, A B, si y solo si, A B y A B

Teoría de Conjuntos

Sean P={1,2}, Q={1,2,3}, R={1,2,3}, se cumple:

• P R y P R

(25)

Sean A={1,2,3}, B={3,3,1}, C={3,2,1,1,1,2} indique si se presentan las siguientes relaciones entre conjuntos:

• A B • A C • B A • B C • C A • C B

(26)

Sean A={1,2,3}, B={3,3,1}, C={3,2,1,1,1,2} indique si se presentan las siguientes relaciones entre conjuntos:

• A B, no • A C, no • B A, si • B C, si • C A, no • C B, no

(27)

Determine si cada una de las siguientes expresiones es falsa o verdadera:

• x {x}

• {x,y} {x} • {x} {x} • {x} {x}

• {x} {{x}, y, z} • {x}

• {x} • {x}

(28)

• x {x}, verdadero • {x,y} {x}, falso • {x} {x}, falso • {x} {x}, falso

• {x} {{x}, y, z}, verdadero • {x}, verdadero

• {x}, falso

• {x}, verdadero

(29)

• 0

• {0} • {0}

• {0}

• {0} {0,{0,0}} • {0} {0}

• {0} {0}

(30)

• 0 , falso • {0}, falso • {0} , falso

• {0}, verdadero

• {0} {0,{0,0}}, verdadero • {0} {0}, falso

• {0} {0}, verdadero

(31)

Cardinalidad de un conjunto |S|

La cardinalidad de un conjunto S, denotado por |S|, indica la cantidad de elementos diferentes

(32)

• Para A={3,3,3,3,1,1,1,2,2,2}, |A|=? • Para A={1,2,3, {4,5}}, |A|=?

• Para A= , |A|=?

(33)

• Para A={3,3,3,3,1,1,1,2,2,2}, |A|=3 • Para A={1,2,3, {4,5}}, |A|=4

• Para A= , |A|=0

(34)

Indique la cardinalidad de los siguientes conjuntos:

• {x|x es un entero positivo impar menor que 10} • {a}

• {{a,b}} • {a, {a}}

• {a, a, {a,a}, {a,a,a}}

(35)

• {x|x es un entero positivo impar menor que 10}, 5 • {a}, 1

• {{a,b}}, 1 • {a, {a}}, 2

• {a, a, {a,a}, {a,a,a}}, 2

(36)

• {a, {a}, {a,{a}}} • {3, }

• { }

• { , , , { }}

(37)

• {a, {a}, {a,{a}}}, 3 • {3, }, 2

• { }, 1

• { , , , { }}, 1

(38)

Conjunto potencia P(S)

Dado un conjunto S, el conjunto potencia es aquel que tiene todos los subconjuntos de S

(39)

• Dado A={1,2,3}

P(A)= ?

(40)

• Dado A={1,2,3}

(41)

• En general, dado un conjunto A con n elementos, el

conjunto P(A) tiene 2n _elementos

(42)

Sea S={1,{2,3},4}, muestre P(S)

(43)

Sea S={1,{2,3},4}, muestre P(S)

(44)

Sea S= , muestre P(S)

(45)

Sea S= , muestre P(S) - P(S)={ }

(46)

Encuentre los siguientes conjuntos potencia:

• P( P( ) )

• P( {{a,c},{a,b}} ) • P( {1,2,3,4} )

(47)

Encuentre los siguientes conjuntos potencia:

• P(P( ))

P( )={ }

P(P( ))=P({ })={ , { }}

• P({{a,c},{a,b}})={ ,{a,c},{a,b},{{a,c},{a,b}}}

• P({1,2,3,4})={ ,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},

(48)

Producto cartesiano AxB

Dados dos conjuntos A y B, el producto cartesiano de A y B, denotado por AxB es el conjunto de todos los pares

ordenados (a,b) donde a A y b B AxB = {(a,b) | a A b B}

(49)

ordenados (a,b) donde a A y b B AxB = {(a,b) | a A b B} A={1,2,3}

B={a,b} AxB=?

(50)

B={a,b}

(51)

B={a,b}

AxB={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)} BxA=?

(52)

B={a,b}

AxB={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)} BxA={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}

(53)

B={a,b}

AxB={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)} BxA={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}

Teoría de Conjuntos

(54)

Producto cartesiano AxB Dados A={1,2} y B={ , , , }

AxB={(1, ),(1, ),(1, ),(1, ),(2, ),(2, ),(2, ),(2, )} BxA={( ,1),( ,1),( ,1),( ,1),( ,2),( ,2),( ,2),( ,2)}

(55)

(1596-1650)

René Descartes

• Estudió matemáticas y leyes • A los 18 años se desencantó

de estudiar y se dedicó a recorrer el mundo

• El servicio militar y cómo

decidió su futuro

• Escribió el Discurso del

Método (hipótesis del espíritu maligno*)

(56)

(1596-1650)

René Descartes

• Motivación de la duda

metódica (niñez y los sueños)

• Meditación en la guerra de

1637

• El alma como entidad libre

del mundo sólido

• La existencia de Dios

• Las profesiones de un ser

humano

(57)

Dados A={a,b}, B={x,y,z}, C={0,1} calcule:

• AxB • AxA • BxC

(58)

Dados A={a,b}, B={x,y,z}, C={0,1} calcule: AxB={(a,x),(a,y),(a,z),(b,x),(b,y),(b,z)} AxA={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}

BxC={(x,0),(x,1),(y,0),(y,1),(z,0),(z,1)}

(59)

Dados A={ }, B={x,y,z} calcule:

• AxB

(60)

Dados A={ }, B={x,y,z} calcule:

• AxB={ }

(61)

Determine si cada una de las siguientes sentencias es falsa o verdadera

• { } P({ })

• { ,{ }} P(P({ }))

• |{a,b,c}x{1,2}| < |P({a,b})|

(62)

Determine si cada una de las siguientes sentencias es falsa o verdadera

• { } P({ })

{ } { , { }}, verdadero

• { ,{ }} P(P({ }))

{ ,{ }} { , { }, {{ }}, { ,{ }}}, verdadero

• |{a,b,c}x{1,2}| < |P({a,b})|

6<4, falso

(63)

Operaciones entre conjuntos

• Unión

• Intersección • Diferencia • Complemento

(64)

• Unión. A B={x|x A x B}

• Intersección. A B={x|x A x B} • Diferencia. A-B={x|x A x B} • Complemento. A={x|x A}

(65)

• Unión. A B={x|x A x B}

• Intersección. A B={x|x A x B} • Diferencia. A-B={x|x A x B} • Complemento. A={x|x A}

Teoría de Conjuntos

U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} A={1,2,3,5,9}

(66)

Teoría de Conjuntos

Dados A={1,2,3,5,9}, B={3,7,9} y U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} indique los resultados de las siguientes operaciones:

• A B • A B • A-B • B-A • A

(67)

Teoría de Conjuntos

Dados A={1,2,3,5,9}, B={3,7,9} y U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} indique los resultados de las siguientes operaciones:

• A B={1,2,3,5,7,9} • A B={3,9}

• A-B={1,2,5} • B-A={7}

• A = {4,6,7,8}

(68)

Dados A={a,b,c,d,e}, B={a,b,c,d,e,f,g,h} y U={a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k} encuentre:

• A B

• B-A (A-B) • (A-B) - (A B) • (B A) (B-A)

(69)

Dados A={a,b,c,d,e}, B={a,b,c,d,e,f,g,h} y U={a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k} encuentre:

• A B={f,g,h,i,j,k}

• B-A (A-B)={a,b,c,d,e,i,j,k} ={a,b,c,d,e,i,j,k}

• (A-B) - (A B)={a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k}-{a,b,c,d,e,f,g,h}={i,j,k} • (B A) (B-A)={i,j,k}

(70)

Dados A={1,3,5,7,8,9}, B={2,4,5,6} y U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} encuentre:

• A-B A

• (B A) (A B) • (A B) (B-A)

(71)

Dados A={1,3,5,7,8,9}, B={2,4,5,6} y U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} encuentre:

• A-B A = {2,4,5,6,10} {2,4,6,10} = {2,4,6,10} • (B A) (A B) = {5} {10} = {5,10}

• (A B) (B-A) = {1,2,3,4,6,7,8,9,10} {2,4,6} = {2,4,6}

(72)

Dados A={a,b,c}, B={b,d}, U={a,b,c,d,e,f} encuentre y compare:

• A B , A B • A B , A B

(73)

Dados A={a,b,c}, B={b,d}, U={a,b,c,d,e,f} encuentre y compare:

• A B , A B. Ambos son {e,f}

• A B , A B. Ambos son {a,c,d,e,f}

(74)

Identidades entre conjuntos

Teoría de Conjuntos

Identidad Nombre

(A B) = A B (A B) = A B

Leyes de De Morgan

A (A B) = A A (A B) = A

Leyes de absorción

A A = ? A A = ?

(75)

Teoría de Conjuntos

(A B) = A B (A B) = A B

Leyes de De Morgan

A (A B) = A A (A B) = A

Leyes de absorción

A A = U A A =

(76)

Teoría de Conjuntos

A = ? A U = ?

Leyes de identidad A U = U

A =

Leyes de dominación A A = A

A A = A

Leyes de

idempotencia

A = A

Ley de

(77)

Teoría de Conjuntos

A = A A U = A

Leyes de identidad A U = U

A =

Leyes de dominación A A = A

A A = A

Leyes de

idempotencia

A = A

Ley de

(78)

Teoría de Conjuntos

A B =B A A B =B A

Leyes

conmutativas A (B C) = (A B) C

A (B C) = (A B) C

Leyes

asociativas A (B C) = (A B) (A C)

A (B C) = (A B) (A C)

Leyes

(79)

Cómo probar identidades Se tienen dos métodos:

• Construir una tabla de pertenencia

• Utilizar la notación de conjuntos y las equivalencias lógicas

(80)

Tabla de pertenencia

Se considera cada combinación de conjuntos en los que un

elemento puede pertenecer y se verifica que los elementos en la misma combinación de conjuntos pertenecen a ambos

conjuntos en la identidad

(81)

Probar A B = A B

Teoría de Conjuntos

A B A B A B A B A B

1 1

1 0

0 1

(82)

Probar A B = A B

Teoría de Conjuntos

A B A B A B A B A B

1 1

1 0

0 1

0 0

(83)

Probar A B = A B

Teoría de Conjuntos

A B A B A B A B A B

1 1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 0 1 1

0 1 1 0 0 1 1

(84)

Probar A B = A B

Teoría de Conjuntos

A B A B A B A B A B

1 1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 0 1 1

0 1 1 0 0 1 1

(85)

Probar A (A B) = A (A B)

(86)

Probar A (A B) = A (A B)

Teoría de Conjuntos

A B A B A B A (A B) _{A (A B)} A B A (A B)

1 1 0 0 0 1 0 1 0

1 0 0 1 0 1 0 1 0

0 1 1 0 1 1 0 0 0

(87)

Probar A (B C) = A (B C)

(88)

Teoría de Conjuntos

A B C A B C B C A (B C) A (B C) A (B C)

1 1 0 0 0 1 0 1 0

1 1 1 0 1 0 0 1 0

1 0 0 0 0 1 0 1 0

1 0 1 0 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1 1 0 1

0 1 1 1 1 0 0 1 0

0 0 0 1 0 1 1 0 1

(89)

Complete la tabla para (A – B)

Teoría de Conjuntos

A B A-B

1 1 ?

1 0 ?

0 1 ?

(90)

Teoría de Conjuntos

A B A-B

1 1 0

1 0

0 1

0 0

(91)

Teoría de Conjuntos

A B A-B

1 1 0

1 0 1

0 1 0

(92)

Probar A (B - A) =

(93)

Probar A (B - A) =

Teoría de Conjuntos

A B B-A A (B-A)

1 1 0 0

1 0 0 0

0 1 1 0

(94)

Probar A (B - A) = A B

(95)

Teoría de Conjuntos

A B B-A A (B-A) A B

1 1 0 1 1

1 0 0 1 1

0 1 1 1 1

(96)

Cómo probar identidades Se tienen dos métodos:

• Construir una tabla de pertenencia

• Utilizar la notación de conjuntos y las equivalencias lógicas

(97)

A B={x|x A x B} A B={x|x A x B} A-B={x|x A x B} A={x|x A}

(98)

Probar A B = A B A B = ?

(99)

Probar A B = A B

A B = { x | x A B }

(100)

Probar A B = A B

A B = { x | x A B }

A B = { x | ( x A B) } A B = { x | ( x A x B) }

A B = { x | ( x A) (x B) } A B = { x | (x A) (x B) } A B = { x | (x A ) (x B ) } A B = A B

(101)

Probar A (B C) = A (B C) A (B C) = ?

(102)

A (B C) = { x | x (A (B C)) } A (B C) = { x | (x (A (B C)) }

A (B C) = { x | [(x A) (x (B C))] } A (B C) = { x | (x A) (x (B C)) } A (B C) = { x | (x A) (x (B C)) }

A (B C) = { x | (x A) (x (B C) } A (B C) = A (B C)

(103)

Probar A (B - A) = A (B - A) = ?

(104)

Probar A (B - A) =

A (B - A) = { x | x (A (B – A)) }

A (B - A) = { x | (x A) [x (B – A)] } A (B - A) = { x | (x A) (x B x A) } A (B - A) = { x | (x A) (x B) (x A) } A (B - A) = { x | ((x A) (x A)) (x B) } A (B - A) = { x | (x ) (x B) }

A (B - A) = { x | (x ) } A (B - A) =

(105)

Probar A (B - A) = A B A (B - A) = ?

(106)

A (B - A) = { x | x (A (B – A)) }

A (B - A) = { x | (x A) (x (B – A)) }

A (B - A) = { x | (x A) [(x B) (x A)] }

A (B - A) = { x | [(x A) (x B)] [(x A) (x A)] } A (B - A) = { x | [(x A) (x B)] (x U) }

A (B - A) = { x | (x A) (x B)} A (B - A) = A B

(107)

Probar A (B - A) = A B A (B - A) = ?

(108)

A (B - A) = { x | x A (B – A)) } A (B - A) = { x | x A x (B – A)) } A (B - A) = { x | x A x (B – A)) }

A (B - A) = { x | x A (x B x A)) } A (B - A) = { x | x A [ (x B) x A] }

A (B - A) = { x | x A [ (x B) ( x A)] } A (B - A) = { x | x A [ (x B) x A] }

A (B - A) = { x | [x A (x B)] [x A x A] } A (B - A) = { x | [x A (x B)] }

(109)

A (B - A) = { x | [x A (x B)] } A (B - A) = { x | x A (x B) }