UNITAT 2. ÁLGEBRA
1.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
1.1.- POLINOMIOS FACTORIZACIÓN. REGLA DE RUFFINI
Un polinomio con indeterminada x es una expresión de la forma:
Los números que ‘acompañan a la incógnita’ se llaman coeficientes y son números reales. .La variable es la incógnita.
Los exponentes de x son números naturales
Cada uno de los sumandos se llama término. Los polinomios compuestos de un solo término se llaman ‘monomios’, de dos ‘binomios’, de tres ‘trinomios’..
Llamamos monomios semejantes a aquellos que tienen la misma variable y el mismo grado
Grado de un monomio es el exponente de la incógnita a que acompaña, y de un polinomio al mayor de
los grados de los monomios que lo forman.
Coeficiente principal de un polinomio es aquel que acompaña al término de mayor grado, y término
independiente es aquel que no lleva indeterminada (término de grado 0) Diremos que un polinomio es mónico si su coeficiente principal es 1
Valor numérico de un polinomio es el resultado de sustituir la variable independiente por un número.
Las raíces de un polinomio son los números para los que el valor numérico del polinomio es 0.
1.2.- OPERACIONES. REGLA DE RUFFINI
Suma/Resta: Para sumar o restar polinomios efectuamos la suma o resta de los monomios semejantes, sumando/restando sus coeficientes
Producto:
El producto de dos monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de sus coeficientes, y, por grado, la suma de los grados.
El producto de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene multiplicando cada uno de los distintos términos de uno de ellos (monomios) por el otro, realizando a continuación la suma de todos los polinomios obtenidos
Cociente: El cociente de dos monomios es otro que tiene por coeficiente el cociente de los coeficiente, y, por grado la diferencia de los grados
Procedimiento para dividir polinomios.
Regla de Ruffini
Cuando el divisor es de la forma x-a, podemos abreviar la división con el procedimiento siguiente, llamado Regla de Ruffini (En el ejemplo dividimos
(
5
x
4
3
x
3
2
x
2
7
x
3
)
:
x
1
a) Colocamos, en horizontal los coeficientes, ordenados de mayor a menor b) A la izquierda, más abajo, colocamos a con el
signo cambiado
c) Bajamos directamente el primer término del dividendo
d) Multiplicamos a por cada término del cociente, y sumamos el resultado con el término siguiente del siguiente
Teorema del resto:
El resto que obtenemos al dividir un polinomio P(x) entre el binomio x-a es el valor numérico del polinomio para x = a
Teorema del factor
El polinomio P(x) es divisible entre el binomio x-a↔x=a es una raíz de P(x)
Factorizar un polinomio es descomponerlo como producto de polinomios más sencillos. Un polinomio con
coeficientes reales puede factorizarse como producto de factores de primer y segundo grado
Procedimiento para factorizar polinomios:
a) Buscamos los divisores del término independiente
b) Probamos, con cada uno de ellos: utilizando Ruffini (o bien con por el teorema del factor).
c) una vez que hemos localizado una raíz, debemos comprobar si ése número vuelve a ser raíz (raíz múltiple). Dicha comprobación la haremos en el polinomio cociente obtenido
d) A continuación probaremos con el siguiente divisor. *Cada vez que localizamos una raíz el grado del nuevo polinomio disminuye en una unidad
1.4.- BINOMIO DE NEWTON. NÚMEROS FACTORIAL Y COMBINATORIO Número factorial y combinatorio
Se lee ‘m sobre n’ y se calcula como sigue:
Binomio de Newton
Es cualquier potencia natural de un binomio. Se calcula mediante la fórmula:
n n n nb
n
n
b
a
n
a
n
b
a
...
1
0
1Los coeficientes son los números combinatorios
La potencia del primer término, a, del binomio comienza en n y va bajando de 1 en 1 La potencia del segundo término b, va de 0 a n subiendo de 1 en 1
Si en un binomio el signo es + todos los términos son positivos, si tenemos un signo menos , se van alternando los signos + y –
Termino general del binomio de Newton
a
n ib
ii
n
1.5.- FRACCIONES ALGEBRAICAS. OPERACIONES. SIMPLIFICACIÓN Definición
Se llama fracción algebraica al cociente de dos polinomios.
Con las fracciones algebraicas se opera de forma análoga a como se hace con las fracciones numéricas. Así podemos obtener fracciones equivalentes a una dada dividiendo o multiplicando numerador y denominador por un mismo polinomio
Cuando los términos de una fracción algebraica no se pueden dividir por un mismo polinomio diremos que dicha fracción es irreducible. En caso contrario es reducible
Simplificación
El proceso por el que, a partir de una fracción reducible, se obtiene una irreducible equivalente recibe el nombre de simplificación.
Operaciones: Suma y resta Producto Cociente
2.-ECUACIONES
2.1.- ECUACIONES E IDENTIDADESLas expresiones numéricas o algebraicas (combinación de números y letras ligadas por operaciones aritméticas) separadas por el signo = reciben el nombre de igualdades.
En una igualdad entre dos expresiones algebraicas la parte situada a la izquierda del igual se llama primer
miembro, y la parte de la derecha segundo miembro.
Llamamos variables o incógnitas a las cantidades desconocidas. Las igualdades pueden ser:
- Identidades: Son ciertas para cualquier valor de la variable o variables que en ellas intervienen
- Ecuaciones: Tan sólo se cumplen para determinados valores determinados de la variable. A los valores de la variable/incógnita que verifican la igualdad los llamamos soluciones o raíces de la ecuación.
Resolver una ecuación es obtener todas sus soluciones
Existen varios criterios para clasificar las ecuaciones: - Por el número de incógnitas
- Por la naturaleza de las expresiones que las componen
*Las ecuaciones polinómicas se clasifican atendiendo al grado del polinomio que las genera.
2.2.-ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Y BICUADRADAS Ecuaciones de segundo grado
Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una expresión del tipo:
ax
2
bx
c
0
;
a
0
Una ecuación de segundo grado se dice incompleta si le falta el término independiente, el de 1r grado, o ambos.
Resolución de ecuaciones incompletas.
Resolución de una ecuación cualquiera Aplicando la fórmula:
a ac b b x 2 4 2 El radicando b24ac
se llama discriminante, y se representa por. Si >0; la ecuación tiene dos soluciones o raíces reales y distintas Si =0; la ecuación tiene una solución o raíz doble:
a b x 2
Ecuaciones bicuadradas Son de la forma: 4 2 0 0 a ; c bx ax
Se resuelven haciendo un cambio de variable t= x2 y después se ha de deshacer el cambio, buscando su
raíz cuadrada. Pueden tener hasta 4 soluciones.
Relaciones entre raíces y coeficientes (Cardano)
- La suma de las raíces es igual al coeficiente de x cambiado de signo
- El producto es igual al término independiente dividido por el coeficiente principal
2.3.- MÉTODO DE FACTORIZACIÓN
Para conocer les soluciones de una ecuación polinómica de cualquier grado habremos de factorizarla. Si conocemos una solución r de la ecuación polinómica p(x)= 0, podemos factorizarla así:
p(x)= (x-r) q(x)= 0
Las posibles raíces (o soluciones) enteras de una ecuación polinómica son divisores del término independiente, si tiene. Para encontrar q(x) utilizaremos Ruffini.
2.4.- ECUACIONES RACIONALES E IRRACIONALES
Una ecuación es racional si la x aparece en el denominador
Los denominadores algebraicos, al igual que los numéricos se suprimen multiplicando por su mcm. De este modo se llega a una ecuación que, probablemente se sabe resolver.
A veces este proceso genera soluciones falsas. Por tanto siempre que lo utilicemos, deberemos comprobar todas las soluciones
Una ecuación es irracional si la incógnita está bajo el signo radical.
El procedimiento para resolver la ecuación irracional es: a) Aislamos el radical lo dejamos en un único miembro
b) Elevamos ambos miembros al índice de la raíz. Si todavía queda algún radical repetiremos el proceso.
c) Resolvemos la ecuación obtenida (sin radicales). d) Comprobamos la solución o soluciones
2.5.- ECUACIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES
Una ecuación es logarítmica si la incógnita aparece afectada por un logaritmo. Ex: log (x+9)+log x=1
Para resolver estas ecuaciones, aplicamos las propiedades de los logaritmos hasta conseguir que cada término sea el logaritmo de una expresión. Después las igualamos.
Una ecuación es exponencial si la incógnita aparece como exponente.
Para resolverla podemos: a) Poner ambos miembros como
potencias de la misma base. Entonces igualamos exponentes.
b) Tomar logaritmos en ambos miembros. c) Cambio de variable (ver ejercicios)
3.- INECUACIONES
Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas.
Si p(x) es una expresión polinómica o racional, les inecuaciones posibles son las expresiones de la forma:
0
)
(
;
0
)
(
;
0
)
(
;
0
)
(
x
p
x
p
x
p
x
p
Solución de una inecuación es un valor de x para el cual se verifica la desigualdad.
Resolver una inecuación consiste en encontrar todas sus soluciones. (Habitualmente tienen infinitas que se agrupan en intervalos de R)
Las llamaremos lineales si las generan polinomios de primer grado, y cuadráticas si las generan polinomios de segundo grado
3.1.- INECUACIONES LINEALES, DE PRIMER GRADO
Para resolver una inecuación lineal con una incógnita de primer grado, se procede de forma similar a las ecuaciones, pero teniendo en cuenta las propiedades de las desigualdades.
c
b
c
a
c
si
c
b
c
a
c
si
b
a
c
b
c
a
b
a
:
0
:
0
)
2
)
1
Sus soluciones son todos los puntos de un intervalo infinito
3.2.- INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Procedimiento de resolución
1) Sustituimos el signo de la desigualdad por el de igualdad 2) Resolvemos la ecuación resultante
3) Los valores obtenidos los representamos en una recta
4) Probamos un punto de cada intervalo en la inecuación: Si el punto la verifica, el intervalo correspondiente es solución.
Habitualmente tienen infinitas soluciones que se agrupan en intervalos de R.
Ej:
x
2 x
6
8
0
. Igualamos y resolvemos. Las soluciones son -4 y -2. Luego estudiamos el signo..Sol:
,
4
2
,
*AMPLIACIÓN: INECUACIONES RACIONALES
Definiciones previas:
Llamamos ceros o raíces de una ecuación a los valores que la hacen cero (verifican la igualdad) Llamamos polos de una ecuación a los valores que hacen cero al denominador.
Procedimiento de resolución:
1) Substituimos el signo de la desigualdad por el de igualdad 2) Encontremos los ceros y polos de la ecuación resultante 3) Representamos los valores obtenidos en una recta
