Tensores. 1.1 Introducción. 1 Tensores

1.1 Introducción

Muchos fenómenos físicos se representan matemáticamente mediante Tensores, los cuales, por necesidad son representados en un sistema de referencia, de este modo surge el concepto de componentes del tensor. Si bien los tensores son independientes del sistema de referencia, las componentes serán dependientes y variarán con éste.

Los tensores pueden ser clasificados según su orden como:

Escalar (Tensor de orden 0): Cantidad que tiene magnitud pero no dirección (ejemplo: densidad, temperatura, presión). Los escalares pueden ser funciones del espacio y del tiempo y no necesariamente han de ser constantes.

Vector (Tensor de orden 1): Cantidad que tiene magnitud y dirección (ejemplo: velocidad, fuerza, momento, campo eléctrico). Será simbolizado por una letra en negrita con una flecha en la parte superior del tensor, i.e.: •r.

Tensor de segundo orden (Tensor de orden 2): Cantidad que tiene magnitud y dos direcciones (ejemplo: tensión, deformación). Será simbolizado por una letra en negrita. Para los tensores de órdenes superiores también usaremos letras en negrita.

Este capítulo trata del estudio detallado de los tensores (escalar, vector, tensor de segundo orden, y de orden superior), y de algunas herramientas matemáticas que darán soporte al desarrollo de las teorías que se exponen en los capítulos posteriores.

Primeramente, revisaremos algunas operaciones de vectores independientemente del sistema de coordenadas. A continuación, introduciremos el sistema de coordenadas rectangulares para expresar las componentes de un vector en dicho sistema. Una vez definido el sistema de referencia, podremos expresar las operaciones con vectores tan sólo

Tensores

en función de sus componentes. Por último, expondremos la notación indicial por su simplicidad y fácil manipulación matemática.

Posteriormente estudiaremos los tensores de orden superior, poniendo especial énfasis en los tensores de segundo orden. Para finalizar, plantearemos los campos de tensiones y los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas.

1.2 Vectores

A continuación presentamos algunas operaciones entre vectores en el espacio vectorial tridimensional Euclidiano

( )

E .

Suma

Sean los vectores ar y br pertenecientes al espacio de vectores. La suma de los mismos, ver Figura 1.1(a), será otro vector (cr) dado por:

a b b a

cr=r+r=r+r (1.1)

Figura 1.1: Suma y resta de vectores.

Resta

La resta de dos vectores (ar, br), ver Figura 1.1(b), será otro vector (dr) dado por:

b a

dr=r−r (1.2)

Para los vectores ar, br y cr, pertenecientes al espacio de vectores, se cumplen las siguientes relaciones: c b a c b a c b ar+r)+r=r+(r +r)=r+r+r ( (1.3)

Producto por un escalar λ

Sea el vector ar, el producto λar será un vector con la misma dirección de ar, mientras que su módulo y sentido dependerán del valor del escalar λ, tal y como se indica en la Figura 1.2. cr ar br cr ar br br − dr a) b)

Figura 1.2: Producto de un vector por un escalar. Producto Escalar

Sean los vectores ar y br, se define el Producto Escalar de ambos vectores como un escalar γ

de valor:

θ =

=ar

⋅

br ar br cos

γ (1.4)

siendo θ el ángulo formado por los dos vectores, y • es el módulo (o magnitud) de •., ver Figura 1.3(a). Se puede concluir también que ar

⋅

br=br

⋅

ar.

Para el caso en que ar =br obtenemos que:

a a a a a a a a a a ar

⋅

r= r r _cosθθ →=0º r

⋅

r= r r ⇒ r = r

⋅

r (1.5)

Vector Unitario (versor)

Dado un vector ar, el versor (vector unitario) asociado a esta dirección será un vector aˆ

con la misma dirección y sentido de ar, definido por:

a a

aˆ = _rr _(1.6)

donde ar es el módulo del vector ar. Si aˆ es un vector unitario, entonces debe cumplir que:

1 ˆ =

a _(1.7)

Vector Nulo

El vector nulo viene representado por:

r

0 (1.8)

Vector Proyección

El vector proyección del vector ar sobre el vector br (Figura 1.3(b)) será un vector con la dirección de br y con módulo de valor proj_brar dado por:

ar 1 > λ λ<0 1 = λ ar λ ar λ ar λ 1 0<λ< ar ar ar

ˆ =

⋅

rr r

ba a b

proj (1.9)

donde ˆb es el versor según la dirección de br, luego se cumple que:

=

⋅

r r r r r b a b a b proj _(1.10)

Figura 1.3: Producto escalar. Podemos obtener el vector proj_brar como su módulo a

b r

r

proj multiplicado por el versor según la dirección de br: escalar =

⋅

=

⋅

r r r r r r _r r r r r r 14243 b a b b a b a b b b b b proj (1.11)

Ortogonalidad de dos vectores

Dos vectores son ortogonales entre sí cuando se cumple la siguiente condición:

0 =

⋅

b

ar r (1.12)

Producto Vectorial

El producto vectorial de dos vectores ar y br da como resultado un tercer vector cr que se caracteriza por ser perpendicular a estos dos vectores (Figura 1.4), y que posee las siguientes características: ! Representación: a b b a cr=r∧r=−r ∧r (1.13)

! Dado que cr es perpendicular a ar y a br, se cumple entonces que:

0 = =

⋅

⋅

c b c

ar r r r (1.14)

! El módulo de cr es por definición:

θ = a b sin

cr r r (1.15)

siendo θ el menor ángulo formado entre los vectores ar y br, ver Figura 1.4.

θ ar br θ ar br

.

a b r r proj a) b) π ≤ θ ≤ 0

Figura 1.4: Producto vectorial.

El módulo del producto vectorial es el área (A) del paralelogramo formado por estos dos vectores, ver Figura 1.4:

b ar ∧ r

=

A (1.16)

y como consecuencia el área del triangulo formado por los puntos OCD (Figura 1.4(a)) será: b ar ∧r = 2 1 T A (1.17)

Si ar y br son colineales (linealmente dependiente, i.e. ar=αbr, donde α es un escalar), el producto vectorial entre ellos resultará el vector nulo, 0r.

Triple Producto Escalar

Dados tres vectores (ar,br,cr) se denomina el triple producto escalar a:

( )

(

)

( )

( )

c b b

(

a c

)

c

( )

b a a b a c a c b c b a r r r r r r r r r r r r r r r r r r ∧ − = ∧ − = ∧ − = = ∧ = ∧ = ∧

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

V V (1.18) El resultado de esta operación es el volumen del paralelepípedo (V) formado por estos tres vectores, tal y como se muestra en la Figura 1.5.

Luego, para vectores cualesquiera ar, br se cumple que:

( )

b a 0

ar

⋅

r∧r =r (1.19)

Dado los vectores ar, br, cr, dr, y α, β escalares, la siguiente propiedad es válida:

) ( ) ( ) ( ) (αar+βbr

⋅

cr∧dr =αar

⋅

cr∧dr +βbr

⋅

cr∧dr (1.20) NOTA: Algunos autores representan el triple producto escalar por la siguiente nomenclatura, [ar,br,cr]≡ar

⋅

( )

br∧cr , [br,cr,ar]≡br

⋅

(

cr∧ar

)

, [cr,ar,br]≡cr

⋅

( )

ar∧br , y así sucesivamente. ■ b a cr=r∧r ar br θ a b cr=r∧r − . _. ar br θ . . A A O C D a) b) cr O C D

Figura 1.5: Triple producto escalar. Triple Producto Vectorial

Dados tres vectores ar, br y cr, el triple producto vectorial resulta un vector wr dado por

( )

b c a

wr =r∧ r∧r , siendo válidas las siguientes relaciones:

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

a c b

( )

a b c a b c b a c a b c b a c c b a w r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r

⋅

⋅

⋅

⋅

− = − = ∧ ∧ = ∧ ∧ − = ∧ ∧ = (1.21)

Observemos que el vector wr es un vector contenido en el plano Π1, formado por los vectores

br y cr, según se muestra en la Figura 1.6.

Figura 1.6: Triple producto vectorial.

ar br θ ar∧br . . V cr ≡

V Triple producto escalar

1 Π 2 Π ar br cr c b rr∧ 1

Π - plano formado por br y cr

2

Π - plano formado por ar y b rr∧c

wr

Ejemplo 1.1: Probar que si ar y br son vectores se cumple que:

( ) ( )

( )

( ) ( )

2 b a b b a a b a b ar∧ r

⋅

r∧r = r

⋅

r r

⋅

r − r

⋅

r Solución:

( ) ( )

(

)

(

)

(

)

( )

( )

( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos cos 1 sin sin b a b b a a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

− = − = θ − = θ − = θ − = θ = θ = ∧ = ∧ ∧

donde hemos considerado que ar

⋅

ar= ar 2 y br

⋅

br= br 2. Transformación Lineal

Decimos que una transformación F es una transformación lineal cuando dados dos vectores ur y vr y un escalar α se cumplen que:

!

F(ur₊vr)₌F(ur)₊F(vr)

!

F(αur)=αF(ur)

Ejemplo 1.2: Verificar si para las siguientes transformaciones σ(ε)=Eε y 2

2 1 ) (ε = Eε

ψ

son transformaciones lineales.

Solución:

[

]

( ) ( ) ) (ε₁+ε₂ = ε₁+ε₂ = ε₁+ ε₂ =σ ε₁ +σε₂ σ E E E (transformación lineal) ) (ε σ ε 2 1 +ε ε 2 ε 1 ε ) (ε₂ σ ) (ε₁ σ ) ( ) ( ) (ε₁ +ε₂ =σε₁ +σ ε₂ σ

La transformación 2

2 1 ) (ε = Eε

ψ se demuestra fácilmente que no es una transformación lineal ya que:

[

]

[

]

) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 ) ( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 ε + ε ≠ ε ε + ε + ε = ε ε + ε + ε = ε + ε ε + ε = ε + ε = ε + ε ψ ψ ψ ψ ψ E E E E E E ε 2 1 +ε ε 1 ε ε2 ) (ε ψ ) (ε₁+ε₂ ψ ) (ε₂ ψ ) (ε₁ ψ ) ( ) (ε₁ +ψ ε₂ ψ

1.3 Sistema de Coordenadas

Un tensor es una interpretación matemática de un concepto físico. Sus componentes adoptan valores que dependen del sistema de coordenadas elegido para representarlo, ver Figura 1.7.

Figura 1.7: Esquema tensor-componentes.

Consideremos un tensor de orden uno (ar) como el representado en la Figura 1.8(a), la representación de este tensor en un sistema de coordenadas genérico (ξ1,ξ2,ξ3) se hace a través de sus componentes (a1,a2,a3), ver Figura 1.8(b).

Figura 1.8: Representación de un vector.

Los sistemas de coordenadas pueden ser de varios tipos: coordenadas curvilíneas, coordenadas cartesianas rectangulares, coordenadas cilíndricas y coordenadas esféricas, entre otros.

1.3.1 Sistema de Coordenadas Rectangulares

El sistema de coordenadas cartesianas rectangulares viene definido por tres vectores: iˆ, jˆ,

kˆ, los cuales constituyen una base ortonormal. Se entiende por base ortonormal, aquella que satisface las siguientes propiedades:

1. Los vectores que forman esta base son unitarios (versores):

1 ˆ ˆ ˆ _{= j = k =} i _(1.22) o lo que es igual: ar a) ar 1 ξ 2 ξ 3 ξ b) ar(a1,a2,a3 ) TENSORES

Interpretación matemática de conceptos físicos (Independiente del sistema de coordenadas)

COMPONENTES Representación del Tensor en

1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

_⋅

_i=j

_⋅

_j=k

_⋅

_k= i (1.23)

2. Los vectores de esta base son ortogonales entre sí, es decir:

0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

_⋅

_j=j

_⋅

_k=k

_⋅

_i= i (1.24)

3. El Producto vectorial entre los versores que forman esta base cumple lo siguiente:

j i k i k j k j i ˆ ˆ ; ˆ ˆ ˆ ; ˆ ˆ ˆ ˆ_{∧ = ∧ = ∧ = (1.25)}

Para conocer el sentido del vector resultante del producto vectorial utilizamos la regla de la mano derecha, tal y como se indica en la Figura 1.9.

k j i ˆ ˆ

ˆ_{∧ =} ˆ_j∧kˆ ₌ˆ_{i k}ˆ _∧iˆ₌ˆ_{j (1.26)}

Figura 1.9: Regla de la mano derecha.

1.3.2 Representación de los Vectores en el Sistema de

Coordenadas Cartesianas

En el sistema de coordenadas cartesianas, el vector ar (Figura 1.10) está representado por sus componentes (ax, ay, az) como:

k j i ˆ ˆ ˆ z y x a a a + + = ar (1.27)

Figura 1.10: Vector en el sistema cartesiano. iˆ jˆ kˆ iˆ jˆ kˆ kˆ iˆ jˆ x y z ar iˆ jˆ kˆ ax y a z a

Las operaciones básicas particularizadas a este sistema de referencia son: ! Producto Escalar de dos vectores ar y br

) ( ) ˆ ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ ( z z y y x x z y x z y x b a b a b a b b b a a a + + = + + + + =

⋅

⋅

b i j k i j k ar r (1.28) Luego, se cumple que _ar

⋅

_ar_{= + + =} 2 ₊ 2 ₊ 2 _{= a}r 2

z y x z z y y x xa a a a a a a a a

NOTA: La proyección de un vector sobre una dirección determinada obtenemos a través del producto escalar del vector y del versor que define esa dirección. Como ejemplo, si quisiéramos obtener la componente del vector ar según la dirección y

(representado por su versor jˆ) es suficiente con: ar

⋅

ˆj=(axˆi+ayˆj+azkˆ)

⋅

(ˆj)=ay.■

! módulo del vector ar

2 2 2 z y x a a a + + = ar (1.29)

! vector unitario correspondiente al vector ar

k j i ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z y x z z y x y z y x x a a a a a a a a a a a a + + + + + + + + = = a a a _rr _(1.30) ! vector nulo ˆ ˆ ˆ 0 0 0 = i+ j+ k r 0 (1.31)

! Suma de dos vectores ar y br

(

)

i

(

)

j

(

)

k k j i k j i ˆ ˆ ˆ ) ˆ ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ ( z z y y x x z y x z y x b a b a b a b b b a a a + + + + + = + + + + + = + b ar r (1.32) ! Resta de dos vectores ar y br

(

)

i

(

)

j

(

)

k k j i k j i ˆ ˆ ˆ ) ˆ ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ ( z z y y x x z y x z y x b a b a b a b b b a a a − + − + − = + + − + + = − b ar r (1.33) ! Multiplicación por un escalar λ

k j i ˆ ˆ ˆ z y x a a a +λ +λ λ = λar (1.34)

! Producto Vectorial de dos vectores ar y br

k j i k j i k j i ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x y y x x z z x y z z y y x y x z x z x z y z y z y x z y x b a b a b a b a b a b a b b a a b b a a b b a a b b b a a a − + − − − = + − = = ∧ =a b cr r r (1.35)

! Triple Producto Escalar de los vectores (ar,br,cr) en términos de sus componentes viene definido por:

( )

(

)

( )

(

y z z y

)

y

(

x z z x

)

z

(

x y y x

)

x y x y x z z x z x y z y z y x z y x z y x z y x c b c b a c b c b a c b c b a c c b b a c c b b a c c b b a c c c b b b a a a V − + − − − = + − = = ∧ = ∧ = ∧ =a

⋅

b c b

⋅

c a c

⋅

a b c b ar,r,r) r r r r r r r r r ( (1.36)

! Triple Producto Vectorial de los vectores (ar,br,cr) en función de sus componentes es:

( )

( )

( )

(

λ₁b_x −λ₂c_x

)

iˆ +

(

λ₁b_y −λ₂c_y

)

ˆj+

(

λ₁b_z −λ₂c_z

)

kˆ = − = ∧ ∧ b c a

⋅

c b a

⋅

b c ar r r r r r r r r (1.37) con λ =a r

⋅

c=axcx +aycy +azcz r 1 , y λ =a

⋅

b=axbx +ayby +azbz r r 2 .

Ejemplo 1.3: Considérense los puntos A

( )

1,3,1 , B

(

2,−1,1

)

, C

(

0,1,3

)

y D

(

1,2,4

)

. Se pide:

1) Encontrar el área del paralelogramo definido por AB→ y AC→ ;

2) Encontrar el volumen del paralelepípedo definido por: AB→ , AC→ y AD→ ; 3) Encontrar el vector proyección del vector AB→ sobre el vector BC→ .

Solución:

1) Primero se calculan los vectores AB→ y AC→ :

(

2iˆ−1ˆj+1kˆ

) (

− 1iˆ+3ˆj+1kˆ

)

=1ˆi−4ˆj+0kˆ = − = =AB→ OB→ OA→ ar

(

0ˆi+1ˆj+3kˆ

) (

−1ˆi+3ˆj+1kˆ

)

=−1ˆi−2ˆj+2kˆ = − = =AC→ OC→ OA→ br

Utilizando la definición (1.35) se obtiene el producto vectorial:

k j i k j i ˆ ) 6 ( ˆ 2 ˆ ) 8 ( 2 2 1 0 4 1 ˆ ˆ ˆ − + − − = − − − = ∧ b ar r

El área del paralelogramo será igual al módulo del vector resultante del producto vectorial: 104 ) 6 ( ) 2 ( ) 8 (₋ 2 _{+ −} 2 _{+ −} 2 ₌ = ∧ = ar br A (unidades cuadradas) 2) Calculando vector AD→ :

(

1iˆ+2ˆj+4kˆ

) (

− 1iˆ+3ˆj+1kˆ

)

=0ˆi−1ˆj+3kˆ = − = = AD→ OD→ OA→ cr Utilizando la definición (1.36):

( )

(

) (

)

cúbicas) (unidades 16 18 2 0 ˆ 6 ˆ 2 ˆ 8 ˆ 3 ˆ 1 ˆ 0 ) , , ( = − + = − − − + − = ∧ = c

⋅

a b i j k

⋅

i j k c b ar r r r r r V

3) A continuación calculamos el vector BC→ :

(

0iˆ+1ˆj+3kˆ

) (

− 2ˆi−1ˆj+1kˆ

)

=−2ˆi+2ˆj+2kˆ = − = → → → OB OC BC Utilizando la ecuación (1.11):

(

) (

)

(

) (

) (

)

(

)

(

)

(

i j k

)

k j i k j i k j i k j i k j i ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 4 4 4 0 8 2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ 0 ˆ 4 ˆ 1 ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 2 + + − + + + − − = + + − + + − + + − + − + + − = =

⋅

⋅

⋅

⋅

→ → → → → → → → BC BC BC AB BC AB BC BC 43 42 1 proj k j i ˆ 3 5 ˆ 3 5 ˆ 3 5 − − = → → AB BC proj

1.3.3 Convenio de Suma de Einstein

Definimos en la ecuación (1.27) la representación de un vector ar en el sistema de coordenadas rectangular: k j i ˆ ˆ ˆ z y x a a a + + = ar (1.38)

Podemos reescribir la ecuación anterior como: 3 3 2 2 1 1eˆ eˆ eˆ ar=a +a +a (1.39)

donde hemos considerado que: a1≡ax, a2 ≡ay, a3 ≡az, eˆ1 ≡iˆ, eˆ2 ≡jˆ, eˆ3 ≡kˆ, tal y como se indica en la Figura 1.11. De esta forma podemos expresar la ecuación (1.39) como una suma:

∑

= = + + = 3 1 3 3 2 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ i i ie e e e ar a a a a _(1.40)

o simplemente utilizando el convenio de suma o Notación de Einstein, según la cual, se utilizan índices repetidos para indicar suma, así pues la expresión (1.40) queda de la siguiente manera: ) 3 , 2 , 1 ( ˆ ˆ ˆ ˆ_{1 2 2 3 3} 1 + + = = = e e e _ie_i i ar a a a a ) 3 , 2 , 1 ( ˆ ₌ = _ie_i i a ar (1.41) NOTA: La notación de suma fue introducida por Albert Einstein en 1916, dando origen así a la notación indicial. ■

Figura 1.11: Vector en el sistema cartesiano.

1.4 Notación Indicial

Utilizando notación indicial los ejes del sistema de coordenadas son designados por la letra

x con un subíndice. Por eso xi no representa un único valor, sino i valores, es decir x1, 2

x , x3 ( si i=1,2,3) donde estos valores (x1, x2, x3) corresponden respectivamente a los ejes (x, y, z).

En un sistema de coordenadas cartesianas, un vector ar será representado por sus componentes en la base del citado sistema de la siguiente forma:

3 3 2 2 1 1eˆ eˆ eˆ ar=a +a +a (1.42)

donde ˆe1, ˆe2, ˆe3 son versores (vectores unitarios), tal y como se muestra en la Figura 1.12, y a1,a2,a3 son las componentes del vector. En notación indicial las componentes del vector serán representadas por ai. Si no se indica el rango del subíndice, se supondrá que

adopta los valores 1,2,3. Por tanto, las componentes de vector pueden representarse de la siguiente forma:           = = 3 2 1 ) ( a a a a_i i ar _(1.43) x y z ar ˆ ei≡ ˆ1 2 ˆ ˆ ej≡ kˆ e≡ˆ3 1 a a_x ≡ 2 a ay ≡ 3 a a_z ≡

Figura 1.12: Vector en el sistema cartesiano.

Componentes del Vector Unitario: Dado un vector ar, el vector unitario asociado a esta dirección será un vector aˆ dado por:

1 ˆ ˆ _{= a =} a a a _r con r (1.44) cuyas componentes serán:

) 3 , 2 , 1 , , ( ˆ 2 3 2 2 2 1 = = = + + = i j k k k i j j i i i a a a a a a a a a a a _(1.45)

Los subíndices se denominan de 2 formas:

Subíndices libres aquellos que sólo aparecen una vez en un término de la expresión. En la

ecuación anterior el subíndice libre es el subíndice (i). El número de subíndices libres indica el orden del tensor.

Subíndices mudos son los subíndices que se repiten en una expresión indicando suma. En la

ecuación anterior (1.45) son, o bien el ( j), o bien el (k).

Producto Escalar: Utilizando las definiciones (1.4) y (1.28), podemos expresar el producto escalar en notación indicial de la siguiente forma:

) 3 , 2 , 1 , ( cos 3 3 2 2 1 1 + + = = = = θ = =

⋅

j i j j i ib a b a b a b a b a γ γ ar br ar br (1.46) OBS.: Un subíndice en un término de una expresión sólo puede aparecer una o dos veces. En el caso de que aparezca tres o más veces, entonces la expresión es incorrecta. 1 x x≡ 2 x y≡ 3 x z≡ ar ˆe1 2 ˆe ˆe3 1 a 2 a 3 a

Ejemplo 1.4: Reescribir en notación indicial las siguientes expresiones: 1) a1x1x3 +a2x2x3 +a3x3x3 Solución: aixix3 (i=1,2,3) 2) x1x1+x2x2 Solución: x_ix_i (i=1,2) 3)      = + + = + + = + + z y x b z a y a x a b z a y a x a b z a y a x a 33 32 31 23 22 21 13 12 11 Solución:      = + + = + + = + + 3 3 33 2 32 1 31 2 3 23 2 22 1 21 1 3 13 2 12 1 11 b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a  →mudoíndicej      = = = 3 3 2 2 1 1 b x a b x a b x a j j j j j j libreíndice → i aijxj =bi

Como podemos apreciar, la utilización de la notación indicial supone que la expresión quede muy concisa. En muchos casos, tratar de realizar manipulaciones algebraicas sin utilizar notación indicial o tensorial es casi imposible debido a la gran cantidad de términos que pueden intervenir.

Ejemplo 1.5: Expandir la expresión: A_ijx_ix_j (i,j=1,2,3)

Solución: Los índices i, j son índices mudos (indican suma), no hay índice libre, y como

resultado tenemos un escalar. Expandimos primero el índice mudo i y a continuación el índice j, resultando así:

43 42 1 43 42 1 43 42 1 3 3 33 2 3 32 1 3 31 3 3 3 2 23 2 2 22 1 2 21 2 2 3 1 13 2 1 12 1 1 11 1 1 x x A x x A x x A x x A x x A x x A x x A x x A x x A x x A x x A x x A x x A expandiendoi _{j j j j j j} j i ij + + + + + + + +     → 

Reagrupando los términos anteriores obtenemos: 3 3 33 2 3 32 1 3 31 3 2 23 2 2 22 1 2 21 3 1 13 2 1 12 1 1 11 x x A x x A x x A x x A x x A x x A x x A x x A x x A x x A_{ij i j} + + + + + + + + = ex pan di end o j

1.4.1.1 Delta de Kronecker

El símbolo delta de Kronecker δ definimos de la manera siguiente: _ij

     ≠ = = j i si j i si ij 0 1 δ (1.47)

Observemos también que el producto escalar de la base ortonormal e ˆˆ_i

⋅

e_{j es 1 si i= j y 0}

si i≠ j. Si lo anterior lo exponemos de forma explícita, obtendremos:

ij j i =δ           =           =

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

1 0 0 0 1 0 0 0 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e (1.48)

Una propiedad muy interesante de la delta de Kronecker la demostraremos a continuación con el siguiente ejemplo, sea un vector (Vr) de componentes (V_i) se cumple:

3 3 2 2 1 1V V V V_{i j j j} ij δ δ δ δ = + + (1.49)

luego, como (j=1,2,3) es un índice libre tenemos:

j i ij i ij i ij i ij V V V V V V V j V V V V V j V V V V V j = ⇒      = + + = ⇒ = = + + = ⇒ = = + + = ⇒ = δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ 3 3 33 2 23 1 13 2 3 32 2 22 1 12 1 3 31 2 21 1 11 3 2 1 (1.50) Es decir, en la presencia del símbolo Delta de Kronecker reemplazamos el índice repetido, tal y como se indica a continuación:

j i j

i V =V

δ (1.51)

Por esta razón, la delta de Kronecker es frecuentemente llamada operador de sustitución. Otros ejemplos: 33 22 11 33 22 11 3 a a a a a a_{ji ii jj} ji jj ii ji ij jk ik ijA A + + = = = = + + = = = = δ δ δ δ δ δ δ δ δ (1.52) Más aún, se puede decir que:

ij j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x δ =           =                   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 (1.53)

Sea la base ortonormal eˆi, podemos obtener las componentes del vector ar en esta base

i pi p i p p i =a

⋅

=a =a

⋅

e e e δ ar ˆ ˆ ˆ _(1.54)

Con eso podemos representar un vector como:

i i i

ie a e e

ar a₌ ˆ ₌₍r

⋅

ˆ ₎ˆ _(1.55)

Ejemplo 1.6: Resolver las siguientes expresiones: 1) δiiδjj

Solución: δ_iiδ_jj =

(

δ₁₁ +δ₂₂ +δ₃₃

)(

δ₁₁ +δ₂₂ +δ₃₃

)

=3×3=9

2) δα1δαγδγ1

Solución: δ_α1δ_αγδ_γ1=δ_γ1δ_γ1 =δ₁₁ =1

NOTA: Observar que es incorrecto hacer la siguiente operación 1

3 ₁₁

1

1 γ ≠ γγ = ≠ =

γ δ δ δ

δ , ya que lo que se reemplaza es el índice repetido ■ 1.4.1.2 Símbolo de Permutación

El símbolo de permutación  viene definido como: ijk

{

}

{

}

     = = = ∈ − ∈ + ≡ ) ( ) ( ) ( ) 3 , 1 , 2 ( ), 1 , 2 , 3 ( ), 2 , 3 , 1 ( ) , , ( 1 ) 2 , 1 , 3 ( ), 1 , 3 , 2 ( ), 3 , 2 , 1 ( ) , , ( 1 0 si i j o j k o i k k j i si k j i si : i.e. casos de resto el para ijk  (1.56)

NOTA:  son las componentes del Pseudo-tensor Levi-Civita, que será definido mas _ijk adelante. ■

Otra forma de expresar este operador es a través de sus subíndices:

) )( )( ( 2 1 i k k j j i ijk = − − −  (1.57)

Los valores de  pueden ser fácilmente memorizados si utilizamos la Figura 1.13(a). _ijk

Figura 1.13: Símbolo de permutación.

Con la definición (1.67) y utilizando la Figura 1.13(b) podemos comprobar que las siguientes relaciones son válidas:

kji jik ikj ijk kij jki ijk        − = − = − = = = (1.58) 1 2 3 1 = ijk  1 − = ijk  a) i j k b) kij jki ijk    = = ikj ijk   =− jik kji ikj ijk     − = − = − =

Si expresamos el símbolo de permutación en función de la delta de Kronecker (operador de sustitución), obtenemos:

(

j k j k

)

j

(

i k i k

)

k

(

i j i j

)

i k j i k j i k j i k j i k j i k j i nk mj li lmn ijk 2 3 3 2 1 2 3 3 2 1 2 3 3 2 1 1 2 3 1 3 2 2 1 3 3 1 2 2 3 1 3 2 1 δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ − + − − − = − + + − − = =  (1.59) lo que es igual al resultado del siguiente determinante:

k k k j j j i i i k j i k j i k j i ijk 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ = =  (1.60)

Por lo tanto podemos expresar el producto ijkpqr como el producto de dos

determinantes que definimos a continuación:

r q p r q p r q p k k k j j j i i i pqr ijk 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ =   (1.61)

Si tenemos en cuenta que dadas dos matrices cuadradas se cumple que

) ( ) ( ) (_AB det _A det _B

det = , donde det(•)≡ • es el determinante de la matriz •, la relación (1.61) resulta ser: kr kq kp jr jq jp ir iq ip pqr ijk δ δ δ δ δ δ δ δ δ =   (1.62)

Observemos que el término δ fue obtenido a través de la operación: ip ip mp mi p i p i p iδ δ δ δ δ δ δ δ

δ1 1 + 2 2 + 3 3 = = , análogamente podemos obtener el resto de

términos.

Para el caso particular en el que r=k la relación (1.62) puede expresarse como:

3 , 2 , 1 , , , , = − = _{ip jq iq jp} i j k p q pqk ijk δ δ δ δ  (1.63)

Ejemplo 1.7: a) Probar que ijkpjk =2δip y que ijkijk =6. b) Obtener el valor numérico

de la siguiente expresión ijkδ2jδ3kδ1i.

Solución: a) Utilizando la expresión (1.63):

jp iq jq ip pqk ijk =δ δ −δ δ  y haciendo q= j, resulta: ip ip ip jp ij jj ip pjk ijk δ δ δ δ δ δ δ 2 3− = = − =  

Partiendo del resultado anterior, es trivial la siguiente comprobación:

6 2 = = ii ijk ijk δ  b) ijkδ₂jδ₃kδ₁i =₁₂₃=1

! El Producto Vectorial de dos vectores ar y br resultará un vector cr, definido en (1.35), y viene dado por:

3 3 1 2 2 1 2 2 3 1 1 3 1 1 2 3 3 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ˆ ˆ e e e e e e b a c 43 42 1 43 42 1 4 43 4 42 1 r r r c c c b a b a b a b a b a b a b b b a a a − + − + − = = ∧ = (1.64)

Podemos utilizar la definición del símbolo de permutación  , definido en (1.56), y _ijk expresar las componentes de cr como:

k j ijk i k j jk k j jk k j jk b a c b a b a b a c b a b a b a c b a b a b a c           = ⇒      = + = = + = = + = 3 1 2 321 2 1 312 3 2 3 1 213 1 3 231 2 1 2 3 132 3 2 123 1 (1.65)

Luego, el producto vectorial, entre dos vectores ar, br, podrá ser representado a través del símbolo de permutación como:

i k j ijk e b ar_∧r_{= a b} ˆ _(1.66)

Podemos relacionar el operador de permutación con la base ortonormal eˆi a través del

triple producto escalar de dicha base:

(

)

(

i j

)

k ijk mk ijm k m ijm k j i m ijm j i     = ∧ = = ∧ = ∧

⋅

⋅

⋅

e e e e e e e e e e e ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ δ (1.67)

! El Triple Producto Escalar de los vectores (ar,br,cr) viene dado por:

( )

(

)

( )

3 2 1 3 2 1 3 2 1 c c c b b b a a a = ∧ = ∧ = ∧ = λ ar

⋅

br cr br

⋅

cr ar cr

⋅

ar br (1.68) En función del símbolo de permutación lo podemos expresar como:

( )

∧ = (, , =1,2,3) =

λ

⇒ ar

⋅

br cr _ijka_ib_jc_k i j k (1.69) Demostraremos que se cumplen ar

⋅

( )

br∧cr =br

⋅

(

cr∧ar

)

=cr

⋅

( )

ar∧br partiendo de la relación (1.69), y además teniendo en cuenta las relaciones dadas en (1.58), obtenemos que:

( )

(

)

( )

( )

(

)

( )

[ , , ] ] , , [ ] , , [ ] , , [ ] , , [ ] , , [ a b c a b c c a b c a b b c a b c a b a c b a c a c b a c b c b a c b a r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r − ≡ ∧ − = − = − ≡ ∧ − = − = − ≡ ∧ − = − = ≡ ∧ = = ≡ ∧ = = = ∧ ≡

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

k j i kji k j i jik k j i ikj k j i kij k j i jki k j i ijk c b a c b a c b a c b a c b a c b a       (1.70)

Ejemplo 1.8: Escribir la siguiente relación

( ) ( )

ar∧br

⋅

cr∧dr sin emplear el producto vectorial.

Solución: Observemos que el producto vectorial

( )

ar ∧br lo podemos expresar de la siguiente

forma:

( )

ar_∧br _=ajeˆ _{j ∧bk}eˆ_{k =ijkajbk}eˆ_{i, cuyo resultado será un vector. De esta}

forma hemos utilizado la definición del símbolo de permutación (1.66). Análogamente podemos expresar el producto vectorial

( )

cr ∧dr como

( )

c∧d =nlmcldmeˆn r r , por lo tanto:

( ) ( )

m l k j ilm ijk in m l k j nlm ijk n i m l k j nlm ijk n m l nlm i k j ijk d c b a d c b a d c b a d c b a         = = = = ∧ ∧

⋅

⋅

⋅

δ e e e e d c b a ˆ ˆ ) ˆ ( ) ˆ r r r r

Teniendo en cuenta que _ijk_ilm =_jki_lmi (relación (1.58)) y aplicando la relación (1.63) ( i.e.: _jki_lmi =δ_jlδ_km −δ_jmδ_kl)=_jki_ilm), concluimos que:

(

jl km jm kl

)

j k l m l m l m m l l m m l k j ilm ijk a b c d = δ δ −δ δ a b c d =ab c d −a b c d 

Puesto que el subíndice mudo indica el producto escalar: alcl =

( )

a rr

⋅

c y

( )

br

⋅

dr = m md b , luego:

( ) ( )

ar∧br

⋅

cr∧dr =

( )

ar

⋅

cr

( ) ( )( )

br

⋅

dr − ar

⋅

dr br

⋅

cr

Ejemplo 1.9: Probar que:

( ) ( ) (

ar∧br ∧ cr∧dr =crdr

⋅

ar∧br

) (

−drcr

⋅

ar∧br

)

Solución: Expresaremos en notación indicial el segundo miembro de la expresión:

(

) (

)

[

cd

⋅

a∧b −dc

⋅

a∧b

]

p =cp

[

di

(

ijkajbk

)

]

−dp

[

ci

(

ijkajbk

)

]

r r r r r r r r

(

p i i p

)

k j ijk p i k j ijk i p k j ijk d c d c b a d c b a d c b a − ⇒ − ⇒   

Si utilizamos la propiedad de la delta de Kronecker:

(

)

(

ijk j k

)

m n

(

pm ni im np

)

np n m im ni n m pm k j ijk δ δ δ δ δ δ δ δ − ⇒ − ⇒ d c b a d c d c b a  

y si consideramos (1.63), resulta: δpmδni −δimδnp =pilmnl. Reemplazamos en la

expresión anterior y obtenemos:

(

)

(

)

(

)

(

)

[

ijk j k mnl m n

]

pil mnl pil n m k j ijk d c b a d c b a       ⇒ ⇒

Dado que las componentes de

( )

ar ∧br son ijkajbk y las componentes de

( )

c d

r r ∧

son mnlcmdn, obtenemos que:

(

)

(

)

[

ijk j k mnl m n

]

[

( ) ( )

]

p pil a b c d r r r r_{∧ ∧ ∧} = d c b a   

Ejemplo 1.10: Si ar, br, cr y vr son vectores y que se cumple que:

c b a

vr=αr+βr+γ r

Probar que los escalares α, β, γ son dados por:

r q p pqr k j i ijk r q p pqr k j i ijk r q p pqr k j i ijk c b a v b a c b a c v a c b a c b v       = = = β γ α ; ; Solución:

Las componentes del vector vr vienen dadas por:

3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 c b a v c b a v c b a v γ β α γ β α γ β α + + = + + = + + =

Podemos expresar α como:

r q p pqr k j i ijk c b a c b v c b a c b a c b a c b v c b v c b v   = = 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 α

Análogamente se puede obtener los parámetros β, γ. Ejemplo 1.11: Probar la relación (1.37):

( )

b c

( )

a c b

( )

a b c ar∧ r∧r = r

⋅

r r− r

⋅

r r

Solución: Representando el producto vectorial

( )

b r∧ ci =ijkbjck

r , luego:

( )

[

]

(

)

( )

a c

( )

a b c b a r r r r r r r

⋅

⋅

− = − = − = − = = = ∧ ∧ = r r r j j k r k k j s sj rk k j s sk rj k j s sj rk sk rj k j s jki rsi k j s ijk rsi k j ijk s rsi r c b c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a δ δ δ δ δ δ δ δ ) (       luego

( )

[

a b c

]

r

[

b

( )

a c c

( )

a b

]

r r r r r r r r r r_{∧ ∧ =}

_⋅

₋

_⋅

1.5 Tensores de Orden Superior

1.5.1 Diádicas

El producto diádico de dos vectores (producto tensorial) resultará ser un tensor de segundo orden. Si consideramos los vectores vr y ur, el producto diádico vendrá representado por:

A v u v

urr≡r⊗r= (1.71)

donde el operador ⊗ denota el producto tensorial. El producto diádico obedece a las siguientes leyes:

1. (ur⊗vr)

⋅

xr =ur(vr

⋅

xr)≡ur⊗(vr

⋅

xr) (1.72) 2. ur⊗(αvr+βwr)=αur⊗vr+βur⊗wr (1.73) 3.

[

( )

] [

( )

]

) ( ) ( ) ( x r w x u v x r w x u v x r w u v r r r r r r r r r r r r r r r r r

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⊗ + ⊗ = ⊗ + ⊗ = ⊗ + ⊗ β α β α β α (1.74) donde α y β son escalares. Por definición, la diádica no posee la propiedad conmutativa, es decir, ur⊗vr≠vr ⊗ur.

La expresión (1.71) también la podemos expresar en el sistema cartesiano como:

) ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( j i ij j i j i j j i i e e e e e e v u A ⊗ = ⊗ = ⊗ = ⊗ = A v u v u r r ) 3 , 2 , 1 , (i j= (1.75) { _{{ 14243} base j i s componente ij Tensor e e A ˆ ˆ = A ⊗ _{(i,j=1,2,3) (1.76)}

Las componentes de un tensor de segundo orden serán representadas de diferentes formas en el desarrollo de este libro:

ij j i ij ij s componente A v u = = ⊗ = ⊗ = ↓ ↓ ) ( ) (A u v v u A r r 43 42 1 r r (1.77)

Dichas componentes pueden estar explícitamente expresadas de forma matricial:

          = = = 33 32 31 23 22 21 13 12 11 ) ( A A A A A A A A A A_{ij A} ij A _(1.78)

A continuación exponemos la representación de tensores de diferentes órdenes, dos, tres y cuatro, en el sistema cartesiano:

l k j i ijkl k j i ijk j i ij e e e e e e e T e e U ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ⊗ ⊗ ⊗ = ⊗ ⊗ = ⊗ = I I T U ) 3 , 2 , 1 , , , (i j k l= (1.79)

Ejemplo 1.12: ¿ Cuál es el orden de los tensores representados por sus componentes: vi, ijk

Φ , Fijj, εij, Cijkl, σij? Determinar cuantas componentes independientes tiene el tensor

C.

Solución: El orden del tensor viene dado por el número de subíndices libres, luego:

Tensores de orden uno: vr, Fr

Tensores de segundo orden: ε, σ

Tensor de tercer orden: Φ

Tensor de cuarto orden: C

El número de componentes de un tensor viene dado por el máximo valor del rango del subíndice, 3 si (i=1,2,3), elevado al número de subíndices libres. Es decir, para el tensor de cuarto orden, el número de índices libres es 4, luego:

( ) (

3 3

) (

3

) (

3

)

81 34 _{= i= × j= × k= × l= =}

El tensor de cuarto orden Cijkl tiene 81 componentes independientes.

1.5.2 Operaciones con Tensores

Dados dos tensores de segundo orden A y B, a continuación definimos algunas operaciones entre ellos:

! Suma

La suma de dos tensores del mismo orden resulta ser un tercer tensor de igual orden:

A B B A

C= + = + (1.80)

Las componentes del tensor resultante (C) viene representadas por:

ij ij ij ij ij B A C = + + =( ) ) (C A B (1.81) que de forma matricial expresamos como:

B A

C= + (1.82)

! Multiplicación de un tensor por un escalar

La multiplicación de un tensor de segundo orden (A) por un escalar (λ) viene definido por un tensor D, tal que:

OBS.: El orden de un tensor viene dado por el número de subíndices libres en sus componentes.

OBS.: El número de componentes de un tensor viene dado por el máximo valor del rango del subíndice, elevado al número de subíndices libres.

ij ij s componente en _{(D) (A)} A D=λ → =λ (1.83) en forma matricial:           λ λ λ λ λ λ λ λ λ = λ →            = 33 32 31 23 22 21 13 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A (1.84) También se cumple: ) ( ) (λA

⋅

vr=λ A

⋅

vr (1.85)

para cualquier vector vr. ! Producto Escalar

El producto escalar de un tensor de segundo orden A por un vector xr (tensor de orden uno) resulta ser otro vector yr (tensor de orden uno):

j j j j k jk j kl l jk l l k j jk e e e e e e x A y ˆ ˆ ˆ ) ˆ ( ) ˆ ˆ ( y x A x A x A y = = = ⊗ = =

⋅

⋅

3 2 1 r r δ (1.86)

El producto escalar de dos tensores de segundo orden A y B es otro tensor de segundo orden, verificándose que A

⋅

B≠B

⋅

A:

l i il l i kl ik l i jk kl ij l k kl j i ij e e e e e e e e e e B A C ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ) ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ( ⊗ = ⊗ = ⊗ = ⊗ ⊗ = =

⋅

⋅

C B A B A B A 3 2 1 AB δ l i il l i kl ik l i jk kl ij l k kl j i ij e e e e e e e e e e A B D ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ) ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ( ⊗ = ⊗ = ⊗ = ⊗ ⊗ = =

⋅

⋅

D A B A B A B 3 2 1 BA δ (1.87)

También se cumplen las siguientes propiedades:

C B A C B A C A B A C B A

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

= + = + ) ( ) ( ) ( (1.88) ! Potencia de Tensores

El producto escalar (contracción simple) nos permite definir la potencia de tensores de segundo orden, luego:

A A A A A 1 A0 = _; 1 = _; 2 =

⋅

_(1.89)

donde 1 es el tensor identidad de segundo orden. ! Doble Producto Escalar

δkl

jk

Consideremos dos diádicas, A=cr ⊗dr y B=ur ⊗vr, el doble producto escalar (doble contracción) podrá ser definido de distintas formas A :B y A

⋅⋅

B tal como se indica a continuación.

Doble contracción (:):

( )

c d

(

u v

)

( )

c u

( )

d v B

A: = r⊗r : r⊗r = r

⋅

r r

⋅

r (1.90)

Según la definición del doble producto escalar, podemos demostrar que es conmutativo:

(

u v

)

( )

c d

( )

u c

( )

v d

( )

c u

( )

d v A B A B: ₌ r_⊗r : r_⊗r ₌ r

⋅

r r

⋅

r ₌ r

⋅

r r

⋅

r ₌ : (1.91) En componentes: ) ( ) ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ( escalar ij ij jl ik kl ij l k kl j i ij λ = = = ⊗ ⊗ = B A B A B A δ δ e e e e B A: : (1.92)

El doble producto escalar de un tensor de tercer orden (S) y uno de segundo (B), resulta:

(

)

(

)

( )

( )

(

u v

)

(

c d a

)

( )

u c

( )

v d a S B c u d v a v u a d c B S r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r

⋅

⋅

⋅

⋅

= ⊗ ⊗ ⊗ = = ⊗ ⊗ ⊗ = : : : : (1.93) En notación simbólica la doble contracción de un tensor de tercer orden y un de segundo queda: i jk ijk i kq jp pq ijk q p pq k j i ijkeˆ eˆ eˆ B eˆ eˆ S B eˆ S B eˆ S ⊗ ⊗ : ⊗ = δ δ = _(1.94) Doble contracción (

⋅⋅

) :

( )

cr⊗ dr

⋅⋅

(

ur⊗vr

)

=

( )

cr

⋅

vr

( )

dr

⋅

ur (1.95) ) ( ) ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ( escalar ji ij il jk kl ij l k kl j i ij γ δ δ = = = ⊗ ⊗ =

⋅⋅

⋅⋅

B A B A B A e e e e B A (1.96)

Observemos que A:B≠A

⋅⋅

B_{, excepto cuando al menos uno de los dos tensores es}

simétrico, en cuyo caso ambos productos serán iguales.

A través del doble producto escalar, podemos obtener las componentes del tensor de segundo orden A, según el sistema cartesiano, como:

δik

δjl

δil

ij lj ki kl j l k kl i j i l k kl ij A A A A = = ⊗ = ⊗ ⊗ =

⋅

⋅

δ δ e e e e e e e e A) ( ˆ ˆ ) (ˆ ˆ ) ˆ ( ˆ ˆ ) ˆ ( : (1.97)

A continuación expresamos algunas propiedades del doble producto escalar:

(

)

(

A B

) ( )

A B A

( )

B C A B A C B A A B B A λ = λ = λ + = + = : : : : : : : : ) ) ) c b a (1.98) donde A ,B ,C son tensores de segundo orden y λ escalar.

La doble contracción de un tensor de cuarto orden C con uno de segundo orden ε queda

definido por: j i kl ijkl j i lq kp pq ijkl q p pq l k j i ijkleˆ ⊗eˆ ⊗eˆ ⊗eˆ ε eˆ ⊗eˆ =C ε eˆ ⊗eˆ =C ε eˆ ⊗eˆ C : δ δ (1.99)

Resultando ser un tensor de segundo orden. Definimos también la doble contracción entre un tensor de tercer orden (T) y uno de segundo orden (ε) como:

i jk ijk i kq jp pq ijk q p pq k j i ijk T T T eˆ _⊗eˆ _⊗eˆ :_ε eˆ _⊗eˆ _{= ε δ δ} eˆ _{= ε} eˆ _(1.100)

Consideremos dos vectores cualesquiera ar, br y A un tensor de segundo orden, demostramos que: ) ( ) ( ˆ ˆ ˆ ˆ b a A e e e e b A a r r r r ⊗ = = = = ⊗ =

⋅

⋅

⋅

⋅

: j i ij j ij i jr pi r ij p r r j i ij p p b a A b A a b A a b A a δ δ (1.101) ! Producto Vectorial

El producto vectorial de un tensor de segundo orden A por un vector xr (tensor de orden uno) resulta ser un tensor de segundo orden dado por:

l i k ij ljk k k j i ij e e e e e x A ˆ ˆ ) ˆ ( ) ˆ ˆ ( ⊗ = ∧ ⊗ = ∧ x A x A  r (1.102) donde empleamos la definición (1.67), es decir, eˆ _{j ∧}eˆ_{k =ljk}eˆ_{l. Hemos demostrado en el} Ejemplo 1.11 la siguiente relación ar∧

( )

br∧cr =

( )

ar

⋅

cr br−

( )

ar

⋅

br cr, que también podemos representar a través de diádicas como:

( )

[

]

(

)

[

]

j k k j k j j k k j k k j a b c c b c b a r r r r r r r r

⋅

⊗ − ⊗ = − = − = ∧ ∧ (a c )b (a b )c (b c c b )a (1.103) En el caso particular cuando a rr =c podemos decir que:

( )

[

]

[

]

[

]

[

]

{

}

j p j p jp k k p j kp k jp k k j kp p k jp p k k j k k j k k j b a a 1 a a a b a r r r r r r r r

⋅

⋅

− ⊗ = − = − = − = − = ∧ ∧ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( b a a a a b a a a a a b a b a a a b a b a a δ δ δ δ δ (1.104)

Con lo cual podemos decir que las siguientes relaciones son válidas:

( )

( )

( ) (

)

( )

b a

[

a a1 a a

]

b a a b c c b c b a b c a c b a r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⊗ − = ∧ ∧ ⊗ − ⊗ = − = ∧ ∧ ) ( (1.105)

1.5.2.1 Representación de las Componentes de un Tensor de Segundo Orden

Dado un tensor de segundo orden T representado en la base cartesiana como:

3 3 33 2 3 32 1 3 31 3 2 23 2 2 22 1 2 21 3 1 13 2 1 12 1 1 11 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e T ⊗ + ⊗ + ⊗ + + ⊗ + ⊗ + ⊗ + + ⊗ + ⊗ + ⊗ = ⊗ = T T T T T T T T T T_{ij i j} (1.106)

Su proyección sobre la base eˆk resulta:

3 3 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ e e e e e e e e e T k k k i ik jk i ij k j i ij k T T T T T T + + = = = ⊗ =

⋅

⋅

δ (1.107)

Observemos que resultan tres vectores:

      = + + = = = + + = = = + + = = ⇒ =

⋅

) ˆ ( 3 33 2 23 1 13 3 ) ˆ ( 3 32 2 22 1 12 2 ) ˆ ( 3 31 2 21 1 11 1 3 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 3 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ e e e t e e e e t e e e e t e e e e e e T r r r T T T T T T T T T T T T T i i i i i i i ik k k k k (1.108)

Denotaremos de vector tensor el vector resultante de la proyección de un tensor de segundo orden sobre una dirección. La representación de tres vectores tensores tr(eˆ1), tr(eˆ2), tr(eˆ3), en la base cartesiana, se muestra en la Figura 1.14.

Observemos también que tr(eˆ1) es el vector tensor según la dirección 1

ˆe que representamos por el versor ˆ(1) ₌

[ ]

1,0,0

i n luego: ) ˆ ( 31 21 11 33 32 31 23 22 21 31 12 11 1 0 0 1 ) ˆ (T n _i t_ie T T T T T T T T T T T T =           =                     =

⋅

(1.109)

Figura 1.14: Vectores tensores en la base cartesiana.

El mismo resultado podemos obtener simplemente haciendo el producto escalar de T

dado por (1.106) por la base ˆe1, es decir:

[

]

3 31 2 21 1 11 1 3 3 33 2 3 32 1 3 31 3 2 23 2 2 22 1 2 21 3 1 13 2 1 12 1 1 11 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e T T T T T T T T T T T T T + + = ⊗ + ⊗ + ⊗ + + ⊗ + ⊗ + ⊗ + + ⊗ + ⊗ + ⊗ =

⋅

⋅

(1.110)

Luego, podemos representar las componentes de un tensor de segundo orden en la base cartesiana tal y como se indica en la Figura 1.15.

Figura 1.15: Representación de las componentes de un tensor de segundo en la base cartesiana. 1 x 2 x 3 x ) ˆ (e2 t r ) ˆ (e3 tr ) ˆ (e1 t r 2 ˆe 3 ˆe 1 ˆe 1 x 2 x 3 x 1 11ˆe T 2 21ˆe T 3 31ˆe T 1 12ˆe T 3 32ˆe T 2 22ˆe T 3 33ˆe T 1 13ˆe T T₂₃ˆe₂ ) ˆ (e1 tr ) ˆ (e2 t r ) ˆ (e3 tr