Tema 2 Matrices Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato 1

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TEMA 2 – MATRICES

OPERACIONES CON MATRICES

EJERCICIO 1 : Dada la matriz

               1 4 4 1 1 2 2 4 5

A , comprueba que A2 = 2A – I, siendo I la matriz identidad. Usando la

fórmula anterior, calcula A4.

Solución: Comprobamos que A2 = 2A - I: Son iguales.

3 8 8 2 3 4 4 8 9 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 8 8 2 2 4 4 8 10 I A 2 3 8 8 2 3 4 4 8 9 1 4 4 1 1 2 2 4 5 1 4 4 1 1 2 2 4 5 A2                                                                                                  

Utilizando que A2 = 2A  - I, calculamos A4:

A4 = (A2)2 = (2A - I)2 = 4A2 - 4AI + I2 = 4(2A - I) - 4A + I = 8A - 4I +  4A - I = 4A - 3I

Por tanto:                                                        3 0 0 0 3 0 0 0 3 4 16 16 4 4 8 8 16 20 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 1 4 4 1 1 2 2 4 5 4 I 3 A 4 A4                7 16 16 4 7 8 8 16 17 EJERCICIO 2 : 4 3 2 1 A matriz la Si _      

 Satisface la igualdad A2 + xA + yI = 0, halla los valores numéricos de x e y (I representa la matriz identidad de orden 2.

Solución: : Calculamos 2 A _                        10 15 10 5 4 3 2 1 4 3 2 1 A2 Así: _                                                0 0 0 0 y x 4 10 x 3 15 x 2 10 y x 5 1 0 0 1 y 4 3 2 1 x 10 15 10 5 yI xA A2 Luego, ha de ser:

 

10 20 10 x 4 10 y 5 x 5 x 10 5 5 x 5 y 0 y x 4 10 0 x 3 15 0 x 2 10 0 y x 5                                         Por tanto: x = 5; y = 10

EJERCICIO 3 : Si I es la matriz identidad de orden 2 y A = _      2 1 3 2

, halla el valor que deben tener “x” para que A2 - xA + yI = 0 Solución: : 0 a igualamos e Calculamos A2xAyI                          5 6 9 2 1 2 3 2 1 2 3 2 A2                                                   0 0 0 0 y x 5 x 2 6 x 3 9 y x 2 2 1 0 0 1 y 1 2 3 2 x 5 6 9 2 yI xA A2

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Así, tenemos que ha de ser: 8 3 5 x 5 y 3 x 3 x 8 6 2 x 2 2 y 0 y x 5 0 x 2 6 0 x 3 9 0 y x 2 2                                           Por tanto: x = 3, y = 8

EJERCICIO 4 : Dada la matriz: _       1 0 1 0 1 0 A . A de traspuesta matriz la denota A donde , AA y A A Calcula a) t t t X X AA : que tales , y x X forma la de matrices las Encuentra b) _ t        Y AY A : que tales , c b a Y forma la de matrices las todas Encuentra c) t             Solución:

a) La matriz transpuesta de A es:

: Por tanto . 1 0 0 1 1 0 At                                        1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 A At                         2 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 AAt

b) Imponemos la condición dada:

                                           0 y y y 2 x x y x y 2 x y x y x 2 0 0 1 X X AAt . x donde , 0 x X : Por tanto _ R                                                                    0 a c c a b b 0 c a c a c b a c a b c a c b a 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Y AY A c) t , donde b . 0 b 0 Y : Por tanto R           

PROBLEMAS CON MATRICES

EJERCICIO 5 : Los consumos anuales de agua mineral, pan y leche de tres familias vienen expresados en la matriz A. La evolución de los precios de los años 1997 a 2000 viene reflejada en la matriz B.

a) Hallar, si es posible, A · B y B · A e indicar que información proporciona el producto matricial. producto? matriz la de elemento el da nos n informació ¿Qué b) c₃₄                       80 75 72 70 35 30 30 28 95 90 90 85 600 500 200 620 810 500 650 800 450 LECHE AGUA PAN 2000 1999 1998 1997 LECHE AGUA PAN 3 2 1 B F F F A Solución:

a) La matriz A es 3  3 y la B es 3  4. Para poder efectuar el producto de dos matrices, el número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda.

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                        80 75 72 70 35 30 30 28 95 90 90 85 600 500 200 620 810 500 650 800 450 F F F B A LECHE AGUA PAN 2000 1999 1998 1997 LECHE AGUA PAN 3 2 1            500 84 000 78 200 76 000 73 450 125 800 115 140 113 580 108 750 122 250 113 300 111 150 106 F F F 3 2 1 2000 1999 1998 1997

La matriz A · B nos da el gasto anual de cada familia en el total de los tres productos durante los años 1997 a 2000. decir, es 2000; año el en tercera familia la a e correspond , 500 84 elemento El b) c34 

nos indica el gasto total de esta familia en los tres productos durante ese año.

EJERCICIO 6 : En una acería se fabrican tres tipos de productos que llamaremos A, B, y C, que se obtienen a partir de chatarra, carbón mineral y ciertas aleaciones metálicas, según la tabla adjunta, que representa las unidades de cada material necesaria para fabricar una unidad de producto:

Obtener una matriz que indique las cantidades de chatarra, carbón y aleaciones necesarias para la producción de 6 unidades de A, 4 de B y 3 de C.

Solución:

Organizamos los datos que tenemos en dos matrices; su producto nos da la matriz que buscamos:

                                25 72 90 3 4 6 C B A 3 1 2 4 6 6 6 6 8 ALEACIONES CARBÓN CHATARRA ALEACIONES CARBÓN CHATARRA C B A

Es decir, necesitaremos 90 unidades de chatarra, 72 de carbón mineral y 25 de aleaciones.

EJERCICIO 7 : En una compañía se utilizan tres tipos de materiales (madera, plástico y aluminio) para fabricar tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sofás, según la tabla:

Obtén, matricialmente, las unidades de madera, de plástico y de aluminio que se han utilizado para fabricar 100 sillas, 100 mecedoras y 200 sofás.

Solución:

Organizamos los datos que tenemos en dos matrices; su producto nos da la matriz que buscamos:

                               500 1 600 400 200 100 100 5 3 2 2 1 1 1 1 1 ALUMINIO PLÁSTICO MADERA SOFÁS MECEDORAS SILLAS ALUMINIO PLÁSTICO MADERA SOFÁ MECED. SILLA

Es decir se han utilizado 400 unidades de madera, 600 de plástico y 1 500 de aluminio.

EJERCICIO 8 : Un fabricante produce tres tipos de clavos: de aluminio (A), de cobre (Q) y de acero (H). Todos ellos se fabrican en longitudes de 1; 1,5 y 2 cm con los precios respectivos siguientes:

Clavos A: 0,20 0,30 0,40 céntimos de euro Clavos Q: 0,30 0,45 0,60 céntimos de euro Clavos H: 0,40 0,60 0,80 céntimos de euro Sabiendo que en un minuto se producen:

De 1 cm de longitud: 100A 50Q 700H

De 1,5 cm de longitud: 200A 20Q 600H

De 2 cm de longitud: 500A 30Q 400H

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a) Resume la información anterior en dos matrices: M y N. M que recoja la producción por minuto, y N que recoja los precios.

b) Calcula el elemento a11 de la matriz M · N y da su significado. c) Calcula el elemento a11 de la matriz N · M y da su significado. Solución:

a) Unidades producidas por minuto:

M 400 600 700 30 20 20 500 200 100 H Q A 2 5 , 1 1           

Precios (en céntimos de euro):

N 80 , 0 60 , 0 40 , 0 60 , 0 45 , 0 30 , 0 40 , 0 30 , 0 20 , 0 2 5 , 1 1 H Q A            b) a11 = 100 · 0,20  200 · 0,30  500 · 0,40 = 280 céntimos. Producen 280 céntimos de euro de clavos de aluminio por minuto. c) a11 = 0,20 · 100  0,30 · 50  0,40 · 700 = 315 céntimos.

Producen 315 céntimos de euro de clavos de 1cm por minuto.

CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ Buscar alguna sin inversa

EJERCICIO 9 : Calcula la inversa de las siguientes matrices:

. 1 2 1 7 1 2 6 3 1 A              B =             2 5 0 2 1 2 0 2 1              0 2 0 1 1 2 1 3 2 C Solución:  La inversa de A:                                  1 0 1 7 5 0 0 1 2 5 5 0 0 0 1 6 3 1 1 0 0 1 2 1 0 1 0 7 1 2 0 0 1 6 3 1 a a a a a 1 3 1 2 2 1                   0 0 2 1 1 1 0 1 2 5 5 0 0 0 1 6 3 1 a a a a 2 3 2 1                        1 1 1 2 0 0 5 7 9 0 10 0 3 3 4 0 3 1 a a a a a 3 3 5 2 2 3 3 1                      1 1 1 2 0 0 5 7 9 0 10 0 15 9 13 0 0 10 a a a a 3 2 2 3 1 10                           2 1 2 1 2 1 1 0 0 10 5 10 7 10 9 0 1 0 10 15 10 9 10 13 0 0 1 a a a 3 2 1 2 10 1 1 10 1 . 5 5 5 5 7 9 15 9 13 10 1 tanto, Por 1                 A  La inversa de B:             1 0 0 2 5 0 0 1 0 2 1 2 0 0 1 0 2 1                                 1 1 2 0 0 0 0 1 2 2 5 0 0 0 1 0 2 1 F F F 1 0 0 2 5 0 0 1 2 2 5 0 0 0 1 0 2 1 F 2 F F₂ ₂ ₁ ₃ ₃ ₂

No tiene inversa porque la tercera fila es nula.

 La inversa de C:                             1 0 0 0 2 0 0 1 1 2 4 0 0 0 1 1 3 2 1 0 0 0 2 0 0 1 0 1 1 2 0 0 1 1 3 2 a a a a 3 1 2 1

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                  0 0 2 1 1 2 0 1 1 2 4 0 0 0 1 1 3 2 a a a a 2 3 2 2 1                   2 1 1 2 0 0 2 0 0 0 4 0 0 3 1 2 0 8 a a a a a 3 3 2 2 3 1 4               2 1 1 2 0 0 2 0 0 0 4 0 2 2 2 0 0 8 a a a a 3 2 3 1                      1 2 1 2 1 1 0 0 2 1 0 0 0 1 0 4 1 4 1 4 1 0 0 1 a a a 3 2 1 2 4 1 1 8 1 . 4 2 2 2 0 0 1 1 1 4 1 C Así, 1             

CALCULAR LA POTENCIA N-ÉSIMA DE UNA MATRIZ

EJERCICIO 10 : Se considera la matriz: , donde , y sontresnúmerosrealesarbitrarios. 0 0 0 0 0 0 c b a c b a A           

a) Encuentra An para todo natural n.



35



2. Calcula b) A A Solución: A A 1 a)                                 0 0 0 0 0 0 ac 0 0 0 0 0 c 0 0 b a 0 0 0 0 c 0 0 b a 0 A2                                  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c 0 0 b a 0 0 0 0 0 0 0 ac 0 0 A A A3 2 . 3 n para 0 A que tenemos , 0 A como Por tanto, 3 n  

b) Teniendo en cuenta lo obtenido en a):













                 0 0 0 0 0 0 ac 0 0 A A A 0 A A35 2 2 2 2

RESOLVER ECUACIONES MATRICIALES

EJERCICIO 11 : Dadas las matrices:

                     3 0 1 2 1 1 = B y 3 1 5 0 3 1 1 0 2 A                 6 2 14 1 1 3 3 1 9 4 1 A que Comprueba

a) 1 b) Halla una matriz, X, tal que AX = B.

Solución: : producto el Efectuamos . 3 orden de identidad matriz la es I donde , I A A que probar de trata Se a) 1                                                               4 0 0 0 4 0 0 0 4 4 1 6 2 14 1 1 3 3 1 9 3 1 5 0 3 1 1 0 2 4 1 6 2 14 1 1 3 3 1 9 4 1 3 1 5 0 3 1 1 0 2 demostrar. queriamos como , 1 0 0 0 1 0 0 0 1            : por izquierda la por ndo multiplica , igualdad la en Despejamos b) 1 B A AX X B A X B A IX B A AX A1 1 1 1      : luego ; A conocemos a), apartado el Por 1                                         2 18 1 1 1 11 4 1 3 0 1 2 1 1 6 2 14 1 1 3 3 1 9 4 1 X             2 / 1 2 / 9 4 / 1 4 / 1 4 / 1 4 / 11

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EJERCICIO 12 : Halla la matriz X que verifica BX = A, siendo . 4 2 1 A y 0 1 0 2 0 1 1 0 3 B                       

Solución: Despejamos X multiplicando por la izquierda por B-1: B1BX B1A  X B1A

: Hallamos 1 B                       0 1 0 2 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 3 1 0 0 0 1 0 0 1 0 2 0 1 0 0 1 1 0 3 a a a 2 3 1                0 0 5 1 3 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 3 a a a a 1 3 3 2 1                 0 3 1 5 0 0 1 0 0 0 1 0 0 3 6 0 0 15 a a a a 3 2 3 1 5                                     0 9 3 15 0 0 0 3 6 15 1 B 0 5 3 5 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 15 3 15 6 0 0 1 1 a a a 3 5 1 2 1 15 1 . 4 2 1 0 9 3 15 0 0 0 3 6 15 1 , 0 9 3 15 0 0 0 3 6 15 1 Como 1                                       X B Así:                         5 / 7 4 5 / 4 21 60 12 15 1 X X

EJERCICIO 13 : Resuelve la ecuación matricial XA = B, siendo . 2 0 1 3 B y 1 0 2 1 A _              

Solución: Despejamos X multiplicando por A-1 por la derecha: 1 1 1

  BA X BA XAA : Hallamos 1 A _                         1 0 2 1 A 1 0 1 0 2 1 0 1 1 0 1 0 0 1 2 1 ₁ 2 2 1 F F 2 F Así: _                        2 0 7 3 X 1 0 2 1 2 0 1 3 X

EJERCICIO 14 : Halla la matriz X que verifica AX + B = 0, siendo

                       1 2 5 B , 2 5 3 3 4 2 1 2 1 A y 0 la matriz nula. Solución: Despejamos X:AX B A1AX A1



B



IX A1B X A1B            Calculamos la inversa de A:                              1 0 3 1 1 0 0 1 2 1 0 0 0 0 1 1 2 1 1 0 0 2 5 3 0 1 0 3 4 2 0 0 1 1 2 1 a a a a 1 3 3 1 2 2 : 3 y 2 filas las amos Intercambi a a                                a a a a a 2 2 1 3 2 1 0 1 2 1 0 0 1 0 3 1 1 0 0 0 1 1 2 1 0 1 2 1 0 0 1 0 3 1 1 0 0 0 1 1 2 1                                 0 1 2 1 0 0 1 1 5 0 1 0 2 1 7 0 0 1 0 1 2 1 0 0 1 0 3 1 1 0 2 0 5 1 0 1 a a a a 3 3 2 3 1a . 0 1 2 1 1 5 2 1 7 tanto, Por 1                 A                                                     12 26 35 12 26 35 1 2 5 0 1 2 1 1 5 2 1 7 X X

(7)

RESOLVER SISTEMAS MATRICIALES

EJERCICIO 15 : Resuelve el siguiente sistema matricial:

                             2 5 10 7 6 6 2 1 7 2 ; 4 4 15 0 9 5 4 5 0 2 3X Y X Y Solución: Llamamos:                            2 5 10 7 6 6 2 1 7 B y 4 4 15 0 9 5 4 5 0

A Así, el sistema queda:

2 2 2 3 X B X B X X A X X           



B X



A X B X A X A B X



A B



X 2 7 1 2 7 4 2 3 2 2 3             



A B



B A B B A



B A



B X B Y 3 2 7 1 7 2 7 3 7 4 7 2 2 7 2 2             Por tanto:





                                                     0 14 35 14 21 7 0 7 14 7 1 2 5 0 7 6 6 2 1 7 2 4 4 15 0 9 5 4 5 0 7 1 B 2 A 7 1 X              0 2 5 2 3 1 0 1 2





                                                       14 7 0 21 0 28 14 7 21 7 1 4 4 15 0 9 5 4 5 0 2 2 5 10 7 6 6 2 1 7 3 7 1 A 2 B 3 7 1 Y                2 1 0 3 0 4 2 1 3

EJERCICIO 16 : Halla la matriz X 2 + Y 2, donde X e Y son dos matrices cuadradas de orden dos,

verificando: _                   9 2 1 1 2 3 15 4 0 2 3 5X Y X Y Solución: : sistema el resolver que Tenemos . 9 2 1 1 B y 15 4 0 2 A Llamamos _                

 

A 3 B 5 Y B 5 Y 10 X 15 A 3 Y 9 X 15 : Sumando B Y 2 X 3 A Y 3 X 5 a a 2 5 1 3                     B 3 A 2 X B 3 Y 6 X 9 A 2 Y 6 X 10 : Sumando a a 2 3 1 2              Por tanto:                                           3 2 3 1 27 6 3 3 30 8 0 4 9 2 1 2 3 15 4 0 2 2 X                                           0 2 5 1 45 12 0 6 45 10 5 5 15 4 0 2 3 9 2 1 1 5 Y : e Calculamos 2 2 Y X                                                  10 2 5 9 0 2 5 1 0 2 5 1 Y ; 3 8 12 5 3 2 3 1 3 2 3 1 X2 2 Luego: _                              7 10 17 14 10 2 5 9 3 8 12 5 Y X2 2

HALLAR LAS MATRICES QUE COMUTAN CON UNA DADA

EJERCICIO 17 : a) Dada , 0 1 0 2       

A hallar las matrices que conmutan con A. b) Escribe una matriz que conmute con A.

(8)

                                         0 d c 2 0 b a 2 b a b 2 a 2 0 1 0 2 d c b a d c b a 0 1 0 2 a) R                          d , c d c 0 d c 2 X Por tanto, d c 2 a 0 b 0 b d c 2 a 0 b 2 b a 2 a 2          1 1 0 3 X : 1 d y 1 c si ejemplo, Por b)

COMBINACIÓN LINEAL. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA DE VECTORES

EJERCICIO 18 : Estudia la dependencia lineal del conjunto de vectores:



1, 1, 1, 1



; u



2, 3, 2, 1



; u



1, 3, 1, 1



u1  2   3       Solución:

Estudiemos el rango de la matriz cuyas filas son los tres vectores dados. El rango coincide con el número de vectores linealmente independientes.                                               0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 2 0 2 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 3 1 1 2 3 2 1 1 1 1 a a a a a a a a a 2 2 3 2 1 1 3 1 2 2 1

Por tanto, el rango de la matriz es 2. Luego, hay dos vectores linealmente independientes; el tercero se puede escribir como combinación lineal de los otros dos.

es. dependient e linealment son u , u , u vectores tres Los 1 2 3   

RANGO DE UNA MATRIZ

EJERCICIO 19 : Halla el rango de las siguientes matrices:

a)                    1 2 1 3 19 6 8 1 1 0 1 1 5 2 4 1 M b)                      6 15 10 5 6 9 8 1 2 1 2 1 0 3 1 2 A c)                   2 1 7 1 2 2 7 2 0 1 0 1 2 0 7 4 A d)                      0 2 1 2 1 3 2 1 1 1 1 1 1 1 0 3 A e)                    4 1 9 7 1 7 9 4 1 2 0 1 1 1 3 2 M Solución: a)                                                               2 2 4 0 18 6 9 0 6 2 3 0 1 0 1 1 1 2 1 3 19 6 8 1 5 2 4 1 1 0 1 1 1 2 1 3 19 6 8 1 1 0 1 1 5 2 4 1 a a a a a a a a a a a 1 3 4 1 3 1 2 1 4 3 1 2

 

M 3. ran Por tanto, . 30 14 0 0 0 0 0 0 6 2 3 0 1 0 1 1 a a a a a a 2 4 4 3 2 3 3 2 1                          b)                                                                      16 20 20 0 8 10 10 0 4 5 5 0 2 1 2 1 6 15 10 5 6 9 8 1 0 3 1 2 2 1 2 1 6 15 10 5 6 9 8 1 2 1 2 1 0 3 1 2 a a a a a a a a a a a 1 5 4 1 3 1 2 2 1 4 3 1 2

(9)

 

A 2. ran Por tanto, . 0 0 0 0 0 0 0 0 4 5 5 0 2 1 2 1 a a a a a a 2 4 4 2 2 3 2 1                        c)                                                             2 0 7 0 2 4 7 0 2 4 7 0 0 1 0 1 2 1 7 1 2 2 7 2 2 0 7 4 0 1 0 1 2 1 7 1 2 2 7 2 0 1 0 1 2 0 7 4 a a a a a a a a a a a 1 4 1 2 3 1 4 2 1 4 3 1 2

 

A 3. ran Por tanto, . 0 4 0 0 0 0 0 0 2 4 7 0 0 1 0 1 a a a a a a 2 4 2 3 2 1                     d)                                                                      2 4 3 0 2 4 3 0 2 4 3 0 1 1 1 1 0 2 1 2 1 3 2 1 1 1 0 3 1 1 1 1 0 2 1 2 1 3 2 1 1 1 1 1 1 1 0 3 a a a a a a a a a a a 1 2 4 1 3 1 3 2 1 4 3 1 2

 

A 2. ran Por tanto, . 0 0 0 0 0 0 0 0 2 4 3 0 1 1 1 1 a a a a a a 2 4 2 3 2 1                       e)                                                             3 15 9 0 3 15 9 0 1 5 3 0 1 2 0 1 4 1 9 7 1 7 9 4 1 1 3 2 1 2 0 1 4 1 9 7 1 7 9 4 1 2 0 1 1 1 3 2 a a a a a a a a a a a 1 7 4 1 4 3 1 2 2 1 4 3 1 2

 

M 2. ran Por tanto, . 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 3 0 1 2 0 1 a a a a a a 2 3 4 2 3 3 2 1                     

EJERCICIO 20 : Halla el rango de las siguientes matrices:

                  2 1 3 6 8 1 0 1 1 2 4 1 A                6 9 8 1 2 1 2 1 0 3 1 2 B                  1 7 1 2 7 2 1 0 1 0 7 4 C                1 3 2 1 1 1 1 1 1 1 0 3 D               1 7 9 4 1 2 0 1 1 1 3 2 E Solución:  A                                                          2 4 0 6 9 0 2 3 0 0 1 1 2 1 3 6 8 1 2 4 1 0 1 1 2 1 3 6 8 1 0 1 1 2 4 1 a a a a a a a a a a a 1 3 4 1 3 1 2 1 4 3 1 2                       14 0 0 0 0 0 2 3 0 0 1 1 a a a a a a 2 4 4 3 2 3 3 2 1  ran (A) = 3.  B                               6 9 8 1 0 3 1 2 2 1 2 1 6 9 8 1 2 1 2 1 0 3 1 2 a a a 3 1 2                                   0 0 0 0 4 5 5 0 2 1 2 1 8 10 10 0 4 5 5 0 2 1 2 1 a a a a a a a a a 2 2 3 2 1 1 3 1 2 2 1 

(10)

 C                                                          0 7 0 4 7 0 4 7 0 1 0 1 1 7 1 2 7 2 0 7 4 1 0 1 1 7 1 2 7 2 1 0 1 0 7 4 a a a a a a a a a a a 1 4 1 2 3 1 4 2 1 4 3 1 2                   0 7 0 0 0 0 4 7 0 1 0 1 a a a a a 4 2 3 2 1  ran (C) = 3.  D                                                 2 4 3 0 2 4 3 0 1 1 1 1 1 3 2 1 1 1 0 3 1 1 1 1 1 3 2 1 1 1 1 1 1 1 0 3 a a a a a a a a 1 3 1 3 2 1 3 1 2                 0 0 0 0 2 4 3 0 1 1 1 1 a a a a 2 3 2 1

Por tanto, ran (D) = 2.

 E                                             3 15 9 0 1 5 3 0 1 2 0 1 1 7 9 4 1 1 3 2 1 2 0 1 1 7 9 4 1 2 0 1 1 1 3 2 a a a a a a a a 1 4 3 1 2 2 1 3 1 2               0 0 0 0 1 5 3 0 1 2 0 1 a a a a 2 3 3 2 1

Por tanto, ran (E) =2. EJERCICIO 21 :

a) Halla el rango de la matriz:

                 1 2 4 4 1 3 3 1 1 1 0 2 A

b) Estudia la dependencia o independencia lineal del conjunto de vectores:



2, 1, 3, 4



;u



0, 1, 1, 2



y u



1, 3,4, 1



u1  2  3      Solución:                                                         13 6 0 13 4 0 5 2 0 3 1 1 1 2 4 4 1 3 1 0 2 3 1 1 1 2 4 4 1 3 3 1 1 1 0 2 a) a a a a a a a a a a 1 4 4 1 3 3 1 2 2 1 4 3 1 2 a

 

A 3. ran Por tanto, . 0 0 0 3 0 0 5 2 0 3 1 1 2 0 0 3 0 0 5 2 0 3 1 1 a a a a a a a a a a 3 2 4 3 3 2 1 2 3 4 2 2 3 2 1 a                                          . u , u , u vectores los con coinciden A matriz la de columnas las que Observamos b) ₁ ₂ ₃

El número de vectores linealmente independientes es el rango de A. Por tanto, los vectores son linealmente independientes. EJERCICIO 22 : Estudia la dependencia o independencia lineal del conjunto de vectores















u1 2, 1, 0, 1; u2  1, 0, 2, 1; u3  5, 4, 6, 7



   . u , u , u son filas cuyas matriz la de rango el es cuál di y 1 2 3    Solución: : u , u , u son filas cuyas matriz la de rango el Estudiamos ₁ ₂ ₃                                               12 16 4 0 3 4 1 0 1 2 0 1 7 6 4 5 1 0 1 2 1 2 0 1 7 6 4 5 1 2 0 1 1 0 1 2 a a a a a a a a 1 5 3 1 2 2 1 3 1 2 2. es matriz la de rango el Por tanto, . 0 0 0 0 3 4 1 0 1 2 0 1 a a a a 2 4 3 2 1               

Esto significa que los vectores son linealmente dependientes. Hay dos vectores linealmente independientes y el tercero depende de ellos.

EJERCICIO 23 : Calcula el rango de la siguiente matriz y di cuál es el número de columnas linealmente

independientes:                6 5 6 1 2 1 1 1 2 1 2 3 A Solución:

(11)

Calculamos el rango de la matriz dada:                                                  4 4 5 0 4 4 5 0 2 1 1 1 6 5 6 1 2 1 2 3 2 1 1 1 6 5 6 1 2 1 1 1 2 1 2 3 a a a a a a a a 1 3 1 3 2 1 3 1 2

 

A 2. ran Por tanto, . 0 0 0 0 4 4 5 0 2 1 1 1 a a a a 2 3 2 1                

Esto significa que hay dos columnas linealmente independientes en A; las otras dos dependen linealmente de ellas. EJERCICIO 24 : Estudiar el rango de las siguientes matrices, en función de los valores de los parámetros:

2 4 a 1 a a 1 A _                     a 2 3 1 a 2 3 0 1 B 1 a 1 0 2 3 a 1 1 C            _        1 a 2 3 a D . 1 a 0 1 a 1 a 2 E              Solución:

 A: Aplicamos el método de Gauss:

                       ₀ ₄ _a _a _a ₂ 1 a a 1 2 4 a 1 a a 1 2 2 a a a 1 a 2 1         2 2 0 4 Hacemos 2 a a a o ranA 1 0 0 0 1 2 1 , 2 a Si _         o ranA 2 4 0 0 3 2 1 , 2 a Si _             o Si a  2, ran C = 2.

 B: Aplicamos el método de Gauss:

                                                14 a 9 a 0 0 7 a 0 3 0 1 9 a 2 0 7 a 0 3 0 1 a 2 3 1 a 2 3 0 1 2 a a a a a a a a a 2 2 3 a 2 1 1 3 3 1 2 2 1          2 7 0 14 9 Hacemos 2 a a a a o Si a  7 y a  2, ran B = 3 o 2 0 0 0 7 7 0 3 0 1 , 7 Si               ranB a 2 0 0 0 7 2 0 3 0 1 , 2 Si               ranB a

 C: Aplicamos el método de Gauss:





                                              1 a 2 a 3 0 0 a 3 1 0 a 1 1 a 1 1 a 0 a 3 1 0 a 1 1 1 a 1 0 2 3 a 1 1 2 a a a a a a a a a 2 1 a 3 2 1 1 3 1 3 2 1 0 1 a 2 a 3 Hacemos  2         3 / 1 a 1 a o ranC 2 0 0 0 3 1 0 1 1 1 , 1 a Si                ranC 2 0 0 0 1 1 0 3 1 1 1 , 3 1 a Si                     o , ranC 3. 3 1 a y 1 a Si   

 D: Aplicamos el método de Gauss: _

                  0 6 3 1 2 3 2 a a a 1 2 2 1 a a a a a a          2 3 0 6 Hacemos 2 a a a a

(12)

o ranD 1 0 0 3 3 , 3 a Si _         ranD 1 0 0 3 2 , 2 a Si _           o Si a  3 y a  2, ran D = 2.

 E: Aplicamos el método de Gauss:

                           1 0 2 0 2 1 0 1 1 2 a a a a 3 1 2 2 1 a a a a a a

La tercera fila se anula si a = 1 y la segunda, si a = 2. Estudiamos estos dos casos:

o ranE 2 0 0 3 0 1 2 , 1 a Si              ranE 2 3 0 0 0 2 2 , 2 a Si                

Por tanto, ran D = 2 cualquiera que sea el valor de a.

SISTEMAS EN FORMA MATRICIAL

Ejercicio 25 : Expresa y resuelve los siguientes sistemas de forma matricial:

a)                4 y x 2 1 z y x 0 z 2 y 2 x b)                3 2 5 2 10 2 3 z x z y x z y x c)                 2 z y x 3 z 2 y x 2 4 z 2 y x Solución: a)                                    4 1 0 z y x 0 1 2 1 1 1 2 2 1

 A.X = B  A-1.A.X = A-1.B  I.X = A-1.B  X = A-1.B

Calculamos la inversa de A:                                    2 3 3 1 3 3 1 2 2 F 5 F F 1 0 2 4 5 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 2 2 1 F 2 F F F F F 1 0 0 0 1 2 0 1 0 1 1 1 0 0 1 2 2 1                                                          ) 1 /( F 2 F 1 5 3 1 0 0 1 4 2 0 1 0 0 2 1 0 0 1 F 2 F F 1 5 3 1 0 0 1 4 2 0 1 0 2 10 5 0 2 1 F 2 F F F F F 1 5 3 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 2 2 1 2 2 1 1 3 1 1 3 2 2             1 5 3 1 0 0 1 4 2 0 1 0 0 2 1 0 0 1

 A

-1

=

           1 5 3 1 4 2 0 2 1 Calculamos X: X = A-1.B =            1 5 3 1 4 2 0 2 1

.

                       1 0 2 4 1 0

 (x,y,z) = (-2,0,1)

b)                                   3 5 10 z y x 2 0 1 5 2 1 2 1 3

Calculamos la inversa de A:                                 2 3 3 1 3 3 1 2 2 F F 5 F 3 0 1 4 1 0 0 3 1 17 5 0 0 0 1 2 1 3 F F 3 F F F 3 F 1 0 0 2 0 1 0 1 0 5 2 1 0 0 1 2 1 3                                                      ) 3 /( F 3 F ) 15 /( F F ) 45 /( F F 15 3 6 3 0 0 255 60 105 0 15 0 405 90 180 0 0 45 F F 5 F 15 3 6 3 0 0 255 60 105 0 15 0 30 6 15 0 3 9 F 2 F 3 F F 17 F 3 F 15 3 6 3 0 0 0 3 1 17 5 0 0 0 1 2 1 3 3 2 2 1 1 2 1 1 3 1 1 3 2 2               5 1 2 1 0 0 17 4 7 0 1 0 9 2 4 0 0 1

 A

-1

=

              5 1 2 17 4 7 9 2 4

(13)

Calculamos X: X = A-1.B =

.

              5 1 2 17 4 7 9 2 4                       0 1 3 3 5 10

 (x,y,z) = (3,1,0)

c)                                    2 3 4 z y x 1 1 1 2 1 2 2 1 1

Calculamos la inversa de A:                                     3 2 2 3 1 1 1 3 3 1 2 2 F 2 F 3 F F 2 F 3 F 1 0 1 3 0 0 0 1 2 2 1 0 0 0 1 2 1 1 F F F F 2 F F 1 0 0 1 1 1 0 1 0 2 1 2 0 0 1 2 1 1                                        3 / F F ) 3 /( F 2 F ) 3 /( F F 1 0 1 3 0 0 2 3 4 0 3 0 0 3 3 0 0 3 F F F 1 0 1 3 0 0 2 3 4 0 3 0 2 0 1 0 3 3 3 3 2 1 1 2 1 1             3 / 1 0 3 / 1 1 0 0 3 / 2 1 3 / 4 0 1 0 0 1 1 0 0 1

 A

-1

=

            3 / 1 0 3 / 1 3 / 2 1 3 / 4 0 1 1 Calculamos X: X = A-1.B =

.

            3 / 1 0 3 / 1 3 / 2 1 3 / 4 0 1 1                        2 1 1 2 3 4

 (x,y,z) = (1,-1,2)

Ejercicio 26 : Resuelve matricialmente el siguiente sistema:

                                0 0 1 z y x 1 0 1 1 2 2 1 1 1 Solución:

A.X = B  A-1.A.X = A-1.B  I.X = A-1.B  X = A-1.B

Calculamos la inversa de A:                               3 2 1 3 3 1 2 2 F F 1 0 1 2 1 0 0 1 2 1 0 0 0 0 1 1 1 1 F F F F 2 F F 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 2 2 0 0 1 1 1 1                                                     ) 1 /( F F 0 1 2 1 0 0 1 2 3 0 1 0 1 1 2 0 0 1 F F F 0 1 2 1 0 0 1 2 3 0 1 0 0 1 1 0 1 1 F F F F 2 F F 0 1 2 1 0 0 1 0 1 2 1 0 0 0 1 1 1 1 3 3 2 1 1 3 1 1 3 2 2               0 1 2 1 0 0 1 2 3 0 1 0 1 1 2 0 0 1

 A

-1

=

              0 1 2 1 2 3 1 1 2 Calculamos X: X = A-1.B =

.

              0 1 2 1 2 3 1 1 2                       2 3 2 0 0 1

Tema 2 Matrices Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato 1

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







 

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









 

 

 

 

 













 

















 





 A

=

.

 (x,y,z) = (-2,0,1)

 A

=

.

 (x,y,z) = (3,1,0)

 A

=

.

 (x,y,z) = (1,-1,2)

 A

=

.

 (x,y,z) = (2,-3,2)