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TEMA 40. Geometría de la circunferencia.
1. Introducción.
La circunferencia con el triángulo son sin ninguna duda las dos figuras en dos dimensiones más estudiadas en las matemáticas. La Grecia clásica la consideraba por su simetría infinita una figura perfecta al igual que la esfera en 3 dimensiones. La importancia filosófica de la circunferencia en el giro de los planetas en torno al Sol hace que aunque la observación demostraba que este no era su movimiento se tardara muchos años, hasta Kepler, para asumir la trayectoria elíptica de los mismos.
La circunferencia no sólo es importante en si misma, casi todas las figuras planas importantes no rectilíneas formadas a partir de de la circunferencia: la cicloide, la cardiode, el astroide, entre otras.
A partir del estudio de las áreas y longitudes del círculo y de la circunferencia se descubre un número irracional que se denotará como π= longitud circunferencia/ diámetro. Su nombre se debe primera letra de perímetro.
2. Definición y generalidades.
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de otro punto, denominado centro. La distancia de los puntos al centro se denomina radio.
La construcción de la circunferencia se basa en la definición, así conocido el centro y el radio la curva se obtiene fijando una cuerda o un compás del tamaño del radio en el centro y el otro extremo recorriendo todos los puntos posibles.
La circunferencia divide al plano en tres regiones disjuntas: • Puntos exteriores a la circunferencia.
• Puntos de la circunferencia.
• Puntos interiores, todos ellos forman en círculo.
La propiedad más importante de la circunferencia, y la que la concedía la consideración a los griegos de “figura perfecta” es su infinita simetría. Toda recta que pase por el centro de la circunferencia es un eje de simetría. El centro, intersección de todos los ejes de simetría es un
punto de simetría.
Segmentos y líneas fundamentales de la circunferencia: pueden verse en el dibujo
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3. Estudio analítico de circunferencia.
3. 1. Ecuaciones Cartesianas.
La ecuación que cumple los puntos de una circunferencia se puede obtener de forma fácil a partir de la definición como lugar geométrico. Si el centro de la misma es O(xo,yo) y el radio es r, calculemos la ecuación de C(x,y) conjunto de los puntos que son de la circunferencia.
cuadrado
al
elevando
r
y
y
x
x
y
y
x
x
OP
P
O
d
(
,
)
=
=
(
−
o,
−
o)
=
(
−
o)
2+
(
−
o)
2=
: 2 2 2 ) ( ) ( : x x y y r C − o + − o =Si desarrollamos los cuadrados viene dada como x2+y2+Ax+By+C=0, donde se cumple que el centro será O(-A/2,-B/2) y r2=(A2+B2)/4-C.
Nota: al cular el radio al cuadrado este da negativo se llama circunferencia imaginaria (no
tiene representación en los número reales).
3. 2. Ecuaciones en polares.
Las coordenadas en polares son (ρ, ϕ), donde ρ=distancia al centro y ϕ=ángulo con el eje OX; así x=ρ·cos(ϕ), y=ρ·sen(ϕ).
La ecuación en polares de la circunferencia centrada en el origen es muy sencilla ρ=r con ϕ∈[0,2π).
Para el caso genérico sustituyendo x e y por su expresión en polares tenemos:
(
·cos( )) (
· ( ) 0)
2 2 2 2 ·cos( ) 2 · ( ) ( 2 2 2) 0 2 0 + − = → − − + + − = −xρ
senϕ
y rρ
xoϕ
yo senϕ
xo yo rϕ
ρ
3. 3. Ecuaciones en paramétricas.Si tomamos t como parámetro, siendo este el ángulo de los puntos de la circunferencia con respecto al radio horizontal positivo la ecuación en paramétricas es muy sencilla:
3. 4. Determinación de una circunferencia con 3 puntos.
Una circunferencia determinada si conocemos tres parámetros, las dos coordenadas del centro xo, yo y el radio, r. Se necesitan por tanto conocer 3 puntos de la circunferencia para determinar la misma. Así si tenemos 3 puntos P(Px,Py), Q(Qx, Qy) y R(Rx,Ry) podemos sacar estos tres parámetros a partir de resolver el siguiente sistema.
Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 3 = − + − = − + − = − + − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( r y R x R r y Q x Q r y P x P o y o x o y o x o y o x
Si los 3 puntos no alineados una única solución.
Podemos calcular el centro y el radio más fácil de forma geométrica calculando el circuncentro (intersección de las mediatrices del triángulo PQR). El circuncentro será el centro de la circunferencia siendo el radio de la misma la distancia del centro a cualquiera de los 3 puntos.
4. Posiciones relativas de la circunferencia con otros elementos.
4. 1. Circunferencia y un punto.
Si tenemos una circunferencia c y un punto P(Px,Py) pueden darse las siguientes posiciones relativas entre ambas:
• El punto pertenece a la circunferencia, es decir la distancia con el centro es r, y cumple por tanto la ecuación de la misma: d(P,O)=r (Px−xo)2+(Py−yo)2 =r2
• El punto exterior a la circunferencia, la distancia con el centro mayor al radio, cumple por tanto: d(O,P)>r (Px −xo)2 +(Py − yo)2 >r2.
• El punto es interior a la circunferencia, es decir la distancia con el centro es menor al radio, cumple por tanto d(O,P)<r (Px −xo)2 +(Py −yo)2 <r2.
4. 2. Circunferencia y una recta.
Dada una circunferencia c: (x-xo)2+(y-yo)2=r2 y una recta r: y=mx+n tres opciones:
1. Secantes: la recta corte a la circunferencia en dos puntos, por lo que el sistema dado
por
+
=
=
−
+
−
n
mx
y
r
y
y
x
x
o)
2(
o)
2 2(
dos soluciones. Se cumple que el discriminante de la ecuación de segundo grado es positivo, ya que d(y=mx+n, O(xo,yo))<r
2. Recta tangente: sólo un punto en común, se cumple que la recta es perpendicular al radio que pasa por el punto en común (distancia mínima). El sistema anterior una única solución porque el discriminante vale 0 al cumplir d(y=mx+n, O(xo,yo))=r
Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 4 Para calcular la distancia de una recta r: mx-y+n=0 a un punto, O(xo,yo) se utiliza la fórmula que se obtiene calculando la distancia del centro a el punto de corte de la recta perpendicular y-yo=-1/m(x-xo) con r: 2
1
))
,
(
,
(
m
n
y
mx
y
x
O
n
mx
y
d
o o o o+
+
−
=
+
=
4. 3. Dos Circunferencias.Las diferentes posiciones relativas de 2 circunferencias c1 con centro en O1(x1,y1) y radio r1 y c2 con centro en O2(x2,y2) y radio r2 se pueden diferenciar en 6 tipos según los puntos de corte y las distancias de los centros respecto a los valores de los radios:
Posición relativa Dibujo Puntos en común Distancia centros (d)
Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 5 Si resolvemos el sistema los puntos en común son los valores de (x,y) que resuelven
=
−
+
−
=
−
+
−
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1)
(
)
(
:
)
(
)
(
:
r
y
y
x
x
c
r
y
y
x
x
c
Siendo las distancias entre los centros d(O1,O2)=
2 2 1 2 2 1 ) ( ) (x −x + y − y
5. Tangentes a las circunferencias.
5. 1. Definición y cálculo
Una recta es tangente a una circunferencia cuando únicamente tiene un punto en común, llamado punto de tangencia. Propiedades:
1. La recta es perpendicular al radio que pasa por el punto de tangencia. 2. La recta dista del centro el valor del radio.
3. Por un punto P exterior se pueden trazar dos rectas tangentes que pasarán por dos
puntos de tangencia T y T’ donde se cumple que d(P,T)=d(P,T’) y la bisectriz pasa por el centro de la circunferencia. Demostraciones:
1. Por definición de tangencia.
2. Si sólo tiene un punto en común ese punto es el más cercano a la circunferencia y por
tanto al centro. La distancia de este punto al centro es r pues es un punto de la misma.
3. Veamos de forma analíticamente la demostración: supondremos que la circunferencia
centrada en el origen y el punto exterior en el eje OX: c:(x-xo) 2
+(y-yo) 2
=r2 y P(x1,0) , x1>r. Toda recta que pase por P(x,0) será de la forma r:y=m(x-x1) con m=pendiente∈ . La distancia de la recta r:mx-y-mx1 al origen viene dada por 2
2 1 2 2 1 m x m d + = , luego al tener
que cumplir la igualdad las pendientes válidas serán
2 2 1 r x r m − ±
= que tiene dos
soluciones al ser x1>r (exterior). Por otro lado al tener misma pendiente pero cambiada de signo los ángulos con el eje OX son
α
=arct(m) y−α
=arct(−m), luego la bisectriz será el eje OX que pasa por el centro de la circunferencia (origen).Corolarios:
1. Dadas dos rectas secantes podemos trazar una circunferencia tangente a ambas cuyo
centro esté en la bisectriz del ángulo que forman.
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Cálculo de las tangentes a una circunferencia: por invariancia traslacional podemos
suponer la circunferencia centrada en el origen de coordenadas, es decir su ecuación es x2+y2=r2 o en paramétricas (r·cos(t), r·sen(t)). Calculamos la pendiente de la recta tangente en el punto P(xo , yo) que pertenece a la circunferencia (cumple xo2+yo2=r2) calculando la derivada en el punto, y calculamos la tangente por la ecuación punto pendiente:
a) En Implícitas: 2x·dx+2y·dy=0 m= o o
y
x
dx
dy
−
=
; y=yo+m·(x-xo). b) En paramétricas (xo=x(to), yo=y(to)) m=(
)
)
·cos(
)
(
·
o o otg
t
t
r
t
sen
r
dx
dy
=
−
=
; y=yo+m·(x-xo).5. 2. Tangentes comunes a dos circunferencias.
El número de tangentes comunes, así como la disposición de las mismas varía según la posición relativa de las dos circunferencias, veamos cada caso:
a) Las dos circunferencias son exteriores: tiene dos tangentes interiores y dos exteriores. Las rectas se cortan en la recta que contiene los dos centros de estas circunferencias.
b) Las dos circunferencias tangentes exteriores: tiene dos tangentes exteriores y una tangente en el punto de tangencia.
c) Las circunferencias son secantes: tiene dos tangentes exteriores.
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5. 3. Cuadrilátero circunscrito a una circunferencia.
Es el cuadrilátero formado por 4 rectas cualesquiera tangentes a una circunferencia dada. Se cumple que la suma de los lados opuestos es constante.
Demostración: por la propiedad 3 se cumple que EB=FB, FC=GC, DG=DH y EA=HA. Así tenemos que:
AD+BC=AH+HD+BF+FC=AE+DG+BE+CG=AE+EB+DG+CG=AB+DC
6. Ángulos sobre la circunferencia.
6.1.Ángulos centrales, arcos y cuerdas.
Si en una circunferencia trazamos dos semirectas (r y s) con origen en el centro de la circunferencia (O), estas cortan en dos puntos A y B con la circunferencia formando un ángulo interno α=∠( AOB) y otro exterior ϕ=360o
-α. Estos dos ángulos se llaman ángulos centrales. Nota: α+ϕ=2πrad=360o
El segmento AB se denomina cuerda y la porción de circunferencia entre A y B se llama arco.
Proposición: en toda circunferencia si tenemos dos arcos iguales (o cuerdas iguales) le
corresponden ángulos centrales iguales o viceversa. Demostración:
⇒ Sean dos ángulos centrales iguales que cortan con la circunferencia en los puntos A y B uno y otro en A’y B’. Se forman dos triángulos AOB y A’OB’ que cumplen: a) un ángulo
) ( AOB
∠ =∠(A'OB')igual (por proposición), b) dos lados iguales |OA|=|OA’|=r y |OB|=|OB’|=r. Luego por proposiciones de igualdad de triángulos se cumple que los dos triángulos son iguales y por tanto |AB|=|A’B’|.
⇐ Si tenemos que |AB|=|A’B’| como |OA|=|OA’|=r y |OB|=|OB’|=r por propiedades de los triángulos se cumple que los triángulos AOB y A’OB’ iguales, y por esto
) ( AOB
∠ =∠(A'OB').
Corolario: dos cuerdas iguales equidistan del centro y por tanto la envolvente de las
cuerdas de una circunferencia iguales es otra circunferencia concéntrica.
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Relación metrica entre ángulo central, cuerda substenida y flecha del arco.
cuerda=AB=2·r·sen(α/2) flecha=r-d=r·(1-r·cos(α/2))
6.2.Ángulos inscritos. Arco capaz.
Definición: un ángulo se dice inscrito en una
circunferencia si su vértice situado en la circunferencia y sus lados secantes a la circunferencia.
Teorema: todo ángulo inscrito y central en una circunferencia que abarcan mismo arco,
cumplen que el ángulo central es el doble del ángulo inscrito. Demostración:
Por tanto ϕ1 que es suplementario de γ1 vale: ϕ1=180-(γ1)=180-(180-2·α1)=2· α1.
Corolario 1: sea un arco de cuerda en la circunferencia AB,
todos los ángulos internos de la circunferencia que abarque mismo arco miden lo mismo siendo su valor la mitad del central.
Corolario 2: todo ángulo inscrito sobre un diámetro de la
circunferencia es siempre recto (90o) ya que su ángulo central de igual cuerda (diámetro) vale 180o
A B α1 α2 ϕ1 ϕ2 γ1 γ2
Si trazamos la recta que pasa por C y el centro O esta nos divide en dos ángulos iguales tanto el ángulo central (ϕ=ϕ1+ϕ2) como el inscrito (α=α1+α2).
Si vemos entonces que 2·α1=ϕ1 entonces se cumplirá que 2·α=ϕ cumpliéndose la proposición.
Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 9 Se llama arco capaz de un segmento AB y un arco α<90o al lugar geométrico de los puntos P que cumple que el ángulo ∠( APB)=
α
Proposición: el arco capaz de AB con ángulo α está formado
por dos arcos de circunferencia en donde los centros O y O’ cumplen ∠(AOB)=∠(AO'B)=2
α
.Demostración es una consecuencia del teorema anterior.
Cálculo del radio de las circunferencias que forman el arco
capaz: ) ( · 2sen
α
AB r =7. Construcción de polígonos regulares inscritos en una circunferencia
Todo polígono regular cumple que se pueden representar inscritos en una circunferencia debido a que triángulos que se forman al unir los vértices con el centro son isósceles. De esta manera si dividimos la circunferencia, 360o, en n ángulos iguales de valor α=360/n si unimos estos puntos se forman un polígono regular de n lados.En los polígonos regulares es muy fácil por razones trigonométricas relacionar el lado del polígono, la apotema (altura de los anteriores triángulos isósceles) y el radio de la circunferencia circunscrita a partir del número de lados y por tanto del ángulo α=360/n. Un caso particular es el hexágono donde al ser α=360/6=60o el triángulo es equilátero y l=r.
l/2=r·sen(α/2) l/2=ap·tg(α/2) ap=r·cos(α/2)
8. Longitud y área de la circunferencia y del círculo. Radian.
Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 10 Para calcular la longitud y el área de un arco y de un sector circular no tenemos más que aplicar proporcionalidad con el ángulo del sector o del arco.
Larco = r Lcirc · 2 ·
α
π
α
= y A sector= 2 · 2 · 2 r Acircα
π
α
=A partir de la longitud del arco podemos definir el radian como el ángulo en el que la longitud del arco es igual a la del radio de la circunferencia (Larco=1·r)
9. Potencia de un punto respecto a una circunferencia.
9.1 Definición de potencia.
Dado un punto P en cualquier punto del plano y una circunferencia de centro C. Si trazamos una secante por P a la circunferencia esta se cortan en 2 puntos A y B. Puede ocurrir tres cosas:
(a) P fuera (b) P interior (c) P exterior
Se define potencia de P sobre una circunferencia c como Potc(P)=k=
PA·
PB
donde se cumple en (a) k>0, en (b) k<0, en (c) k=0. De esta forma el signo de la potencia nos marca la posición del punto P en la circunferencia.Teorema: la potencia de un punto sobre una circunferencia no depende de la recta
secante trazada. Demostración:
Los ángulos B =ˆ Bˆ' pues abarcan el mismo arco AA’. De esta forma los triángulos PAB’ y PA’B son semejante al tener dos ángulos iguales, el ángulo Pˆque es común y el ángulo Bˆ y Bˆ'. Por tanto los lados son semejantes:
PB PB PA
PA '
' = PA·PB=PB’·PA’
Al ser independientes de la secante por simplicidad se puede trazar la secante más sencilla que pase por el centro de la circunferencia:
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Observaciones:
1) Si potc(O)=-r 2
pues d=0
2) Todos los puntos con misma potencia define una circunferencia concéntrica ya que son los puntos con misma distancia, d, del centro O
3) Matemáticamente si la ecuación de la circunferencia es c: x2+y2+Ax+By+C=0 y P(a,b) se cumple: O(-A/2, -B/2) , r2=A2/4+B2/4-C d2=(d(P,O))2=(a+A/2)2+(b+B/2)2 y por tanto la potencia será: Potc(P)=d
2
-r2=(a+A/2)2+(b+B/2)2-( A2/4+B2/4-C)=a2+b2+Aa+Bb+C, que resulta de sustituir el punto P (x=a, y=b) en la ecuación de la circunferencia.
9.2 Eje radical de dos circunferencias.
Definición: se llama eje radical de dos circunferencias al conjunto de puntos que cumplen
que tienen igual potencia respecto ambas circunferencias.
Matemáticamente es muy fácil ver que es una recta: si la circunferencias son c1:x
2
+y2+Ax+By+C=0 y c2:x 2
+y2+A2x+B2y+C2=0 la potencia son los valores de x e y que cumplen que x2+y2+Ax+By+C= x2+y2+A2x+B2y+C2 (A-A2)x+(B-B2)y+(C-C2)=0, que es una recta y se llama eje radical.
Construcción gráfica y casos:
a) Exteriores: b) Se cortan c) tangentes
9.2 Centro radical de 3 circunferencias.
El centro radical de tres circunferencias es el punto que cumple que su potencia es el mismo para las tres circunferencias. Es por tanto el punto de corte de los tres ejes radicales generados por las tres circunferencias relacionándolas dos a dos. Las tres rectas son:
(1) r1 :(A1-A2)x+(B1-B2)y+(C1-C2)=0 (2) r2: (A1-A3)x+(B1-B3)y+(C1-C3)=0 (3) r3 :(A3-A2)x+(B3-B2)y+(C3-C2)=0
Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 12 Centro no alineados Circunferencias tangentes centros alineados
Se cortan los 3 ejes Mismo eje Ejes paralelos
10. Conclusiones.
La geometría básica de la circunferencia se trabaja en los tres primeros cursos de la ESO, estudio del área, longitud, elementos de la mima. En 4º de la ESO en Matemáticas académicas se comienza a dar la geometría de forma aritméticas y se calcula la ecuación de la circunferencia como lugar geométrico.
