Polinomios Ortogonales de Tipo Laguerre-Sobolev: Caso Diagonal
Luis Alejandro Molano Molano
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias, Departamento de Matem´ aticas Bogot´ a, Colombia
2012
Polinomios Ortogonales de Tipo Laguerre-Sobolev: Caso Diagonal
Luis Alejandro Molano Molano
Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar al t´ıtulo de:
Magister en Ciencias Matem´ aticas
Director(a):
Ph.D. Herbert Alonso Due˜ nas Ruiz
L´ınea de Investigaci´ on:
Polinomios Ortogonales Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias, Departamento de Matem´ aticas Bogot´ a, Colombia
2012
Con gran aprecio
A mis padres y a Liliana; a Camila, Shara y
Juan David.
Agradecimientos
Agradezco a mis padres, por su apoyo incondicional, de ellos es este gran esfuerzo. Al profesor
Herbert Due˜ nas por su inmenso soporte y orientaci´ on, fue ´ el quien me mostr´ o el camino para
hacer posible la conclusi´ on de este trabajo. Y a Liliana Bastidas, por su compania, afecto e
infinita paciencia, por estar siempre en los momentos dif´ıciles.
ix
Resumen
En este trabajo estudiamos la sucesi´ on de polinomios ortogonales con respecto al producto interno de tipo Sobolev
hp, qi = Z
∞0
p(x)q(x)e
−xx
αdx + M p(a)q(a) + N p
0(a)q
0(a),
donde α > −1, M ≥ 0, N ≥ 0 y a < 0, adem´ as p y q son polinomios con coeficientes reales.
Deducimos una ecuaci´ on diferencial de segundo orden satisfecha por cada uno de los poli- nomios de la sucesi´ on y su representaci´ on como serie hipergeom´ etrica. El comportamiento de sus ceros es tambi´ en analizado, en terminos de sus propiedades de entrelazamiento y la variaci´ on de las masas M y N.. Finalmente se hace un estudio num´ erico de los resultados obtenidos a trav´ es del uso del Software Matlab.
Palabras clave: Polinomios Ortogonales tipo Laguerre-Sobolev Ecuaci´ on Holon´ omica, representaci´ on Hipergeom´ etrica, Ceros .
Abstract
In this work we study the sequence of monic polynomials orthogonal with respect to the Sobolev type inner product
hp, qi = Z
∞0
p(x)q(x)e
−xx
αdx + M p(a)q(a) + N p
0(a)q
0(a),
where α > −1, M ≥ 0, N ≥ 0, a < 0, and p and q are polynomials with real coefficients. We find their representation as an hypergeometric function. Some interlacing properties of their zeros are obtained, as well as their behavior in terms of the variation of M and N . Finally we deduce a second order linear differential equation satisfied by this sequence of orthogonal polynomials. Finally, some numerical experiments using Matlab are presented.
Keywords: Orthogonal Polynomials Laguerre-Sobolev type, Holonomic Equation, Hi-
pergeometric Representation the zeros
Contenido
Agradecimientos
VIIResumen
IX1. Introducci´ on 1
1.1. Introducci´ on hist´ orica y estado del arte . . . . 1
1.2. Estructura del Trabajo . . . . 6
2. Preeliminares 8 3. F´ ormula de conexi´ on y y Representaci´ on Hipergeom´ etrica 13 3.1. Introducci´ on . . . . 13
3.2. F´ ormula de conexi´ on . . . . 13
3.3. Caso general . . . . 20
3.4. Representaci´ on hipergeom´ etrica . . . . 21
3.5. Caso general . . . . 25
4. Ecuaci´ on holon´ omica 27 4.1. Introducci´ on . . . . 27
4.2. Ecuaci´ on holon´ omica . . . . 27
4.3. Caso general . . . . 38
5. Los Ceros 40 5.1. Introducci´ on . . . . 40
5.2. Propiedades atractoras del punto masa. . . . 40
5.3. Entrelazamiento de los ceros . . . . 45
5.4. Masas M´ınimas . . . . 51
6. Conclusiones y recomendaciones 54 6.1. Conclusiones . . . . 54
6.2. Recomendaciones . . . . 56
A. Anexo:Experimentos Num´ ericos 57
Contenido xi
Bibliograf´ıa 62
1. Introducci´ on
1.1. Introducci´ on hist´ orica y estado del arte
En los ´ ultimos 60 a˜ nos se ha prestado atenci´ on a un campo de los polinomios ortogonales que involucra un producto interno de la forma:
hf, gi
S=
∞
X
i=0
Z
b af
(i)(x)g
(i)(x)dψ
i(x), (1-1)
donde (a, b) es un intervalo finito, o infinito, y cada ψ
jrepresenta una funci´ on no decreciente, acotada en [a, b], tal que el conjunto
ϑ(ψ
j) = { x| ψ
j(x + ) − ψ
j(x − ) > 0, para todo > 0} , es infinito y
µ
k= Z
ba
x
kdψ
j< ∞, para todo k ∈ N,
es decir, que cada ψ
jes una funci´ on de distribuci´ on. Este producto es conocido como de tipo Sobolev. Gran parte de las investigaciones se han centrado en el estudio particular de los casos
hf, gi
S= Z
ba
f (x)g(x)dψ(x) + M f
0(c)g
0(c), M ≥ 0, el caso discreto, y
hf, gi
S= Z
ba
f (x)g(x)dψ
0(x) + M Z
ba
f
0(x)g
0(x)dψ
1(x), M ≥ 0,
2 1 Introducci´ on
que es el caso no discreto.
En 1947 se sientan las bases para la construcci´ on de la teor´ıa de polinomios ortogonales en espacios de Sobolev con una publicaci´ on de D.C. Lewis (ver [19]) . En dicha publicaci´ on, Lewis propuso el siguiente problema de m´ınimos:
Dadas k funciones α
i(x), (i = 0, 1, 2, · · ·, k − 1), mon´ otonas, no decrecientes definidas en un intervalo [a, b] y una funci´ on f que satisface ciertas condiciones de regularidad, determinar un polinomio Q
nde grado no mayor que n tal que:
p
X
i=0
Z
b af
(i)(x) − Q
(i)n(x)
2dα
i(x),
sea m´ınimo.
A comienzos de los a˜ nos 60, Althammer present´ o su primer trabajo (ver [3]) basado en los resultados de Lewis en el cual, reformul´ o el problema de Lewis en los siguientes t´ erminos:
Dado el producto (1-1), y dada una funci´ on f determinar
m´ın kf − Qk
S,
donde Q representa un polinomio de grado no mayor a n.
La soluci´ on de dicho problema se basa en considerar una sucesi´ on de polinomios ortogonales respecto al producto (1-1), digamos {P
n(x)}
n∈N, y el polinomio Q en el que se alcance el m´ınimo tendr´ a la forma:
Q(x) =
n
X
k=0
a
kP
k(x), con a
k= hf, P
ki
S.
Aunque Lewis no atac´ o el problema a trav´ es de polinomios ortogonales, sino en t´ erminos de un sistema de ecuaciones con los n + 1 coeficientes de Q como inc´ ognitas, su trabajo fue un punto de partida para que autores posteriores empezaran a trabajar con productos de tipo Sobolev.
Althammer fue el primero que se percat´ o de una condici´ on propia de la sucesi´ on de polinomios ortogonales relativa al producto
hf, gi
S= Z
1−1
f (x)g(x)dx + λ Z
1−1
f
0(x)g
0(x)dx, λ > 0, (1-2)
1.1 Introducci´ on hist´ orica y estado del arte 3
que es una generalizaci´ on del producto interno de Legendre, y es que un cero puede no estar en el intervalo de ortogonalidad. El trabajo de este matem´ atico es motivo nuevamente del estudio de autores posteriores, convirti´ endose el tema de los ceros de los polinomios ortogonales en un tema recurrente en tales trabajos.
En el mismo tiempo W. Grobner trabaj´ o espec´ıficamente con el intervalo de ortogonalidad (0, 1) en (1-2), y adem´ as dio una generalizaci´ on de la f´ ormula de Rodr´ıgues. J. Brenner considero el producto interno:
hf, gi
S= Z
∞0
f (x)g(x)e
−xdx + λ Z
∞0
f
0(x)g
0(x)e
−xdx, λ > 0,
que es una generalizaci´ on del producto interno de Laguerre con par´ ametro α = 0.
En 1973 F. W. Schafke y G. Wolf trabajaron con un producto de Legendre (1-2) , (ver [26]) que les permiti´ o simplificar notablemente los resultados de Althammer, basados en la normalizaci´ on de la sucesi´ on de polinomios ortogonales respecto al producto no discreto, con intervalo de ortogonalidad (−1, 1), suponiendo que tales polinomios toman el valor de 1 al evaluarlos en este mismo punto.
En 1975, E. A. Cohen es quien acu˜ na el nombre espacio de Sobolev, y en su trabajo (ver [5]
) demuestra que los ceros de un polinomio de grado n con respecto al producto (1-2) est´ an entrelazados con los ceros del polinomio de Legendre de grado n − 1 siempre y cuando se tenga que λ ≥ 2
n . De aqu´ı en adelante los trabajos se centran en el estudio de ciertos tipos especiales de productos internos en los que se destaca, en principios de los a˜ nos 70, el de Schafke y Wolf quienes estudian el producto:
hf, gi
S=
∞
X
υ,µ=0
Z
b aw(x)v
υµ(x)p
(υ)(x)q
(µ)(x)dx,
donde (a, b) y w(x) representan los intervalos de ortogonalidad y la funci´ on de peso para los casos cl´ asicos de Jacobi, Laguerre y Hermite. Los resultados de este trabajo soportan te´ oricamente una gran cantidad de productos internos incluyendo los trabajos anteriores de Althammer y Brenner.
En principio de la d´ ecada de los noventa, los autores A. Iserles, P. E. Koch, S. P. Norsett y J. M. Sanz-Serna estudiaron, (ver [15]) polinomios ortogonales con respecto al producto:
hf, gi
S= Z
ba
f (x)g(x)dψ
0(x) + λ Z
ba
f
0(x)g
0(x)dψ
1(x), λ ≥ 0,
4 1 Introducci´ on
donde lo novedoso es el uso de funciones de distribuci´ on, ψ
0(x) y ψ
1(x), y no funciones de peso, cuyo tratamiento hace que la integraci´ on por partes sea fundamental. Es entonces que se introduce la definici´ on de pares coherentes haciendo referencia al par {dψ
0, dψ
1} siempre y cuando existan constantes no nulas A
ny B
ntales que Q
n= A
nP
n+10+ B
nP
n0, con n > 0, donde {P
n}
n∈Ny {Q
n}
n∈Nson las sucesiones de polinomios ortogonales respecto a dψ
0y dψ
1respectivamente. Esta concepci´ on tiene sorprendentes alcances y renueva el inter´ es en el estudio de polinomios ortogonales en espacios de Sobolev no discretos.
El problema que sigui´ o a la teor´ıa desarrollada en t´ erminos de pares coherentes, fue determi- nar casos particulares de dichas parejas, o si era posible, determinarlas todas. Este problema fue atacado por Francisco Marcellan y J. C. Petronilho, [11], en el sentido en que una de las dos sucesiones de polinomios sea cl´ asica. Adem´ as trabajaron desde el punto de vista de un funcional lineal y no desde el de un producto interno definido por una funci´ on de distribuci´ on. Por otra parte, la normalizaci´ on empleada se basaba en considerar polinomios m´ onicos, aquellos cuyo coeficiente principal es 1. A partir de esto, parece que el trabajo respecto a pares coherentes ha sido completado salvo la escases de resultados asint´ oticos y el desconocimiento de representaciones en t´ erminos de series hipergeom´ etricas. En este sentido podemos citar el trabajo de H. G. Meijer, [24], en el producto:
hf, gi
S= Z
3−1
f gdx + λ Z
1−1
f
0g
0dx + Z
31
f
0g
0dx, con λ ≥ 0,
a trav´ es del cual demostr´ o que si S
nλn∈N
es la sucesi´ on de polinomios asociada a este, con λ suficientemente grande, S
nλcontiene exactamente 2 ceros reales si n es par, o solamente uno si n es impar.
1.
A puertas y comienzos del siglo XXI se lleva a cabo una amplia serie de investigaciones referentes a productos de tipo Laguerre-Sobolev en las que se puede destacar el trabajo (ver [21]) respecto al producto:
hf, gi
S= Z
∞0
f (x)g(x)x
αe
−xdx + λ Z
∞0
f
0(x)g
0(x)x
αe
−xdx, con λ > 0,
en donde se estudia las propiedades anal´ıticas de los polinomios relativos a este producto y propiedades de sus ceros.
En el mismo sentido se tiene la publicaci´ on (ver [14]) en el que se estudia el comportamiento de los ceros de polinomios ortogonales respecto a perturbaciones de Uvarov y Christoffel, y la aplicaci´ on a medidas cl´ asicas, adem´ as de la respectiva interpretaci´ on electrost´ atica de los ceros.
1
Para ver en detalle los aspectos mencionados hasta este punto, se sugiere ver [22].
1.1 Introducci´ on hist´ orica y estado del arte 5
Otro importante producto interno de tipo Laguerre-Sobolev que se ha estudiado en las
´
ultimas d´ ecadas es de la forma:
con r ≥ 0, M
i≥ 0. En esta direcci´ on, los trabajos [17] y [18] estudian el producto (??) y casos particulares cuando r = 0 y M
0> 0, cuando r = 1 y M
0, M
1> 0. H. Due˜ nas y F.
Marcell´ an hacen un estudio (ver [9]) de los polinomios ortogonales respecto al producto tipo Laguerre-Sobolev
hp, qi = Z
∞0
p(x)q(x)x
αe
−xdx + M p
0(0)q
0(0), con M > 0,
en el cual encuentran la respectiva ecuaci´ on diferencial de segundo orden que satisfacen y hacen una interpretaci´ on electrost´ atica de sus ceros. Posteriormente, (ver [8]) estudian una generalizaci´ on del anterior producto enfoc´ andolo en la forma:
hp, qi = Z
∞0
p(x)q(x)x
αe
−xdx + M p
(j)(0)q
(j)(0), con M > 0,
para analizar sus propiedades asint´ oticas con respecto a los polinomios de Laguerre cl´ asicos.
Un estudio (ver [23]) de car´ acter mucho m´ as general es presentado por H. G. Meijer qui´ en analiza un producto de la forma:
hp, qi = Z
∞0
p(x)q(x)x
αe
−xdx +
r
X
i=1
M
ip
(i)(0)q
(i)(0), con M > 0,
y en esta misma v´ıa, tambi´ en el trabajo (ver [2]) relativo a las propiedades de los ceros que es hecho por M. Alfaro, G. Lopez y M. Rezola.
Finalmente en el sentido de lo que con la presente se propone, se destacan los trabajos que se han hecho teniendo en cuenta los productos de tipo Laguerre-Sobolev tomando como referencias puntos de masa fuera del soporte de la medida, y de acuerdo a esto, se menciona lo hecho por H. Due˜ nas, E. Huertas y F. Marcell´ an respecto a las propiedades anal´ıticas (ver [7]), (f´ ormula de conexi´ on, representaci´ on hipergeom´ etrica, ecuaci´ on holon´ omica, etc.) de los polinomios ortogonales respecto al producto:
hp, qi = Z
∞0
p(x)q(x)e
−xx
αdx + M p(a)q(a), con a < 0 y M > 0,
y las propiedades asint´ oticas (ver [6]) de los polinomios ortogonales respecto al producto:
hp, qi = Z
∞0
p(x)q(x)e
−xx
αdx + N p
0(a)q
0(a), con a < 0 y N > 0.
6 1 Introducci´ on
1.2. Estructura del Trabajo
Nuestro prop´ osito en el presente trabajo es estudiar algunas propiedades anal´ıticas y alge- braicas de los polinomios n
L e
αn(x) o
n∈N
que son ortogonales respecto al producto:
hp, qi = Z
∞0
p(x)q(x)dµ +
j
X
k=0
M
kp
(k)(a)q
(k)(a), (1-3)
donde M
k≥ 0, a < 0, y dµ = e
−xx
αdx. Este tipo de producto se denomina diagonal debido a que si denotamos
P
a= p(a), p
0(a), · · · , p
(j)(a) , y
Q
a= q(a), q
0(a), · · · , q
(j)(a) , el producto se puede reescribir como
hp, qi = Z
∞0
p(x)q(x)e
−xx
αdx + P
aA (Q
a)
t,
donde A es una matriz diagonal de orden j + 1 que tiene la forma
A = diag (M
0,M
1, · · ·, M
j) .
La diferencia con trabajos previos que estudian productos de la forma (1-3), radica en que el punto masa a est´ a fuera del soporte de la medida, es decir, a < 0. Tal consideraci´ on se ha estudiado en algunos casos particulares: cuando j = 0 se tienen los trabajos [7] y [14];
cuando j = 1, M
0= 0, se puede ver [6]. Y un estudio de las propiedades asint´ oticas cuando j = 1 y µ es una medida de Borel positiva cualquiera, soportada en un subconjunto infinito de la recta real, se puede ver en [13].
La estructura de la presentaci´ on de los temas tratados en este trabajo es la siguiente: en
el cap´ıtulo 1 se hace un recuento de las propiedades anal´ıticas y algebraicas fundamentales
de los polinomios ortogonales cl´ asicos de Laguerre que son claves en la deducci´ on de las
propiedades asociadas a los polinomios perturbados. En el cap´ıtulo 2 se halla una f´ ormula
1.2 Estructura del Trabajo 7
de conexi´ on entre estos polinomios y la sucesi´ on de polinomios ortogonales de Laguerre,
adem´ as representamos estos polinomios como una funci´ on hipergeom´ etrica . En el cap´ıtulo
3 se determina la ecuaci´ on diferencial holon´ omica, y en el Cap´ıtulo 5 se estudian algunas
propiedades de los ceros de estos polinomios. Finalmente, como anexo, se muestran algunos
experimentos de tipo num´ erico para ver la validez de algunos de los resultados obtenidos, en
algunos casos particulares.
2. Preeliminares
Sea µ una medida de Borel positiva soportada en un subconjunto Ω infinito de la recta real tal que
R
Ω
|x|
ndµ(x) < ∞, para todo n. Se define el producto interno
h·, ·i
µ: P × P → R, por
hp, qi
µ= Z
Ω
p(x)q(x)dµ(x),
donde P es el espacio de los polinomios con coeficientes reales. Adem´ as, como es usual, se define la norma asociada k·k
µ: P →R
+∪ {0} , por
kpk
µ=
Z
Ω
|p(x)|
2dµ(x)
1/2.
Una sucesi´ on de polinomios {P
n(x)}
n∈Nes llamada sucesi´ on de polinomios ortogonales con respecto al producto h·, ·i
µsi para toda pareja de enteros no negativos n y m se satisfacen las condiciones:
1. El grado de P
n(x) es n.
2. hP
n, P
mi
µ= 0, si m 6= n.
3. kP
nk
2µ6= 0
Si el coeficiente principal de P
n(x) es 1 para todo n, se dice que {P
n(x)}
n∈Nes una sucesi´ on
de polinomios ortogonales m´ onicos, (SPOM). Los siguientes resultados pueden verse en [4],
[16], [20], [1] o [25].
9
Teorema 1 Cada medida de Borel positiva µ determina una ´ unica SPOM.
Proposici´ on 2 Sea µ una medida de Borel positiva y sea {P
n(x)}
n∈Nla correspondiente SPOM. Entonces se tienen los siguientes estamentos:
1. Satisfacen una relaci´ on de recurrencia a tres t´ erminos
P
n+1(x) = (x − α
n)P
n(x) − β
nP
n−1(x), definiendo P
−1(x) = 0, P
0(x) = 1, y donde
α
n= hxP
n, P
ni
µkP
nk
2µ, n ≥ 0, y
β
n= kP
nk
2µkP
n−1k
2µ, n ≥ 1.
2. Cada polinomio P
n(x) tiene n ceros reales y simples en el interior de la cobertura convexa de Ω.
3. Entre 2 ceros de P
n(x) hay un cero de P
n−1(x).
Una sucesi´ on de polinomios ortogonales {P
n(x)}
n∈Nse denomina cl´ asica si los polinomios de la sucesi´ on satisfacen una ecuaci´ on diferencial de segundo orden de la forma:
σ(x)φ
00(x) + τ (x)φ
0(x) + λ
nφ(x) = 0,
donde σ(x) es un polinomio de grado a lo sumo 2, τ (x) es un polinomio de grado exactamente 1 y λ
nrepresenta un n´ umero real. Los polinomios ortogonales de tipo cl´ asico (Hermite, Laguerre, Jacobi y Bessel) se destacan por su amplia gama de aplicaciones a la f´ısica cu´ antica, las aproximaciones racionales, las ecuaciones diferenciales, etc, y un estudio detallado de los mismos se puede ver por ejemplo en [10] o en [16].
En particular, los polinomios ortogonales m´ onicos de Laguerre {L
αn(x)}
n∈N(en honor al
matem´ atico franc´ es Edmond Nicolas Laguerre (1834-1886)), son los polinomios ortogonales
m´ onicos con respecto al producto interno:
10 2 Preeliminares
hP, Qi
α= Z
∞0
P (x)Q(x)e
−xx
αdx, con α > −1.
A continuaci´ on se mencionan algunas propiedades ´ utiles de este tipo de polinomios, cuya demostraci´ on se puede encontrar por ejemplo en [10], [4], [16] o [25].
Proposici´ on 3 Para todo n ∈ N, los polinomios ortogonales m´ onicos de Laguerre {L
αn(x)}
n∈N, satisfacen:
1. (F´ ormula de Recurrencia a 3 T´ erminos). Para todo n ∈ N
xL
αn(x) = L
αn+1(x) + (2n + 1 + α)L
αn(x) + n(n + α)L
αn−1(x). (2-1) con L
α0(x) = 1 y L
α1(x) = x − (α + 1).
2. Para todo n ∈ N
L
αn(x) = L
α+1n(x) + nL
α+1n−1(x). (2-2)
3. Para todo n ∈ N
kL
αnk
2α= n!Γ(n + α + 1). (2-3)
4. Para todo n ∈ N
(L
αn)
0(x) = nL
α+1n−1(x). (2-4)
5. Para todo n ∈ N
x (L
αn(x))
0= nL
αn(x) + n(n + α)L
αn−1(x). (2-5)
11
6. Para todo n ∈ N, L
αn(x) satisface la ecuaci´ on diferencial
xy
00+ (α + 1 − x) y
0= −ny. (2-6)
7. (F´ ormula de Christoffel-Darboux ). Si K
n(x, y) =
n
P
k=0
Lαk(x)Lαk(y)
k
Lαkk
2αdenota el n-´ esimo Polinomio N´ ucleo, entonces para todo n ∈ N :
K
n(x, y) = L
αn+1(x)L
αn(y) − L
αn+1(y)L
αn(x)
kL
αnk
2α(x − y) . (2-7)
Para las derivadas parciales del N´ ucleo K
n(x, y) se usar´ a la siguiente notaci´ on:
∂
j+k(K
n(x, y))
∂
jx∂
ky = K
n(j,k)(x, y),
y en este sentido se tiene la siguiente propiedad del N´ ucleo y sus derivadas parciales, cuya demostraci´ on se puede ver en [9] o en [8]:
Dado un polinomio p(x) de grado no mayor que n se satisface
K
n(0,k)(x, y), p(x)
α
= p
(k)(y). (2-8)
Definici´ on 4 Series hipergeom´ etricas y s´ ımbolo de Pochhammer Se define el s´ımbolo de Pochhammer o factorial trasladado, como
(a)
k= a (a + 1) (a + 2) · · · (a + k − 1) ,
para k > 0, y (a)
0= 1, donde a es un n´ umero complejo cualquiera. Por otra parte se considera la serie de potencias
∞
X
k=0
Q
pr=1
(α
r)
kQ
qs=1
(γ
r)
kx
kk! (2-9)
12 2 Preeliminares
=
∞
X
k=0
(α
1)
k· · · (α
p)
k(γ
1)
k· · · (γ
q)
kx
kk! , (2-10)
con p, q ∈ Z
+∪ {0} , adem´ as p ≤ q + 1; x, α
r, γ
r∈ R, y γ
r∈ R /
−.
Es natural aplicar el criterio de convergencia del cociente para determinar el radio de con- vergencia de la serie, as´ı que usando el s´ımbolo de Pochhammer, se tiene: Se concluye que la serie converge absolutamente para todo x si p ≤ q, y para |x| < 1 si p = q + 1. La serie diverge para todo x no nulo si p > q + 1. La serie (2-10) se denomina hipergeom´ etrica, y usualmente es notada como
∞
X
k=0
(α
1)
k· · · (α
p)
k(γ
1)
k· · · (α
q)
kx
kk! =:
pF
qα
1, · · · , α
pγ
1, · · · , γ
qx
,
o para m´ as brevedad:
p
F
q(α
r; γ
s; x) .
Para mayor informaci´ on respecto a las series hipergeom´ etricas, puede ver [10].
En particular, para todo n ∈ N, la representaci´on de L
αn(x) como serie hipergeom´ etrica es la siguiente:
L
αn(x) = (−1)
n(α + 1)
n∞
X
k=0
(−n)
k(α + 1)
kx
kk! , (2-11)
cuya deducci´ on se puede ver en [10], [4], [16] o [25].
3. F´ ormula de conexi´ on y y
Representaci´ on Hipergeom´ etrica
3.1. Introducci´ on
En este cap´ıtulo se establece una f´ ormula que relacionar´ a los polinomios n
L e
αn(x) o
n∈N
ortogo- nales con respecto al producto, (1-3), con los polinomios de Laguerre cl´ asicos de par´ ametro α, inicialmente para el caso en que j = 1, y despu´ es se discutir´ a brevemente el caso general, cuyo tratamiento es an´ alogo al proceso ya seguido. Esta f´ ormula permitir´ a expresar los polinomios perturbados en t´ erminos de tales polinomios cl´ asicos de Laguerre, y ser´ a importante para es- tudiar las principales propiedades anal´ıticas de los nuevos polinomios ortogonales heredadas por tal representaci´ on. En particular encontraremos una representaci´ on como funci´ on hiper- geom´ etrica de los polinomios n
L e
αn(x) o
n∈N
, similar a la que ya es conocida en los polinomios de Laguerre y que se ve en (2-11). Adicionalmente se expondr´ an los principales detalles y las condiciones necesarias que conducir´ an a la obtenci´ on de la Representaci´ on Hipergeom´ etrica en el caso general
3.2. F´ ormula de conexi´ on
Definimos el producto interno:
hp, qi = Z
∞0
p(x)q(x)e
−xx
αdx + M p(a)q(a) + N p
0(a)q
0(a), (3-1)
con p, q polinomios de coeficientes reales, M, N ∈ R
+, y a < 0 y denotaremos n
L e
αn(x) o a la sucesi´ on de polinomios m´ onicos ortogonales con respecto a este producto. Teniendo en
n∈Ncuenta que la sucesi´ on {L
αn(x)}
n∈Nes un conjunto de polinomios linealmente independiente, expresamos cada e L
αn(x) como combinaci´ on de polinomios de Laguerre cl´ asicos de par´ ametro α asi:
L e
αn(x) = L
αn(x) +
n−1
X
k=0
a
n,kL
αk(x), (3-2)
14 3 F´ ormula de conexi´ on y y Representaci´ on Hipergeom´ etrica
para algunos a
n,k∈ R, y para su determinaci´on expl´ıcita, se calcular´an los siguientes n productos (usando el producto usual de los Laguerre cl´ asicos notado como h, i
α)
D
L
αk, e L
αnE
α
= hL
αk, L
αni
α+
n−1
X
j=0
a
n,jL
αk(x), L
αj(x)
α
con 0 ≤ k < n.
El primer producto del miembro de la derecha es nulo por la ortogonalidad de L
αnteniendo en cuenta la variaci´ on de k; y en la suma, por la ortogonalidad de los L
αmse anulan todos los t´ erminos excepto cuando j = k. Es decir
D
L
αk, e L
αnE
α
= a
n,khL
αk(x), L
αk(x)i
α= a
n.kkL
αkk
2α, o lo que es lo mismo,
a
n,k= D
L
αk, e L
αnE
α
kL
αkk
2α. (3-3)
Por otra parte, D
L
αk, e L
αnE
= Z
∞0
L
αk(x)e L
αn(x)e
−xx
αdx + M L
αk(a)e L
αn(a) + N (L
αk)
0(a) L e
αn0(a)
= D
L
αk, e L
αnE
α
+ M L
αk(a)e L
αn(a) + N (L
αk)
0(a) L e
αn0(a).
El producto en el miembro de la izquierda es nulo por la ortogonalidad de los e L
αnas´ı que resulta:
D
L
αk, e L
αnE
α
= −M L
αk(a)e L
αn(a) − N (L
αk)
0(a) L e
αn0(a), y sustituyendo en (3-3) obtenemos:
a
n,k=
−M L
αk(a)e L
αn(a) − N (L
αk)
0(a) L e
αn0(a)
kL
αkk
2α.
Reemplazando esta ´ ultima expresi´ on en (3-2) se llega a
L e
αn(x) = L
αn(x) −
n−1
X
k=0
M L
αk(a)e L
αn(a)
kL
αkk
2αL
αk(x) −
n−1
X
k=0
N (L
αk)
0(a) L e
αn0(a)
kL
αkk
2αL
αk(x), y usando (2-7)
L e
αn(x) = L
αn(x) − M e L
αn(a)K
n−1(x, a) − N L e
αn0(a)K
n−1(0,1)(x, a). (3-4)
3.2 F´ ormula de conexi´ on 15
Con la idea de poder expresar K
n−1(0,1)(x, a) de forma m´ as simple en t´ erminos de polinomios de Laguerre cl´ asicos para simplificar las posteriores manipulaciones algebraicas, se multiplica (3-4) por (x − a)
2y tenemos
(x−a)
2L e
αn(x) = (x−a)
2L
αn(x)−(x−a)M e L
αn(a)(x−a)K
n−1(x, a)−N L e
αn0(a)(x−a)
2K
n−1(0,1)(x, a).
(3-5) Ahora buscaremos expresar (x − a)K
n−1(x, a) y (x − a)
2K
n−1(0,1)(x, a) como combinaci´ on de polinomios de Laguerre cl´ asicos de par´ ametro α. Usando (2-7) con grado n − 1 y deriv´ andola con respecto a y :
K
n−1(0,1)(x, y) = L
αn(x) L
αn−12 α
∂
∂y
L
αn−1(y) (x − y)
− L
αn−1(x) L
αn−12 α
∂
∂y
L
αn(y) (x − y)
= L
αn(x) L
αn−12 α
"
L
αn−1(y) + (x − y) L
αn−10(y) (x − y)
2#
− L
αn−1(x) L
αn−12 α
L
αn(y) + (x − y) (L
αn)
0(y) (x − y)
2= 1
L
αn−12 α
L
αn(x)L
αn−1(y)
(x − y)
2+ (x − y)L
αn(x) L
αn−10(y) (x − y)
2− L
αn−1(x)L
αn(y)
(x − y)
2− (x − y)L
αn−1(x) (L
αn)
0(y) (x − y)
2= 1
L
αn−12 α
L
αn(x)L
αn−1(y)
(x − y)
2− L
αn−1(x)L
αn(y) (x − y)
2+ (x − y)L
αn(x) L
αn−10(y)
(x − y)
2− (x − y)L
αn−1(x) (L
αn)
0(y) (x − y)
2!
= 1
L
αn−12 α
L
αn(x)L
αn−1(y) − L
αn−1(x)L
αn(y) (x − y)
2+ L
αn(x) L
αn−10(y) − L
αn−1(x) (L
αn)
0(y) (x − y)
! .
Finalmente, haciendo y = a y multiplicando en ambos miembros por (x − a)
2:
(x − a)
2K
n−1(0,1)(x, a) =
16 3 F´ ormula de conexi´ on y y Representaci´ on Hipergeom´ etrica
= L
αn(x)L
αn−1(a) L
αn−12 α
− L
αn−1(x)L
αn(a) L
αn−12 α
+ (x − a) L
αn(x) L
αn−10(a) L
αn−12 α
− (x − a) L
αn−1(x) (L
αn)
0(a) L
αn−12 α
(3-6) Usando (2-7) con grado n − 1 y (3-6) en (3-4) se obtiene:
(x − a)
2L e
αn(x) =
= (x − a)
2L
αn(x) − (x − a)M e L
αn(a) L
αn(x)L
αn−1(a) L
αn−12 α
− L
αn(a)L
αn−1(x) L
αn−12 α
!
−
N L e
αn0(a) L
αn(x)L
αn−1(a) L
αn−12 α
− L
αn−1(x)L
αn(a) L
αn−12 α
+ (x − a) L
αn(x) L
αn−10(a) L
αn−12 α
−(x − a) L
αn−1(x) (L
αn)
0(a) L
αn−12 α
! ,
= (x − a)
2L
αn(x) − (x − a)M e L
αn(a) L
αn(x)L
αn−1(a) L
αn−12 α
+(x − a)M e L
αn(a) L
αn(a)L
αn−1(x) L
αn−12 α
− N L e
αn0(a) L
αn(x)L
αn−1(a) L
αn−12 α
+N L e
αn0(a) L
αn−1(x)L
αn(a) L
αn−12 α
− (x − a)N L e
αn0(a) L
αn(x) L
αn−10(a) L
αn−12 α
+(x − a)N L e
αn0(a) L
αn−1(x) (L
αn)
0(a) L
αn−12 α
.
=
"
(x − a)
2− (x − a)M e L
αn(a) L
αn−1(a) L
αn−12 α
− N L e
αn0(a) L
αn−1(a) L
αn−12 α
−(x − a)N L e
αn0(a) L
αn−10(a) L
αn−12 α
#
L
αn(x) +
"
(x − a)M e L
αn(a) L
αn(a) L
αn−12 α
+N L e
αn0(a) L
αn(a) L
αn−12 α
+ (x − a)N L e
αn0(a) (L
αn)
0(a) L
αn−12 α
#
L
αn−1(x)
=
"
(x − a)
2− (x − a) M e L
αn(a) L
αn−1(a) L
αn−12 α
+ N L e
αn0(a) L
αn−10(a) L
αn−12 α
!
−N L e
αn0(a) L
αn−1(a) L
αn−12 α
#
L
αn(x) +
"
(x − a) M e L
αn(a) L
αn(a) L
αn−12 α
+ N L e
αn0(a) (L
αn)
0(a) L
αn−12 α
!
+N
L e
αn 0(a) L
αn(a) L
αn−12 α
#
L
αn−1(x)
3.2 F´ ormula de conexi´ on 17
luego:
(x − a)
2L e
αn(x) = p(x)L
αn(x) + q(x)L
αn−1(x) , (3-7) donde p(x) y q(x) son polinomios de segundo y primer grado respectivamente y est´ an repre- sentados por las f´ ormulas:
p(x) = (x − a)
2+ A
n−1(x − a) + B
n−1, (3-8)
donde
A
n−1=
−N L e
αn0(a) L
αn−10(a) − M e L
αn(a)L
αn−1(a) L
αn−12 α
, B
n−1=
−N L e
αn0(a)L
αn−1(a) L
αn−12 α
y
q(x) = C
n−1(x − a) + D
n−1(3-9)
con
C
n−1=
M e L
αn(a)L
αn(a) + N
L e
αn 0(a) (L
αn)
0(a) L
αn−12 α
y D
n−1= N
L e
αn 0(a)L
αn(a) L
αn−12 α
Ahora se quiere encontrar expresiones para L e
αn0(a) y e L
αn(a). Derivando con respecto a x (3-4) y haciendo x = a se obtiene
L e
αn0(a) = (L
αn)
0(a) − M e L
αn(a)K
n−1(1,0)(a, a) − N L e
αn0(a)K
n−1(1,1)(a, a), (3-10) adem´ as, haciendo x = a en (3-4) tambi´ en:
L e
αn(a) = L
αn(a) − M e L
αn(a)K
n−1(a, a) − N
L e
αn 0(a)K
n−1(0,1)(a, a), (3-11)
es decir se tiene el sistema de dos ecuaciones con dos inc´ ognitas
L e
αn0(a) y L e
αn(a)
:
[1 + M K
n−1(a, a)] e L
αn(a) + h
N K
n−1(0,1)(a, a) i L e
αn0(a) = L
αn(a) h
M K
n−1(1,0)(a, a) i
L e
αn(a) + h
1 + N K
n−1(1,1)(a, a) i L e
αn0(a) = (L
αn)
0(a).
Para solucionarlo, tomamos
D
M,Nn,α,a= det 1 + M K
n−1(a, a) N K
n−1(0,1)(a, a) M K
n−1(1,0)(a, a) 1 + N K
n−1(1,1)(a, a)
!
= (1 + M K
n−1(a, a))
1 + N K
n−1(1,1)(a, a)
− M N
K
n−1(1,0)2(a, a)
18 3 F´ ormula de conexi´ on y y Representaci´ on Hipergeom´ etrica
W
Leαn(a)
= det L
αn(a) N K
n−1(0,1)(a, a) (L
αn)
0(a) 1 + N K
n−1(1,1)(a, a)
!
= L
αn(a)
1 + N K
n−1(1,1)(a, a)
− (L
αn)
0(a)N K
n−1(0,1)(a, a)
W (
Leαn)
0(a)= det 1 + M K
n−1(a, a) L
αn(a) M K
n−1(1,0)(a, a) (L
αn)
0(a)
!
= (1 + M K
n−1(a, a)) (L
αn)
0(a) − M K
n−1(1,0)(a, a)L
αn(a).
De esta forma
L e
αn(a) = W
Leα n(a)W =
L
αn(a)
1 + N K
n−1(1,1)(a, a)
− (L
αn)
0(a)N K
n−1(0,1)(a, a) (1 + M K
n−1(a, a))
1 + N K
n−1(1,1)(a, a)
− M N
K
n−1(1,0)2(a, a)
, (3-12)
L e
αn0(a) =
W (
Leαn)
0(a)W = (1 + M K
n−1(a, a)) (L
αn)
0(a) − M K
n−1(1,0)(a, a)L
αn(a) (1 + M K
n−1(a, a))
1 + N K
n−1(1,1)(a, a)
− M N
K
n−1(1,0)2(a, a) , (3-13) siempre que
(1 + M K
n−1(a, a))
1 + N K
n−1(1,1)(a, a)
− M N K
n−1(1,0) 2(a, a) 6= 0, (3-14)
lo cual se tiene, por ejemplo, en los casos en que M > 0 y N = 0, o cuando M = 0 y N > 0, como se muestra, respectivamente, en [7] y [6]. De hecho, mostraremos la siguiente:
Proposici´ on 5 Definiendo D
n,α,aM,N= (1 + M K
n−1(a, a))
1 + N K
n−1(1,1)(a, a)
− M N K
n−1(1,0) 2(a, a), para M y N no negativos, se tiene que
(1 + M K
n−1(a, a))
1 + N K
n−1(1,1)(a, a)
− M N
K
n−1(1,0)2(a, a) ≥ 1. (3-15)
Demostraci´ on. En efecto, n´ otese que D
n,α,aM,Npuede ser escrito como:
D
n,α,aM,N= 1 + N K
n−1(1,1)(a, a) + M K
n−1(a, a) + M N
K
n−1(1,1)(a, a)K
n−1(a, a) −
K
n−1(1,0)2(a, a)
, de acuerdo a la representaci´ on de K
n−1(1,1)(a, a), K
n−1(a, a), se sabe que estos son positivos, y por tanto:
1 + N K
n−1(1,1)(a, a) + M K
n−1(a, a) ≥ 1,
3.2 F´ ormula de conexi´ on 19
as´ı que bastar´ıa mostrar que K
n−1(1,1)(a, a)K
n−1(a, a) −
K
n−1(1,0)2(a, a), es no negativo, o lo que es igual:
K
n−1(1,0)(a, a) ≤
K
n−1(1,1)(a, a)
1/2(K
n−1(a, a))
1/2,
y de acuerdo a las representaciones de K
n−1(x, y) y sus derivadas parciales evaluadas en a, es equivalente a demostrar que:
n−1
X
k=0
(L
αk)
0(a)L
αk(a) kL
αkk
2α≤
n−1
X
k=0
(L
αk)
0(a)
2kL
αkk
2α!
1/2 n−1X
k=0
(L
αk(a))
2kL
αkk
2α!
1/2. (3-16)
Para mostrar esta ´ ultima, si se definen los vectores u = (L
α0)
0(a)
kL
α0k
α, (L
α1)
0(a)
kL
α1k
α, · · · , L
αn−10(a) L
αn−1α
! ,
v = L
α0(a)
kL
α0k
α, L
α1(a)
kL
α1k
α, · · · , L
αn−1(a) L
αn−1α
! ,
y se usa la desigualdad de Cauchy-Bunyakovskii-Schwarz obtenemos:
|hu, vi| ≤ kuk kvk ,
que es precisamente (3-16). Finalmente los resultados obtenidos en el presente cap´ıtulo se resumen en el siguiente
Teorema 6 Sea n
L e
αn(x) o
n∈N
la sucesi´ on m´ onica de polinomios ortogonales con respecto al producto (3-1). Entonces
(x − a)
2L e
αn(x) = p(x)L
αn(x) + q(x)L
αn−1(x), n ≥ 1,
donde q(x) y p(x) son polinomios de grado 1 y 2 respectivamente y est´ an dados por p(x) = (x − a)
2+ A
n−1(x − a) + B
n−1,
y
q(x) = C
n−1(x − a) + D
n−1, con
A
n−1=
−N L e
αn0(a) L
αn−10(a) − M e L
αn(a)L
αn−1(a) L
αn−12 α
, B
n−1=
−N L e
αn0(a)L
αn−1(a) L
αn−12 α
(3-17)
20 3 F´ ormula de conexi´ on y y Representaci´ on Hipergeom´ etrica
C
n−1=
M e L
αn(a)L
αn(a) + N
L e
αn 0(a) (L
αn)
0(a) L
αn−12 α
y D
n−1= N
L e
αn 0(a)L
αn(a) L
αn−12 α
, (3-18) donde
L e
αn(a) =
L
αn(a)
1 + N K
n−1(1,1)(a, a)
− (L
αn)
0(a)N K
n−1(0,1)(a, a) (1 + M K
n−1(a, a))
1 + N K
n−1(1,1)(a, a)
− M N
K
n−1(1,0)2(a, a)
, (3-19)
y
L e
αn0(a) = (1 + M K
n−1(a, a)) (L
αn)
0(a) − M K
n−1(1,0)(a, a)L
αn(a) (1 + M K
n−1(a, a))
1 + N K
n−1(1,1)(a, a)
− M N
K
n−1(1,0)2(a, a)
. (3-20)
3.3. Caso general
A continuaci´ on se considerar´ a el producto (1-3), y la correspondiente sucesi´ on de polinomios ortogonales n
L e
αn(x) o
n∈N
. El procedimiento para encontrar la f´ ormula de conexi´ on es igual al seguido para obtener (3-7), y esbozaremos los principales detalles del mismo. Se supone que L e
αn(x) puede ser escrito como combinaci´ on de Laguerre cl´ asicos como en (3-2), y se obtiene la f´ ormula:
L e
αn(x) = L
αn(x) −
j
X
k=0
M
kL e
αn(k)(a)K
n−1(0,k)(x, a), (3-21)
que es similar a (3-4) cuando j = 1. Para hallar las j + 1 inc´ ognitas L e
αn(k)(a), se deriva j veces (3-21) y se hace x = a en las j + 1 ecuaciones. Definiendo la matriz (c
ij) as´ı:
c
ik=
( 1 + M
k−1K
n−1(i−1,k−1)(a, a), si i = k M
k−1K
n−1(i−1,k−1)(a, a), si i 6= k,
el sistema de ecuaciones tendr´ a soluci´ on siempre y cuando:
det(c
ik) 6= 0.
Suponiendo lo ´ ultimo y usando el hecho (ver [8] para detalles) que:
(x − a)
j+1K
n−1(0,j)(x, a) = j!
L
αn−12 α
L
αn(x)T
jL
αn−1(x; a) − L
αn−1(x)T
j(L
αn(x; a)) ,
donde T
jL
αn−1(x; a) y T
j(L
αn(x; a)) son los polinomios de Taylor de grado j de L
αn−1(x) y L
αn(x) respectivamente alrededor de x = a, se puede obtener la f´ ormula de conexi´ on:
(x − a)
j+1L e
αn(x) = f
1(x)L
αn(x) + f
2(x)L
αn−1(x), (3-22)
donde f
1es un polinomio de grado j + 1 y f
2es un polinomio de grado j, y sus expresiones
est´ an dadas en t´ erminos de los polinomios de Taylor cuyo grado var´ıa de 0 a j, alrededor de
x = a.
3.4 Representaci´ on hipergeom´ etrica 21
3.4. Representaci´ on hipergeom´ etrica
Los polinomios (3-8) y (3-9) en la f´ ormula de conexi´ on pueden ser escritos como:
p(x) = x
2+ bx + c, donde
b = A
n−1− 2a, c = a
2− A
n−1a + B
n−1, y
q(x) = C
n−1x + d,
donde el coeficiente d est´ a representado por la expresi´ on:
d = D
n−1− C
n−1a.
Teniendo en cuenta esta nueva perspectiva de p(x) y q(x), se sustituyen en la f´ ormula (3-7) para obtener:
(x − a)
2L e
αn(x) = x
2L
αn(x) + bxL
αn(x) + cL
αn(x) + C
n−1xL
αn−1(x) + dL
αn−1(x),
y ahora recurriendo a (2-1), us´ andola repetidamente y haciendo las simplificaciones necesa- rias, tenemos los siguientes resultados:
(x − a)
2L e
αn(x) = x L
αn+1(x) + (2n + 1 + α)L
αn(x) + n(n + α)L
αn−1(x) +bxL
αn(x) + cL
αn(x) + C
n−1xL
αn−1(x) + dL
αn−1(x)
= xL
αn+1(x) + (2n + 1 + α)xL
αn(x) + n(n + α)xL
αn−1(x) +bxL
αn(x) + cL
αn(x) + C
n−1xL
αn−1(x) + dL
αn−1(x)
= xL
αn+1(x) + [(2n + 1 + α) + b] xL
αn(x)
+ [n(n + α) + C
n−1] xL
αn−1(x) + cL
αn(x) + dL
αn−1(x),
una vez m´ as usamos (2-1) y se factorizan los Laguerre cl´ asicos de los diferentes grados que aparecen y se obtiene:
(x − a)
2L e
αn(x) = L
αn+2(x) + (2n + 3 + α)L
αn+1(x) + (n + 1) (n + 1 + α)L
αn(x) + [(2n + 1 + α) + b] L
αn+1(x) + (2n + 1 + α)L
αn(x)
+n(n + α)L
αn−1(x) + [n(n + α) + C
n−1] L
αn(x) + (2n − 1 + α)L
αn−1(x) + (n − 1) (n − 1 + α)L
αn−2(x) + cL
αn(x) + dL
αn−1(x).
o lo que es igual:
(x − a)
2L e
αn(x) = L
αn+2(x) + [(2n + 3 + α) + (2n + 1 + α) + b] L
αn+1(x)
+L
αn(x) [(n + 1) (n + 1 + α) + (2n + 1 + α + b) (2n + 1 + α) +n(n + α) + C
n−1+ c] + L
αn−1(x) [((2n + 1 + α) + b) n(n + α) + (n(n + α) + C
n−1) (2n − 1 + α) + d]
+ (n(n + α) + C
n−1) (n − 1) (n − 1 + α)L
αn−2(x),
22 3 F´ ormula de conexi´ on y y Representaci´ on Hipergeom´ etrica
finalmente,
(x − a)
2L e
αn(x) = L
αn+2(x) + E
nL
αn+1(x) + F
nL
αn(x) + G
nL
αn−1(x) + H
nL
αn−2(x), (3-23) donde,
E
n= 4n + 4 + 2α + b,
F
n= (n + 1) (n + 1 + α) + (2n + 1 + α + b) (2n + 1 + α) + n(n + α) + C
n−1+ c, G
n= ((2n + 1 + α) + b) n(n + α) + (n(n + α) + C
n−1) (2n − 1 + α) + d,
H
n= (n(n + α) + C
n−1) (n − 1) (n − 1 + α).
Ahora, usando (2-11) en (3-23) se tiene:
(x − a)
2L e
αn(x) = (−1)
n(α + 1)
n+2∞
X
k=0
(−n − 2)
k(α + 1)
kx
kk! − E
n(−1)
n(α + 1)
n+1∞
X
k=0
(−n − 1)
k(α + 1)
kx
kk!
+F
n(−1)
n(α + 1)
n∞
X
k=0
(−n)
k(α + 1)
kx
kk! − G
n(−1)
n(α + 1)
n−1∞
X
k=0
(−n + 1)
k(α + 1)
kx
kk!
+H
n(−1)
n(α + 1)
n+2∞
X
k=0
