MATE Dr. Pedro V squez UPRM. P. V squez (UPRM) Conferencia 1/ 15

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Dr. Pedro V·squez

UPRM

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Problemas de optimizaciÛn

En las secciones anteriores han aprendido a hallar valores extremos, n˙meros crÌticos, intervalos de crecimiento, decrecimiento, cÛncava hacia arriba, cÛncava hacia abajo, puntos de ináexiÛn y la regla de LíHospital, en esta secciÛn se ponen en pr·ctica todo lo aprendido anteriormente para resolver problemas de la vida real. Por ejemplo: maximizar ·reas,

vol˙menes; minimizar costos, distancias, tiempos, etc. El gran reto es convertir el problema dado en forma verbal en un problema de

optimizaciÛn.

Pasos para resolver problemas de optimizaciÛn:

1 Entender el problema: Recuerde leer el problema hasta entenderlo, ello incluye deÖniciÛn de variables, datos que se incluyen en el problema.

2 Hacer un diagrama: En muchos problemas es importante que haga un diagrama para entender mejor al problema.

P. V·squez (UPRM) Conferencia 2 / 15

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3 Introducir notaciÛn: Asigne una variable a la cantidad que va a ser optimizada (variable dependiente) y seleccione otras variables a las cantidades desconocidas.

4 Variable dependiente: Exprese a la variable dependiente en tÈrminos de las otras variables.

5 SimpliÖcar variable dependiente: Si la variable dependiente depende de m·s de una variable independiente, trate de encontrar la relaciÛn entre ellas, tal que la variable dependiente dependa de una sola variable.

6 Valores m·ximos y mÌnimos locales: Determine los n˙meros crÌticos de f , y use el criterio de la primera o segunda derivada.

7 Resolver el problema: Use los mÈtodos de las secciones 4.1 y 4.3

para hallar los m·ximos o mÌnimos absolutos o locales, dependiendo

del problema.

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Prueba de la primera derivada para hallar extremos absolutos:

Suponga que c es un n˙mero crÌtico de una funciÛn f continua deÖnida en un intervalo:

1

Si f ⁰ ( x ) > 0 para todo x < c y f ⁰ ( x ) < 0 para todo x > c, entonces f ( c ) es el valor m·ximo absoluto de f .

2

Si f ⁰ ( x ) < 0 para todo x < c y f ⁰ ( x ) > 0 para todo x > c, entonces f ( c ) es el valor mÌnimo absoluto de f .

Ejemplos : Formule y resuelva los siguientes problemas de optimizaciÛn . 1. Halle dos n˙meros cuyo diferencia es 100 y cuyo suma es mÌnima.

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2. Determine la distancia mÌnima entre las par·bolas y = x ² + 1 y

y = x " ^x ² ^.

(6)

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3. Halle las dimensioes de un rect·ngulo con ·rea de 1000 m ² , cuyo perimetro es el menor posible.

(7)

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4. Una caja con una base cuadrada y abierta tiene un volumen de 32,000

cm ³ . Encuentre las dimensiones de la caja para que se minimize la

cantidad de material usado.

(8)

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5. Halle las dimensiones del trapezoide m·s grande que que se puede inscribir en un cÌrculo de radio 1 y cuya base es el di·metro del cÌrculo.

(9)

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6. Un cilindro triangular recto est· inscrito en un cono de altura h y radio

r . Halle el mayor volumen posible del cilindro.

(10)

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7. Un poster debe tener un ·rea de 180 pul ² con un margen de 1 pulgada en los lados y la parte de abajo y dos pulgadas en la parte de arriba.

Determine las dimensiones tal que el ·rea sea la mayor posible.

(11)

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8. Durante el verano Mercedes prepara y vende collares en la playa. El verano pasado ella vendiÛ los collares por $10 cada uno y su promedio de ventas fue de 20 por dÌa. Si aumentaba el precio en $1, encontrÛ que en promedio sus ventas disminuÌan en 2 collares por dÌa.

a. Halle la funciÛn de demanda, asuma que es lineal.

b.Si el material por cada collar es de $6, determine el precio de venta para

que Mercedes maximize sus ganancias.

(12)

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9. Un bote sale de un puerto a las 2:00 pm y viaja hacia el sur a una velocidad de 20 km/h. Otro bote se dirige al este a una velocidad de 15 km/h y llega al mismo puerto a las 3:00 pm. A que hora estuvieron los botes lo m·s cercano posible?

(13)

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10. Una estatua de 6 m. de altura tiene su base a 2 m. arriba del nivel del

ojo de un observador. øA quÈ distancia de la estatua debe colocarse el

observador para que el ·ngulo subtendido desde su ojo a la estatua sea

m·ximo?.

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Problemas de optimizaciÛn

vol˙menes; minimizar costos, distancias, tiempos, etc. El gran reto es convertir el problema dado en forma verbal en un problema de

optimizaciÛn.

Pasos para resolver problemas de optimizaciÛn:

1 Entender el problema: Recuerde leer el problema hasta entenderlo, ello incluye deÖniciÛn de variables, datos que se incluyen en el problema.

2 Hacer un diagrama: En muchos problemas es importante que haga un diagrama para entender mejor al problema.

3 Introducir notaciÛn: Asigne una variable a la cantidad que va a ser optimizada (variable dependiente) y seleccione otras variables a las cantidades desconocidas.

4 Variable dependiente: Exprese a la variable dependiente en tÈrminos de las otras variables.

5 SimpliÖcar variable dependiente: Si la variable dependiente depende de m·s de una variable independiente, trate de encontrar la relaciÛn entre ellas, tal que la variable dependiente dependa de una sola variable.

6 Valores m·ximos y mÌnimos locales: Determine los n˙meros crÌticos de f , y use el criterio de la primera o segunda derivada.

7 Resolver el problema: Use los mÈtodos de las secciones 4.1 y 4.3

para hallar los m·ximos o mÌnimos absolutos o locales, dependiendo

del problema.

Prueba de la primera derivada para hallar extremos absolutos:

Suponga que c es un n˙mero crÌtico de una funciÛn f continua deÖnida en un intervalo:

Si f 0 ( x ) > 0 para todo x < c y f 0 ( x ) < 0 para todo x > c, entonces f ( c ) es el valor m·ximo absoluto de f .

Si f 0 ( x ) < 0 para todo x < c y f 0 ( x ) > 0 para todo x > c, entonces f ( c ) es el valor mÌnimo absoluto de f .

Ejemplos : Formule y resuelva los siguientes problemas de optimizaciÛn . 1. Halle dos n˙meros cuyo diferencia es 100 y cuyo suma es mÌnima.

2. Determine la distancia mÌnima entre las par·bolas y = x 2 + 1 y

y = x " x 2 .

3. Halle las dimensioes de un rect·ngulo con ·rea de 1000 m 2 , cuyo perimetro es el menor posible.

4. Una caja con una base cuadrada y abierta tiene un volumen de 32,000

cm 3 . Encuentre las dimensiones de la caja para que se minimize la

cantidad de material usado.

5. Halle las dimensiones del trapezoide m·s grande que que se puede inscribir en un cÌrculo de radio 1 y cuya base es el di·metro del cÌrculo.

6. Un cilindro triangular recto est· inscrito en un cono de altura h y radio

r . Halle el mayor volumen posible del cilindro.

7. Un poster debe tener un ·rea de 180 pul 2 con un margen de 1 pulgada en los lados y la parte de abajo y dos pulgadas en la parte de arriba.

Determine las dimensiones tal que el ·rea sea la mayor posible.

8. Durante el verano Mercedes prepara y vende collares en la playa. El verano pasado ella vendiÛ los collares por $10 cada uno y su promedio de ventas fue de 20 por dÌa. Si aumentaba el precio en $1, encontrÛ que en promedio sus ventas disminuÌan en 2 collares por dÌa.

a. Halle la funciÛn de demanda, asuma que es lineal.

b.Si el material por cada collar es de $6, determine el precio de venta para

que Mercedes maximize sus ganancias.

9. Un bote sale de un puerto a las 2:00 pm y viaja hacia el sur a una velocidad de 20 km/h. Otro bote se dirige al este a una velocidad de 15 km/h y llega al mismo puerto a las 3:00 pm. A que hora estuvieron los botes lo m·s cercano posible?

10. Una estatua de 6 m. de altura tiene su base a 2 m. arriba del nivel del

ojo de un observador. øA quÈ distancia de la estatua debe colocarse el

observador para que el ·ngulo subtendido desde su ojo a la estatua sea

m·ximo?.

Si f ⁰ ( x ) > 0 para todo x < c y f ⁰ ( x ) < 0 para todo x > c, entonces f ( c ) es el valor m·ximo absoluto de f .

Si f ⁰ ( x ) < 0 para todo x < c y f ⁰ ( x ) > 0 para todo x > c, entonces f ( c ) es el valor mÌnimo absoluto de f .

2. Determine la distancia mÌnima entre las par·bolas y = x ² + 1 y

y = x " ^x ² ^.

3. Halle las dimensioes de un rect·ngulo con ·rea de 1000 m ² , cuyo perimetro es el menor posible.

cm ³ . Encuentre las dimensiones de la caja para que se minimize la

7. Un poster debe tener un ·rea de 180 pul ² con un margen de 1 pulgada en los lados y la parte de abajo y dos pulgadas en la parte de arriba.