Matem´aticas Financieras

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Matem´ aticas Financieras

Dr. Daniel A. Jaume Prof. Gonzalo Molina

Esta versi´ on: December 16, 2012

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Valor tiempo del dinero

1.1 Introducci´ on

El tema de este libro es el valor-tiempo del dinero: escencialmente un peso hoy no vale lo mismo que un peso dentro de un a˜ no, en el sentido de la cantidad de bienes y servicios que podemos adquirir es diferente. Esto se debe principalmente a dos factores: el costo de oportunidad y la inflaci´ on.

Pero, ¿Qu´ e es el dinero?

Definici´ on 1.1 El dinero es todo aquello que constituye un medio de cambio o de pago com´ unmente aceptado.

Caracter´ısticas:

1. Carece de valor intr´ınseco: nos interesa porque podemos usarlo para adquirir bienes y servicios.

2. El estado es el ´ unico que puede imprimirlo: moneda de curso legal.

3. No son s´ olo monedas y billetes:

(a) Monedas y billetes,

(b) Dep´ ositos a la vista o cuentas corrientes (cheques y tarjetas d´ ebito) y tarjetas de cr´ edito,

(c) Bonos y acciones, (d) Dep´ ositos a plazos.

(e) Rentas (sueldos, jubilaciones, becas, etc.),

(f) Instrumentos financieros (futuros, opciones, seguros, etc.), (g) Bienes (casas, autos, propiedades, muebles, etc.)

Los tipos de “dinero” listados arriba, est´ an ordenado de m´ as l´ıquidos a menos l´ıquidos. Un valor es m´ as l´ıquido cuanto m´ as f´ acil sea intercambiarlo por bienes y servicios.

1

(8)

2 CHAPTER 1. VALOR TIEMPO DEL DINERO

1.1.1 Funciones del dinero

Las funciones que cumple el dinero son tres:

1. Es un dep´ osito de valor.

2. Es una unidad de medida o cuenta.

3. Es un medio de cambio.

Decimos que el dinero es un dep´ osito de valor pues nos permite transferir poder adquisitivo espacial y temporalmente. El dinero que ganamos en un lugar puede ser usado para adquirir bienes y servicios en otro lugar, y el dinero ganado hoy puede ser intercambiado por bienes y servicios en alg´ un momento del futuro.

Decimos que el dinero es una unidad de medida o cuenta pues es en t´ erminos de dinero que se expresan los precios y las deudas. El dinero es el patron con el que medimos las transacciones econ´ omicas.

Decimos que el dinero es un medio de cambio, todas las personas e insti- tuciones aceptan intercambiar bienes y servicios por dinero.

Es claro que no todos los bienes conservan su valor el tiempo, por ejemplo las manzanas reci´ en cosechadas tienen claramente un valor (pueden ser intercambi- adas por otros bienes y servicios), pero despu´ es de un tiempo es poco probable que algui´ en acepte intercambiar sus bienes por lo que quede de nuestras vie- jas manzanas. Por otro lado si deseamos adquirir alg´ un bien en alg´ un punto lejano a nuestro lugar de residencia, algunos bienes son m´ as transportables que otros, por ejemplo, es m´ as f´ acil mover oro que sandias (considereando la relaci´ on peso/valor).

Es claro que podr´ıamos usar oro como dep´ osito de valor, pero este es muy incomodo como unidad de medida y cuenta, pues todos deber´ıamos disponer de equipos (balanzas) y conocimientos de metalurg´ıa (pues el oro viene con distintos grados de pureza), para poder intercambiar la cantidad adecuada de oro por los bienes y servicios que deseamos adquirir.

1.1.2 Trueque

La mejor forma de entender las funciones del dinero es imaginar como era el mundo antes de su aparici´ on, lo que se conoce como econom´ıa de intercambio o trueque. El dinero es una eficaz herramienta que surgi´ o de manera natural a medida que las sociedades fueron desarrollando econom´ıas cada vez m´ as com- plejas. Las primeras sociedades ten´ıan una econom´ıa de trueque: los bienes eran intercambiados directamente por otros bienes. La principal desventaja de este tipo de econom´ıas es que requiere de una doble coincidencia de deseos (tem- poral y espacial) para que dos agentes intercambien bienes. Por ejemplo, si yo hoy tengo peras y deseo cuchillos, debo hallar (espacial) algui´ en que hoy quiera peras y que hoy tenga cuchillos (temporal). Esto lleva de manera natural a:

1. una baja divisi´ on del trabajo (poca especializaci´ on),

(9)

1.1. INTRODUCCI ´ ON 3 2. una econom´ıa sencilla: s´ olo se pueden hacer transacciones muy sencillas.

3. es dific´ıl trasladar valor temporalmente, e inclusve espacialmente.

El dinero permite transacciones indirectas, y en este sentido es muy superior al trueque, donde debe existir una doble coincidencias de deseos para realizar intercambios.

1.1.3 Un esquema del surgimiento del dinero fiduciario

El dinero que no tiene valor intr´ınseco se denomina dinero fiduciario, ya que se establece como dinero por decreto. Esto es lo normal en casi todos los paises de mundo, aunque hist´ oricamente las econom´ıas utilizaron durante mucho tiempo mercanc´ıas con valor intr´ınseco a modo de dinero: semillas de cacao, conchas de mar, aceite de oliva, sal, plata, oro, etc.. Estos son ejemplos de lo que se denomina dinero mercanc´ıa.

No es dif´ıcil de entender como surje un dinero mercanc´ıa como el oro: facilita el intercambio (todo el mundo esta dispuesto a aceptarlo por su valor intr´ınseco), es f´ acil de transportar (con respecto a la relaci´ on peso/valor) y adem´ as sirve para trasladar valor en el tiempo al conservar generalmente su valor en el tiempo.

Es m´ as dificil entender como surje el dinero fiduciario. ¿Qu´ e hizo que la gente

comenzara a valorar algo que carece de valor intr´ınseco: esos pedazos de papel

que llamamos dinero? En realidad el proceso tomo varios siglos, pero se puede

resumir al siguiente esquema. En una econom´ıa que usa oro como dinero mer-

canc´ıa, la gente debe llevar consigo bolsas con oro. Para efectuar una transacci´ on

comprador y vendedor deben concordar en el peso y la pureza del oro a ser in-

tercambiado por el servicio o mercanc´ıa. Este proceso de pesado y verificaci´ on

de la pureza lleva su tiempo y requiere de conocimientos de metalurg´ıa. Para

simplificar la operaci´ on y reducir sus costes el gobierno decide acu˜ nar monedas

de oro de un peso y pureza conocidos. Est´ an monedas son m´ as f´ aciles de llevar

y usar que el oro en bruto. Al poco tiempo todo el mundo usa las monedas y

casi no circula oro sin acu˜ nar. Luego, el gobierno y los bancos empiezan a emitir

certificados de oro: trozos de papel que dicen que Juan Perez tiene 12 kg. de oro

el banco tal o cual, o certificados de oro del gobierno que dicen, por ejemplo,

vale por medio kilo de oro. La gente empieza a aceptar estos papeles, y los van

a canjar por oro (al banco o al ayuntamiento). Una vez que la gente comienza a

verificar la veracidad de estas promesas de pago, y al ser m´ as f´ aciles de guardar

y llevar, estos certificados se vuelven tan valiosos como el mismo oro y a la

larga nadie lleva oro, sino estos certificados oficiales respaldados por oro: los

certificados se convierten en el patron monetario. Ya solo resta un paso para el

surgimiento del dinero fiduciario: si nadie se molesta en canjear los billetes por

oro, el respaldo del oro deja de ser relevante. Mientras todo el mundo continue

aceptando los billetes de papel, estos tendr´ an valor y servir´ an de dinero.

(10)

4 CHAPTER 1. VALOR TIEMPO DEL DINERO

1.2 Valor-tiempo del dinero

La matem´ atica financiera se ocupa de modelar el efecto del tiempo sobre el valor nominal del dinero. Es lo que llamaremos el valor-tiempo del dinero. El siguiente par de ejemplos clarifica la cuesti´ on:

Ejemplo 1.2 Tener hoy $ 1.000 es mejor que tener (hoy) s´ olo $ 50.

Ejemplo 1.3 Es mejor tener $ 100 hoy que tener $ 100 dentro de un a˜ no.

De este par de ejemplos podemos concluir:

Conclusi´ on 1.4 De dos montos disponibles al mismo instante de tiempo, prefe- rimos el mayor.

Conclusi´ on 1.5 De dos montos iguales disponibles en diferentes momentos, preferimos el monto disponible antes.

Problema 1.6 En base a las conclusiones anteriores. ¿Qu´ e es mejor? $ 100 hoy o $ 75 dentro de un a˜ no.

El problema surge al comparar montos distintos disponibles en diferentes momentos del tiempo (donde el monto futuro es mayor que el monto presente):

¿Qu´ e es mejor, $1.000 hoy, o $1.350 dentro de un a˜ no?

Todo depende del agente considerado y de su costo de oportunidad. El costo de oportunidad hace referencia al hecho de que cada vez que optamos por una cosa, hay un universo de alternativas que desechamos. La alternativa desechada de mayor rendimiento es el costo de oportunidad en el que incurrimos al tomar una decisi´ on.

Volviendo a nuestro problema de decidir que es mejor, si $ 1.000 hoy o $ 1.350 dentro de un a˜ no. Si el agente puede invertir los $ 1.000 de hoy y ganar con certeza $ 500 extras al cabo de un a˜ no, a fin de a˜ no tendr´ a $ 1.500, lo que es mejor que los $ 1 350. Para este agente $ 1.000 pesos hoy son mejores que

$ 1.350 dentro de un a˜ no (su costo de oportunidad es mayor que el rendimieno ofrecido al agente). Para otro agente los $ 1.000 hoy son lo mismo que $ 1.350 dentro de un a˜ no, en el sentido de que el puede invertir estos $ 1.000 en alguna otra opci´ on de inversi´ on y obtener la misma ganancia de $ 350 al cabo de un a˜ no. Este agente es indiferente entre $ 1.000 hoy o $ 1.350 a fin de a˜ no. Para finalizar, para un tercer agente $ 1.000 hoy es una peor inversi´ on que recibir $ 1.350 a fin de a˜ no, pues todas las otras alternativas de inversi´ on que posee le reportan al cabo de un a˜ no menos de $ 350 de ganancia.

En el an´ alisis anterior la noci´ on suyacente es la de equivalencia finaciera:

Definici´ on 1.7 Dos capitales C

₁

y C

₂

, impuestos en momentos t

₁

y t

₂

, re-

spectivamente, son financieramente equivalentes para un agente dado, si el

(11)

1.2. VALOR-TIEMPO DEL DINERO 5 agente es indiferente entre ellos: el valor del capital C

₁

al momento t

₂

es igual a C

₂

(rec´ıprocamente el valor del capital C

₂

al momento t

₁

es igual a C

₁

):

C

2

al momento t

1

= C

1

C

₁

al momento t

₂

= C

₂

C

1

t

₁

(C

1

, t

1

)

C

2

t

₂

(C

2

, t

2

) equivalentes

Nota 1.8 Cada cantidad de dinero debe ser informada junto con el instante de tiempo en que esta disponible, i.e., en matem´ aticas financieras (impl´ıcitamente) trabajamos con pares

(monto, tiempo)

Para medir el rendimiento de una inversi´ on introducimos otro concepto fun- damental ,la noci´ on de tasa de inter´ es. Recordemos que una tasa es una medida de la magnitud relativa de cambio: Si una cantidad cambia de C

i

a C

f

en un per´ıodo de tiempo dado, la tasa de cambio es t := C

f

− C

i

C

_i

. Graficamente

t =

^C^f_C^−Cⁱ

i

C

i

C

f

Cuando pasamos de C

_i

a C

_f

, podemos pensar que cada unidad pasa de 1 a 1 + t pues

(1 + t) C

_i

= C

_f

. (1.1)

Ejemplo 1.9 Al invertir $ 1.000, obtenemos una ganancia de $ 1.350, tenemos que la tasa de rendimiento asociada es

t = 1.350 − 1.000

1.000 = 0, 35

Observe que la tasa es una magnitud adimensional, aunque impl´ıcitamente est´ a asociada a una unidad de tiempo:

el per´ıodo de tiempo entre C

_i

y C

_f

.

Ejemplo 1.10 Continuando con el ejemplo anterior, si los $ 1.000 pasan a $

1.350, en un d´ıa, o en un mes, o en un a˜ no, son tres situaciones muy distin-

tas, aunque les corresponda la misma tasa. Por eso agregaremos la informaci´ on

temporal y hablaremos de una tasa 0,35 diaria, o de una tasa 0,35 mensual, o

de una tasa 0,35 anual.

(12)

6 CHAPTER 1. VALOR TIEMPO DEL DINERO t = 0.35

$1000 $1350

1 d´ıa t = 0.35

$1000 $1350

1 mes

t = 0.35

$1000 $1350

1 a˜ no

Definici´ on 1.11 Un k-per´ ıodo de tiempo, es una unidad temporal que cabe k veces el a˜ no.

Por ejemplo, un 12-per´ıodo es un mes: 12 meses hacen un a˜ no, un 365- per´ıodo es un d´ıa: pues en un a˜ no caben 365 d´ıas, un 6-per´ıodo es un bimestre:

6 bimestres hacen un a˜ no, etc.

k-per´ıodo tiempo 1-per´ıodo a˜ no, 2-per´ıodo semestre, 3-per´ıodo cuatrimestre, 4-per´ıodo trimestre, 6-per´ıodo bimestre, 12-per´ıodo mes, 52-per´ıodo semana, 360-per´ıodo d´ıa comercial, 365-per´ıodo d´ıa civil.

Nota 1.12 Observe que en t a˜ nos entran k · t k-per´ıodos,

por ejemplo, en 3 a˜ nos hay 12 · 3 = 36 12-per´ıodos, i.e., 36 meses; en 2.5 a˜ nos hay 52 · 2, 5 = 130 52-per´ıodos, i.e., 130 semanas.

Definici´ on 1.13 Una tasa k-per´ ıodica t, es una tasa t que actua sobre un k-per´ıodo, i.e., nos dice cuanto cambia una unidad en un k-per´ıodo de tiempo.

Diremos que una tasa k-per´ıodica capitaliza k veces en un a˜ no. Tambi´ en se

suele decir que la tasa tiene frecuencia de capitalizaci´ on k. Por ejemplo una tasa

(13)

1.2. VALOR-TIEMPO DEL DINERO 7 mensual, capitaliza 12 veces en el a˜ no o, lo que es lo mismo, tiene frecuencia de capitalizaci´ on 12.

En el d´ıa a d´ıa, las tasas son informadas como porcentajes (i.e., numeradores de cocientes de denominador 100) junto con una unidad temporal. Por ejemplo una tasa mensual del 22,3 % hace referencia a una tasa 0, 223 12-per´ıodica.

Para hallar la tasa asociada a una tasa t

porcentual

informada porcentualmente hacemos

t = t

porcentual

100 En matem´ atica financieras usaremos i

^(k)

para denotar una tasa k-per´ıodica.

Las m´ as usadas son:

i anual,

i

⁽²⁾

semestral, i

⁽³⁾

cuatrimestral, i

⁽⁴⁾

trimestral, i

⁽⁶⁾

bimestral, i

⁽¹²⁾

mensual, i

⁽⁵²⁾

semanal,

i

⁽³⁶⁰⁾

diaria comercial, i

⁽³⁶⁵⁾

diaria civil.

Nota 1.14 Observar que en lugar de i

⁽¹⁾

para la tasa anual se usa simplemente i.

Definici´ on 1.15 Dados un capital original C

o

en un instante de tiempo t

o

y un capital final C

f

en un instante de tiempo posterior t

f

. Llamaremos inter´ es I a la diferencia

I := C

f

− C

o

Si t

f

− t

o

es un k-per´ıodo, hay una tasa k-per´ıodica asociada:

i

^(k)

= C

f

− C

o

C

_o

De donde se deduce una relaci´ on inmediata entre el inter´ es I y la tasa k-per´ıodica i

^(k)

:

I = C

o

i

^(k)

Sea i

^(k)

la tasa k-per´ıodica que podemos obtener, para cualquier capital C disponible el d´ıa de hoy podemos hallar un capital equivalente un k-per´ıodo en el futuro C

f

o un k-per´ıodo hacia el pasado C

p

.

C

f

=

1 + i

^(k)

C

p

= C

1 + i

^(k)

Cuando movemos un capital hacia el futuro en matem´ aticas financeras se habla

de capitalizaci´ on. Mientras que si lo movemos hacia el pasado se habla de

actualizaci´ on.

(14)

8 CHAPTER 1. VALOR TIEMPO DEL DINERO

C C

f

Capitalizaci´ on

un k-per´ıodo hacia el futuro

C

p

C

Actualizaci´ on

un k-per´ıodo hacia el pasado

Pero t´ıpicamente debemos movermos m´ as de un per´ıodo, hacia atr´ as o hacia

adelante. Cuando debemos calcular los intereses de varios per´ıodos surge un

interrogante natural: Los intereses de un per´ıodo deben ser considerados o no

para el c´ alculo de los intereses del per´ıodo siguiente. El c´ omo se hace esto recibe

el nombre de ley financiera.

(15)

Chapter 2

Sistemas de capitalizaci´ on simple

2.1 Sistema de capitalizaci´ on simple

El sistema de capitalizaci´ on simple es la ley financiera que establece que los intereses generados en un per´ıodo dado no son considerados para el c´ alculo de los intereses del per´ıodo siguiente.

Definici´ on 2.1 Se llama capitalizaci´ on simple a la ley financiera que es- tablece que los intereses de cada per´ıodo se calculan sobre el mismo capital inicial o principal.

Dado un capital inicial C

0

, una tasa de capitalizaci´ on p-per´ıodica i

^(p)

y n p-per´ıodos tenemos que los intereses de cada per´ıodo son iguales:

I

1

= I

2

= · · · = I

n

= C

0

i

^(p)

El inter´ es total I

_T

es, por definici´ on, la suma de los intereses de cada uno de los per´ıodos considerados:

I

T

:=

n

X

h=1

I

h

= nC

₀

i

^(p)

Dado h ∈ {1, ..., n}, el capital acumulado hasta el momento h, es el capital acumulado hasta el per´ıodo anterior, h − 1, m´ as los intereses generados:

C

h

= C

h−1

+ C

0

i

^(p)

,

con la condici´ on inicial C

₀

:= C

_o

(a la izquierda es capital a momento cero, a la derecha tenemos el capital inicial u original). Por lo que usando la teor´ıa de

9

(16)

10 CHAPTER 2. SISTEMAS DE CAPITALIZACI ´ ON SIMPLE relaciones recursivas ya desarrollada, caso g (k) = cte, con A = 1, concluimos que:

C

h

= C

0

+ C

0

i

^(p)

h

= C

₀

1 + hi

^(p)

(2.1)

para 0 ≤ h ≤ n.

tiempo

$

0 1 2 3 n − 1 n

C

0

C

0

C

0

C

0

C

0

C

0

I

1

I

1

I

1

I

1

I

1

I

2

I

2

I

2

I

2

I

3

I

3

I

3

I

n−1

I

n−1

I

n

C

₀

C

₁

C

₂

C

3

C

n−1

C

_n

I

_T

En particular

C

_n

= C

₀

1 + ni

^(p)

(2.2) la cual es la f´ ormula habitual en la literatura.

Nota 2.2 Note que en la f´ ormula (2.2) existe una relaci´ on temporal entre los

(17)

2.1. SISTEMA DE CAPITALIZACI ´ ON SIMPLE 11

capitales C

_n

y C

₀

.

Esta en el futuro (a la derecha) del capital

C

0

z}|{ C

n

= C

0

|{z}

Esta en el pasado (a la izquierda)

del capital

C

_n

1 + ni

^(p)

Nota 2.3 Se puede deducir de la formula (2.2) con un argumento inductivo: El capital al final del primer per´ıodo, C

1

, es la suma de C

0

, el capital al inicio del per´ıodo, m´ as C

0

i

^(p)

, los intereses generados durante este per´ıodo:

C

1

= C

0

+ C

0

i

^(p)

Similarmente C

₂

, el capital al final del segundo per´ıodo, es la suma de C

₁

, el capital al inicio del per´ıodo, m´ as C

₀

i

^(p)

, los intereses generados durante este per´ıodo

C

₂

= C

₁

+ C

₀

i

^(p)

pero como C

1

= C

0

+ C

0

i

^(p)

, obtenemos

C

2

= C

0

+ C

0

i

^(p)

+ C

0

i

^(p)

= C

₀

+ 2C

₀

i

^(p)

An´ alogamente C

3

, el capital al finalizar el tercer per´ıodo, es la suma de C

2

, el capital al comienzo del per´ıodo, m´ as C

0

i

^(p)

, los intereses generados durante este per´ıodo:

C

3

= C

2

+ C

0

i

^(p)

y ya que C

2

= C

0

+ 2C

0

i

^(p)

, obtenemos

C

3

= C

0

+ 3C

0

i

^(p)

De estas expresiones podemos inferir inductivamente que el capital acumulado al momento n ser´ a

C

_n

= C

₀

+ nC

₀

i

^(p)

(2.3)

tiempo C

n−1

n − 1

C

n

n i

^(k)

(modificar dibujo)

La f´ ormulas (2.1) y (2.2) nos indican como se traslada un capital de un in-

stante de tiempo dado a otro de forma financieramente equivalente. Por ejemplo,

(18)

12 CHAPTER 2. SISTEMAS DE CAPITALIZACI ´ ON SIMPLE a una tasa mensual del 1,2 %, $ 200 pesos son financieramente equivalentes a $ 216,8 en 7 meses (usando capitalizaci´ on simple):

216, 8 = 200 (1 + 7 · 0, 012)

Nota 2.4 En la f´ ormula (2.2) aparecen 4 variables relacionadas:

capital inicial C

0

capital final C

n

tiempo n

tasa i

^(p)

Unas observaciones al respecto:

1. El problema tipo es: dadas tres magnitudes hallar la cuarta. Por lo que tenemos problemas donde debemos hallar el capital final C

n

(se les suele llamar problemas de capitalizaci´ on), una variaci´ on de este tipo de proble- mas es hallar el inter´ es total generado. Problemas donde debemos hallar el capital inicial C

0

(se les suele llamar problemas de actualizaci´ on). Prob- lemas donde debemos hallar el tiempo n, y finalmente problemas donde debemos hallar la tasa i

^(p)

.

2. Dimensionalmente hablando, C

0

y C

n

son dinero. El tiempo y la tasa deben ser dimensionalmente compatibles: si la tasa es k-per´ıodica, el tiempo debe estar dado en p-per´ıodos, por ejemplo, si la tasa es mensual, n debe ser una cantidad de meses. Similarmente si n es una cantidad de trimestres, la tasa debe ser trimestral: una i

⁽⁴⁾

.

Ejemplo 2.5 Calcular el capital final o montante de $ 2.500.000 al 15 % anual, colocado durante a) 20 d´ıas, b) 3 meses, c) 4 cuatrimestres, d) 5 a˜ nos, e) t p- per´ıodos.

Todo el problema es compatibilizar las unidades temporales de los intervalos de tiempo y la tasa. Por ahora s´ olo podemos convertir los distintos per´ıodos de tiempo a a˜ nos:

Ejemplo 2.6 a) 20 d´ıas son

₃₆₅²⁰

a˜ nos, por lo que al cabo de 20 d´ıas tendremos C

20 d´ıas

= C

20

365 a˜nos

= 2.500.000

1 + 20

365 0, 15

= 2520547, 9452 pesos.

b) 3 meses son

₁₂³

a˜ nos, por lo que al cabo de 3 meses tendremos C

3 meses

= C

3

12 a˜nos

= 2.500.000

1 + 3

12 0, 15

= 2593750 pesos.

c) 4 cuatrimestres son

⁴₃

a˜ nos, por lo que al cabo de 4 cuatrimestres ten- dremos

C

4 cuatrimestres

= C

⁴

3 a˜nos

= 2.500.000

1 + 4

3 0, 15

= 3.000.000 pesos.

(19)

2.1. SISTEMA DE CAPITALIZACI ´ ON SIMPLE 13 d) Al cabo de 5 a˜ nos tendremos

C

_{5 a˜}_nos

= 2.500.000 (1 + 5 · 0, 15) = 4.375.000 pesos.

e) En general si tenemos t p-per´ıodos, tenemos

_p^t

a˜ nos, por lo que tendremos

C

t p−per´ıodos

= C

^t

k a˜nos

= C

0

1 + t

p i

Ejemplo 2.7 Hoy extraemos del banco $ 281.300. ¿Cu´ al fue el capital original, o principal, si nos han pagado una tasa mensual del 32% y el dep´ osito fue pactado a 15 meses?

Sabemos que

C

n

= C

0

1 + ni

^(p)

de donde

C

₀

= C

n

1 + ni

^(p)

(2.4)

y como hay compatibilidad temporal entre la tasa y la unidad temporal, ambas son mensuales:

C

0

= 281.300 1 + 15 · 0, 32

= 48.500

i.e., debimos depositar hace 15 meses la suma de $ 48.500 a una tasa mensual del 32% para poder extraer hoy $ 281.300.

Ejemplo 2.8 Determinar el inter´ es total obtenido al depositar $ 15.000 a plazo fijo por el t´ ermino de 6 bimestres a una tasa bimestral del 14%.

Otra forma de definir el inter´ es total: es la diferencia entre el capital final y el capital inicial.

I

_T

= C

_final

− C

_original

Veamos que esta definici´ on es equivalente a la dada previamente:

I

T

= C

n

− C

0

= C

₀

1 + ni

^(p)

− C

0

= C

0

ni

^(p)

(2.5)

Reemplazando

I

T

= 15.000 · 6 · 0, 14

= 12.600

Esto nos dice que un plazo fijo de $ 15.000 a 6 bimestres, a una tasa bimestral

del 14% producen un inter´ es total de $ 12.600.

(20)

14 CHAPTER 2. SISTEMAS DE CAPITALIZACI ´ ON SIMPLE Ejemplo 2.9 Hallar el capital que produce unos intereses de $ 12.787,5 al cabo de 75 d´ıas, a una tasa diaria del 0,31%.

Del problema anterior sabemos que I

T

= C

0

ni

^(p)

(donde n es una cantidad de p-per´ıodos). Luego

C

0

= I

_T

ni

^(p)

(2.6)

reemplazando

C

0

= 12.787.5 75 · 0, 0031

= 55.000

Por lo tanto unos $ 55.000 producen un inter´ es de $ 12.787,5 al cabo de 75 d´ıas, a una tasa diaria del 0,31%.

Ejemplo 2.10 Depositamos en un banco $ 450.000 y al cabo de 18 meses nos entregan $ 820.601,52. ¿Cu´ al es la tasa mensual que nos pag´ o el banco?

Como

C

_n

= C

₀

1 + ni

^(p)

tenemos que

i

^(p)

= C

n

− C

0

nC

0

(2.7) Luego

i

⁽¹²⁾

= 820.601, 52 − 450.000 18 · 450.00

= 0.045753274

i.e., el banco nos pag´ o una tasa mensual del 4,5753274%.

Ejemplo 2.11 Durante cuantos d´ıas hay que imponer un capital de $ 3.500.000 a una i

⁽⁴⁾

= 0, 2455, para obtener no menos de $ 5.100.000.

Como

C

n

= C

0

1 + ni

^(p)

de donde depejamos n

n = C

_n

− C

0

C

0

i

^(p)

(2.8)

Ahora nosotros deseamos

9.100.000 ≤ 3.500.000 (1 + n · 0, 2455)

(21)

2.1. SISTEMA DE CAPITALIZACI ´ ON SIMPLE 15

luego

n ≥ 9.100.000 − 3.500.000 3.500.000 · 0, 2455

≥ 6.517311609 luego debemos imponer el capital al menos 7 d´ıas.

Nota 2.12 El sistema de capitalizaci´ on simple esta pr´ acticamente en desuso.

En la actualidad la capitalizaci´ on compuesta es el sistema m´ as usado (en sus versiones discreta y continua), el cual ser´ a estudiado en los capitulos subsigu- ientes.

Ejercicio 2.13 Calcular el capital final o montante que se obtendr´ a al colocar $ 25.500 a 6 meses a una tasa anual del 12,5%. ¿A cu´ anto ascienden los intereses totales?

Ejercicio 2.14 Calcular el montante que producir´ a un capital de $ 724.230, colocado al 7% semestral durante 4 a˜ nos.

Ejercicio 2.15 Determinar el inter´ es obtenido por una empresa que efectu´ o un dep´ osito a plazo fijo por el t´ ermino de 30 d´ıas, con excedentes de fondos por $ 80.000 a una tasa del 11 % anual.

Ejercicio 2.16 Obtenga los intereses totales que produce un capital de $ 22.300.000 impuestos al 3% trimestral durante 36 meses.

Ejercicio 2.17 Hallar el capital necesario para producir un inter´ es de $ 1.030 en una colocaci´ on por un plazo de 50 d´ıas en una entidad bancaria al 18 % anual.

Ejercicio 2.18 Los intereses al cabo de un a˜ no, calculados seg´ un el a˜ no civil, de un C capital ascienden a $ 784.720 ¿A cu´ anto ascender´ an seg´ un el a˜ no comercial (suponer i

⁽³⁶⁰⁾

= i

⁽³⁶⁵⁾

)?

Ejercicio 2.19 Hace 87 d´ıas invertimos una cierta suma de dinero al 0,02%

diario a inter´ es simple. Hoy nos entregan $ 75.420,50 ¿Cu´ al fue el monto in- vertido originalmente?

Ejercicio 2.20 Depositamos en un banco $ 150.000 y al cabo de 8 meses nos entregan $ 160.672,50. ¿Cu´ al es la tasa de inter´ es que nos pag´ o el banco?

Ejercicio 2.21 Un inversor reembolsar´ a $ 499.500,50 por un dep´ osito concer- tado a 90 d´ıas por $ 300.700. Averiguar la tasa anual pactada.

Ejercicio 2.22 Hallar la tasa anual necesaria para que un dep´ osito por $ 11.000 redit´ ue al inversor en 180 d´ıas, la mitad de la colocaci´ on.

Ejercicio 2.23 ¿Cu´ al es la tasa de inter´ es p-per´ıodica que nos permite duplicar

el capital al cabo de n p-per´ıodos?

(22)

16 CHAPTER 2. SISTEMAS DE CAPITALIZACI ´ ON SIMPLE Ejercicio 2.24 ¿Cu´ anto tiempo es necesario que transcurra para triplicar un capital al 5% bimestral?

Ejercicio 2.25 ¿Cu´ antos per´ıodos son necesarios para duplicar un capital a una tasa p-per´ıodica i

^(p)

? Y para triplicarlo. Y para obtener un m´ ultiplo dado.

Ejercicio 2.26 Una empresa con excedentes de fondos por $ 200.000 efect´ ua dos colocaciones para cubrir necesidades futuras. Una durante 45 d´ıas al 1,5%

mensual, y otra durante 15 d´ıas al 1,25% mensual. Averiguar los importes de los dep´ ositos, sabiendo que las inversiones producen igual inter´ es.

Ejercicio 2.27 Ud. posee $ 355.000. Decide invertilos en dos proyectos que le pagar´ an respectivamente el 1,2 % bimestral y el 2,1% trimestral. Qu´ e porcentaje de sus ahorros debe invertir en cada proyecto, para recibir el mismo monto en concepto de intereses al cabo de 6 meses. Si ahora deseamos que ambos proyectos nos paguen los mismos intereses totales a lo largo de 1 a˜ no ¿cu´ anto deberemos poner en cada uno de los proyectos?

Ejercicio 2.28 Un capital por $ 38.000 se impuso a inter´ es simple durante 7 d´ıas al 11,2%; luego el mismo capital por el t´ ermino de 15 d´ıas al 11,7%; y por

´

ultimo se consigui´ o colocarlo 30 d´ıas al 13,5%. Calcular el inter´ es total y la tasa real de la operaci´ on citada.

Ejercicio 2.29 Una empresa coloca excedentes de fondos en las siguientes al- ternativas:

1. Mercado de financiamiento oficial, $ 86.000 al 12%.

2. Mercado de financiamiento marginal, $ 72.000 al 18,5%.

Determinar el plazo de las colocaciones que le permiten percibir montos iguales.

Ejercicio 2.30 Se desea saber c´ omo influir´ a una comisi´ on de gastos fija sobre el rendimiento de una inversi´ on. A este efecto se nos comenta que, cualquiera sea la inversi´ on, la comisi´ on ascender´ a a $ 3.000. ¿Qu´ e incidencia tendr´ a so- bre nuestra inversi´ on de $ 2.000.000 al 12%?, i.e., ¿Cu´ al es la tasa real de la operaci´ on?. ¿Y si la inversi´ on fuera de $ 500.000 al mismo tipo?

2.2 Equivalencia de tasas

Consideremos las siguientes operaciones: colocar $ 100 al 12% anual durante un a˜ no, colocar los mismos $ 100 al 1% mesual tambi´ en durante un a˜ no. Ambas producen id´ entico capital final o montante.

100 (1 + 0, 12) = 112 = 100 (1 + 12 · 0, 01) .

Este es un ejemplo de tasa equivalentes, uno de los conceptos fundamentales de

matem´ aticas financieras:

(23)

2.2. EQUIVALENCIA DE TASAS 17 Definici´ on 2.31 Diremos que dos tasas i

^(p)

y i

^(q)

, son equivalentes, bajo una ley financiera dada, si aplicadas a un mismo capital inicial, producen id´ entico capital final durante un mismo intervalo de tiempo, aunque tengan distinta fre- cuencia de capitalizaci´ on (p 6= q).

t a˜ nos

C

0

C

f

i

^p

i

^q

Ahora podemos deducir la ecuaci´ on fundamental de equivalencia de tasas en el sistema de capitalizaci´ on simple: Supongamos que un capital inicial C

0

es impuesto durante t a˜ nos, donde t > 0 es un n´ umero real (no necesariamente entero). La tasa p-per´ıodica i

^(p)

y la tasa q-per´ıodica i

^(q)

, con p, q ∈ Z

⁺

, son equivalentes si producen id´ entico capital final:

C

0

1 + tpi

^(p)

= C

f

= C

0

1 + tqi

^(q)

, Al simplificar nos queda

pi

^(p)

= qi

^(q)

. Por lo tanto:

Proposici´ on 2.32 Dados p, q ∈ Z

⁺

, en el sistema de capitalizaci´ on simple dos tasas i

^(p)

y i

^(q)

, son financieramente equivalentes si cumplen la siguiente relaci´ on de proporcionalidad:

pi

^(p)

= qi

^(q)

. (2.9)

Ejemplo 2.33 ¿Cu´ al es la tasa mensual equivalente a una tasa trimestral del 7%?

Una tasa mensual es una i

⁽¹²⁾

, mientras que una trimestral es una i

⁽⁴⁾

(recor- dar que hay 4 trimestres en un a˜ no). Usando la ecuaci´ on (2.9) de equivalencias de tasas:

12i

⁽¹²⁾

= 4i

⁴

, 12i

⁽¹²⁾

= 4 · 0, 07

i

⁽¹²⁾

= 0, 28 12

i

⁽¹²⁾

= 0, 02333333 . . .

Esto nos dice que es lo mismo poner $ 1.000 durante 6 meses a una tasa trimestral del 7%, que ponerlos a una tasa mensual del 2.33333...%.

1000 (1 + 2 · 0, 07) = 1.140 = 1.000 (1 + 6 · 0, 02333333 . . .) ,

(24)

18 CHAPTER 2. SISTEMAS DE CAPITALIZACI ´ ON SIMPLE O que es lo mismo poner $ 500 durante 8 meses con cualquiera de estas dos tasas:

500 1 + 8

3 0, 07

= 593.33333 . . . = 500 (1 + 8 · 0, 02333333 . . .)

Nota 2.34 Como muestra el ejemplo anterior y como puede concluirse de la propia deduci´ on de f´ ormula (2.9), la equivalencia de tasas en capitalizaci´ on sim- ple es independiente del intervalo de tiempo considerado: Si dos tasas producen igual montante al cabo de t

1

a˜ nos, producir´ an igual montante al cabo de t

2

a˜ nos.

Ejercicio 2.35 Dada una i

⁽²⁾

= 0, 03, hallar la i

^(k)

equivalente para k ∈ {1, 3, 4, 6, 12, 52, 360, 365}.

Ejercicio 2.36 Dada una tasa de inter´ es anual del 25%. Hallar las tasas subper´ ıodicas equivalentes, i.e., hallar i

^(k)

equivalente a la tasa dada para k ∈ {2, 3, 4, 6, 12, 52, 360, 365}. Expresar los resultados usando porcentajes.

Ejercicio 2.37 Demostrar que si i

⁽³⁶⁵⁾

y i

⁽³⁶⁰⁾

son equivalentes (a capital- izaci´ on simple) entonces

i

⁽³⁶⁵⁾

i

⁽³⁶⁰⁾

= 72

73 Ejercicio 2.38 Dados p, q ∈ Z

⁺

, y un n´ umero real c > 0. Si i

^(p)

= c = i

^(q)

,

para cualquier C

0

> 0 (dinero) y cualquier t > 0 (tiempo en a˜ nos) demostrar que

C

0

1 + tpi

^(p)

< C

0

1 + tqi

^(q)

, si y s´ olo si

p < q.

Es decir, dadas dos tasas de igual nominal, la que capitaliza con mayor frecuen- cia produce mayor montante.

Un problema habitual es comparar entre diferentes inversiones, y decidir cual tiene mayor rendimiento. Consideremos las siguientes inversiones:

1. Invertir $ 1.000 nos da una ganacia de $ 250 al cabo de un mes.

2. Invertir $ 1.000 nos da una ganacia de $ 250 al cabo de un a˜ no.

3. Invertir $ 5.000 nos da una ganacia de $ 250 al cabo de un mes.

4. Invertir $ 900 nos da una ganacia de $ 450 al cabo de 2 meses.

(25)

2.3. EQUIVALENCIA FINANCIERA DE DOS SERIES DE CAPITALES 19 Es facil concluir que la inversi´ on 1 rinde m´ as que la inversi´ on 2 y que la inversi´ on 3, pero es m´ as dificil decidir si rinde m´ as o menos que la inversi´ on 4. En general, lo mejor es comparar tasas de rendimiento de cada una de las operaciones consideradas. La inversi´ on 1 tiene una tasa mensual de rendimiento

t

⁽¹²⁾₁

= 0, 25

mientras que la tasa de rendimiento de la inversi´ on 4 es bimestral t

⁽⁶⁾₄

= 0, 5

Para decidir cual es mejor, hayamos la mensual equivalente a t

⁽⁶⁾₂

6t

⁽⁶⁾₄

= 12t

⁽¹²⁾₄

6 · 0, 5 = 12t

⁽¹²⁾₄

luego

t

⁽¹²⁾₄

= 0, 25

Como ambas operaciones tienen el mismo rendimiento mensual (medido por sus respectivas tasas mensuales de rendimiento)

t

⁽¹²⁾₁

= 0.25 = t

⁽¹²⁾₄

, Decimos que ambas inversiones rinden lo mismo.

Ejercicio 2.39 Cu´ al inversi´ on es mejor

Opci´ on 1 Opci´ on 2

1) $ 1.100 producen una ganacia de $ 250 un mes.

$ 850 producen una ganacia de $ 460 en dos meses.

2) $ 1.200 producen una ganacia de $ 450 un a˜ no.

$ 6.500 producen una ganania de $ 500 en 20 semanas Ejercicio 2.40 ¿Qu´ e oferta es m´ as conveniente para una persona que desea comprar una casa: $ 40.000 iniciales y $ 60.000 al cumplirse los 6 meses o $ 60.000 iniciales y $ 40.000 al cumplirse el a˜ no? La tasa a usar es del 6% anual.

2.3 Equivalencia financiera de dos series de cap- itales

Una vez que sabemos calcular el equivalente financiero de un capital para dis-

tintos momentos, podemos verificar cuando dos series de capitales son financier-

amente equivalentes, este ´ ultimo es el segundo concepto fundamental de las

matem´ aticas financieras.

(26)

20 CHAPTER 2. SISTEMAS DE CAPITALIZACI ´ ON SIMPLE Definici´ on 2.41 Una serie de capitales A

₁

, A

₂

, . . . , A

_n

disponibles en los mo- mentos t

^a₁

, t

^a₂

, . . . , t

^a_n

, es equivalente a la serie de capitales B

₁

, B

₂

, . . . , B

_m

disponibles en los momentos t

^b₁

, t

^b₂

, . . . , t

^b_m

, a una fecha focal f , para un agente dado (tasa), bajo una ley financiera dada (sistema), si

n

X

j=1

A

j

al momento f =

m

X

j=1

B

j

al momento f. (2.10)

A

₁

A

₂

A

₃

f A

_n

B

1

B

2

B

3

B

m

P

m

j=1

B

j

al momento f

P

n

j=1

A

j

al momento f

El equivalente financiero de un capital dado, a la fecha focal f y a una tasa p-per´ıodica i

^(p)

en el sistema de capitalizaci´ on simple es

A

j

al momento f = A

j

1 + |f − t

j

| i

^(p)

^{sgn(f −t}j)

Nota 2.42 Definimos la funci´ on signo como:

sgn (x) :=







1 si x > 0 0 si x = 0

−1 si x < 0 De donde, si f > t

_j

(capitalizaci´ on)

A

j

al momento f = A

j

1 + (f − t

j

) i

^(p)

si f = t

j

A

j

al momento f = A

j

y si f < t

j

(actualizaci´ on)

A

_j

al momento f = A

_j

1 + (t

j

− f ) i

^(p)

En todas las f´ ormulas anteriores f y t

j

estan expresados en p-per´ıodos, para que sean compatibles con la tasa usada.

En particular para el sistema de capitalizaci´ on simple tenemos que la definici´ on

de equivalencia de capitales toma la forma

(27)

2.3. EQUIVALENCIA FINANCIERA DE DOS SERIES DE CAPITALES 21 Definici´ on 2.43 Una serie de capitales A

₁

, A

₂

, . . . , A

_n

disponibles en los mo- mentos t

^a₁

, t

^a₂

, . . . , t

^a_n

, es equivalente a la serie de capitales B

₁

, B

₂

, . . . , B

_m

disponibles en los momentos t

^b₁

, t

^b₂

, . . . , t

^b_m

, a una fecha focal f , para una tasa p-per´ıodica i

^(p)

, en el sistema de capitalizaci´ on simple si

n

X

j=1

A

j

1 +

f − t

^a_j

i

^(p)

^sgn

(

^{f −t}^aj

)

=

m

X

h=1

B

h

1 +

f − t

^b_h

i

^(p)

^sgn

(

^{f −t}^bh

) . (2.11)

Nota 2.44 Es claro que despejar f de la ecuaci´ on (2.12) es casi siempre im- posible, y son necesarios m´ etodos num´ ericos para hallar f , en particular suele ser ´ util usar soft m´ atematico como Matlab, Maple V, Mathematica, o Derive, en cualquiera de sus versiones. (los valores de f

₁

y f

₂

se obtubieron con Maple V Release 4, version 4.00c (1996), student edition).

El problema t´ıpico (el cual no implica el uso de computadoras) es: dada una serie de capitales, hallar una segunda serie financieramente equivalente. En el sistema de capitalizaci´ on simple, lo matem´ aticamente correcto es llevar todos los capitales al origen de la serie conocida, porque no se deben usar los intereses en los c´ alculos, lo cual no siempre es posible, ya que muchas veces desconoceremos la fecha de orig´ en de la operaci´ on.

Ejemplo 2.45 Debemos realizar 3 pagos, el primero de $ 400 dentro de tres meses, el segundo de $ 300 dentro de 6 meses y ´ ultimo de $ 500 a los 9 meses.

Por razones de flujo de caja (disponibilidad de efectivo) queremos sustituir estos 3 pagos por 2: uno de $ 500 dentro de 5 meses y otro de monto a determinar a los 10 meses. Se conviene una tasa de 2.5% mensual. Calcular el monto del

´

ultimo pago usando la siguientes fechas focales: el origen, a los 6 meses, a los 10 meses.

Debemos igualar los valores de ambas operaciones a la fecha focal dada:

valor de la operaci´ on original

a la fecha focal f

=

valor de la operaci´ on nueva a la fecha focal f

Fecha focal el origen: f = 0

(28)

22 CHAPTER 2. SISTEMAS DE CAPITALIZACI ´ ON SIMPLE

meses

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

$ 400 $ 300 $ 500

$ 500 C

fecha focal

Serie (operaci´ on) original

Serie (operaci´ on) nueva

Nota 2.46 Convendremos en dibujar las series originales debajo del eje tem- poral, y pondremos las series nuevas sobre el mencionado eje.

Tenemos que actualizar todos los capitales al momento cero:

400 1 + 3 · 0.025 + 300

1 + 6 · 0.025 + 500

1 + 9 · 0.025 = 500

1 + 5 · 0.025 + C 1 + 10 · 0.025 1041.125854 = 444.4444445 + C

1.25 , de donde concluimos que

C = 745.8517624.

Fecha focal a los seis meses: f = 6

meses

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

$ 400 $ 300 $ 500

$ 500 C

fecha focal

Ahora debemos llevar todos los capitales a los seis meses, por lo que algunos

ser´ an capitalizados (los que est´ an disponibles antes de los 6 meses), otros ser´ an

actualizados (los disponibles en fechas posteriores), y los disponibles a los 6

(29)

2.3. EQUIVALENCIA FINANCIERA DE DOS SERIES DE CAPITALES 23

meses no cambian 400 (1 + 3 · 0.025)

| {z }

Capitalizaci´on

+ 300

|{z}

Sin cambios

+ 500

1 + 3 · 0.025

| {z }

Actualizaci´on

= 500 (1 + 0.025) + C 1 + 4 · 0.025

1195.116279 = 512.500 + C 1.1 , de donde

C = 750.877907

Ejemplo 2.47 Finalmente tomaremos como fecha focal a los 10 meses: f = 10.

meses

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

$ 400 $ 300 $ 500

$ 500 C

fecha focal

Todos los capitales, salvo C, deben ser capitalizados:

400 (1 + 7 · 0.025) + 300 (1 + 4 · 0.025) + 500 (1 + 0.025) = 500 (1 + 5 · 0.025) + C 1312.5 = 562.500 + C,

de donde

C = 825.

Ejercicio 2.48 ¿Con qu´ e cantidad se cancela hoy d´ıa, un pr´ estamo que se con- sigui´ o dos meses antes habi´ endose firmado dos documentos; uno con valor nom- inal de $ 600 que vence en dos meses a partir de ahora y otro por $ 750 de valor nominal y vencimiento a 5 meses del pr´ estamo?. Suponga intereses del 20% anual. (Respuesta: $ 1 296.63).

Ejercicio 2.49 Una deuda de $ 2 000 con intereses del 5% anual vence en un a˜ no. Si el deudor paga $ 600 a los 5 meses y $ 800 a los 9 meses. Hallar el saldo de la deuda en la fecha de vencimiento. (Respuesta: $ 573.22).

Ejercicio 2.50 El se˜ nor X debe $ 500 con vencimiento en 2 meses, $ 1 000 con

vencimiento en 5 meses y $ 1 500 con vencimiento en 8 meses. Si desea saldar

las deudas mediante dos pagos iguales, uno con vencimiento en 6 meses y otro

con vencimiento en 10 meses. Determinar el importe de dichos pagos suponiendo

un inter´ es del 6% anual, tomando como fecha focal la fecha del ´ ultimo pago: 10

meses.

(30)

24 CHAPTER 2. SISTEMAS DE CAPITALIZACI ´ ON SIMPLE Problemas con almanaque

Ejercicio 2.51 El 10 de enero del corriente a˜ no se otorga un pr´ estamo am- parado con dos pagar´ es con vencimientos al 15 de marzo y al 3 de mayo, por

$ 1 300 y $ 800 respectivamente. Poco despu´ es, se conviene en cancelarlo con tres pagos: el primero por $ 500 el 20 de febrero, el segundo por $ 1 000 el 30 de abril y el tercero el d´ıa 10 de junio, ¿De qu´ e cantidad es este ´ ultimo pago si se cargan intereses del 30% mensual y se establece el 15 de marzo como fecha de referencia?, ¿A cu´ anto asciende el monto del pr´ estamo?.

Ejercicio 2.52 Sea desea sustituir el pago de 3 capitales de $ 12 725, $ 11 022 y $ 8 774, con vencimiento los d´ıas 15 de mayo, 4 de junio y 25 de junio, respectivamente, por uno ´ unico el d´ıa 1 de junio; ¿a cu´ anto ascender´ a el capital si se aplica un 6% anual a la operaci´ on? A˜ no civil. Fecha de operaci´ on: 15 de mayo. (Respuesta: $ 32 516).

Ejercicio 2.53 Deseamos sustituir dos pagares de $ 14 500 y $ 12 300, con vencimientos el 12 de abril y el 15 de junio, respectivamente, por otros tres de igual monto, con vencimientos 10 de mayo, 10 de junio y 10 de agosto. Resolver el problema usando:

fecha focal tasa

1) 8 de enero 1.2% mensual, 2) 12 de abril 1.2% mensual, 3) 10 de junio 1.2% mensual, 4) 10 de agosto 1.2% mensual, 5) 15 de septiembre 1.2% mensual, 6) 8 de enero 0.05% diario (365), 7) 8 de enero 0.05% diario (360), 8) 12 de abril 2.4% mensual, 9) 12 de abril 0.6% mensual.

De la f´ ormula (2.11) es claro que en el sistema de capitalizaci´ on simple dos series de capitales pueden ser equivalentes para algunas fechas focales y para otras no.

Ejemplo 2.54 Usando una tasa anual i = 0.45 (es decir una tasa del 45 % anual), veamos a que fechas focales la serie de capitales: $ 130 000 hoy, $ 100 000 a los dos a˜ nos y $ 150 000 a los 4 a˜ nos, es equivalente a la serie de $ 350 000 a los 3 a˜ nos y $ 400 000 a los 5 a˜ nos.

El esquema de las series de capitales es

a˜ nos

0 1 2 3 4 5

$ 130000 $ 100000 $ 150000

$ 350000 $ 400000

(31)

2.3. EQUIVALENCIA FINANCIERA DE DOS SERIES DE CAPITALES 25 El valor de la serie de capitales: $ 130 000 hoy, $ 100 000 a los 2 a˜ nos y $ 150 000 a los 4 a˜ nos, a la fecha focal f (en a˜ nos) usando la tasa anual i = 0.45 es V

₁

(f ) :=

130000 (1 + 0.45 |f |)

^{sgn(f )}

+ 100000 (1 + 0.45 |f − 2|)

^{sgn(f −2)}

+150000 (1 + 0.45 |f − 4|)

^{sgn(f −4)}

El valor de la serie de capitales: $ 250 000 dentro de 3 a˜ nos y $ 450 000 dentro de 5 a˜ nos, a la fecha focal f (en a˜ nos) usando la tasa anual i = 0.45 es V

2

(f ) :=

350000 (1 + 0.45 |f − 3|)

^{sgn(f −3)}

+ 400000 (1 + 0.45 |f − 5|)

^{sgn(f −5)}

Por ejemplo, si escogemos como fecha focal dos a˜ nos hacia adelante a partir de hoy, f = 2, tenemos el siguiente flujo

a˜ nos

0 1 2 3 4 5

$ 130000 $ 100000 $ 150000

$ 350000 $ 400000 f = 2

De donde deducimos los siguientess valores para V

1

y V

2

V

1

(2) = 130000 (1 + 0.45 |2|)

^sgn(2)

+ 100000 (1 + 0.45 |2 − 2|)

^sgn(2−2)

+150000 (1 + 0.45 |2 − 4|)

^sgn(2−4)

= 130000 (1 + 2 · 0.45) + 100000 + 150000 1 + 2 · 0.45

= 425947.3684

V

2

(2) = 350000 (1 + 0.45 |2 − 3|)

^sgn(2−3)

+ 400000 (1 + 0.45 |2 − 5|)

^sgn(2−5)

= 350000

1 + 0.45 + 400000 1 + 3 · 0.45

= 411592.0763

La siguente gr´ afica muestra los valores de las funciones V

₁

y V

₂

, en rojo la primera y en azul punteada la segunda, para fechas focales entre 0 y 6 a˜ nos.

Notar que las unidades del eje y son cientos de miles de pesos.

(32)

26 CHAPTER 2. SISTEMAS DE CAPITALIZACI ´ ON SIMPLE

f en a˜ nos

0 1 2 3 4 5 6

$ en 100000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

V

₁

(f ) V

₂

(f )

f

₁

f

₂

S´ olo existen dos fechas focales tales que

V

₁

(f ) = V

₂

(f ) , (2.12)

y ellas son (dadas en a˜ nos)

f

1

= 0.23877905, f

2

= 4.27194599.

Pues

V

1

(0.23877905) = 283357.5590 = V

2

(0.23877905) , y

V

1

(4.27194599) = 851621.5493 = V

2

(4.27194599) ,

(33)

2.3. EQUIVALENCIA FINANCIERA DE DOS SERIES DE CAPITALES 27 Nota 2.55 En el sistema de capitalizaci´ on simple, la equivalencia financiera depende fuertemente de la fecha focal escogida.

2.3.1 Tasa media

Consideremos el siguiente ejemplo

Ejemplo 2.56 Ud. tiene $ 100.000 invertidos al 18% anual, $ 250.000 al 8%

semestral y % 75.000 al 2% mensual. ¿Qu´ e tasa diaria deber´ıa ofrecerle una entidad financiera para que ud. coloque todo su capital, $ 425.000, en la misma?

Esto no es m´ as que un problema de equivalencia financiera de capitales, donde la incognita es una tasa (en principio, el tiempo tambi´ en parece ser una incognita, pero veremos que en sistema simple, este tipo de problemas es inde- pendiente del tiempo).

Poner dibujo!!!!!!!!!!!!!

Al cabo de t a˜ nos, las inversiones originales generan la siguiente cantidad de dinero

100.000 (1 + t · 0, 18) + 250.000 (1 + t · 2 · 0, 08) + 75.000 (1 + t · 12 · 0, 02) La operaci´ on nueva genera al cabo de t a˜ nos

425.000 1 + t · 365i

⁽³⁶⁵⁾

si queremos que ambas produscan igual capital final, tenemos que

100.000 (1 + t · 0, 18)+250.000 (1 + t · 2 · 0, 08)+75.000 (1 + t · 12 · 0, 02) = 475.000

1 + t · 365i

⁽³⁶⁵⁾

de donde

100.000 · 0, 18 + 250.000 · 2 · 0, 08 + 75.000 · 12 · 0, 02 = 425.000 · 365i

⁽³⁶⁵⁾

Por lo que la tasa que buscamos, conocida como la tasa media diaria de la operaci´ on, es

i

⁽³⁶⁵⁾

= 100.000 · 0, 18 + 250.000 · 2 · 0, 08 + 75.000 · 12 · 0, 02 425.000 · 365

= 0, 000489927477841

Por lo tanto, la entidad financiera debe ofrecerle al menos un 0,0489927477841%

diario para que ud. reciba el mismo monto final. Veamos que efectivamente, ambas operatorias producen el mismo ingreso. Por ejemplo en un a˜ no, sus in- versiones originales le reportan $ 501.000 pues

100.000 (1 + 0, 18) + 250.000 (1 + 2 · 0, 08) + 75.000 (1 + 12 · 0, 02) = 501.000 Obtendr´ a la misma suma con la segunda operatoria

425.000 (1 + 365 · 0, 000489927477841) = 501.000

(34)

28 CHAPTER 2. SISTEMAS DE CAPITALIZACI ´ ON SIMPLE Se invita al lector a calcular el ingreso de ambas operatorias a 2, 2,5, 3 y 5 a˜ nos (o cualquier otro intervalo de tiempo), los ingresos producidos por ambas operatorias deberian ser iguales (si no fuera el caso, ¡cometi´ o un error!).

Es interesante comparar la tasa media de la operaci´ on, contra la tasa prome- dio de la misma. En este caso la tasa promedio diaria se consigue promediando las tasas diarias equivalentes a las tasas originales

365i

⁽³⁶⁵⁾₁

= 1 · 0, 18 =⇒ i

⁽³⁶⁵⁾₁

= 0, 18

365 = 0, 0004931506849 365i

⁽³⁶⁵⁾₂

= 2 · 0, 08 =⇒ i

⁽³⁶⁵⁾₂

= 0, 16

365 = 0, 0004383561643 365i

⁽³⁶⁵⁾₃

= 12 · 0, 02 =⇒ i

⁽³⁶⁵⁾₃

= 0, 24

365 = 0, 0006575342465 Luego la tasa promedio diaria de la operaci´ on es

i

⁽³⁶⁵⁾₁

+ i

⁽³⁶⁵⁾₂

+ i

⁽³⁶⁵⁾₃

3 = 0, 0004931506849 + 0, 0004383561643 + 0, 0006575342465 3

= 0, 0005296803651

En este caso se observa que la tasa promedio de la operaci´ on es ligeramente superior a la tasa media de la misma.

La operaci´ on financiera anterior ocurre con relativa frecuencia, por lo que amerita el desarrollo de f´ ormulas generales.

En general una serie n capitales C

j

, con j = 1, . . . , n, colocados a las tasas q

j

-per´ıodicas i

^(q^j⁾

, con j = 1, . . . , n, durante t a˜ nos, es equivalente a una colocar la suma de todos los capitales

C =

n

X

j=1

C

j

a la tasa media equivalente p-per´ıodica i

^(p)_media

Poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

n

X

j=1

C

j

1 + tq

j

i

^(q^j⁾

= C

1 + tpi

^(p)_media

de donde

n

X

j=1

C

_j

+ t

n

X

j=1

C

_j

q

_j

i

^(q^j⁾

= C + tCpi

^(p)_media

n

X

j=1

C

j

p

j

i

^(p^j⁾

= Cpi

^(p)_media

despejando la tasa media obtenemos

i

^(p)_media

=

n

X

j=1

q

_j

C

_j

i

^(q^j⁾

pC (2.13)

(35)

2.3. EQUIVALENCIA FINANCIERA DE DOS SERIES DE CAPITALES 29 Nota 2.57 Observe que la f´ ormula para la tasa media de una serie de capitales es independiente del tiempo t. Depende de los capitales C

_j

y de las tasas q

_j

- per´ıodicas i

^(q^j⁾

, con j = 1, . . . , n.

Si se observa con atenci´ on la f´ ormula anterior, se puede concluir que la tasa media es un promedio pesado de las tasas p-per´ıodicas equivalentes a las tasas dadas:

i

^(p)_media

=

n

X

j=1

C

j

C q

j

p i

^(q^j⁾

donde cada factor

^q_p^j

i

^(q^j⁾

es la tasa p-per´ıodica equivalente a la tasa i

^(q^j⁾

, y los pesos son los factores

^C_C^j

, los cuales suman 1

n

X

j=1

C

_j

C = 1

C

n

X

j=1

C

_j

= 1

Por lo que es inmediato que min

1≤j≤n

q

_j

p i

^(q^j⁾

≤ i

^(p)_media

≤ max

1≤j≤n

q

_j

p i

^(q^j⁾

En el caso del ejemplo 2.56 tenemos min

1≤j≤n

q

j

p i

^(q^j⁾

= min 0, 18

365 , 2 · 0, 08

365 , 12 · 0, 02 365

= min {0, 0004931506849, 0, 0004383561643, 0, 0006575342465}

= 0, 0004383561643 max

1≤j≤n

q

_j

p i

^(q^j⁾

= max 0, 18

365 , 2 · 0, 08

365 , 12 · 0, 02 365

= max {0, 0004931506849, 0, 0004383561643, 0, 0006575342465}

= 0, 0006575342465 y se verifica que

0, 0004383561643 ≤ i

^(p)_media

= 0, 000489927477841 ≤ 0, 0006575342465 Nota 2.58 Adem´ as, dados q

₁

, q

₂

∈ Z, es evidente que las tasas medias i

^(p)_media

y i

^(q)_media

(calculadas con respecto a una misma serie de capitales) son equivalentes:

pi

^(p)_media

=

n

X

j=1

C

_j

q

_j

i

^(q^j⁾

C = qi

^(q)_media

(2.14)

En general una serie de n capitales C

_j

, con j = 1, . . . , n, a las tasas q

_j

-

per´ıodicas i

^(q^j⁾

, con j = 1, . . . , n, tambi´ en tiene un tasa promedio p-per´ıodica

(36)

30 CHAPTER 2. SISTEMAS DE CAPITALIZACI ´ ON SIMPLE asociada la cual no es otra cosa que el promedio de las tasas p-per´ıodicas equiv- alentes a las tasas dadas:

i

^(p)_promedio

= 1 n

n

X

j=i

q

j

p i

^(q^j⁾

Para el ejemplo anterior la tasa mensual promedio es

i

⁽¹²⁾_promedio

= 1 2

1 12 0, 07 + 4 12 0, 041

= 0, 00975

En este caso la tasa media, 0, 010925, resulta ser mayor que la tasa promedio, 0, 00975. La pregunta que surge de manera natural es ¿Existe alguna relaci´ on entre tasa media y tasa promedio? Veremos que en realidad la tasa media (en sistema simple) es un promedio pesado (o ponderado) de las tasas originales, donde los pesos vienen dados por los tama˜ nos relativos de los C

j

respecto de C.

Por ejemplo, veremos que la tasa media y la tasa promedio coinciden en el caso C

j

=

¹_n

C. Dada una serie de operaciones consistentes de colocar n capitales C

j

, con j = 1, . . . , n, a las tasas q

j

-per´ıodicas i

^(q^j⁾

, con j = 1, . . . , n, si llamamos C

min

:=

min {C

1

, . . . , C

n

}, y C

max

:= max {C

1

, . . . , C

n

}, como para todo j = 1, . . . , n C

_min

≤ C

j

≤ C

max

tenemos que

i

^(p)_media

=

n

X

j=1

q

j

C

j

i

^(q^j⁾

pC

=

n

X

j=1

q

_j

p

C

_j

C i

^(q^j⁾

≥ C

min

C

n

X

j=1

q

j

p i

^(q^j⁾

Como

n

X

j=1

q

j

p i

^(q^j⁾

= ni

^(p)_promedio

Tenemos que

i

^(p)_media

≥ n C

min

C i

^(p)_promedio

De manera similar se puede probar que

i

^(p)_media

≤ n C

_max

C i

^(p)_promedio

Matem´aticas Financieras

Matem´ aticas Financieras

Dr. Daniel A. Jaume Prof. Gonzalo Molina

Esta versi´ on: December 16, 2012

Contents

1 Valor tiempo del dinero 1

1.1 Introducci´ on . . . . 1

1.1.1 Funciones del dinero . . . . 2

1.1.2 Trueque . . . . 2

1.1.3 Un esquema del surgimiento del dinero fiduciario . . . . . 3

1.2 Valor-tiempo del dinero . . . . 4

2 Sistemas de capitalizaci´ on simple 9 2.1 Sistema de capitalizaci´ on simple . . . . 9

2.2 Equivalencia de tasas . . . . 16

2.3 Equivalencia financiera de dos series de capitales . . . . 19

2.3.1 Tasa media . . . . 27

2.3.2 Vencimiento medio . . . . 32

3 Descuento Simple 36 3.0.3 Descuento simple . . . . 37

3.0.4 Equivalencia de tasas de descuento simple. . . . . 40

3.0.5 Equivalencia entre tasas de descuento y de capitaliaci´ on simples. . . . 41

3.0.6 Equivalencia financiera revisada . . . . 42

4 Sistemas de capitalizaci´ on compuesta 45 4.1 Sistema de capitalizaci´ on compuesta . . . . 45

4.2 Tasas . . . . 54

4.2.1 Equivalencias de tasas compuestas . . . . 54

4.2.2 Breve diccionario de tasas nominales . . . . 60

4.3 Equivalencia de capitales . . . . 61

4.3.1 Tasa media . . . . 66

4.3.2 Vencimiento medio . . . . 71

4.4 Capitalizaci´ on subper´ıodica . . . . 74

4.4.1 Convenio discreto o de truncamiento . . . . 75

4.4.2 Convenio exponencial o continuo . . . . 75

4.4.3 Convenio lineal . . . . 76

ii

CONTENTS iii

5 Descuento compuesto 80

5.0.4 Equivalencia de tasas de descuento compuesto. . . . 85

5.0.5 Equivalencia entre tasas de descuento y capitalizaci´ on. . . 87

5.0.6 Descuento Racional . . . . 89

6 Capitalizaci´ on Continua 93 6.1 Capitalizaci´ on continua . . . . 93

6.2 Equivalencia de capitales . . . 100

6.3 Tasa media continua . . . 103

6.4 Equivalencia entre tasas continuas y discretas . . . 106

6.5 Vencimiento medio continuo . . . 108

6.6 Descuento continuo . . . 109

7 Composici´ on de tasas 111 7.1 Rentabilidad real . . . 111

7.2 Efecto de las comisiones . . . 114

7.2.1 Efecto de las comisiones cobradas al principio de la op- eraci´ on . . . 114

7.2.2 Efecto de las comisiones cobradas al final de la operaci´ on 116 7.3 Tasas negativas . . . 118

7.3.1 Depreciaci´ on . . . 119

7.3.2 Impuestos, seguros y comisiones varias . . . 122

7.3.3 Impuestos sobre la renta financiera y su efecto sobre la rentabilidad. . . . 122

7.4 Tipo de cambio . . . 125

7.5 Tasa de devaluaci´ on . . . 133

7.5.1 Tasas de devaluaci´ on . . . 133

7.6 ´ındice de precios . . . 141

7.7 Inflaci´ on . . . 147

7.8 Indexaci´ on . . . 153

7.9 Composici´ on de tasa en el sistema continuo . . . 153

8 Rentas 155 8.1 Rentas generales . . . 155

8.2 Rentas constantes . . . 158

8.3 Rentas vencidas o pospagables . . . 159

8.4 Multiplicadores . . . 168

8.5 M´ etodos n´ umericos . . . 170

8.5.1 M´ etodo de Newton-Raphson . . . 170

8.5.2 M´ etodo de la secante . . . 175

8.6 Rentas prepagables . . . 178

8.7 Rentas perpetuas . . . 183

8.7.1 Rentas perpetuas constantes vencidas (pospagables) . . . 183

8.7.2 Rentas perpetuas constantes adelantadas (prepagables) . 186 8.8 Rentas diferidas y anticipadas . . . 187

8.9 Rentas aritm´ eticas . . . 190

iv CONTENTS

8.10 Rentas geom´ etricas . . . 201

8.11 Rentas variables en progresi´ on geom´ etrica . . . 201

8.12 Inflaci´ on: su efecto sobre rentas . . . 210

8.13 Otros tipos de rentas. . . . 214

8.14 Rentas a capitalizaci´ on continua . . . 214

9 Pr´ estamos 216 9.1 Introducci´ on . . . 216

9.2 Pr´ estamos comerciales . . . 216

9.3 Pr´ estamos a inter´ es sobre saldos . . . 220

10 Pr´ estamo franc´ es 223 10.1 Introducci´ on . . . 223

10.2 Usufructo y nuda propiedad . . . 232