CINEMÁTICA
1.- Introducción .- La cinemática es la parte de la Mecánica que estudia el movimiento prescindiendo de las causas que lo producen.
Se dice que un cuerpo está en movimiento relativo con respecto a otro, cuando su posición, medida relativa al segundo cuerpo, cambia con el tiempo. Por contra, si esta posición relativa no varía con el tiempo, el objeto se halla en reposo relativo. Tanto el movimiento como el reposo son conceptos relativos, es decir, exigen la existencia de un punto u objeto que se utiliza como referencia. Un árbol o un edificio están en reposo relativo con respecto a la Tierra, y sin embargo, en movimiento con respecto, por ejemplo, el Sol. Cuando un tren pasa por delante de una estación, ésta se encuentra en movimiento relativo con respecto al tren, pero un pasajero, también, puede decir que la estación se encuentra en movimiento en sentido opuesto.
Por todo esto, para describir un movimiento es necesario la existencia de un
observador que, a su vez, defina un sistema de referencia, con relación al cual se realiza el movimiento.
En la figura, se indican dos observadores O y O' y una partícula P. Estos observadores utilizan sistemas de referencia XYZ y X'Y'Z' respectivamente. Si O y O' se hallan en reposo entre sí, ambos observarán el mismo movimiento de P. Pero si O y O' están en movimiento relativo, las observaciones del movimiento de P serán diferentes.
2.- Magnitudes cinemáticas .- Para entender el movimiento describimos, a continuación, las diferentes magnitudes que intervienen en su desarrollo.
a) Vector de posición. Trayectoria: Una vez establecido un sistema de referencia, cada punto P del espacio viene determinado por un vector que tiene como origen, el correspondiente al sistema de referencia, O, y como extremo dicho punto P.
Este vector, recibe el nombre de
vector de posición o radio vector, siendo aquel cuyo origen siempre coincide con el de coordenadas, mientras que su extremo se halla, en cada instante, sobre el punto móvil.
El vector de posición tiene tres componentes, que se corresponden con las de su extremo:
donde son los
vectores unitarios.
Cuando el punto P se mueve, su radio vector variará con el tiempo, con lo que podrá expresarse de la forma siguiente:
movimiento desde el punto de vista cinemático.
La distancia existente entre la posición, en un instante determinado, P(x, y, z) y el origen del sistema de referencia, O, viene dada por:
que a su vez, no es sino el módulo del radio vector para el instante considerado.
b) Vector desplazamiento. Espacio recorrido.- Consideremos dos posiciones de un mismo móvil, para dos instantes diferentes. Estas posiciones son P0(x0,y0,z0) y
P(x1,y1,z1), y vienen determinadas por los vectores de posición r0 y r1,
respectivamente. Se dice, entonces, que el móvil se ha desplazado de P0 a
P1. Este
desplazamiento viene determinado por el vector P0P1,
que une la posición inicial con la final. Este vector recibe la denominación de
vector
desplazamiento y tiene como origen la posición inicial de la partícula y como extremo la posición final de la misma. Viene dado por:
su módulo representa la distancia entre dos posiciones de la partícula, pero en general no coincide con la distancia recorrida sobre la trayectoria, , y que se denomina
desplazamiento. Esta siempre es mayor y sólo se igualan cuando el recorrido corresponde a una línea recta.
3.- Velocidad.- Para conocer el movimiento de una partícula no sólo es necesario conocer su posición en cada instante. Es preciso, además, saber cómo varía dicha posición en función del tiempo. La magnitud física que nos proporciona esta información, se la denomina velocidad.
Notemos que el cambio de posición puede describirse de dos formas: - Escalarmente: por medio del desplazamiento .
- Vectorialmente: por medio del vector desplazamiento . Esto hace que podamos hablar de dos medidas de la velocidad.
Velocidad Media: Se define el vector velocidad media como el cociente entre el vector desplazamiento y el intervalo considerado, es decir:
Es necesario no confundir el vector velocidad media con la velocidad media sobre la trayectoria, que viene dada por:
dada la diferencia existente entre el vector desplazamiento y el espacio recorrido. Uno es un vector y el otro un escalar, y además no tienen el mismo valor numérico.
En componentes el vector velocidad media vendrá dado por:
siendo, en consecuencia, su módulo:
La velocidad media nos proporciona poca información sobre el movimiento, únicamente nos relaciona el vector desplazamiento total producido en un determinado intervalo de tiempo con dicho intervalo. No nos dice nada sobre la trayectoria, ni si ha llevado siempre la misma velocidad o no. La velocidad media puede ser nula en un determinado intervalo y no en intervalos más pequeños. Es por esto que para obtener una información más completa es necesario acudir a análisis más detallados, es decir considerando, cada vez, intervalos de tiempo más pequeños.
Velocidad Instantánea: Físicamente representa la velocidad que posee una partícula de un instante determinado, o la velocidad que posee en un punto determinado de la trayectoria.
Se obtiene determinando el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero, es decir:
expresión que, como sabemos, corresponde a la derivada, luego:
que recibe el nombre de celeridad.
Desde un punto de vista vectorial, el vector velocidad instantánea, según la interpretación geométrica de la derivada, es un vector tangente a la trayectoria en el punto que estemos considerando. Su sentido coincide con el del movimiento.
La velocidad instantánea puede también referirse a la trayectoria. Y así, si s = s(t) es la ecuación de la curva descrita por un punto móvil, podemos escribir:
ahora bien, es un vector unitario ya que en el límite las magnitudes y
coinciden. Por lo tanto:
es un vector unitario y tangente a la trayectoria que representaremos por:
con lo que la velocidad instantánea puede escribirse como:
donde la magnitud "ds/dt" representa el módulo del vector velocidad y suele recibir la denominación de celeridad. Tal como ya se ha dicho.
Desde un punto de vista dimensional, la velocidad, tanto media como instantánea, se escribirá:
es decir como un cociente entre unidades de longitud y tiempo. Esto nos lleva al siguiente cuadro:
Sistema Cegesimal (C.G.S) cm/s
Sistema Técnico m/s
4º.- Aceleración.- En general la aceleración es la medida de las variaciones que pueda sufrir la velocidad en un intervalo de tiempo. Recordemos que la velocidad es una magnitud vectorial y que por lo tanto sus variaciones pueden realizarse en cualquiera de los elementos que la definen: celeridad (módulo), dirección y sentido. Y esto es importante, ya que en la vida ordinaria, el concepto de aceleración únicamente se relaciona con los cambios en módulo.
A continuación presentamos tres situaciones distintas, en las que se presentan los tres tipos distintos de cambios en la velocidad:
(I) Lanzamos una pelota contra un frontón con una velocidad de 6 m/s. La pelota rebota y sale en la misma dirección con una velocidad de 6 m/s. Esta situación se representa en la figura. Y hay aceleración ya que existe cambio en el sentido del vector velocidad.
Tomando como eje OX la dirección de lanzamiento, y según el convenio de signos (hacia la derecha positivo, hacia la izquierda negativo) tendremos:
(II) Un coche se desplaza por una carretera rectilínea. En un instante determinado lleva una velocidad de 60 km./h y en un instante posterior su velocidad es de 100 km./h.
En este caso, la velocidad se mantiene constante tanto en dirección como en sentido y varía el módulo. Existirá, pues, aceleración:
(III) Una partícula describe una trayectoria curvilínea con una celeridad (módulo) constante e igual a 6 m/s.
De igual forma que al estudiar los cambios de posición, velocidad, se habló de velocidad media y velocidad instantánea, a la hora de hablar sobre los cambios en la velocidad, hablaremos de aceleración media e instantánea.
Aceleración Media: Físicamente representa la variación del vector velocidad instantánea en el transcurso de un cierto intervalo de tiempo, es decir:
esta magnitud es de escaso valor práctico y desde el punto de vista gráfico es un vector que está en la dirección del cambio de velocidad.
Aceleración Instantánea: Representa los cambios instantáneos o en cada punto de la trayectoria que sufre la velocidad de un punto móvil. Desde un punto de vista matemático viene determinada por:
es decir la derivada del vector velocidad. O bien, recordando la definición de la velocidad instantánea, la derivada segunda del vector de posición:
Las componentes cartesianas del vector aceleración, serán:
o bien
siendo su módulo
Desde un punto de vista dimensional, la velocidad, tanto media como instantánea, se escribirá:
es decir como un cociente entre unidades de longitud y tiempo al cuadrado. Esto nos lleva al siguiente cuadro:
Sistema Internacional (S.I) m/s²
Sistema Cegesimal (C.G.S) cm/s²
Sistema Técnico m/s²
5.- Movimiento en una dimensión.- Es la situación más simple, ya que todo el movimiento se realiza sobre una línea recta, que tomaremos coincidente con uno de los ejes del sistema de referencia, por lo que en general prescindiremos del carácter vectorial de las magnitudes estudiadas.
Movimiento rectilíneo y uniforme: Un movimiento se dice que es rectilíneo y uniforme cuando su vector velocidad es constante. Esto implica que:
a) La velocidad es constante en dirección y sentido: la trayectoria es una recta.
b) La velocidad es constante en módulo: recorre espacios iguales en tiempos iguales. La velocidad instantánea es igual que la velocidad media.
entonces:
donde, según lo dicho, prescindimos del carácter vectorial. A partir de esta ecuación:
y suponiendo que para el instante inicial (t = 0 s.), el móvil parte de la posición "x0", e
integrando para un tiempo arbitrario "t", tendremos:
que es la ecuación correspondiente a este tipo de movimiento.
A continuación se representan gráficamente los diagramas del movimiento rectilíneo uniforme:
Notemos que:
- En el diagrama v-t, se obtiene una recta paralela al eje de tiempos, como corresponde a un movimiento en que la velocidad es constante.
- En el diagrama x-t, obtenemos una recta cuya ordenada en el origen es la posición inicial , x0, y cuya pendiente es la velocidad, ya que:
Movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado: Un movimiento se dice que es rectilíneo y uniformemente acelerado si:
(a) La trayectoria es una línea recta, es decir la velocidad es constante en dirección y sentido.
(b) El vector aceleración es constante.
Estos dos puntos unidos, nos indican que en este tipo de movimiento las aceleraciones se deben únicamente a los cambios en la celeridad, es decir en el módulo de la velocidad.
Entonces, a partir de la definición de aceleración:
tendremos:
e integrando, según las condiciones iniciales, por ejemplo para una velocidad inicial y una posición, también inicial, , tendremos:
por otro lado, y según la definición de velocidad instantánea
donde hemos hecho uso del resultado anterior. Y de aquí
e integrando
luego:
que es la ecuación del movimiento correspondiente a este caso.
A continuación se realizan las diferentes representaciones gráficas, es decir, los diagramas aceleración en función del tiempo "a-t", velocidad respecto al tiempo "v-t" y la posición en relación al tiempo "x-t".
a) Diagrama a-t: Tal como se ve resulta ser una recta paralela al eje de los tiempos. b) Diagrama v-t: Resulta ser una recta cuya ordenada en el origen es la velocidad inicial
"v0". Notemos además que su pendiente nos indica la aceleración del movimiento, ya
que:
Por último con respecto a los valores medios, conviene indicar:
- La aceleración media coincide con la instantánea, ya que es constante. - La velocidad media nos vendrá dada por:
y recordando la expresión: podemos escribir.
siendo "v" la velocidad en el instante considerado.
El caso más importante de movimiento uniformemente acelerado es el de caída libre bajo la acción de la gravedad. En este caso, tomando la dirección vertical hacia arriba positiva, el movimiento resulta ser decelerado, de forma que en las expresiones anteriores basta sustituir "a" por "-g", ya que la aceleración debida a la gravedad va dirigida hacia abajo. El valor de "g", si bien varía de un punto a otro de la superficie terrestre y también con la altura, puede considerarse igual a 9.8 m/s2.
6.- Movimiento en dos dimensiones.- Dentro de este apartado comenzaremos por una de las situaciones más simple, que a su vez y como caso particular, presenta el estudio de lanzamiento de proyectiles.
(a) Movimiento bajo aceleración constante: En este caso el vector aceleración es constante.
Si integramos la expresión correspondiente a la definición del vector aceleración, obtenemos:
de donde
donde hemos hecho uso del resultado anterior. Y de aquí
e integrando
luego:
expresión que nos da la posición de la partícula en cualquier instante.
Estos resultados los podemos comparar con los ya obtenidos para el caso del movimiento rectilíneo con aceleración constante. En el movimiento rectilíneo tienen la misma dirección. Sin embargo, en el caso más general " " y " " pueden tener diferentes direcciones. Ahora bien, tal como podemos observar de la última expresión, el vector " " se obtiene como combinación lineal de los vectores " " y " ". Por tanto dicho vector se encuentra siempre en el plano determinado por los otros dos vectores. La trayectoria es, pues, una curva plana, de hecho una parábola.
Movimiento de un proyectil: Es una de las aplicaciones más interesantes de lo estudiado en el apartado anterior. En este caso la aceleración corresponde a la de la gravedad, es decir:
Por comodidad, supondremos que el lanzamiento se realiza desde el origen de coordenadas, con una velocidad inicial " " que forma un ángulo con la horizontal. De esta forma:
donde:
puesto que la expresión de la velocidad en cualquier instante es:
tendremos:
y teniendo en cuenta que dos vectores son iguales, cuando lo son sus componentes, podemos escribir:
- Uniformemente decelerado: según el eje de ordenadas .
de manera, que podemos hacer uso de todas las expresiones anteriormente determinadas, para cada uno de estas dos tipos de movimientos.
En realidad, lo anteriormente dicho, es un caso particular de uno más general y que se conoce como principio de superposición: Si una partícula está sometida simultáneamente a varios movimientos elementales, independientes los unos de los otros, el movimiento resultante se obtiene sumando vectorialmente dichos movimientos parciales.
Aplicando las definiciones de velocidad a cada una de las componentes, obtenemos:
integrando obtenemos:
que nos dan las coordenadas de la partícula en función del tiempo. Estas expresiones corresponden a las ecuaciones paramétricas del movimiento. Si entre ellas, eliminamos el tiempo
el tiempo, es decir el parámetro, obtenemos la ecuación en cartesianas de la trayectoria. Esta es:
que corresponde a una parábola
y sustituyendo este valor el la expresión que nos da la posición de la partícula en cualquier instante tendremos:
siendo su abscisa
El tiempo necesario para que el proyectil retorne al nivel del suelo, se obtendrá imponiendo la condición (y = 0), y resolviendo la ecuación correspondiente. Entonces:
evidentemente la primera solución corresponde al instante inicial, y por lo tanto no es la que buscamos. Sustituyendo en la expresión que nos da la abscisa de la partícula en cualquier instante, obtenemos:
que, como vemos, es el doble del valor de la abscisa correspondiente al punto de mayor altura.
Estos resultados son válidos siempre y cuando:
a) El alcance es lo suficientemente pequeño como para despreciar la curvatura de la Tierra.
b) La altura es lo suficientemente pequeña como para poder despreciar las variaciones de la gravedad.
c) La velocidad inicial del proyectil es lo suficientemente pequeña como para poder despreciar la resistencia realizada por el aire.
7.- Componentes tangencial y normal de la aceleración.- Vamos a considerar una partícula que describe una trayectoria curva arbitraria. Tal como sabemos, en este tipo de movimientos siempre hay aceleración, ya que siempre existe cambio de dirección en el vector velocidad. Naturalmente, también es posible que, además, existan variaciones en el módulo de la velocidad. Resultaría, pues, muy interesante determinar una expresión que nos reflejase ambas circunstancias de forma separada, o sea, los cambios en la dirección y las variaciones en módulo del vector velocidad.
Ya que, los cambios en la dirección se deben a que la trayectoria es una curva, lo que haremos será crear un nuevo sistema de referencia que viaje con el móvil, a través de la curva. Este nuevo sistema de referencia, intrínseco al móvil, tendrá unos ejes, construidos de la forma siguiente:
- Uno sobre la recta tangente , caracterizado por el vector unitario .
- Otro sobre la recta normal , caracterizado por el vector unitario .
lo que:
para determinar la aceleración deberemos derivar esta expresión respecto al tiempo, notando que ni el módulo "v" ni la dirección " " son, en general, constantes, y así:
Ahora bien, en la figura se relaciona el nuevo sistema de coordenadas con el cartesiano, en el que los vectores unitarios son constantes
de donde, diferenciando la expresión correspondiente a " ", obtenemos:
o sea:
y así:
ahora bien, tal como se puede ver en la figura, se tiene
y, puesto que "ds/dt" es el módulo de la velocidad, obtenemos:
El primer término, , es un vector tangente a la curva, y es proporcional a
los cambios o variaciones en el módulo de la velocidad. Este término se denomina
aceleración tangencial, de manera que:
y nos indica las variaciones en módulo y sólo en módulo de la velocidad.
El segundo término, , es un vector perpendicular a la curva, está asociado
a los cambios en la dirección de la velocidad y se denomina aceleración normal, es decir:
En definitiva, el vector aceleración puede escribirse, en este sistema de coordenadas como
Siendo su módulo
y teniendo en cuenta que el módulo de un vector es independiente del sistema de coordenadas (base) elegido, tendremos:
esta última expresión nos posibilita la determinación del radio de curvatura en cualquier instante.
Estas expresiones también pueden obtenerse mediante cálculo vectorial, ya que tanto aT como aN son respectivamente las proyecciones del vector aceleración sobre la
recta tangente y la recta normal.
De esta manera, si construimos vectores unitarios a lo largo de las rectas mencionadas podremos realizar las mencionadas proyecciones, utilizando la interpretación geométrica del producto escalar. Y así:
- Vector unitario a lo largo de la recta tangente: En esta dirección se halla el vector
velocidad, por lo que un unitario sería y de esta manera la proyección buscada,
considerado sobre la recta tangente, por lo que vendrá dado por y de
esta manera, la componente normal de la aceleración será:
Esta última expresión, también nos permite calcular el radio de curvatura ya que:
8º.- Movimiento circular.- Un caso muy particular es aquel en el que la trayectoria es un círculo. El vector velocidad, al ser tangente al círculo, será perpendicular al radio R. Si, en nuestros cálculos, medimos distancias a lo largo de la circunferencia del círculo a partir del punto "O", se tiene que "s = R.", por lo que el módulo de la velocidad, recordando que "R" es constante, nos vendrá dado por:
La magnitud
se denomina velocidad angular, y es igual a la variación del ángulo descrito en la unidad de tiempo. Se expresa en radianes por segundo (rad s-1), o simplemente (s-1). Además:
es la relación existente entre la velocidad lineal y la angular.
La velocidad angular puede expresarse como una cantidad vectorial cuya dirección es perpendicular al plano del movimiento en el sentido de avance de un tornillo girando en el mismo sentido en que se mueve la partícula, o también por la regla de la mano derecha . De la figura vemos que:
siendo "r" el módulo del vector de posición.
Este resultado responde a un
y da el carácter vectorial a la velocidad angular. Aunque conviene indicar que estrictamente hablando, la velocidad angular es un pseudovector, ya que no responde a la regla de la poligonal en lo que a suma se refiere.
Si la velocidad angular no es constante, sus cambios se determinan a través de la
aceleración angular, dada por:
así pues, el vector aceleración tiene la misma dirección que el vector " ". Y ya que la dirección del vector velocidad angular es constante coincidirá con la correspondiente a " " y con la del vector aceleración angular. La relación anterior también se verifica para los módulos, o sea:
Movimiento circular uniforme.- Un caso especial es el movimiento circular uniforme, en el que es constante. En este caso, el movimiento es periódico, es decir la partícula pasa por cada punto del círculo a intervalos iguales. El período, T, es el tiempo empleado en dar una vuelta completa o revolución, es decir, en un tiempo igual a "T", el móvil recorrerá un ángulo igual a "2" radianes, por lo que:
Por otro lado, se llama frecuencia," f", al número de vueltas o revoluciones que el móvil da por unidad de tiempo, es decir el inverso del período
luego
Cuando el período se expresa en segundos, la frecuencia lo hace en "s-1", unidad que se
denota hertz (Hz).
Naturalmente, en un movimiento de este tipo, se tiene que:
por lo que al ser " = cte.", integrando tendremos:
similar a la obtenida para el movimiento rectilíneo uniforme, sin más que cambiar el ángulo por el espacio y la velocidad angular por la lineal.
Conviene notar, sin embargo, que a pesar de ser " = cte", esto únicamente implica que el módulo de la velocidad lineal es constante y no su dirección. Existe, por tanto, aceleración, y más concretamente la ocasionada por los cambios en la dirección del vector velocidad. Es decir, la aceleración normal, que vendrá dada por:
que como vector está dirigida hacia el centro de la circunferencia, por lo que se la denomina aceleración centrípeta, y se escribe, teniendo en cuenta que la única aceleración que existe es la normal,
el módulo de la aceleración normal también puede escribirse de las formas siguientes:
Movimiento circular uniformemente acelerado.- Este caso se presenta cuando la aceleración angular es constante, luego:
e integrando:
ó
a partir de la expresión tendremos:
de donde:
Las componentes tangencial y normal de la aceleración, en este caso, vendrán dadas por:
y
Desde un punto de vista vectorial, ya sabemos que la aceleración normal está dada por , mientras que la aceleración tangencial, teniendo en cuenta que la aceleración angular tiene la misma dirección que la velocidad angular y que la aceleración tangencial la misma que la velocidad, se escribirá como:
El módulo de la aceleración será:
9º.- Clasificación de los movimientos.- A partir de las componentes normal y tangencial de la aceleración es posible realizar una clasificación de los diversos tipos de movimiento que puede seguir un punto.
a) Movimiento rectilíneo uniforme:
b) Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado: c) Movimiento rectilíneo variable:
como vemos en los movimientos rectilíneos no existe nunca aceleración normal, ya que el radio de curvatura de una recta es infinito.
d) Movimiento circular uniforme:
e) Movimiento circular uniformemente acelerado: f) Movimiento circular variable:
