Operaciones con polinomios algebraicos. (Producto o multiplicación)

INSTITUCION EDUCATIVA INEM MIGUEL ANTONIO CARO. SOLEDAD ATLANTICO MATEMATICAS DE OCTAVO DOCENTE: MARIO NAVARRO

GUIA 2 TERCER PERIODO [email protected]

Operaciones con polinomios algebraicos. (Producto o multiplicación)

PROPOSITO.

Que los estudiantes utilicen la multiplicación de expresiones algebraicas para realizar cálculos y resolver problemas del are y de su entorno.

Que los estudiantes utilicen los productos notables como formas abreviadas de realizar cálculos y resolver problemas.

CONCEPTUALIZACION.

Comencemos esta operación resolviendo multiplicaciones de monomios por monomios.

Ya sabemos por definición que los monomios son expresiones algebraicas que solo contienen un término.

Hallemos el producto de

6𝑥

³

𝑦

² por

−5𝑥

⁴

𝑦

Se indica el producto, agrupando los términos entre paréntesis:

(6𝑥

³

𝑦

²

)(−5𝑥

⁴

𝑦)

Para hallar el producto de los dos monomios, procedemos así:

- Primero hallamos el producto del signo del primero, por el signo del segundo.

(+)(−) = −

- Segundo multiplicamos el coeficiente numérico del primer término, por el coeficiente numérico del segundo termino

(6)(5) = 30

- Tercero, multiplicamos en su orden literal por literal, aplicando la regla de productos de igual base

(𝑥

³

)(𝑥

⁴

) = 𝑥

³

∙ 𝑥

⁴

= 𝑥

³⁺⁴

= 𝑥

⁷

y el

segundo literal

(𝑦

²

)(𝑦) = 𝑦

²

. 𝑦

¹

= 𝑦

²⁺¹

= 𝑦

³

en caso de que falte en uno de los términos un literal, multiplicamos por uno.

Tenemos entonces como resultado:

- Producto de signos

(+)(−) = −

- Producto de números

(6)(5) = 30

- Producto de primer literal

(𝑥

³

)(𝑥

⁴

) = 𝑥

⁷

- Producto del segundo literal

(𝑦

²

)(𝑦) = 𝑦

³

- El resultado es:

−𝟑𝟎𝒙

^𝟕

𝒚

^𝟑

Entonces podemos decir:

(𝟔𝒙

^𝟑

𝒚

^𝟐

)(−𝟓𝒙

^𝟒

𝒚) = −𝟑𝟎𝒙

^𝟕

𝒚

^𝟑

Ejemplo 2

Efectuemos el producto

(−

⁶

5

𝑝

³

𝑞

⁴

𝑟) (−

⁵

3

𝑝

²

𝑟)

Solución:

- Producto de signos

(−)(−) = +

- Producto de números

(

⁶

5

) (

⁵

3

) =

³⁰

15

= 2

- Producto de primer literal

(𝑝

³

)(𝑝

²

) = 𝑝

⁵

- Producto de segundo literal

(𝑞

⁴

)(1) = 𝑞

⁴

- Producto de terceros literales

(𝑟

¹

)(𝑟)

¹

= 𝑟

²

- El resultado es

2𝑝

⁵

𝑞

⁴

𝑟

²

Entonces podemos decir

(−

^𝟔

𝟓

𝒑

^𝟑

𝒒

^𝟒

𝒓) (−

^𝟓

𝟑

𝒑

^𝟐

𝒓) = 𝟐𝒑

^𝟓

𝒒

^𝟒

𝒓

^𝟐

Efectúa los siguientes productos:

- (𝑥)(2𝑥

²

) =

- (6𝑚

²

𝑛)(−9𝑚

³

𝑛

²

) = - (

⁷

3

𝑎

²

𝑏

³

𝑐

²

) (−

⁴

6

𝑎

³

𝑏) = - (𝑎)(2𝑎

²

)(−𝑎

³

) =

- (6𝑥

³

𝑦

²

𝑧

³

)(−15𝑤

²

𝑦

³

𝑧) =

PRODUCTOS DE POLINOMIOS POR MONOMIOS

Para multiplicar monomio por polinomio, se multiplica el monomio por cada uno de los términos del monomio.

Multipliquemos

(−2𝑥

²

𝑦)

por

(5𝑥𝑦

²

− 3𝑦

³

𝑧 + 2)

-

Producto del monomio por el primer termino

(−2𝑥

²

𝑦)(5𝑥𝑦

²

) = −10𝑥

³

𝑦

³

-

Producto del monomio por el segundo termino

(−2𝑥

²

𝑦)(−3𝑦

³

𝑧) = 6𝑥

²

𝑦

⁴

𝑧 -

Producto del monomio por el tercer termino

(−2𝑥

²

𝑦)(2) = −4𝑥

²

𝑦

Entonces podemos decir:

(−𝟐𝒙

^𝟐

𝒚)(𝟓𝒙𝒚

^𝟐

− 𝟑𝒚

^𝟑

𝒛 + 𝟐) = −𝟏𝟎𝒙

^𝟑

𝒚

^𝟑

+ 𝟔𝒙

^𝟐

𝒚

^𝟒

𝒛 − 𝟒𝒙

^𝟐

𝒚

También podemos desarrollar el producto de la siguiente manera:

5𝑥𝑦

²

− 3𝑦

³

𝑧 + 2 X −2𝑥

²

𝑦 −𝟏𝟎𝒙

^𝟑

𝒚

^𝟑

+ 𝟔𝒙

^𝟐

𝒚

^𝟒

𝒛 − 𝟒𝒙

^𝟐

𝒚

Ejemplo 2

Multipliquemos el siguiente monomio, por el polinomio:

4

3

𝑚𝑛

²

por

2𝑚

²

𝑛 −

³

2

𝑚𝑛

²

+

²

5

𝑛

³

𝑝

Desarrollamos el producto:

2𝑚

²

− 3

2 𝑚𝑛

²

+ 2 5 𝑛

³

𝑝 4

3 𝑚𝑛

²

8

3 𝑚

³

𝑛

²

− 12

6 𝑚

²

𝑛

⁴

+ 8

15 𝑚𝑛

⁵

𝑝

Resuelve los siguientes productos de monomio por polinomio:

1. (−5𝑎)(𝑎 + 1) =

2. (8𝑥)(𝑥 + 2𝑥

²

+ 3) =

3. (

²

5

𝑚

³

) (

²

7

𝑚

³

+ 4𝑚

²

+ 1) = 4. (−3𝑎

³

𝑏)(2𝑎

²

𝑏

²

− 𝑎𝑏

³

+ 11) =

5. (−4𝑥

²

)(−𝑤

⁴

+ 3𝑥

²

𝑤

³

− 𝑥𝑤

²

+ 2𝑤 − 3) =

PRODUCTOS DE POLINOMIOS.

Efectuemos el producto

𝒙 + 𝟑

por

𝒙 + 𝟓

Podemos multiplicar el primer término del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo polinomio, luego multiplicamos el segundo término del primer polinomio por todos los términos del segundo polinomio y así sucesivamente, luego se reducen los términos semejantes.

Resolvamos el ejemplo:

(𝑥 + 3)(𝑥 + 5) = 𝑥

²

+ 3𝑥 + 5𝑥 + 15 = 𝑥

²

+ 8𝑥 + 15

𝑥 + 3

𝑥 + 5 𝑥

²

+ 3𝑥

5𝑥 + 15 𝑥

²

+ 8𝑥 + 15

Entonces podemos decir (𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟓) = 𝒙^𝟐+ 𝟖𝒙 + 𝟏𝟓 Desarrollemos el siguiente producto de polinomios:

(𝒙

^𝟐

− 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚

^𝟐

)(𝒙 − 𝟓𝒚)

𝑥

²

− 2𝑥𝑦 + 𝑦

²

𝑥 − 5𝑦 𝑥

³

− 2𝑥

²

𝑦 + 𝑥𝑦

²

−5𝑥

²

𝑦 + 10𝑥𝑦

²

− 5𝑦

³

𝑥

³

− 7𝑥

²

𝑦 + 11𝑥𝑦

²

− 5 𝑦

³

Entonces podemos decir:

(𝒙

^𝟐

− 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚

^𝟐

)(𝒙 − 𝟓𝒚) = 𝒙

^𝟑

− 𝟕𝒙

^𝟐

𝒚 + 𝟏𝟏𝒙𝒚

^𝟐

− 𝟓𝒚

^𝟑

Encontremos el volumen del solido

(𝒙 + 𝟑)(𝟐𝒙 + 𝟓)(𝟐𝒙 + 𝟕)

Multiplicamos el primer por el segundo polinomio, luego multiplicamos su producto por el tercer polinomio.

El producto del primero por el segundo es:

(𝑥 + 3)(2𝑥 + 5) = 2𝑥

²

+ 5𝑥 + 6𝑥 + 15 = 2𝑥

²

+ 11𝑥 + 15

Ahora el producto del primero por el segundo polinomio, lo multiplicamos por el tercer polinomio.

(2𝑥

²

+ 11𝑥 + 15)(2𝑥 + 7) =

Realicemos el producto en columnas para hallar el volumen del sólido.

2𝑥

²

+ 11𝑥 + 15 2𝑥 + 7 4𝑥

³

+ 22𝑥

²

+ 30𝑥

+14𝑥

²

+ 77𝑥 + 105 4𝑥

³

+ 36𝑥

²

+ 107𝑥 + 105

Llegamos a la conclusión, que el volumen del solido

(𝑥 + 3)(2𝑥 + 5)(2𝑥 + 7)

^{es el}

polinomio

𝟒𝒙

^𝟑

+ 𝟑𝟔𝒙

^𝟐

+ 𝟏𝟎𝟕𝒙 + 𝟏𝟎𝟓

Desarrolla los siguientes productos de polinomios

1. (𝑎 + 2)(𝑎 − 3) = 2. (8𝑥 + 5)(𝑥 − 4) = 3. (

¹

2

+ 𝑚) ( 𝑛 +

²

3

) =

4. (𝑚

²

− 2𝑚𝑛 + 𝑛

²

)(𝑚 − 𝑛) =

5. (−𝑎 + 𝑏 − 𝑐)(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) =

Unidad 2: Actividad de la clase 5

El área de los cuadriláteros, es el producto de su base por su altura 1. Encuentra el área de cada uno de los siguientes cuadriláteros:

2. Halla el producto en cada una de la siguiente multiplicación de polinomio.

a. (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = b. (3𝑥

²

+ 5𝑥)(𝑥 + 4) =

c. (𝑚

³

𝑛

²

+ 2𝑚

²

𝑛 + 𝑚)(𝑚 + 𝑛) =

d. (

^𝑝

2

+ 5) (

^𝑝

2

− 3) =

e. (𝑝 + 2𝑞 − 3𝑟)(𝑝 + 𝑞 + 𝑟) =

f. (𝑎

²

+ 𝑏)(𝑎 + 𝑏

²

)(𝑎 + 𝑏) =

3. Encuentra el área sombreada de la figura.

4. Halla el volumen del siguiente solido:

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