COPPETTI
MATEMATICAS
4
álgebra
QUINTA EDICION
Programa del año 1963
MATEMATICAS CUARTO AÑO ALGEBRA
1.—MATEMATICAS 4? Algebra - Coppetti.
PARA ENSEÑANZA SECUNDARIA Y PREPARATORIA
Textos aprobados por las autoridades de enseñanza dei Uruguay, Argentina, Venezuela, etc.
* Del Prof. Ing. MARIO COPPETTI:
ARITMETICA, primer año. Programa del año 1963.
MATEMATICAS 2? AÑO - ALGEBRA. Programa del año 1963.
GEOMETRIA RACIONAL, segundo año.
MATEMATICAS 3"- AÑO - ALGEBRA. Programa del año 1963.
MATEMATICAS 4» AÑO - ALGEBRA. Programa del año 1963.
MEMENTOS DE ARITMETICA, primer año (agotada).
GEOMETRIA PLANA, primer año (agotada).
ALGEBRA ELEMENTAL, segundo año (agotada).
ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA, tercer año (agotada).
GEOMETRIA DEL ESPACIO, tercer año (agotada).
MATEMATICAS APLICADAS, 1’ parte, cuarto año (agotada).
MATEMATICAS APLICADAS, 2’ parte, cuarto añe (agotada).
TABLAS DE LOGARITMOS, TRIGONOMETRICAS, etc.
CURSO DE TRIGONOMETRIA (Plana y Esférica).
CURSO DE TRIGONOMETRIA ESFERICA (agotada).
* Del Prof. Agrim. EDUARDO W. COPPETTI:
MATEMATICAS 3” AÑO - TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA Prog. 1963.
MATEMATICAS 4’ AÑO - GEOMETRIA.Programadei año 1963.
TEORIA COMBINATORIA Y BINOMIO DE NEWTON.
GEOMETRIA DESCRIPTIVA.
« De ¡os Proís. Ing. MARIO COPPETTI y Agrim. EDUARDO W. COPPETTI:
MATEMATICAS 1«- AÑO - GEOMETRIA Y NOCIONES SOBRE CONJUNTOS. Programa del año 1963.
Ing. MARIO COPPETTI
MATEMATICAS
CUARTO AÑO
ALGEBRA
Programa del año 1963
Texto de uso autorizado por el Conseio N. de Enseñanza Secundaria (Resoluc. del 24/X/1966.)
QUINTA EDICION
DISTRIBUIDORES GENERALES ARGENTINAi Llb. del Colegloi Bs. As.
BOLIVIA! Gílbert y Cla.i La Paz COLOMBIAi Camaeho Roldám Bogotá BCUADORi Llb. Unlvaraltarlai Quita BSPAftAi Llb. Boechi Barcelona
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PARAGUAYi Llb. Unlversali AaunoldB PERUi Llb. Internacional! Lima URUGUAYi Barrelro y Ramos S. Ai VENEZUELA! Distribuidora Heeelar.
INDICE DE CAPITULOS
PROGRAMA OFICIALY
(Aprobado en el año 1963) ALGEBRA
Pág.
PROGRESIONES (CAPITULO I) ... 1
Progresiones aritméticas. Definición; propiedades y suma. Progresiones geométricas. Definición; propiedades y suma. No- ción de suma de una progresión geométrica ilimitada. Frac- ción decimal periódica. Fracción generatriz. Fracción decimal infinita no periódica. Noción de número irracional. Valor por defecto y valor por exceso de un número irracional. Noción de error y su acotación. (15 horas). FUNCION EXPONENCIAL Y FUNCION LOGARITMICA (CAPITU- LO ll) ... 46
Función exponencial de base positiva. Propiedades y gráfica. La función logarítmica, su gráfica y sus propiedades, dedu- cidas de la exponencial. Algunos casos de irracionalidad del logaritmo. Logaritmo decimal. Tablas: su aplicación a cálcu- los numéricos sencillos. (12 horas). FUNCIONES TRIGONOMETRICAS (CAPITULO III) ... 80
Radián. Conversiones. Las funciones trigonométricas defini- das en el campo real. Propiedades y gráficas. Noción de fun- ción periódica. Aplicación. Teorema del seno y del coseno. (8 horas). COMPLEMENTOS DE ECUACIONES (CAPITULO IV) ... 123
Transformaciones de ecuaciones. Resolución de ecuaciones que se reducen a cuadráticas. (8 horas). PROBLEMAS PARA RESOLVER CAPITULO I ... 152
CAPITULO ll ... 159
CAPITULO III ... 163
CAPITULO IV ... 167
PREFACIO
La presente edición de Algebra para 4? año del primer ciclo de Matemáticas de Enseñanza Secundaria se ajusta es- trictamente al Nuevo Programa (Reforma del año 1963).
En la exposición se ha mantenido la pedagogía ya em- pleada desde largos años en nuestros textos “Algebra Ele- mental para 2? año” y "Algebra y Trigonometría para 3er.
año” de Secundaria. Hemos tratado de ajustarnos a las ins- trucciones metodológicasydidácticas que rigen para los nue- vos programas.
Nuestras dos obras “MatemáticasAplicadas, 1? y 2? par- te" que se empleaban en 49 año antes de la Reforma de Programas, se sustituyen ahora respectivamente por “MATE- MATICAS 49 año -Algebra” (la presente obra), y por “MATE- MATICAS 49 año - Geometría” del prof. Agr. Eduardo W.
Coppetti, quien ha colaborado también en la preparación de este libro.
Los temas “Progresiones” y “Logaritmos” que antes se trataban en 3er. año, así como las “Aplicaciones de Trigo-
nometría” que se trataban en 39 y 49 año se transfieren para este curso. El tema “Interés compuesto” que se es- tudiaba en el 49 año no se incluye expresamente en el actual programa pero, dadas sus múltiples aplicaciones en
la vida comercial corriente, hemos estimado conveniente referirnos al mismo, por lo menos, como una aplicación de las progresiones geométricas. Al efectosele trataahora como un problema del capítulo respectivo (N9 64 de pág. 162).
Una vez más declaramos a nuestros distinguidos cole- gas del profesorado, que atenderemos con gratitud sus ob- servaciones, lasque contribuirán a corregir este librode sus deficienciasy a mejorar loque hubierede acierto.
El Autor.
Montevideo, enero de 1966.
DERECHOS DE AUTOR RESERVADOS
Obra de uso autorizado para el 4? año del primer ciclo del actual plan de estudios, conforme resolución del Consejo N. de Enseñanza Secundaria del 24-X-966.
CAPITU1X) I
PROGRESIONES
1. Concepto de sucesión. — Se llama sucesión a todo con- junto infinito cuyos elementos pueden ponerse en corres- pondencia biunívoca con el conjunto de los números natura- les ordenados de menor a mayor.
Así, por ejemplo, los números naturales pares 2, 4, 6, 8, 10,..., 2n ...
1, 2, 3, 4, 6,..., n ...
forman una sucesión, pues, como se indica precedentemen- te, pueden ponerse en correspondencia biunívoca con la su- cesión fundamental de los números naturales, haciendo co- rresponder a cada número par el número natural que es su mitad.
A los elementos de una sucesión ordenados como hemos establecido se les llama términos y, en particular, primer término el correspondiente al número 1, segundo término el correspondiente al número 2, etc.
Se acostumbra designar los términos de una sucesión con una misma letra y un subíndice que indica el número de la sucesión fundamental de los números naturales que es su co- rrespondiente :
di , 02, o» , , ... , o» , ...
Obsérvese que en toda sucesión se cumple que: o) existe un primer término; ó) cada término tiene uno que le sigue y
c) cada término, excepto el primero, tiene uno que le precede.
Una sucesión de números se llama monótona creciente si cada término es menor, o igual, que el siguiente
«i 02 03 — ... — a» — ...
y monótona decreciente cuando
ai «2 ^3 — ... — On — ...
Si cada término es menor, o mayor, que el siguiente las sucesiones se llaman creciente, o decreciente, respectivamente.
Por ejemplo, las sucesiones:
(A) 1 , 4 , 7 , 10 , ... es creciente.
(B) 1 , 1/2 , 1/4 , 1/8 , ... es decreciente.
(C) 2 , 5 , ll , 23 , ... escreciente.
(P) 3 , 9 , 81 , 6561 , ... escreciente.
(P) 1/2, 1/2, 1/4, 1/4, 1/6, 1/6 ...
... es monótona decreciente.
W 2 , 5 , 5 , 14 , 41, 41 , ...
... es monótona creciente.
Indique el estudiante: 1°) la ley de formación de estas suce- siones (o sea una regla que permita hallar un término en función del anterior), y, 2.°) cuál es el séptimo término de cada sucesión.
(Por ej. para la sucesión (A), la ley de formación es:
o. = + 3 ; y a, = 19.
Progresiones aritméticas
2. Definiciones y ejemplos. — La (fig. 1) representa la gráfica de dos móviles que marchan sobre una misma línea y en sentido contrario; el móvil N.tt 1 se supone que parte
— 3 del Km. O a las 8 horas con una velocidad de 30 Km. por hora, y el móvil N.* 2,
del Km. 210 a las 9 ho- ras, con una velocidad de 60 Km. por hora.
Si observamos la grá- fica del móvil N? 1, ve- mos que cada ordenada, correspondiente a cada uno de los puntos de abscisas enteras, es de- cir, de abscisas 9, 10, ll, ..., es igual a la anterior, más un núme- ro dado (30 Km. en el caso en cuestión).
Análogamente, en la gráfica del móvil N.° 2, cada orde- nada de abscisa entera es igual a la anterior menos un nú-
mero dado (60 Km.).
Las ordenadas referidas de la primera gráfica son:
(fig. 1)
0, 30 , 60, 90, 120, 150, ..
y las de la segunda, 210, 150, 90, ...
Constituyen ambas dos sucesiones de números.
En general, daremos la siguiente
Definición . — Una sucesión de números tales, que cada uno sea igual al que le precede, sumado algebraicamente con un número dado, sellama una PROGRESION ARITME- TICA, y se indica con “p. a/’.
Los números referidos son los términos de la p. a. y el nú- mero dado a sumar se llama razón (*) de la progresión.
Una p. a. se llama también progresión por diferencia, en virtud de ser constante la diferencia entre dos términos consecutivos.
(*) Se llama razón, por analogía con las progresiones por cociente que ve- remos más adelante, pero sería más lógico llamarlo diferencia.
Una p. a. es creciente o decreciente según que la razón sea respectivamente positiva o negativa.
Si a, b, c, ... son los términos de una p. a., se in- dica así: -r- a. o. c..._
Una p. a. se dice que es finita o infinita según que tenga un número limitado o ilimitado de términos.
Ejemplo I. — Las ordenadas de puntos de abscisas enteras de la gráfica del móvil N.° 1 forman, una p.a. creciente (de razón 39).
Ejemplo II. — Idem para el móvil N.° 2, forman una p. a. decre- ciente (de razón — 60).
Ejemplo III. — Un edificio consta de la planta baja y 12 pisos;
la escalera que conduce de la planta baja al primero, la forman 25 escalones, y las que unen un piso con el inmediato, tienen 18 cada una.Un mensajero que va de la planta baja al primer piso sube 25 escalones; luego, si realiza otro viaje de la planta baja al 2.* piso, subo 25 18 =3 43 escalones; de la planta baja al 3.eT piso, sube 25 -f- 18 18 = 61 escalones, y así sucesivamente. Loa números de escalones que sube en los diversos viajes forman la p.a, creciente:
25 . 43 . 61 ... (de razón 18) .
Relaciones entre dos términos cuales- quiera de una progresión aritmética
3. Fórmula fundamental. — Si en el ejemplo III del párrafo anterior interesara saber cuántos escalones subió el mensajero en el último viaje, bastaría observar que el 2/
término de la p. a. es igual al 1/ más la razón; que el 3.*
es igual al l.° más dos veces la razón; el 4.* es igual al 1/ más tres veces la razón; etc. ... y el 12/ término será igual al 1/ más once veces la razón.
En general, llamando a al primer término, r la razón y l al término enésimo de una p, a., tendremos:
l — a -j- r (n — 1) Ul
— » Regla . — Un TÉRMINO CUALQUIERA de una progre- sión aritmética es igual al primero, más tantas veces la razón como términos le preceden.
Al término l se le suele llamar el último término (se so- breentiende de los n considerados), o bien, término general.
Ejemplo I. — La sucesión de números impares 1, 3, 5, 7, 9, ....
forma una p. c. de razón 2. El 8.* término, que representaremos con lg será:
L = 1 + 2 (8 - 1) = 1 4. 2 X 7 = 15
El término que ocupa el lugar n, vale decir el término enésimo, será:
?n — l-f-2(n—1) — l*4-2fi—2 ~ 2n—1 Ejemplo II. — El término 26.* de la p. fi.
-i- (9) . (8,5) . (8) . (7,5) ....
cuya razón es (—0,5) será:
*26 = 8 + (“O-8) (26 — 1) = — 3,5
4. Otras fórmulas. — De la fórmula [1], que relaciona los números l, a , r, n , deduciremos otras, que dan cada uno de esos números en función de los otros tres.
Problema I. — Calcular el primer término de una p. a, en función del último, la razón y el número de términos.
En la relación [1] , l = a. + r (w — 1)
la incógnita es ahora la letra a, que despejándola da:
a= l — r(n — 1) [21 que origina la siguiente
Regla . — El PRIMER TÉRMINO de una progresión aritmética es igual al último, menos tantas veces la razón como términos siguen al primero.
Problema II. — Calcular la razón de una p. a. en fun- ción del primero, del último término, y del número de tér- minos de la progresión.
6 —
Despejando la letra r en la relación [1] , obtenemos:
[3]
Problema III. — Calcular el número de términos de una ,p. a. conociendo el primero, el último y la razón.
Despejando n en la relación [1] , obtenemos:
[ti
Como ejercicio, halle el estudiante las fórmulas [3] y [ti;
enuncie las reglas que dan r y n, respectivamente.
Suma de términos
5. Suma de dos términos equidistantes de los extremos en una progresión aritmética finita.
Sea la p. a.
-~a,b....u...x...v...k.l
m m
en la cual suponemos que u y v son términos equidistantes de lo9 extremos, vale decir, que el número de términos que hay antes de u es igual al que hay después de v.
Suponiendo una p. a, de m términos que empiece con a y termine con u, y otra también de m términos que empiece con v y termine con l, aplicando las fórmulas [1] y [2] res- pectivamente, tendremos:
u = a + r (m — 1) v — l — r (m — 1) Sumando ordenadamente, resulta:
u 4- r = a H- l
— t relación ésta, que origina la siguiente
Propiedad . — En una p. a., la SUMA DE DOS TÉRMI- NOS EQUIDISTANTES de los extremos es igual a la suma- de los extremos.
Ejemplo . — En la progresión
4- — 5. — 3. — 1.1. 3. 5. 7 . 9 verificaremos que:
1 3 = — 14-5= — 34-7 = — 5 + 9
6. Suma de n términos consecutivos. — Sea la p. a.
-- a . b . c...h . k . I ....
Llamaremos S la suma de los n términos consecutivos S = a + b+ c + .... + h + k + l
En virtud de la propiedad conmutativa de la suma, po- demos escribir:
$ = l + k + h ~¡- .... + c + Í + a
Sumando ordenadamente estas dos igualdades, obtenemos:
2 S — (a + 0 + (ó + 7c) +...+ (k + 6) + (Z + a) En el segundo miembro hay n expresiones binomias, y cada una es la suma de dos términos equidistantes de los extremos de la p. a. dada; por tanto, do acuerdo con el (N.° 5), siendo cada expresión binomia igual a (a + V), la última fórmula puede entonces escribirse así:
2 S == (a + 1) n
de donde [53
que origina la siguiente
Propiedad .—La SUMA DE VARIOS TÉRMINOS consecu- tivos de una p. a. es igual a la semisuma de los extremos, multiplicada por el número de términos.
7. Problemas y aplicaciones.
Laa fórmulas [1] y [5] contienen cinco números: a, l, n, r, S : por consiguiente nos permiten, conociendo tres cuales- quiera de ellos, calcular los otros.
Los problemas posibles son 10. Algunos de ellos ya han sido resueltos en los (Nos. 3 y 4); los otros originan sistemas de l.° o de 2.° grado con dos incógnitas, cuya resolución no presenta dificultad.
Como ejemplos, a continuación trataremos algunos de esos problemas.
Problema . —> Conociendo el primer término a = 2 , el número de términos n = 12 , y la suma 3 = 2&2 de lo-s términos de una p. a.f calcular el último término y la razón de dicha progresión.
Sustituyendo valores en las fórmulas [1] y [5], tenemos el sistema
Despejando el valor de l de la segunda ecuación, tenemos:
6 l = 222— 12 . - . I = 2io/e = 35 Sustituyendo este valor en la primera, resulta
35 = 2 + ll r . - . r = (35 — 2) : ll = 3
Por consiguiente, el último término es 1 = 35, y la razón r = 3 . Problema . — Conociendo el primer término a = — 5 , la razón r — 4 , y la suma S = 72 de los términos de una p. a.t calcular el primer término y el número de términos.
Sustituyendo valores en las fórmulas [1] y [5], tenemos el sistema en I y » :
o bien
Sustituyendo en la última el valor de l expresado por la primera, resulta: 144 = — 5 n + (4 n — 9) n .*. 2 ne — ln —. 72 = 0 .
Resolviendo esta ecuación de 2.* grado en n , tenemos:
n’ = 8 ; n” = -— 9/2 (absurdo por no ser entero).
Sustituyendo el valor n = 8 en la expresión de Z, tenemos:
Por consiguiente, el último término es l — 23 , y el número de tér- minos n = 8 .
— t Api. 1.a — Suma de los n primeros números naturales.
La sneeáón da números naturales forma una p.a. de razón 1.
Aplicando la fórmula [5], esa suma será:
(1 + Tt)n
# = 1 + 2 + 3+ .... + n = ~ ~ Por ej., la suma de los 100 primeros números naturales es:
+ 10g= 5050
Api. 2.* — Suma de los n primeros números impares.
Como vimos en el Ej. I del (N.° 3), los n primeros nú- meros impares constituyen una p. a. de primer término 1 y último 2 n — 1. Sumando con la fórmula [5], obte- nemos :
l+ (2w —1) 2n
$ =---n =---n = n?
2 2
Esta suma resulta, pues, igual al cuadrado de n .
Por ejemplo, la suma de los ll primeros números impa- res es: ll2 = 121. (Verifique el estudiante este resultado).
Api. 3? — 1Jn cuerpo que cae en el vacío, recorre en los sucesivos segundos de tiempo, espacios proporcionales a los números impares 1, 3 , 5 , .... El coeficiente de pro- porcionalidad se representa con la fracción g/2, en la que g — 9,81 metros por segundo, es la aceleración debida a la gravedad. Por consiguiente, en el primer segundo, el cuerpo recorre un espacio de g/2 metros; en el siguiente, (g/2) X 3 metros; en el 3.ep segundo (g/2) X 5 metros, y asi sucesiva- mente. Demostrar que el espacio total recorrido en t segun- dos, que representamos con la. letra e, está, dado por la
fórmula e — (g/2) tz
Sumemos los espacios recorridos en cada uno de los suce- sivos segundos de tiempo; tendremos la suma de t sumandos*.
(í7/2) + (g/2) X 3 + (g/2) X 5 + ...
Sacando (g/2) como factor común, tendremos (<?/2) (1 + 3 + 5+ ...)
La suma que se encuentra dentro del paréntesis es la de los t primeros números impares que, en la aplicación an- terior, vimos valía t2. Reemplazando, obtenemos (g/2) t2 que constituye el 2.a miembro de la fórmula que nos proponía- mos demostrar.
Api. 4? — Se contrató la excavación de pozo de 30 metros de profundidad, a razón de $ 8,40 el primer metro y
$ 1,20 más por cada metro adicional. Calcular el costo de la excavación.
El costo de la exc.por ell.er m. es: $ 8,40
” ,, >, ,> ,, ,, ,, 2/ ” ” $ 8,40 +1,20
” ,, ,, ,, ,, ,, 3,*rm ,, $ + lj20 X 2
” ” ” ” ” ” 30° ” se obtendrá con la fórm. [ll l = a + r (n — 1) -- 8,40 + 1,20 (30 — 1) = $43,20 El costo de la excavación será 1a, suma de los n — 30 términos de la progresión, que calcularemos con la fórmu- la [5] , obteniendo:
l+ a 43,20 + 8,40
---n =--- X 30 = $ 774
2 2
Api. 5.a —Suma de los cuadrados de los n primeros números naturales, o sea:
p + 92 + 32 + _
+ n2
Designaremos esa suma con S2, y la de los n primero»
números naturales con $1 (ya calculada en la 1.a Aplicación).
Partiremos de la identidad:
(z + 1)’ — x8 = 3 x2 + 3 x + 1
en la que, dando sucesivamente ax los valores 1,2,3, ... n, se obtiene:
— u a»- 1« = 3X1* + 3X1 + 1
3* — ? = 3 x 2* + 3 x 2 + 1 4’ — 3* = 3X3» + 3X3 + 1
(n + i)» _ «» - 3 »« + 3 n +1
Samando ordenadamente estas a igualdades y simplifi- cando, resulta:
(a + 1)« — 1 = 3 8, + 3 Si + a
Sustituyendo 8i = | (1 -j- a)a, y despejando 3 9a as ebtiene
3 S,= (s+ 1)» - (a + 1) - 3 X i (« + D»
6 Si = (a + 1) [2(a + l)1 — 2 — 3 a] =
= (a + 1) (2a»+4a +2—2 — 3 a) =
= (a + 1) (2 a’ + a) = a (a+ 1) (2 a + 1) Por consiguiente, tenemos:
a(a+ l) (2a +l)
=--- 6
que constituye la fórmula que nosproponíamos hallar.
Api. 6.a — Interpolación de términos.
Interpolar m medios aritméticos entre dos números dado»
a y & .
Interpolar m medios aritméticos entre dos números da- dos a y b , significa encontrar m númerosCi , C2 , Os , ...
, tales que: a , ci , c¡i , ej , ... , Cm , b constituya una progresión aritmética limitada.
La razón r se calcula con la fórmula [3], en la que ahora se tiene: , l = i, ; o = o ; a = m -J- 2, «
2.—MATEMATICAS 4? Algebra - Coppetti.
IS —
Por consiguiente,
6 — a r =--- m +1
Los términos interpolados entre a y 6 son, pues:
o + r t a + 2 r , ... , a + m r es decir,
b — a b — a b — a
a H---, o + 2--- , ... , a + m--- .
771 + 1 191 + 1 7H + 1
EJEMPLO l. — Interpolar 7 medios aritméticos entre 5 y 29. La razón será: r = (29 — 5) : 8 = 3 . Los términos a interpolar se- rán, pues: 8 , ll , 14 , 17 , 20 , 23 , 26
EJEMPLO II. — Interpolar 5 medios aritméticos entre 9 y 7,8 . La razón será r = (7,8 — 9) : 6 = — 0,2 . La progresión interpo- lada será: 9 : 8,8 . 8,6 . 8,4 . 8,2 . 8 . 7^8
Medio aritmético entre dos números. — Si entre a y b sólo existe un término, se le llama, por ese motivo, me- dio aritmético entre dichos números. La razón es, entonces:
(ft — a) : 2 > y el término interpolado es:
b — a o 4*
a
4---, o sea, ---
2 2
Esto nos prueba que:
jEI medio aritmético entre dos números es su semisuma.
O también, que:
Un término cualquiera de una progresión aritmética es la semisuma de los dos términos que le son contiguos.
Progresiones geométricas
8. Definiciones y ejemplos. — Consideremos la sucesión de números:
1, 2, 4, 8, 16, 32,...
y observemos que cada uno es igual al que le precede mul- tiplicado por el número 2.
— ll
En general, daremos la siguiente
Definición . — Una sucesión de números tales, que cada uno seaigual al que le precede multiplicado por unnúmero dado, se llama una PROGRESION GEOMETRICA, y se in- dica con“p. g.”.
Los números referidos son los términos de la p. g. y el multiplicador dado se llama razón de la progresión (se llama así, por resultar constante la relación, o razón, entre dos tér- minos consecutivos). Por este motivo, una p. g. se llama tam- bién progresión por cociente. En el ejemplo propuesto la ra- zón es el número 2.
Una p. g. es creciente o decreciente, según que la razón sea respectivamente mayor o menor que la unidad. Si a, b , c, ... son los términos de una p. g., se indica así:
-H- a : b : c : ...
Una p. g. se dice que es finita o infinita según que tenga un número limitado o ilimitado de términos.
Ejemplo I. — Es una p. g. creciente la siguiente -H- 0,25 : 0,5 : 1 : 2 : 4 : 8 : 16 : ...
cuya razón es: 2 — 16:8 8:4 = ...
Ejemplo II. — Los múltiplos y submúltiplos decimales del metro, del litro, del gramo, ... forman progresiones geométricas de razón 10. Idem del metro cuadrado, forman una p. g. de razón 100.
Relaciones entre dos términos cuales- quiera de una progresión geométrica
9. Fórmula fundamental. — Si en la progresión geomé- trica
Í- a ib : c : d : ... h k I : ...
llamamos a al primer término, q a la razón y i al enésimo término, por la definición dada en el párrafo anterior te- nemos: b = aq
c = b q— (a q) q = a q2 d =cq = (« J*) q = a q*
Al llegar al término enésimo, el número de multiplicacio- nes que habremos hecho será n — 1, por consiguiente, ten- dremos :
[«]
que origina la siguiente
Regla . — Un TÉRMINO CUALQUIERA de una p. g. es igual al primero, multiplicado por una potencia dela rasón de exponente igual al número de términos que le preceden.
Ejemplo I. — El término 10.* do la p. Q* indicada en el Ej. I del párrafo anterior, será: l = 0.25 X 2» = 0,25 X 512 = 128
Al término l se le suele llamar el último término, o bien término general.
10. Otras fórmulas. — De la fórmula [61, que relaciona los números l, a, q, n , se deducen las que dan cada uno de esos númerosen función de los otros tres.
Problema I. — Calcular el primer término de una p. g.
conociendo el último, la razón y el número de términos.
En la relación [6], la incógnita es ahora la letra a ; des- pejándola, se llega fácilmente a la fórmula:
[7]
que origina la siguiente
Regla . — El PRIMER TÉRMINO de una p. g. es igual al último, dividido por una potencia de la razón de exponente igual al número de términos que siguen al primero.
Problema II. — Calcular la razón de una p. g. conocien- do el primero, el último y el número de términos de la pro- gresión.
En la relación [6], la incógnita es ahora la letra q. Di- vidiendo dicha relación por a, tenemos:
— ll
Extrayendo la raíz de índice n — 1, e invirtiendo los miembros de la igualdad (ley simétrica), resulta:
[8]
Nota . — El despejo de n lo veremos mas adelante, en el Cap. II (N.° 66), cuando hayamos tratado las propiedades
de los logaritmos, que es necesario aplicar.
ll. Producto de dos términos equidistantes de los extre- mos en una progresión geométrica finita.
Sea la p. g.
-H- a : b : C . .. : u : . .. : v ... : h : k : l
m m
en la cual suponemos que u y v son términos equidistantes de los extremos.
Suponiendo una p. g. de m términos que empiece con a y termine con u, y otra tambiénde m términos queempiece con v y termine con l, aplicando las fórmulas [6] y [7] res- pectivamente, tendremos:
w = v = 1
Multiplicando ordenadamente estas dos igualdades, resulta:
u v = a l relación ésta, que origina la siguiente
Propiedad . — En una p. g. el PRODUCTO DEDOS MR- MINOS EQUIDISTANTES de los extremos es igual al pro- ducto de los extremos.
EJEMPLO.— En la progresión -i- 2 : 0 : 18 : 64 : ICE : 486 verificaremos qus : is x 54 = Q X 102 — 2 X 48C
Suma de términos
12.Suma de n términos consecutivos. — Sea la p. ff.
-K-a : 6 : c : .__ : k : k : l : ....
en la que llamaremos $ la suma de n términos consecutivos:
S — a + fc + c+ ....+fc + & + Z [°]
Multiplicando los dos miembros de esta última igualdad por q, resulta:
Sg = AQ + 6g + cg + ... + /ig + fcg + lg Observando que,
a q — b ; b q — c ; ... h q = k; k q — l tenemos: S q = b + c + .... + k + l + l q [0]
Restando ordenadamente de la igualdad [fi] la [a], y simplificando, resulta:
8 q — S = l q — a
Sacando 8 como factor común: $ (q — 1) = l q — a,
de donde [9]
que origina la siguiente
Regla . — La SUMA DE VARIOS TÉRMINOS consecu- tivos de una p. g. se obtiene restando el primero del pro- ducto del último por la razón, y dividiendo esa diferencia por la razón menos 1.
Nota . — Si en la fórmula [9] reemplazamos l por el valor que da la fórmula [6], tendremos:
(o q"—1) q—a a qn — a 8 = --- = ---
9—1 9—1
Sacando el factor común a del numerador, logramos:
- H
[10]
que constituye también otra expresión muy usada de la suma S de los n términos de una p. g.
13.Problemas y aplicaciones.
Las fórmulas [6] y [9] contienen 5 números: a , l, n , q , S ; por consiguiente nos permiten, conociendo tres cuales- quiera de ellos, calcular los otros.
Los problemas posibles son 10. Algunos ya han sido resuel- tos en los (Nos. 9 y 10), y otros no es posible resolverlos ele- mentalmente por originar, generalmente, ecuaciones de grado superior al 2.°.
Problema . — Conociendo el último término l = 4374 , lo razón q = 3 , y el número de términos n = 7 de una p. g., calcular el primer término y la suma de los términos de dicha progresión.
Sustituyendo valores en las fórmulas [6] y [9] tenemos el sistema en <8 y a :
o bien,
Despojando el valor de a de la primera ecuación, tenemos:
a = 4374/729 = 6 Sustituyendo este valor en la segunda, resulta:
2 5 = 13122 — 6 - 13116 . - . S = 13116/2 = 6558 Por consiguiente, el primer término es a — 6 , y la suma S = 6558 . Problema . — Conociendo el número de términos n — 6 , la razón g = ¿ , y la suma S = °a/8 de los términos de una p. g., calcular el primero y el último término de dicha progresión.
Sustituyendo valores en la3 fórmulas [6] y [9] tenemos el sistema en a y l:
It —
o bien,
Resolviendo este último sistema hallamos: a = 4 f I = * /g Problema . — Conociendo el primer término a, el número de términos n , y la suma S de los términos de una p. g.9 calcular la razón y el último término de dicha progresión.
Emplearíamos las fórmulas [6] y [9], que formarían un sistema de dos ecuaciones con las dos incógnitas q y l ; eliminando por sus- titución la incógnita l9 obtendríamos la relación [10] que sólo con- tendría la incógnita q.
Eliminando denominadores en esta última, ... etc. obtendríamos ta ecuación a qn _ g q + g _ a = #
<le enésimo grado, que só¡lo sabríamos resolver, en este curso, para n = 2.
Hallando el valor (o valores) de q , y sustituyéndolo en la ‘[9]
tendríamos el valor de la otra incógnita l .
Api. 1/ — Como sabrán todos los estudiantes, el ta- tablero de ajedrez consta de G4 casillas. Parece que su inven- tor, exigió de su rey, en pago del invento, que se pusiera un grano de trigo en la primera casilla del tablero, dos gra- nos en la siguiente, cuatro en la otra, y así sucesivamente para cada casilla, duplicando la cantidad anterior. Aceptado el pedido, grande fué la sorpresa del reycuando se dio cuenta de que los granos no cabían en las casillas del tablero, ni de que tampoco habría trigo suficiente en su reino para cum- plir con el compromiso. En efecto, el número total de granos de trigo, que se calcula con la fórmula [10] sería:
Este resultado es un número de veinte cifras; se necesi- tarían cosechas de toda la Tierra durante varios siglos para satisfacer esa cantidad. (*)
(*) Ver en la obra EL HOMBRE QUE CALCULABA, Malba Tafean,una narración amena de este antiguo episodio.
—t»
NOCION DE SUMA DE UNA PROGRESION GEOME- TRICA ILIMITADA.
Api. 2? —Límite de la suma de los términos de una pro- gresión geométrica decreciente, cuando el número de términos aumenta indefinidamente.
La fórmula [101 puede transformarse así:
q* —1 1—<f a a q*
8 = a---= a--- --- [y]
q — 1 1 — q 1—1—q
Pero las potencias sucesivas de los números menores que la unidad, van decreciendo aproximándose indefinidamente a cero; por ej.:
(y2)2 = 0,25 ; (i/2)3 = 0,125 ; (i/2)< = 0,0625 ; ...
En consecuencia, siendo q < 1 (por tratarse de una p. g.
decreciente), qn decrece indefinidamente tendiendo a cero, a q*
cuando n aumenta indefinidamente. Como la expresión--- 1 — q está formada del factor constante ---a multiplicado por
i — 0.
q* que tiende a cero, su producto tenderá también a cero.
Por consiguiente, la última expresión de $ de la fórmula [y] tenderá al valor ---a , vale decir que S puede diferir
1 — q
de este valor tan poco como queramos, con tal de sumar un número de términos suficientemente grande. En este caso, se dice que --- es a el límite a que tiende la suma $ de
1 — q una p. g. decreciente.
Ejemplo . — En la progresión:
1 : % : % : % :... (q — % ) el limite de la suma de sus términos es:
a ll
i — 4 i-y2 %
Podemos interpretar gráficamente esta suma total y las parciales, observando que las sumas sucesivas (fig. 2),
51 = 1; s2 = 1 + %; S8 = (i + %) + 14;
= (1 + % + %) + ; ...
se obtienen adicionando a la suma anterior, la mitad del segmento que queda para formar el segmento total de valor 2.
2
(fig. 2) Api. 3.a — Interpolación de términos.
Interpolar entre dos números dados a y b , m medios geo- métricos.
Esta interpolación consiste en hallar m números que es- critos entre a y b , formen una p.g. de la que a y 6 sean los extremos.
La resolución se logra hallando la razón q .
Como la progresión resulta así formada por m + 2 tér- minos, aplicamos la fórmula [8] en la que n = m + 2, y
tenemos: m+i
q = y/b/a [o]
Si m es par, y por consiguiente m + 1 impar, cuales- quiera que sean a y b sólo existirá un valor de la expre- sión [al.
Si m es impar, y por consiguiente m + 1 par, la expre- sión [a] no existe en el campo de los números reales si a y b
— 21 son de signos contrarios; si son del mismo signo, existirán dos valores opuestos de q , dados por las expresiones:
= + y/b/a, q” = — VVow+1
Puede convenirse que, cuando q existe, al escribir el radical sin signo delante, se entienda tomado en sentido algebraico.
Los m términos interpolados entre a y b serán pues los siguientes:
m +1___ m+1 m+ l_____
a//- °... a
EJEMPLO. — Interpolar 5 medios geométricos entre 3 y 192.
e______ e__ , .
Larazón es, q = V 192 : 3 = V64 == zt 2 , y los términos a interpolar:
1.* soluc.: 6, 12 , 24, 48,96 ; 2.‘ soluc.: —6, 12, — 24,48, —96 .
Medio geométrico entre dos números. — Dados dos núme- ros del mismo signo, entre ellos se puede interpolar de dos modos diferentes un medio geométrico: o mediante la razón
q = y/b : a o q= — y/b : a El término interpolado es: ± a y/b :a , o sea: ± V a b . Esto nos prueba que: El medio geométrico entre dos núme- ros del mismo signo es la raíz cuadrada de su producto.
O también que: En término cualquiera de una progresión geométrica es la raíz cuadrada positiva o negativa del pro- ducto de los términos que le son contiguos.
Fracciones decimales
14. En el curso de Aritmética (1er. año) se estudiaron las fracciones ordinarias o puras. Ellas son expresiones de la for- ma 3/5 , 7/6 , 2/8 , etc., que, con los números enteros, cons- tituyen el conjunto de los números racionales.
Como caso particular de las fracciones ordinarias pueden considerarse las fracciones decimales-, son aquellas que tienen por denominador una potencia de 10.
Por ej., son fracciones decimales las siguientes:
1? 23 4 215
10 ' 100 ’ 1000 * 10
y los cocientes efectuados 1,7 ; 0,23 ; 0,004 ; 21,5 , repre- sentan los respectivos números o expresiones decimales.
15. Conversión de una fracción ordinaria en decimal.
Fracción decimal exacta.
Para efectuar dicha conversión, basta dividir el numera- dor por el denominador de la fraccióndada.
Así, por ej., si tenemos la fracción ordinaria 9/4 , al di- vidir 9 por 4, hallamos el cociente exacto 2,25.
Análogamente obtendríamos: 132/25 = 5,28 ; 5/8 = 0,625 ; etc.A esos cocientes que tienen un número finito de cifras decimales, se les llama fracciones decimales exactas o números decimales exactos.
Pero otras fracciones pueden originar
cocientes cuya escritura no tenga fin; por 5__ | 3 ejemplo, 5:3. Si efectuamos esa división, 2(7 1,66...
vemos que el resto, que es 2, se repite 20 siempre, y, por consiguiente, tambiénla ci- 2...
fra 6 del cociente; la división no tiene fin.
Análogamente si intentamos transformar en números da cimales lasfracciones ordinarias 464/11 y 389/225 , obtenemos:
464 | ll
24 | 42,1818.7.
2090 209...
389 | 225 1640 | ÍJ288 ~
6502000 2000200...
— »
Si continuáramos estas dos divisiones, hallaríamos en la primera siempre el grupo 18 y en la segunda 8.
Ponemos puntos suspensivos para indicar que el cociente no tiene fin.
16. FRACCION DECIMAL PERIODICA.
Observemos en las tres últimas divisiones que, a partir de cierto resto, las cifras del cociente se repiten indefinidamente enel mismo orden, vale decir, periódicamente.
En toda división inexacta como las anteriores tiene que su- ceder esto, puesto que debiendo ser todos los restos menores que el divisor, y ninguno llega a valer cero, deberá repetirse algún resto; desde ese momento, se repetirán pues, las ci- fras del cociente.
Los símbolos: 1,66... ; 42,1818... ; 1,7288...
sellamanexpresiones decimales periódicas, y el grupo de cifras que se repite se llama período. La cifra o grupo de cifras decimales que preceden al período, se llama antiperíodo.
Nota . — Por analogía con las fracciones decimales exac- tas, a las expresiones decimales periódicas se les llama, también, fracciones decimales periódicas.
Clasificación. — Cuando el período empieza a partir de la coma, la expresión se llama periódica pura o simple (casos de las expresiones 1,66... y 42,1818...); de lo contra- rio, se llama periódica mixta (caso de la expresión 1,7288...).
En la expresión periódica 1,7288... el período es 8, y el antiperíodo es 72.
Otra notación para las expresiones periódicas, es la de poner una raya encima del período y luego poner los puntos suspensivos. Así, las tres expresiones periódicas anteriores se escriben
1,6... ; 42,18... ; 1,728...
En resumen, la conversión de una fracción ordinaria en frac- ción decimal originauno de los siguientes casos:
M —
1. * La fracciónse transforma en fraccióndecimal exacta.
2.° La fracción se transforma en fracción decimal perió- dicapura.
3.° La fracción se transforma en fracción decimal penó*
dica mixta.
17. Dada una fracción irreducible cualquiera, podemos prever si al convertirla en fracción decimal nos dará una fracción decimal exacta, o bien periódica, pura o mixta.
Paraello aplicaremos, sin demostración (dado su escaso in- terés práctico), la siguiente
Regla . — Dada una fracción irreducible, si sn denomina- dor sólo admite como divisores 2 y 5, o uno solo de ellos, la fracción origina una FRACCION DECIMAL EXACTA;
cuando no admite como divisores ni 2 ni 5, origina una FRACCION DECIMAL PERIODICA PURA; cuando ad- mite como divisores 2 y 5 o uno solo de ellos, y además al- gún otro factor primo, origina una FRACCION DECIMAL PERIODICA MIXTA.
Ejemplos . — l.° La fracción 9/4 se transforma en fracción deci- mal exacta, porque es irreducible y su denominador tiene por único factor primo el número 2. Análogamente, la fracción 42/80 que tie- ne por irreducible equivalente 21/40 y cuyo denominador tiene como únicos factores primos 2 y 5, por ser 40 = 5 x 2!.
2. ° La fracción 4/21 se convierte en fracción periódica pura por- que es irreducible y su denominador sólo tiene los factores pri- mos 3 y 7 .
3. ° La fracción 17/14 se convierte en fracción periódica mixta porque es irreducible y su denominador tiene, además de 2, el fac- tor primo 7 .
18. FRACCION GENERATRIZ.
Como lo indicamos anteriormente, el cociente del numera- dor por el denominador de una fracción ordinaria es una fracción decimal exacta o periódica. La fracción que la ge- nera se llama generatriz de dicha fracción decimal.
Asi, por ej., 3/11 es la generatriz de la fracción decimal periódica 0,27.... porque dividiendo 3 por ll obtenemos como cociente
— 26 análogamente 2/16 ea la generatriz de la fracción deci- mal periódica 043... ; etc.
19. Conversión de una fracción decimal exacta en frac- ción ordinaria.
Sea, por ej. la fracción decimal 0,24. Hallaremos su frac- ción generatriz.
Como ya se ha estudiado en el curso de Aritmética (1er.
Año),
24 24
0,24 = 0 H---= ---
100 100
y simplificando, tenemos:
La fracción ordinaria 6/25 es la fracción generatriz de la fracción decimal dada 0,24.
En general, podemos enunciar la siguiente
Regla . — La fracción generatriz de una FRACCIÓN DE- CIMAL tiene como numerador el número entero que resulta de suprimir la coma en el decimal dado, y como denomina- dor la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el decimal dado; luego se simplifica la fracción ob- tenida.
EJEMPLOS:
20. Conversión de una fracción decimal periódica pura o mixta en fracción ordinaria.
Esta conversión significa hallar la fracción generatriz de una fracción decimal periódica y nos muestra una intere- sante aplicación de las progresiones geométricas.
M —
Sea, por ej., la expresión periódicapura 0,73 que podemos escribir así:
73 78 73
0,737373... =---1---1---4- ...
100 10000 1000000
73 73 73
—---1---1---+ «- - 100 100« 100*
Según yemas, es la suma de loa términos de una p. g. ili- mitada, de razón Vioo. El límite a que tiende eaa soma de acnerdo con la Api. 2.* del (N.° 13), es:
a _ 7»/im _ MA» _ 78 1 _ q ~ 1 _ i/le# “ -/iM _ M Por consiguiente, tendremos 0,737373... = —73
Lo que confirma una conocida regla aritméticaM para ha- llar la fracción generatriz (#).
Regla . — La fraoción generatriz de una expresión deci- mal PERIÓDICA PURA tiene como numerador el número formado por la parte entera seguida del período y dismi- nuido de la parte entera, y como denominador el número formado por tantos 9 como cifras tenga el período.
EJEMPLOS.
524—5 519 173 261 29
99 99 33 999 111
Como ejercicio halle el estudiante estas fracciones generatrices, aplicando el procedimiento indicado precedentemente y verifique el resultado dividiendo el numerador por el denominador de la frac- ción generatriz.
(*) VéM« M. Copp«ttI-JLKITMí7riGA ler. «fio (N.« 431).
— 17
En caso de una expresión decimal periódica mixta, separa- mos la parte no periódica, y procedemos como indicamos a continuación:
0,522... = 5/io + (a/ioo + 2/1000 + 3/ioooo + .. -) =
_ 5 Vico _ 5 2 _ 47
10 1 — Vio 10 90 90
Lo que confirma otra conocida regla aritmética para ha- llar la fracción generatriz.
Regla . — La fracción generatrizde una expresión decimal PERIÓDICA MIXTA tiene como numerador el número for- mado por la parte entera seguida del antiperíodo y del período, disminuido del número formado por la parte entera seguida del antiperíodo, y como denominadorel número for- mado por tantos 9 como cifras tenga el período, seguidos por tantos ceros como cifras tenga el antiperíodo.
EJEMPLOS.
3245—32 3213 357 463—16 417 139 3,245 ... --- ---; 0,403 ... —--- --- ---
990 990 110 900 900 300
Verificar que la expresión decimal periódica 0;517171... puede re- presentarse indiferentemente por 0,517, o por 0,5171 como fracción generatriz.
21. Significado de las expresiones decimales periódicas puras o mixtas cuyo período es nueve.
Sea, por ej., la expresión decimal periódica pura 0,999..., deperíodo 9.
Si la transformamos en fracción ordinaria con la regla del (N.° 20), tenemos:
9 1 0,999... = — = —
9 1
Pero esta última no es la fracción generatriz que busca- mos, porque dividiendo su numerador por su denominador no se reproduce la expresión periódica dada. No obstante, por existir sólo una pequeña diferencia entre los valores 3.—MATEMATICAS 4? Algebra - Coppetti.
0,999... y 1:1 = 1, diferencia que resulta tanto más pe*
quena cuanto mayor sea el número de cifras decimales que se consideren de la expresión periódica, se conviene que
7.a expresión decimal periódica pura 0,999... representa la n idad.
Con lo cual tienen validez general las reglas para conver- tir fracciones decimales periódicas en fracciones ordinarias.
22. Análogamente, sea, por ej., la expresión decimal pe- riódica mixta 0,35999..., de período 9.
Si la transformamos en fracción ordinaria con la regla dei (N.° 20). tenemos:
359 — 35 324 36 0,35999... = --- = --- — ---
900 900 100
Esta última fracción ordinaria no es la fracción genera- triz que buscamos, porque el cociente de su numerador por su denominador, o sea 36:100, no reproduce exactamente la expresión periódica dada, 0,35999...
Por razón análoga al caso anterior (N.° 21), se conviene:
Toda expresión decimal periódica mixta de período 9, re- presenta la fracción decimal que se obtiene suprimiendo los nueves y aumentando una unidad la última cifra de la parte no periódica.
EJEMPLOS. 0,4999... = 0,5 2,99... = 3
Noción de número irracional
23. Fracción decimal infinita no periódica.
De cursos anteriores sabemos que el conjunto de los nú- meros racionales comprende los números enteros (positivos y negativos) y los fraccionarios puros (positivos y negati- vos). Respecto a estos últimos, también llamados fracciones ordinarias, hemos visto que pueden convertirse en una frac- ción decimal exacta (N.° 15) o en una fracción decimal pe- riódica pura o mixta (N.° 16).
2»
Al estudiar dichas fracciones, naturalmente surge la idea de la existencia de otras expresiones decimales de infinita»
cifras, no periódicas (por ej. 0,5050050005...). Les atribui- remos el significado de números y les llamaremos número»
irracionales. (*)
Por otra parte, la imposibilidad de realizar ciertas opera- ciones nos obliga a ampliar el campo de los números ra- cionales.
En efecto, propongámonos hallar la raíz cuadrada de un número natural que no sea un cuadrado perfecto, por ej.
V 2. Demostraremos que ningún número racional elevado al cuadrado puede dar como resultado 2.
Razonemos por el absurdo. (**)
Si suponemos que V 2 es un número fraccionario puro po- sitivo, por ej. la fracción irreducible p/q (siendo p y q en- teros positivos y q 0); de acuerdo con la definición de
raíz cuadrada deberá ser
es decir: ---=Pa 2 , o sea p2 =. 2 q2 [ll S2
Como hemos supuesto p y q enteros, al estar q2 multiplica- do por 2 se deduce que 2 q2 es un número pary, en virtud de la [1], también deberá ser par p2.
(*) Lo que significa que no pueden expresarse en forma de rasón o cociente de dos números enteros primos.
(**) Recuérdese que el método de demostración por el absurdo con- siste enadmitir como verdad provisional lo contrariode lo que se desea
demostrar. Pero al deducir de ello una contradicción entre lo admitido y verdades anteriores, significa que lo contrario de lo que se desea demostrar es absurdo, por lo cual debe admitirse la tesis inicial.
Por ello, p tiene que ser un número par. (*)
En consecuencia p puede escribirse en la forma 2a (siendo a entero y positivo) y sustituyendo en la igualdad [1] ten- dremos:
(2a)2 = 2 q2 , de donde 4 a2 = 2
y simplificandoresulta, 2 a2 = g2, delo que deduciríamos que también q tendría que ser par, lo que es absurdo puesto que como p/q es una fracción irreducible, p y q son primos entre sí y no pueden ser ambos números pares.
No existe, pues, ningún número entero ni fraccionario puro, es decir ningún númóro racional, que sea raíz cua- drada de 2. Análogo razonamiento se haría para cualquier
otro número natural que no sea cuadrado perfecto.
Por ej., V3 no existe en el campo de los números racio- nales, puesto que el radicando no es un cuadrado perfecto.
Así como para hacer posible la sustracción, en todos los casos, se han creado los números negativos; para la división de enteros, los números fraccionarios puros; también para hacer posible la radicación y otras operaciones, en todos los casos, se ha ampliado el campo numérico creando los llama- dos númerosirracionales.
Si en el caso mencionado efectuamos elproceso de la extrac- ción de la raíz cuadrada, encontramos el número
y/2 = 1,41421356...
con infinitas cifras y sin período (puesto que no es entero ni fraccionario puro).
Daremos entonces la siguiente
DEFINICION. — Se llama número irracional a toda ex- presión decimal de infinitas cifras, no periódica.
Nota . — No solamente son números irracionales las raíces cuadradas de los números que no son cuadrados perfectos; lo
(*) Puesto que si fuese impar, elevado al cuadrado, sería también Impar. En efecto, un número impar puede expresarse en la forma (la + 1) siendo a entero y positivo, y al elevarlo al cuadrado se tei>
dri- (2 a + l)1 = 4a“ 4- 4 a 4- 1 , queexpresa otro número impar.
— ll
son también las raíces de aquellos números positivos que no son potencias perfectas de grado igual al índice, como por ejemplo: \/9 = 2,0801...
Lo es también el número que representa la relación entre la circunferencia y el diámetro, que se designa con la letra griega = 3,14159... (se lee, pi) ; el número que se emplea como base del sistema neperiano de logaritmos (que se estu- diará en el Cap. II), que se designa con la letra
e = 2,71828...
24. VALOR POR DEFECTO Y VALOR POR EXCESO DE UN NUMERO IRRACIONAL.
Si en el proceso de la extracción de la V 2 nos detene- mos en las unidades, las décimas, las centésimas,... etc., obtenemos en sucesión monótona creciente (N.° 1) los nú- meros
(A) 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142;...
queson los valores aproximados por defecto (*) de V2.
Sustituyendo en esos números la última cifra por otra au- mentada en una unidad, obtendremos la sucesión monótona decreciente
(S) 2 ; 1,5 ; 1,42 ; 1,415 ; 1,4143 ; que son los valores aproximados por exceso (**) de V2.
Vemos que las raíces aproximadas por defecto van aumen- tando, pero permaneciendo siempre menores que cualquier valor de la raíz por exceso; lo contrario sucede para las raí- ces aproximadas por exceso, que van disminuyendo, pero permaneciendo siempre mayores que cualquier valor de la raíz por defecto.
(*) O sea que esos números elevados al cuadrado dan un resultado menor que 2 .
(**) O sea que esos números elevados al cuadrado dan un resultado mayor que 2.
Es decir, que podemos escribir:
(A) (B)
1 < V2 < 2 1,4 < V2 < 1,5 M1 < V2 < 1,42 1,414 < V2 < 1,415 1,4142 < V2‘ < 1,4143
Como la diferencia entre dos términos de igual orden de las dos sucesiones de valores anteriores es primeramente igual a 1, luego 0,1, luego 0,01, ... etc., de modo que se hace cada vez más pequeña (puede hacerse tan pequeña como se quiera con tal de tomar un número de términos suficien- temente grande), se conviene que las sucesiones (A) y (B) definen el número irracional V2 .
Este número se representa escribiendo las cifras comunes de los números de ambas sucesiones: V 2¡ = 1,4142 ... , o sea como ya hemos definido en el (N.° 23), con infinitas cifras decimales y no periódico.
Valores aproximados de un número irracional. — En la práctica se sustituyen los números irracionales por sus valores aproximados a menos de cierta unidad prefijada, dependiendo esta elección del grado de aproximación que se desee en el resultado.
Así, por ej., para puede tomarse 1,4 o bien 1,414, etc.
Para suele tomarse 3,14 o bien 3,1416 (aproximación esta última por exceso).
25. Generalización a los números racionales. — Las con- sideraciones precedentes pueden extenderse a los números ra- cionales (enteros o fraccionarios puros).
Por ejemplo, los sucesivos cocientes del número fraccionario puro 1/3 originan la sucesión monótona creciente de valores aproximados por defecto.
