Elasticidad y Resistencia de Materiales (1)

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Resistencia de Materiales I

Res´umenes y Problemas de Clase

Departamento de Mec´anica Estructural y Construcciones Industriales U.D. de Resistencia de Materiales Escuela T´ecnica Superior de Ingenieros Industriales de Madrid Curso 2007-08

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Presentaci´

on

Estas notas se han concebido como material de apoyo did´actico para la asignatura de “Re-sistencia de Materiales I”, asignatura semestral que imparte el Departamento de Mec´anica Es-tructural y Construcciones Industriales de la ETS de Ingenieros Industriales de Madrid. Se pretende dar al alumno la posibilidad de contrastar con ellas sus apuntes de clase y, de esta manera, ayudarle a comprender mejor las ideas transmitidas por el profesor.

De acuerdo con los objetivos de la asignatura, se proporciona primero una introducción a la teor´ıa de la elasticidad lineal, para luego particularizar los conceptos básicos de esta teor´ıa en el estudio del sólido prismático, objeto de la resistencia de materiales clásica. La resistencia de materiales se presenta as´ı como un caso particular de la teor´ıa de la elasticidad, cuando se asumen determinadas hipotésis cinemáticas sobre el movimiento de las secciones transversales del sólido prismático. Siguiendo el temario de la asignatura, en esta segunda parte, tras introducir el concepto de esfuerzo, se analiza únicamente el estado de tracción-compresión. El análisis de la torsión, la cortadura, la flexión y las solicitaciones combinadas se deja para la asignatura de “Resistencia de Materiales II”.

El contenido de estas notas se ha dividido en 25 lecciones, correspondientes a los puntos incluidos en el temario de la asignatura. Al final de cada lecci´on se incluyen problemas resueltos, cuyo objeto es ilustrar los conceptos m´as importantes.

No se trata de remplazar los muchos libros de texto que, desde diferentes ópticas, abordan la teor´ıa de la elasticidad y la resistencia de materiales. Por el contrario, la idea ha sido componer un resumen introductorio, escrito en un lenguaje asequible, que sirva de punto de partida para la consulta de esos libros. As´ı, para facilitar esta labor, en las páginas finales se incluye una lista de referencias bibliográficas donde el alumno interesado puede ampliar los conceptos expuestos.

Francisco Beltr´an Madrid, septiembre de 2007

Esta nueva edición que ahora se presenta responde a la corrección de erratas detectadas durante el cuatrimestre febrero-junio de 2008, sin que se haya añadido ningún contenido nuevo.

Francisco Beltr´an Madrid, julio de 2008

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´

_Indice

1. Equilibrio Interno. Vector tensi´on. 1

1.1. El s´olido el´astico . . . 1

1.2. Acciones exteriores . . . 2

1.3. Equilibrio est´atico y el´astico . . . 3

1.4. Vector tensi´on . . . 4

1.5. Componentes intr´ınsecas del vector tensi´on . . . 7

1.6. Ejercicios resueltos . . . 7

1.6.1. Obtener componentes intr´ınsecas . . . 7

2. Matriz de tensiones 9 2.1. Tensiones sobre planos coordenados . . . 9

2.2. Reciprocidad de tensiones tangenciales . . . 9

2.3. Estado tensional en el entorno de un punto . . . 12

2.4.1. C´alculo de matriz de tensiones y vector tensi´on . . . 15

3. Ecuaciones de equilibrio 19 3.1. Ecuaciones de equilibrio interno . . . 19

3.2. Ecuaciones de equilibrio en el contorno . . . 21

3.3.1. Fuerzas de volumen y fuerzas de superficie a partir del equilibrio . . . 22

4. Tensiones principales 25 4.1. Tensiones y direcciones principales . . . 25

4.2. Invariantes de tensiones . . . 26

4.3. Sistema de referencia principal . . . 27

4.4. Elipsoide de tensiones . . . 27

4.5.1. C´alculo de tensiones y direcciones principales . . . 29

5. C´ırculos de Mohr 31 5.1. C´ırculos de Mohr en tensiones . . . 31

5.2. Representaci´on de tensiones en los c´ırculos de Mohr . . . 36

5.2.1. Componentes intr´ınsecas del vector tensi´on . . . 36

5.2.2. C´alculo de la orientaci´on del vector normal . . . 37

5.3. Casos particulares . . . 38 III

(6)

5.4. Tensiones m´aximas . . . 43

5.5. Estados tensionales cil´ındrico y esf´erico . . . 43

5.5.1. Estado cil´ındrico . . . 43

5.5.2. Estado esf´erico . . . 44

5.6.1. Representaci´on de un estado tensional en el diagrama de Mohr . . . 44

5.6.2. Obtenci´on de tensiones principales con el diagrama de Mohr . . . 46

6. Concepto de deformaci´on 49 6.1. Vector desplazamiento . . . 49

6.2. Matrices de giro y deformaci´on . . . 50

6.3.1. Cálculo de la matriz de deformación y el giro en el entorno de un punto . 53 7. Deformaciones longitudinales y transversales 55 7.1. Ecuaciones cinemáticas . . . 55

7.2. Significado de los t´erminos de la matriz de deformaci´on . . . 56

7.3. Deformación según una dirección: galgas extensométricas . . . 58

7.4. Distorsi´on de ´angulos . . . 60

7.5.1. C´alculo de variaciones de longitud y de ´angulos . . . 60

8. Deformaciones principales. Deformaci´on volum´etrica 65 8.1. Deformaciones y direcciones principales . . . 65

8.2. Invariantes de deformaci´on . . . 66

8.3. Variaci´on unitaria de volumen . . . 67

8.4. Deformaci´on volum´etrica y desviadora . . . 67

8.5.1. Galgas extensom´etricas y deformaciones principales . . . 68

9. Comportamiento elástico. Constantes elásticas. 71 9.1. Ensayo de tracción simple. Ley de Hooke. . . 71

9.2. Deformaci´on en sentido transversal. Coeficiente de Poisson. . . 75

9.3. Comportamiento el´astico . . . 76

10.Leyes de Hooke generalizadas. Ecuaciones de Lam´e. 79 10.1. Leyes de Hooke generalizadas . . . 79

10.1.1. Sistema de referencia principal . . . 79

10.1.2. Sistema de referencia general . . . 80

10.2. M´odulo de elasticidad transversal . . . 83

10.3. M´odulo de compresibilidad . . . 83

10.4. Deformaciones y tensiones de origen t´ermico . . . 83

10.5. Ecuaciones de Lam´e . . . 84

10.6. Ejercicios resueltos . . . 85 IV

(7)

10.6.1. Deformaci´on con restricciones . . . 85

10.6.2. Determinaci´on de constantes el´asticas . . . 86

10.6.3. Tensiones debidas a deformaciones impuestas . . . 87

10.6.4. Tensiones debidas a aumento de temperatura . . . 88

11.El problema el´astico. Principio de Saint-Venant. 89 11.1. Planteamiento general del problema el´astico . . . 89

11.2. Principio de superposici´on . . . 92

11.3. Principio de Saint-Venant . . . 92

11.4.1. Aplicaci´on del principio de Saint-Venant . . . 94

12.Estados el´asticos planos 97 12.1. Estados el´asticos bidimensionales . . . 97

12.1.1. Deformaci´on plana . . . 97

12.1.2. Tensi´on plana . . . 100

12.2. Direcciones y tensiones principales . . . 101

12.3.1. Suma de estados tensionales planos . . . 103

12.3.2. Orientaci´on del corte de una chapa con defectos . . . 104

12.3.3. Comparaci´on entre estados tensionales . . . 106

13.Trabajo de las fuerzas aplicadas. Energ´ıa el´astica 109 13.1. Concepto de energ´ıa de deformaci´on . . . 109

13.2. Coeficientes de influencia y de rigidez . . . 109

13.2.1. Coeficientes de influencia . . . 109

13.2.2. Coeficientes de rigidez . . . 110

13.3. C´alculo de la energ´ıa de deformaci´on . . . 111

13.3.1. C´alculo en funci´on de las fuerzas exteriores . . . 111

13.3.2. C´alculo en funci´on de los desplazamientos eficaces . . . 112

13.3.3. Cálculo en función de las matrices de tensión y deformación . . . 113

13.3.4. Unicidad de la energ´ıa de deformaci´on . . . 115

13.4.1. Matriz de influencia . . . 115

13.4.2. Ciclos de carga . . . 116

14.Principio de los trabajos virtuales 119 14.1. Tensiones y fuerzas est´aticamente admisibles . . . 119

14.2. Desplazamientos cinem´aticamente admisibles . . . 120

14.3. Ecuaci´on de los trabajos virtuales . . . 120

14.4. Principio de los desplazamientos virtuales . . . 122

14.5. Principio de las fuerzas virtuales . . . 123 V

(8)

15.3. Teorema de Menabrea . . . 127

15.4.1. C´alculo de reacciones hiperest´aticas . . . 128

15.4.2. Aplicaci´on del teorema de reciprocidad . . . 130

16.Deformación anelástica y rotura 131 16.1. Finalización del comportamiento elástico: materiales dúctiles y materiales frágiles 131 16.2. Tensión equivalente . . . 132

16.3. Coeficiente de seguridad . . . 134

17.Criterios de fluencia 135 17.1. Criterios de fluencia . . . 135

17.1.1. Tensi´on tangencial m´axima (Tresca) . . . 135

17.1.2. Energ´ıa de distorsi´on m´axima (von Mises) . . . 136

17.1.3. Criterio simplificado de Mohr . . . 137

17.2.1. Plastificaci´on de una placa . . . 138

18.Criterios de rotura fr´agil 141 18.1. Criterios de rotura fr´agil . . . 141

18.1.1. Tensi´on principal m´axima (Rankine) . . . 141

18.1.2. Criterio simplificado de Mohr . . . 142

18.2.1. Coeficientes de seguridad seg´un el criterio de Mohr . . . 142

18.2.2. Tensiones de rotura requeridas para coeficiente de seguridad dado . . . . 144

19.Hip´otesis de la Resistencia de Materiales 147 19.1. Introducci´on . . . 147

19.2. Definición de sólido prismático . . . 147

19.3. Hip´otesis generales . . . 149

20.Concepto de esfuerzo. Diagramas. 151 20.1. Concepto de esfuerzo . . . 151

20.2. Esfuerzos normal y cortante . . . 151

20.3. Momentos de flexi´on y torsi´on . . . 153

20.4. Diagramas de esfuerzos . . . 155

20.5.1. C´alculo de reacciones y diagramas de esfuerzos . . . 155

21.Condiciones de sustentaci´on y enlace 159 21.1. Reacciones en las ligaduras . . . 159

21.2. Tipos de apoyos y enlaces internos . . . 159

21.2.1. Tipos de apoyos . . . 159

21.2.2. Tipos de enlaces internos . . . 162 VI

(9)

21.3. Sistemas isost´aticos e hiperest´aticos . . . 163

21.4.1. C´alculo de reacciones y diagramas de esfuerzos (1) . . . 164

22.Tracción y compresión. Tensiones y desplazamientos. 177 22.1. Definición de estado de tracción-compresión . . . 177

22.2. Estado de tensiones . . . 177

22.3. Estado de deformaciones . . . 179

22.4. Desplazamientos . . . 179

23.Esfuerzo normal variable. Peso y fuerza centr´ıfuga. 181 23.1. Ecuaci´on de equilibrio bajo esfuerzo normal . . . 181

23.2. Esfuerzos normales de peso propio . . . 182

23.3. Esfuerzos normales por fuerza centr´ıfuga . . . 184

23.4.1. Esfuerzo normal variable en un pilote . . . 185

24.Esfuerzo normal. Sustentaci´on hiperest´atica. 189 24.1. Potencial interno asociado al esfuerzo normal . . . 189

24.2. Tracción-compresión hiperestática . . . 190

24.2.1. Aplicaci´on del teorema de Castigliano . . . 190

24.2.2. Aplicaci´on de la compatibilidad de deformaciones . . . 191

24.3. Tensiones ocasionadas por defectos de montaje o cambios de temperatura . . . . 192

24.4.1. Barra r´ıgida sujeta mediante tirantes . . . 194

24.4.2. Esfuerzos normales en una uni´on roscada . . . 196

25.Anillos, cables y arcos funiculares 201 25.1. Anillos circulares sometidos a fuerzas radiales . . . 201

25.1.1. Fuerzas centr´ıfugas . . . 202

25.1.2. Presi´on interior. Vasijas de pared delgada. . . 203

25.2. Equilibrio de cables . . . 204

25.2.1. Ecuaciones de equilibrio de un elemento de cable . . . 204

25.2.2. Ecuaci´on fundamental de la est´atica de cables . . . 206

25.2.3. Rectificaci´on del arco . . . 208

25.2.4. F´ormula de Stevenin . . . 210

25.3. Arcos funiculares . . . 212

25.4.1. Tensiones t´ermicas en un anillo bimet´alico . . . 213

25.4.2. Cable para telef´erico . . . 214

Bibliograf´ıa 216

(10)

(11)

Lecci´

on 1

Equilibrio Interno. Vector tensi´

on.

1.1. El s´

olido el´

astico

La Mecánica del Sólido R´ıgido se ocupa de predecir las condiciones de reposo o movimiento de los sólidos r´ıgidos bajo la acción de fuerzas exteriores. Un sólido r´ıgido es aquel en el que las distancias entre sus puntos no sufren variación durante la aplicación de las fuerzas exteriores.

En las aplicaciones de la ingenier´ıa mecánica y estructural se requiere verificar la seguridad de los componentes mediante la comparación de las fuerzas internas a que se ven sometidos durante su trabajo con las propiedades resistentes de los materiales de construcción. La determinación de dichas fuerzas internas no puede hacerse, en un caso general, si se mantiene la hipótesis de que los componentes se comportan como sólidos r´ıgidos. Debe suponerse que los componentes son sólidos deformables, es decir, que las distancias entre sus puntos no permanecen constantes al aplicar un sistema de fuerzas exteriores.

La Teor´ıa de la Elasticidad es una primera aproximación al estudio de los sólidos deformables. Esta teor´ıa se ocupa de calcular el estado de deformación, o desplazamiento relativo, dentro de cuerpos sólidos sometidos a sistemas de fuerzas en equilibrio. El estado de deformación permite, a través de las propiedades del material, obtener las fuerzas internas a que se ve sometido el sólido.

La Teor´ıa de la Elasticidad trabaja sobre una idealización de los cuerpos sólidos reales que llamaremos sólido elástico. El sólido elástico es un sólido deformable que recupera su forma inicial al retirar las fuerzas aplicadas.

En los cap´ıtulos que siguen supondremos que el sólido el´astico ocupa un volumen V del espacio tridimensional R3y que tiene una superficie exterior S (figura 1.1). Supondremos además que el sólido elástico está constituido por un material:

Homog´eneo: El material tiene las mismas propiedades en todos sus puntos.

Isótropo: En cada punto, las propiedades del material son las mismas en cualquier dirección. Continuo: En el material no existen distancias intersticiales, es decir, no existen “huecos” en el material por pequeño que sea el volumen del mismo que se tome.

Las hipótesis anteriores, aunque son únicamente una aproximación a los materiales reales, simplifican mucho el tratamiento matemático y en la mayor´ıa de los casos proporcionan resul-tados suficientemente aproximados desde el punto de vista ingenieril.

(12)

V

Z

X

Y

S

Figura 1.1: S´olido el´astico

1.2. Acciones exteriores

Consideraremos dos clases de acciones sobre el s´olido el´astico:

1. Fuerzas de superficie: Son fuerzas por unidad de superficie aplicadas sobre la superficie S del s´olido. Constituyen un campo vectorial definido en S:

~ fs =    ¯ X ¯ Y ¯ Z   

Un ejemplo t´ıpico de esta clase de fuerzas es la presi´on de un fluido actuando sobre la superficie del s´olido.

2. Fuerzas de volumen: Son fuerzas por unidad de volumen aplicadas sobre la materia que forma el s´olido. Constituyen un campo vectorial definido en V :

~ fv =    X Y Z   

Ejemplos de esta clase de fuerzas son las fuerzas gravitatorias (peso) y las fuerzas de inercia.

(13)

1.3. EQUILIBRIO EST ´ATICO Y EL ´ASTICO 3

Las fuerzas puntuales, esto es, actuando sobre puntos del s´olido, son idealizaciones que cor-responden a fuerzas de superficie o de volumen actuando sobre una superficie o un volumen muy peque˜no, respectivamente. Se trata entonces de fuerzas concentradas, que pueden considerarse como casos particulares de los dos tipos de acciones anteriores. En efecto, una fuerza puntual

~

F aplicada en el punto P del s´olido se puede entender como un campo ~fv definido en V de la forma siguiente:

~

fv = ~F δP

donde δP es la distribuci´on de Dirac en el punto P . De este modo, la resultante del campo ~fv

actuando sobre el s´olido es la fuerza concentrada ~F aplicada en P :

Z V ~ fvdV = ~F Z V δP dV = ~F en P

1.3. Equilibrio est´

atico y el´

astico

Cuando sobre el sólido elástico act´uan las acciones exteriores ~fs y ~fv, el equilibrio estático

del s´olido exige que se cumplan las condiciones:

1. Resultante nula de fuerzas: La resultante de las fuerzas aplicadas debe ser nula: Z S ~ fsdS + Z V ~ fvdV = 0

2. Resultante nula de momentos: La resultante de los momentos de las fuerzas aplicadas con respecto a cualquier punto del espacio (por ejemplo, el origen de coordenadas) debe ser

nula: _Z S ~r × ~fsdS + Z V ~r × ~fvdV = 0

donde ~r es el vector de posici´on (figura 1.2).

Si no se cumplen las condiciones de equilibrio estático, la aplicación de las acciones acciones exteriores da lugar al movimiento del sólido. Dicho movimiento puede estudiarse con bastante aproximación mediante las ecuaciones de la Mecánica del Sólido R´ıgido.

Sin embargo, nosotros estaremos interesados en estudiar la deformación del sólido elástico en los casos en que se cumplen las condiciones de equilibrio estático y, por tanto, no hay movimiento de sólido r´ıgido.

Al aplicar al sólido elástico un sistema de acciones exteriores, aparecen fuerzas interiores dentro del volumen del sólido. Como se ha dicho, obtener y caracterizar estas fuerzas interiores es imprescindible si se quiere evaluar la capacidad del sólido para resistir con seguridad el sistema de acciones exteriores.

Para analizar estas fuerzas interiores se puede dar un corte imaginario al sólido elástico mediante una superficie Σ que lo divida en dos partes A y B (figura 1.3). El equilibrio de cada una de estas dos partes implica que, a través de la superficie de corte, una parte ejerce sobre la otra fuerzas que equilibran las acciones exteriores aplicadas sobre ella.

Es importante darse cuenta de que, por el principio de acci´on-reacci´on, las fuerzas de A sobre

B a trav´es de la superficie de corte son iguales y de signo contrario a las fuerzas que ejerce B sobre A a trav´es de la misma superficie.

(14)

Z

X

Y

r

Figura 1.2: Vector de posici´on en el equilibrio est´atico

Cualquiera que sea la superficie imaginaria Σ que se utilice, las dos partes en que queda dividido el sólido elástico deben estar en equilibrio, con las acciones exteriores aplicadas sobre ellas y las fuerzas internas que le transmite la otra parte a través de la superficie de corte. Esto es lo que se conoce como equilibrio elástico: las acciones exteriores están en equilibrio con las fuerzas internas que aparecen en el sólido por aplicación de las mismas. Es decir, cualquier parte del sólido, por pequeña que sea ésta, debe estar en equilibrio estático si se tienen en cuenta las acciones externas y las fuerzas internas.

1.4. Vector tensi´

on

Sobre una fracci´on ∆Ω de la superficie de corte Σ alrededor del punto P , la parte B del s´olido ejerce una fuerza ∆ ~f (fuerza interna) sobre la parte A (figura 1.4).

Se define el vector tensi´on ~σ en el punto P asociado a la superficie de corte Σ como:

~σ = l´ım ∆Ω→0 ∆ ~f ∆Ω = d ~f dΩ

(15)

1.4. VECTOR TENSI ´ON 5

Σ

Corte imaginario

B

A

A través de esta superficie la parte B está actuando sobre la parte A

(16)

A

∆Ω

∆f

P

Figura 1.4: Fuerza interna ejercida en el entorno del punto P

Se trata de una magnitud vectorial cuyas componentes tienen dimensiones de fuerza por unidad de superficie. Hay que tener en cuenta los puntos siguientes:

El vector tensi´on ~σ est´a asociado al punto P . Para una misma superficie de corte Σ, el vector tensi´on cambia de un punto a otro de la superficie.

En cada punto P , el vector tensi´on ~σ est´a asociado a la superficie de corte Σ; para otra superficie de corte el vector tensi´on en P adoptar´ıa otro valor.

Al tomar l´ımites, el vector tensi´on ~σ est´a asociado realmente a la orientaci´on del plano tangente a la superficie de corte Σ en el punto P .

Haciendo abstracci´on, en cada punto P del s´olido el´astico, se tiene un vector tensi´on ~σ

para cada orientaci´on ~n= ( α, β, γ) de los planos π que pasan por P , siendo α, β y γ los

cosenos directores de la direcci´on normal al plano ~n: ~

σ = ~σ(P, ~n) = ~σ(P, α, β, γ)

La direcci´on normal al plano ~n se entiende que tiene el sentido hacia afuera del material,

es decir, apuntando hacia la parte del s´olido que ha sido eliminada por el corte imaginario (parte B en las figuras 1.3 y 1.4) y que, por tanto, ejerce la fuerza ∆ ~f sobre la parte que

permanece (parte A en las figuras 1.3 y 1.4).

En el Sistema Internacional, la unidad de tensi´on es el Pascal (Pa): 1 P a = 1 N

1 m2

En la práctica se trabaja con tensiones mucho más grandes que 1 Pa y se utiliza el megapascal (MPa), unidad un millón de veces superior al Pascal. Un megapascal equivale a una fuerza de 1 N distribuida sobre una superficie de 1 mm2.

(17)

1.5. COMPONENTES INTR´INSECAS DEL VECTOR TENSI ´ON 7

π

P

n

σ

_n

τ

Figura 1.5: Componentes intr´ınsecas del vector tensi´on

1.5. Componentes intr´ınsecas del vector tensi´

on

El vector tensi´on ~σ asociado a un punto P y al plano π, puede proyectarse en la direcci´on de la normal al plano ~n y sobre el plano (figura 1.5). Estas dos proyecciones, σny τ , respectivamente,

son conocidas como componentes intr´ınsecas del vector tensi´on.

Las componentes intr´ınsecas del vector tensi´on se obtienen de la manera siguiente: 1. Componente normal:

~n ≡ (α, β, γ) (vector unitario, sentido hacia afuera del material)

σn = ~σ · ~n (producto escalar) ~σn = σn~n

2. Componente tangencial:

~τ = ~σ − ~σn

1.6. Ejercicios resueltos

1.6.1. Obtener componentes intr´ınsecas

Obtener las componentes intr´ınsecas del vector tensi´on:

~ σ=    1 2 3    MPa

definido en un punto P , con respecto al plano π dado por la ecuaci´on x − y = 0. Soluci´on:

(18)

X

Y

Z

n

Figura 1.6: Ejercicio resuelto: sentido elegido de la normal al plano π

El plano π es el plano bisector del primer octante (figura 1.6). Se puede tomar:

~n =    1 √ 2 −√1 2 0    ´o ~n =    −√1 2 1 √ 2 0   

Tomamos el primero de estos dos vectores, asumiendo entonces que el vector tensi´on dado act´ua sobre el material situado en x − y < 0. Las componentes intr´ınsecas ser´an:

σn = ~σ · ~n = 1 √ 2− 2 √ 2 = − 1 √ 2 MPa y τ = qσ2_{− σ}2 n = s 12_{+ 2}2_{+ 3}2_{− (}_√1 2) 2 ₌ p_{13, 5 MPa}

(19)

Lecci´

on 2

Matriz de tensiones

2.1. Tensiones sobre planos coordenados

Cuando se utiliza un sistema de referencia cartesiano, las componentes intr´ınsecas del vector tensi´on sobre planos paralelos a los planos coordenados, esto es, planos con normales ~n iguales a

(1,0,0), (0,1,0) ´o (0,0,1), se designan seg´un se indica en la figura 2.1. Los sentidos positivos son los que se dan en la figura.

2.2. Reciprocidad de tensiones tangenciales

En un punto P del s´olido el´astico consideremos planos paralelos a los planos coordenados que delimiten un volumen infinitesimal alrededor del punto (figura 2.2).

Nótese que las normales en planos paralelos opuestos son iguales y de signo contrario. Si los planos paralelos opuestos se “confundieran” en el punto P (figura 2.3), por el principio de acción-reacción, las componentes intr´ınsecas del vector tensión a cada lado de cada plano ser´ıan iguales y de signo contrario. La forma convencional de representar este hecho es dibujando las componentes intr´ınsecas en P sobre las caras del cubo infinitesimal centrado en el punto P (figuras 2.4 y 2.5).

La representación de las figuras 2.4 y 2.5 no debe inducir a confusión. Las acciones repre-sentadas en forma de tensiones son las acciones de primer orden sobre el volumen infinitesimal alrededor de P . Como se ver´a más adelante, existen otras acciones de segundo orden, tales como las derivadas de fuerzas de volumen ~fv y las variaciones de las componentes intr´ınsecas de una cara a otra del cubo infinitesimal. Sin embargo, el equilibrio del cubo exige que las acciones de primer orden estén equilibradas, ya que ninguna acción de segundo orden podr´ıa equilibrar una acción de primer orden desequilibrada.

El equilibrio de fuerzas de primer orden actuando sobre el volumen infinitesimal es inmediato, ya que las fuerzas actuando sobre caras paralelas opuestas son iguales y de signo contrario. El equilibrio de fuerzas de segundo orden dará lugar a las ecuaciones de equilibrio interno del sólido elástico (lección 3).

En cuanto al equilibrio de momentos de primer orden, si se toman momentos respecto al centro del cubo infinitesimal, se tiene:

Eje X: 2 (τyzdx dzdy₂ ) − 2 (τzydx dydz₂ ) = 0

(20)

Z

X

Y

n (1,0,0) n (0,0,1) n (0,1,0) P P P σnz σnx σny τzy τ_zx τxz τxy τyx τyz

Figura 2.1: Componentes intr´ınsecas del vector tensi´on seg´un planos coordenados

Eje Y: 2 (τzxdy dxdz₂ ) − 2 (τxzdy dzdx₂) = 0

Eje Z: 2 (τxydz dydx₂) − 2 (τyxdz dxdy₂ ) = 0

de donde se deduce:

τyz = τzy τzx = τxz τxy = τyx

Las tres igualdades anteriores se conocen con el nombre de teorema de reciprocidad de ten-siones tangenciales. El teorema implica que son iguales las componentes de las tenten-siones tangen-ciales correspondientes a dos planos perpendiculares entre s´ı en la direcci´on normal a la arista de

Z

X

Y

nz P nx ny -ny -nz dy dx dz

(21)

2.2. RECIPROCIDAD DE TENSIONES TANGENCIALES 11

Z

X

Y

nz P nx ny -ny -nz -nx

Figura 2.3: Entorno del punto P . Planos paralelos a los planos coordenados

su diedro. N´otese que, por el convenio de signos utilizado, el sentido de las tensiones tangenciales es tal que ambas componentes se dirigen hacia la arista o ambas se separan (figuras 2.6 y 2.7).

Z

X

Y

σnz σnx σny τzy τzx τxz τxy τyx τyz σnz σny σnx

(22)

Z

X

Y

σnz τzy τzx τxz τxy τyx τyz σnz σny σnx

Figura 2.5: Entorno del punto P . Tensiones sobre volumen elemental (2)

2.3. Estado tensional en el entorno de un punto

El estado tensional en un punto P se conocer´a cuando sea conocido el vector tensión según cualquier plano que pase por el punto. A continuación veremos que esto puede conseguirse a partir de las componentes intr´ınsecas de los vectores de tensión según planos paralelos a los planos coordenados.

Sea en el entorno de P un plano π con normal ~n igual a (α,β,γ). Se busca el vector tensi´on ~σ

que act´ua sobre el plano (figura 2.8). Para ello, se plantea el equilibrio de un tetraedro delimitado por el plano π y tres planos paralelos a los planos coordenados que pasan por P . La distancia de P al plano π es la altura h del tetraedro.

Seg´un se representa en la figura 2.8, las ´areas de las caras del tetraedro son: Ω, Ωx, Ωy y Ωz,

con Ωx = Ω α, Ωy = Ω β y Ωz = Ω γ. Las fuerzas de volumen son ~fv = (X, Y, Z).

El equilibrio de fuerzas proporciona las tres ecuaciones siguientes:

Eje X: X 1₃Ω h + σxΩ − σnxΩ α − τyxΩ β − τzxΩ γ = 0

Eje Y: Y 1₃Ω h + σyΩ − τxyΩ α − σnyΩ β − τzyΩ γ = 0

Eje Z: Z 1₃Ω h + σzΩ − τxzΩ α − τyzΩ β − σnzΩ γ = 0

Si se hace tender a cero el volumen del tetraedro (esto es, si h −→ 0), el plano π tender´a a pasar por P y, adem´as, los t´erminos relativos a las fuerzas de volumen se anular´an. En este caso, simplificando, se obtienen las tres igualdades siguientes:

(23)

2.3. ESTADO TENSIONAL EN EL ENTORNO DE UN PUNTO 13 X Y σny σny σnx σnx τxy τxy τyx τyx σny σny σnx σnx τxy τxy τxy τxy Teorema de reciprocidad

Figura 2.6: Reciprocidad de tensiones tangenciales en planos perpendiculares

σy = τxyα + σnyβ + τzyγ σz = τxzα + τyzβ + σnzγ o en forma matricial: ~σ =    σx σy σz    =    σnx τyx τzx τxy σny τzy τxz τyz σnz       α β γ    y en notaci´on vectorial: ~ σ = [T ] ~n

La matriz [T ] se conoce con el nombre de matriz de tensiones. De acuerdo con el teorema de reciprocidad de tensiones tangenciales, la matriz de tensiones es una matriz sim´etrica, que

τ

Tensiones tangenciales posibles en esquinas a 90º

(24)

n(

α,β,γ

)

σ (σ ,σ ,σ )

x y z

Z

X

Y

Ω

y

Ω

z

Ω

x

Ω

Z

X

Y

σnz σnx σny τzy τzx τxz τxy τyx τyz P

(25)

2.4. EJERCICIOS RESUELTOS 15 puede escribirse: [T ] =    σnx τxy τxz τxy σny τyz τxz τyz σnz   

En relaci´on con la matriz de tensiones, es importante darse cuenta de los puntos siguientes: Si se conoce la matriz de tensiones en el punto P entonces se conoce el estado tensional en P , ya que a partir de la matriz de tensiones se puede obtener el vector tensi´on ~σ para

cualquier orientaci´on de plano ~n.

La matriz de tensiones representa una magnitud tensorial de orden 2 que en la literatura se conoce normalmente con el nombre de tensor de tensiones. Dentro del s´olido el´astico, la matriz de tensiones [T ] es una funci´on de punto, se trata por tanto de un campo tensorial de orden 2.

La expresi´on de la matriz de tensiones depende del sistema de referencia utilizado. Al cambiar de sistema de referencia sus componentes cambian como las de un tensor de segundo orden. El cambio de ejes se escribe en forma matricial del modo siguiente:

[T ]b = [Rab]t[T ]a[Rab]

donde [T ]a es la matriz de tensiones en el sistema de referencia a, [T ]b es la matriz de

tensiones en el sistema de referencia b y [Rab] es la matriz de cambio de base del sistema a al sistema b.

La matriz [Rab] de cambio de base se construye colocando como columnas las componentes

de los vectores unitarios en la direcci´on de los nuevos ejes (sistema b) con respecto al sistema de referencia viejo (sistema a), es decir:

[Rab] =    αb1 αb2 αb3 βb1 βb2 βb3 γb1 γb2 γb3    =   

~ib·~ia ~jb·~ia ~kb·~ia ~ib· ~ja ~jb· ~ja ~kb· ~ja ~ib· ~ka ~jb· ~ka ~kb· ~ka

  

donde (αb1, βb1, γb1), (αb2, βb2, γb2) y (αb3, βb3, γb3) son los vectores unitarios en las

direc-ciones de los ejes del sistema b, referidos al sistema a.

La matriz [Rab] es una matriz ortonormal, es decir, su traspuesta coincide con la inversa:

[Rba] = [Rab]−1 = [Rab]t

2.4. Ejercicios resueltos

2.4.1. C´alculo de matriz de tensiones y vector tensi´on

Del interior de un sólido elástico se separa mediante cortes imaginarios un cubo de 10 cm de lado. Las acciones que ejerce el resto del sólido sobre el cubo son las representadas en la figura 2.9. No existen fuerzas exteriores aplicadas sobre el cubo.

(26)

Z

X

Y

1 MPa 1 MPa 1 MPa 1 MPa 16 MPa 6 MPa 16 MPa 4 MPa 6 MPa 4 MPa 6 MPa

Figura 2.9: Acciones del resto del s´olido sobre un cubo de material

1. La matriz de tensiones en el sistema de referencia con ejes paralelos a las aristas del cubo, v´alida para cualquier punto del cubo.

2. Vector tensi´on en el centro del cubo con respecto a un plano que forme ´angulos iguales con los planos coordenados (~n = (√1

3, 1 √ 3, 1 √ 3)). Soluci´on:

1. De acuerdo con la figura, tomando como origen del sistema de referencia la esquina de la base m´as alejada del punto de vista, se tiene que:

σnx = −6 + z 1012 MPa (z en cm) τxy = 0 τxz = 0 σny = −4 − z 1012 MPa (z en cm) τyz = 1 MPa σnx = 0

(27)

2.4. EJERCICIOS RESUELTOS 17 luego: [T ] =    −6 + ₁₀z 12 0 0 0 −4 − ₁₀z 12 1 0 1 0    MPa (z en cm)

2. El centro del cubo tiene como coordenadas (5,5,5) cm. En consecuencia, sustituyendo en la expresi´on de la matriz de tensiones:

~ σ = [T ] ~n =    0 0 0 0 −10 1 0 1 0        1 √ 3 1 √ 3 1 √ 3     = 1 √ 3    0 −9 1    MPa

(28)

(29)

Lecci´

on 3

Ecuaciones de equilibrio

3.1. Ecuaciones de equilibrio interno

Las ecuaciones de equilibrio interno definen las condiciones que deben cumplir las compo-nentes de la matriz de tensiones [T ] para que un volumen interior del s´olido el´astico se encuentre en equilibrio con los vol´umenes que le rodean.

Las ecuaciones se obtienen planteando el equilibrio de fuerzas de un elemento diferencial de volumen alrededor de un punto P de un s´olido el´astico sometido a un campo de fuerzas de volumen ~fv = (X, Y, Z).

Sea [T ] la matriz de tensiones en el punto P :

[T ] =   

σnx τxy τxz τxy σny τyz τxz τyz σnz

  

En la figura 3.1 se representan las componentes del vector tensi´on en los centros de las caras de un elemento diferencial de volumen centrado en el punto P . Al tratarse de un elemento diferencial, dichas componentes pueden considerarse que son los valores medios en cada cara. Entonces, el equilibrio de fuerzas proporciona las tres ecuaciones siguientes:

Direcci´on X:

X dx dy dz + (σnx + ∂σ_∂xnx1₂dx) dy dz − (σnx − ∂σ_∂xnx1₂dx) dy dz

+ (τyx + ∂τ_∂yyx1₂dy) dx dz − (τyx − ∂τ_∂yyx1₂dy) dx dz

+ (τzx + ∂τ_∂zzx1₂dz) dx dy − (τzx − ∂τ_∂zzx1₂dz) dx dy = 0 Direcci´on Y: Y dx dy dz + (τxy + ∂τxy ∂x 1 2dx) dy dz − (τxy − ∂τxy ∂x 1 2dx) dy dz + (σny + ∂σny ∂y 1 2dy) dx dz − (σny − ∂σny ∂y 1 2dy) dx dz + (τzy + ∂τ_∂zzy1₂dz) dx dy − (τzy − ∂τ_∂zzy1₂dz) dx dy = 0 19

(30)

Z X Y P P dy dx dz σ + ∂σ /∂ny ny y 1/2 dy τ + ∂τ /∂yz yz y 1/2 dy τ + ∂τ /∂yx yx y 1/2 dy σ − ∂σ /∂ny ny y 1/2 dy τ − ∂τ /∂yx yx y 1/2 dy τ − ∂τ /∂yz yz y 1/2 dy σ − ∂σ /∂nz nz z 1/2 dz σ + ∂σ /∂nz nz z 1/2 dz σ + ∂σ /∂nx nx x 1/2 dx τ + ∂τ /∂zy zy z 1/2 dz τ + ∂τ /∂zx zx z 1/2 dz τ − ∂τ /∂zy zy z 1/2 dz τ − ∂τ /∂zx zx z 1/2 dz σ − ∂σ /∂nx nx x 1/2 dx τ + ∂τ /∂xy xy x 1/2 dx τ + ∂τ /∂xz xz x 1/2 dx τ − ∂τ /∂xz xz x 1/2 dx τ − ∂τ /∂xy xy x 1/2 dx

(31)

3.2. ECUACIONES DE EQUILIBRIO EN EL CONTORNO 21 Direcci´on Z: Z dx dy dz + (τxz + ∂τ_∂xxz₂1dx) dy dz − (τxz − ∂τ_∂xxz1₂dx) dy dz + (τyz + ∂τyz ∂y 1 2dy) dx dz − (τyz − ∂τyz ∂y 1 2dy) dx dz + (σnz + ∂σ_∂znz1₂dz) dx dy − (σnz − ∂σ_∂znz1₂dz) dx dy = 0

Simplificando las ecuaciones anteriores se obtiene :

∂σnx ∂x + ∂τyx ∂y + ∂τzx ∂z + X = 0 ∂τxy ∂x + ∂σny ∂y + ∂τzy ∂z + Y = 0 ∂τxz ∂x + ∂τyz ∂y + ∂σnz ∂z + Z = 0

Y como, por el teorema de reciprocidad de tensiones tangenciales, se cumple que:

τyx = τxy τzx = τxz τzy = τyz

se tiene finalmente el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, definido en el volumen V del s´olido el´astico, para las componentes de la matriz de tensiones [T ]:

∂σnx ∂x + ∂τxy ∂y + ∂τxz ∂z + X = 0 ∂τxy ∂x + ∂σny ∂y + ∂τyz ∂z + Y = 0 ∂τxz ∂x + ∂τyz ∂y + ∂σnz ∂z + Z = 0

El sistema anterior son las ecuaciones de equilibrio interno del sólido elástico. En notación vectorial puede escribirse como:

div [T ] + ~fv = 0 en V

o tambi´en:

∇[T ] + ~fv = 0 en V

3.2. Ecuaciones de equilibrio en el contorno

En la superficie S del s´olido el´astico, las fuerzas de superficie ~fs deben ser equilibradas por fuerzas internas. En un punto P situado sobre la superficie S, en el que el plano tangente a S tiene un vector normal ~n, debe cumplirse que (figura 3.2):

~

(32)

n P

S

-n n P _f_s [T] (-n) S

Figura 3.2: Equilibrio en la superficie del s´olido el´astico

Es decir, debe cumplirse que:

~

fs = [T ] ~n en S

Entonces, si el vector normal exterior a la superficie S es ~n = (α, β, γ) y las fuerzas de

superficie aplicadas en S son ~fs = ( ¯X, ¯Y , ¯Z), las ecuaciones de equilibrio en el contorno son:

   ¯ X ¯ Y ¯ Z    =    σnx τxy τxz τxy σny τyz τxz τyz σnz       α β γ    en S

3.3. Ejercicios resueltos

3.3.1. Fuerzas de volumen y fuerzas de superficie a partir del equilibrio

En el s´olido de forma tetra´edrica representado en la figura 3.3, existe el estado tensional siguiente: [T ] =    3y z 0 z −5x 0 0 0 2z    MPa (x,y,z en m) Determinar: 1. Fuerzas de volumen.

2. Fuerzas de superficie en la cara vista ABC, particularizando en el centro de gravedad de la misma.

(33)

3.3. EJERCICIOS RESUELTOS 23 A B C a a 2a X Y Z

Figura 3.3: Sólido de forma tetraédrica Solución:

1. A partir de las ecuaciones de equilibrio interno, se tiene que:

X = −∂σnx ∂x − ∂τxy ∂y − ∂τxz ∂z = 0 Y = −∂τxy ∂x − ∂σny ∂y − ∂τyz ∂z = 0 Z = −∂τxz ∂x − ∂τyz ∂y − ∂σnz ∂z = −2 M N m3 2. El vector normal a la cara vista del s´olido es:

~ n = ~ AB × ~AC | ~AB × ~AC | = ~i ~j ~_k −a a 0 −a 0 2a | ~AB × ~AC | = 2a2~i + 2a2~j + a2~k a2√_{4 + 4 + 1} =     2 3 2 3 1 3    

Utilizando las ecuaciones de equilibrio en el contorno:

~ fs = [T ] ~n =     3y z 0 z −5x 0 0 0 2z         2 3 2 3 1 3     =     2y + 2z₃ 2z 3 − 10x 3 2z 3    

El centro de gravedad de la cara vista tiene como coordenadas (a₃,a₃,2a₃) (promedio de coordenadas de los puntos de las esquinas). Particularizando para el centro de gravedad de la cara vista, se tiene:

(34)

~ fs =     2a 3 + 2 3 2a 3 2 3 2a 3 − 10 3 a 3 2 3 2a 3     = a     10 9 −6 9 4 9     MPa (a en m)

(35)

Lecci´

on 4

Tensiones principales

4.1. Tensiones y direcciones principales

En un punto P del s´olido el´astico el estado tensional viene dado por el valor de la matriz de tensiones [T ] en dicho punto. La matriz de tensiones es una matriz sim´etrica de orden 3 con coeficientes reales. Vamos a ver que esta forma de la matriz de tensiones implica lo siguiente:

En cada punto P del s´olido el´astico existen al menos tres planos ortogonales entre s´ı de modo que el vector tensi´on ~σ asociado a ellos tiene componente intr´ınseca tangencial τ

igual a cero. Es decir, según esos planos, el vector tensión sólo tiene componente intr´ınseca normal: ~σ= ~σn.

Las direcciones de las normales a dichos planos, ~n1, ~n2 y ~n3 se llaman direcciones principales

de tensi´on en el punto P .

Las componentes intr´ınsecas normales de los vectores de tensi´on seg´un esos planos, σ1, σ2

y σ3 se llaman tensiones principales en el punto P . Por convenio, ordenaremos las tensiones

principales de forma que: σ1 ≥ σ2 ≥ σ3.

La deducci´on de la existencia de las tensiones y direcciones principales es como sigue. Las componentes (α, β, γ) de las direcciones principales en el punto P , si existen, deber´an cumplir::

~n =    α β γ    ~σ = [T ] ~n = σn~n

(condici´on de que la componente intr´ınseca tangencial τ sea nula)

Es decir, las direcciones principales ~n y las tensiones principales σn, si existen, deben cumplir:

{[T ] − σn[I ]} ~n = 0

donde [I ] es la matriz identidad.

La relaci´on anterior expresa un problema de autovalores para la matriz [T ] en el punto P del s´olido el´astico.

(36)

Como [T ] es una matriz sim´etrica de orden 3 con coeficientes reales, [T ] tiene 3 autoval-ores reales1_{, que llamaremos σ}

1, σ2 y σ3. Estos autovalores son las tensiones principales. En

consecuencia, las tensiones principales existen, tal y como las hemos definido.

Cada autovalor σi, i = 1 . . . 3, tiene un autovector asociado ~ni, que se obtiene resolviendo el

sistema de ecuaciones:

{[T ] − σi[I ]} ~ni = 0

con la condici´on adicional de que si las componentes de ~ni son (αi, βi, γi), debe cumplirse que: α2_i + β_i2 + γ_i2 = 1

Por ser [T ] una matriz sim´etrica, los autovectores son ortogonales entre s´ı cuando los auto-valores σ1, σ2 y σ3 son distintos2. Es decir:

~ n1 · ~n2 = 0 ~ n1 · ~n3 = 0 ~ n2 · ~n3 = 0

De esta forma, las direcciones principales, tal y como las hemos definido, son ortogonales entre s´ı.

Si hay algún autovalor doble o triple, los autovectores asociados a los mismos definen un espacio vectorial de dimensión 2 ó 3, respectivamente. En estos casos, más que una sola di-rección principal, el autovalor tiene asociado todo un plano, o todo el espacio, de vectores de dirección principal. De dicho plano o de todo el espacio se pueden extraer dos ó tres vectores, respectivamente, que sean ortogonales entre s´ı.

4.2. Invariantes de tensiones

Desdoblando la ecuaci´on vectorial:

{[T ] − σn[I ]} ~n = 0

en tres ecuaciones escalares, el problema de autovalores de la matriz [T ] se escribe: 

 

σnx− σn τxy τxz

τxy σny− σn τyz

τxz τyz σnz − σn       α β γ    = 0

Se trata de un sistema de ecuaciones homog´eneo, funci´on de un par´ametro real σn.

Para que este sistema tenga soluci´on distinta de la trivial (α = β = γ = 0), el determinante de la matriz de coeficientes debe ser nulo, esto es:

σnx− σn τxy τxz

τxy σny− σn τyz

τxz τyz σnz− σn = 0

La ecuaci´on anterior es una ecuaci´on de tercer grado en σn, con tres ra´ıces reales3, que son

1

Desde el punto de vista del Álgebra Lineal, la matriz [T ] representa un endomorfismo en R3, que asocia cada vector de orientación ~n con un vector tensión ~σ. El endomorfismo es simétrico por ser [T ] una matriz simétrica. La teor´ıa de los endomorfismos simétricos es la que justifica que la matriz [T ] tiene 3 autovalores reales y que los autovectores asociados son ortogonales entre s´ı.

2

Ver la nota anterior.

(37)

4.3. SISTEMA DE REFERENCIA PRINCIPAL 27

los valores de las tensiones principales. Dicha ecuaci´on puede ponerse como: −σ_n3 + I1σn2 − I2σn + I3 = 0 con: I1 = σnx + σny + σnz I2 = σnxσny + σnxσnz + σnyσnz − τxy2 − τ 2 xz − τ 2 yz I3 = det[T ]

La soluci´on de esta ecuaci´on de tercer grado son las tensiones principales σ1, σ2 y σ3 en el

punto P .

Las tensiones principales son una caracter´ıstica intr´ınseca del estado tensional en el punto P y, por tanto, independiente del sistema de referencia seleccionado para la matriz de tensiones [T ]. En consecuencia, los coeficientes I1, I2 e I3 deben ser independientes del sistema de referencia.

Estos coeficientes se conocen con el nombre de invariantes de tensiones, primero, segundo y tercero, respectivamente.

El valor de los invariantes en cada punto P no cambia al cambiar el sistema de referencia utilizado para definir [T ].

4.3. Sistema de referencia principal

En cada punto P del s´olido el´astico tenemos pues tres direcciones principales ~n1, ~n2 y ~n3

ortogonales entre s´ı. De este modo, se puede definir en el punto P un sistema de referencia seg´un estas tres direcciones (figura 4.1). En dicho sistema de referencia la matriz de tensiones ser´a diagonal: [T ] =    σ1 0 0 0 σ2 0 0 0 σ3   

Para un estado tensional dado, el sistema de referencia anterior se conoce con el nombre de sistema de referencia principal en el punto P . Es importante darse cuenta de que el sistema de referencia principal está asociado a un estado tensional concreto y que, además, cambia de un punto a otro del sólido elástico.

4.4. Elipsoide de tensiones

En un punto P del s´olido el´astico, bajo un estado tensional dado, el elipsoide de tensiones es el lugar geom´etrico de los extremos del vector tensi´on ~σ, con origen en P , correspondiente a

todas las orientaciones ~n de plano posibles en el punto.

Se trata de un elipsoide con centro en P y con semiejes iguales a las tensiones principales. En efecto, utilizando el sistema de referencia principal en el punto P , correspondiente al estado tensional dado, el vector tensi´on ~σ para la direcci´on ~n es:

~σ = [T ] ~n=    σ1 0 0 0 σ2 0 0 0 σ3       α β γ    =    α σ1 β σ2 γ σ3   

(38)

Z

X

Y

n

2

n

3

n

1

P

Figura 4.1: Sistema de referencia principal

Y las coordenadas del extremo del vector tensi´on ~σ con respecto a P ser´an:

x = α σ1 y = β σ2 z = γ σ3    

 en el sistema de referencia principal

y como se cumple que:

α2 + β2 + γ2 = 1 se tendr´a entonces: _x σ1 2 + _y σ2 2 + _z σ3 2 = 1

que en el sistema de referencia principal es la ecuaci´on de un elipsoide con semiejes iguales a las tensiones principales.

(39)

4.5. EJERCICIOS RESUELTOS 29

4.5. Ejercicios resueltos

4.5.1. C´alculo de tensiones y direcciones principales

La matriz de tensiones en un punto P de un s´olido el´astico, para un determinado estado tensional, viene dada por:

[T ] =    5 1 2 1 0 1 2 1 0    MPa con respecto a un sistema de referencia cartesiano ortogonal.

Determinar las tensiones principales y sus direcciones principales asociadas. Soluci´on:

1. Tensiones principales.

Igualando a cero el determinante: 5 − σ 1 2 1 −σ 1 2 1 −σ = 0

se obtiene la ecuaci´on c´ubica:

F (σ) ≡ −σ3 + 5 σ2 + 6 σ − 1 = 0

La ecuaci´on se puede resolver por tanteos, buscando los ceros de F (σ) a partir de sus cambios de signo. Resulta lo siguiente: σ1 = 5,97 MPa , σ2 = 0,149 MPa y σ3 = -1,12

MPa.

2. Direcciones principales

La direcci´on principal asociada a σ1, ~n1 = (α1, β1, γ1), se obtiene a partir del sistema de

ecuaciones: _   5 − 5, 97 1 2 1 −5, 97 1 2 1 −5, 97       α1 β1 γ1    = 0

Al ser las tensiones principales diferentes (no hay ra´ıces dobles ni triples en la ecuaci´on de tercer grado que hemos resuelto en el punto anterior), s´olo hay dos ecuaciones independi-entes en el sistema. Tomando las dos primeras:

−0, 97 α1 + β1 + 2 γ1 = 0 α1 − 5, 97 β1 + γ1 = 0

y sabiendo que:

α2₁ + β₁2 + γ₁2 = 1 resulta: α1 = 0,92, β1 = 0,21 y γ1 = 0,34.

(40)

La direcci´on principal asociada a σ2, ~n2 = (α2, β2, γ2), se obtiene a partir del sistema de ecuaciones: _   5 − 0, 149 1 2 1 −0, 149 1 2 1 −0, 149       α2 β2 γ2    = 0

Tomando las dos primeras ecuaciones:

4, 851 α2 + β2 + 2 γ2 = 0 α2 − 0, 149 β2 + γ2 = 0

y sabiendo que:

α2₂ + β₂2 + γ₂2 = 1 resulta: α2 = -0,362, β2 = 0,798 y γ2 = 0,482.

La direcci´on principal asociada a σ3, ~n3 = (α3, β3, γ3), se obtiene a partir de la condici´on

de que sea ortogonal a ~n1 y a ~n2:

~ n3 = ~n1× ~n2 = ~i ~j ~_k 0, 92 0, 21 0, 34 −0, 362 0, 798 0, 482 =    −0, 170 −0, 567 0, 810   

(41)

Lecci´

on 5

C´ırculos de Mohr

5.1. C´ırculos de Mohr en tensiones

Los c´ırculos de Mohr1 en tensiones proporcionan una representación gráfica plana de los infinitos vectores tensi´on ~σ asociados a un punto P de un s´olido elástico sometido a un sistema de acciones exteriores. Dicha representación gráfica se hace en base a las componentes intr´ınsecas

σn y τ del vector tensión ~σ. Para la obtenci´on de esta representación gráfica se parte de lo

Las tensiones principales en P se ordenan, sin p´erdida de generalidad, de mayor a menor:

σ1 ≥ σ2 ≥ σ3

En el sistema de referencia principal, cualquier vector tensi´on ~σen el punto P se puede

obtener como: ~ σ =    σ1 0 0 0 σ2 0 0 0 σ3       α β γ    =    α σ1 β σ2 γ σ3   

donde ~n = (α, β, γ) es el vector normal correspondiente al plano sobre el que act´ua el vector

~σ. Entonces, se tiene que:

|~σ|2 = σ2 = σ₁2α2 + σ₂2β2 + σ₃2γ2

Y, por la definici´on de componentes intr´ınsecas τ y σn de ~σ, se tiene: σ2 = σ_n2 + τ2

Combinando las dos expresiones anteriores, se cumple que:

σ_n2 + τ2 = σ₁2α2 + σ2₂β2 + σ₃2γ2

1

Otto Mohr (1835-1918), ingeniero estructural alemán pionero en la aplicación de métodos gráficos para la resolución de problemas de la teor´ıa de la estructuras.

(42)

Por otro lado, la componente normal σn del vector ~σ es: σn = ~σ · ~n = (α σ1, β σ2, γ σ3)    α β γ    = σ1α2 + σ2β2 + σ3γ2

Y tambi´en sabemos que:

α2 + β2 + γ2 = 1

Las tres ecuaciones anteriores proporcionan una relaci´on entre las tensiones principales σ1, σ2 y σ3 en el punto P , las componentes del vector unitario (α, β, γ) normal a un plano y las

componentes intr´ınsecas del vector tensi´on en el punto P seg´un ese plano, σny τ :

σ2₁α2 + σ₂2β2 + σ2₃γ2 = σ_n2 + τ2 σ1α2 + σ2β2 + σ3γ2 = σn α2 + β2 + γ2 = 1 De donde se obtiene: γ2 = (σn− σ1) (σn− σ2) + τ 2 (σ3− σ1) (σ3− σ2) β2 = (σn− σ1) (σn− σ3) + τ 2 (σ2− σ1) (σ2− σ3) α2 = (σn− σ2) (σn− σ3) + τ 2 (σ1− σ2) (σ1− σ3)

Los cocientes anteriores deben ser positivos, ya que corresponden a n´umeros reales α, β, γ elevados al cuadrado. Analicemos uno por uno los tres cocientes.

1. Cociente de α2.

α2 = (σn− σ2) (σn− σ3) + τ

2

(σ1− σ2) (σ1− σ3)

≥ 0

El denominador del cociente es un n´umero positivo, por ser σ1 ≥ σ2 ≥ σ3, seg´un nuestro

convenio. En consecuencia, debe cumplirse:

(σn− σ2) (σn− σ3) + τ2 ≥ 0 o lo que es lo mismo: (σn− σ2+ σ3 2 ) 2 _{− (}σ2− σ3 2 ) 2 _{+ τ}2 _{≥ 0}

y la condici´on de que α2 sea positivo se traduce en que: (σn− σ2+ σ3 2 ) 2 + τ2 ≥ (σ2− σ3 2 ) 2

(43)

5.1. C´IRCULOS DE MOHR EN TENSIONES 33

σ

_n

σ

2

σ

₃

τ

Zona posible: exterior del círculo

Figura 5.1: Primer c´ırculo de Mohr C1

En el plano (σn, τ ) la ecuaci´on de la circunferencia de centro (σ2+σ₂ 3, 0) y radio σ2−σ₂ 3 es:

(σn− σ2+ σ3 2 ) 2 + τ2 = (σ2− σ3 2 ) 2

Luego la condici´on que debe cumplirse, derivada de que α2 ≥ 0, es que los puntos (σn, τ )

que representan los vectores tensi´on en el punto P , han de encontrarse fuera del c´ırculo de radio σ2−σ3

2 centrado en el punto (

σ2+σ3

2 , 0) (primer c´ırculo de Mohr, figura 5.1). 2. Cociente de β2.

β2 = (σn− σ1) (σn− σ3) + τ 2 (σ2− σ1) (σ2− σ3)

≥ 0

El denominador del cociente es un n´umero negativo, por ser σ1 ≥ σ2 ≥ σ3, seg´un nuestro convenio. En consecuencia, debe cumplirse:

(σn− σ1) (σn− σ3) + τ2 ≤ 0 o lo que es lo mismo: (σn− σ1+ σ3 2 ) 2 − (σ1− σ3 2 ) 2 + τ2 ≤ 0

(44)

y la condici´on de que β2 sea positivo se traduce en que: (σn− σ1+ σ3 2 ) 2 + τ2 ≤ (σ1− σ3 2 ) 2

(σn− σ1+ σ3 2 ) 2 + τ2 = (σ1− σ3 2 ) 2

Luego la condici´on que debe cumplirse, derivada de que β2 ≥ 0, es que los puntos (σn, τ )

que representan los vectores tensi´on en el punto P , han de encontrarse dentro del c´ırculo de radio σ1−σ3

2 centrado en el punto ( σ1+σ3

2 , 0) (segundo c´ırculo de Mohr, figura 5.2).

3. Cociente de γ2.

γ2 = (σn− σ1) (σn− σ2) + τ

2

(σ3− σ1) (σ3− σ2)

≥ 0

El denominador del cociente es un n´umero positivo, por ser σ1 ≥ σ2 ≥ σ3, seg´un nuestro

convenio. En consecuencia, debe cumplirse:

(σn− σ1) (σn− σ2) + τ2 ≥ 0 o lo que es lo mismo: (σn− σ1+ σ2 2 ) 2 − (σ1− σ2 2 ) 2 + τ2 ≥ 0

σ

_n

σ

1

σ

3

τ

Zona posible: interior del círculo

(45)

5.1. C´IRCULOS DE MOHR EN TENSIONES 35

σ

_n

σ

₁

τ

Zona posible: exterior del círculo

σ

₂

Figura 5.3: Tercer c´ırculo de Mohr C3

y la condici´on de que γ2 sea positivo se traduce en que:

(σn− σ1+ σ2 2 ) 2 + τ2 ≥ (σ1− σ2 2 ) 2

(σn− σ1+ σ2 2 ) 2 + τ2 = (σ1− σ2 2 ) 2

Luego la condici´on que debe cumplirse, derivada de que γ2 _{≥ 0, es que los puntos (σ}

n, τ )

que representan los vectores tensi´on en el punto P , han de encontrarse fuera del c´ırculo de radio σ1−σ2

2 centrado en el punto (

σ1+σ2

2 , 0) (tercer c´ırculo de Mohr, figura 5.3).

Si combinamos en una sola representación las tres condiciones obtenidas para la posición de los puntos (σn, τ ) que representan los vectores tensión en el punto P , se tiene la representaci´on

de la figura 5.4, en la que se ve que la zona de puntos de tensi´on posibles en la comprendida entre los tres c´ırculos de Mohr.

Cuando dos tensiones principales son iguales, el estado tensional recibe el nombre de estado cil´ındrico. Nótese que en ese caso uno de los c´ırculos de Mohr tiene radio nulo y los dos otros c´ırculos se superponen. En ese caso los puntos de tensión posibles están sobre una circunferencia.

(46)

σ

n

σ

₁

σ

₃

τ

Zona posible

σ

2

Figura 5.4: Representaci´on de Mohr de las componentes de tensi´on posibles en el punto P

Cuando las tres tensiones principales son iguales, el estado tensional recibe el nombre de estado esférico o estado hidrostático. En este caso los tres c´ırculos de Mohr coinciden en un punto situado sobre el eje de σn, que es el único punto de tensión posible.

5.2. Representaci´

on de tensiones en los c´ırculos de Mohr

5.2.1. Componentes intr´ınsecas del vector tensi´on

Dado un estado tensional en el punto P del s´olido el´astico, a cada orientaci´on ~n ≡ (α, β, γ)

definida en P con respecto al sistema de referencia principal, le corresponde un punto A ≡ (σn, τ ) dentro de la representaci´on de Mohr, dado por:

σn = σ1α2 + σ2β2 + σ3γ2 y ~ τ = ~σ − ~σn =    α σ1 β σ2 γ σ3    − σn    α β γ    =    α (σ1− σn) β (σ2− σn) γ (σ3− σn)    luego, τ = ± q α2_(σ 1− σn)2 + β2(σ2− σn)2 + γ2(σ3− σn)2

Normalmente se elige un signo positivo para τ y, de esta forma, se trabaja con el semiplano superior del plano (σn, τ ). De este modo, a cada orientaci´on ~n ≡ (α, β, γ) definida en P le

(47)

5.2. REPRESENTACI ´ON DE TENSIONES EN LOS C´IRCULOS DE MOHR 37 σn σ1 σ3 τ σ2 A’ A C1 C2 C3 α _γ circunferencia concéntrica a C3 circunferencia concéntrica a C1

Figura 5.5: Construcci´on para la determinaci´on de los par´ametros α, β, γ

5.2.2. C´alculo de la orientaci´on del vector normal

Rec´ıprocamente, la posici´on de un punto A = (σn, τ ) en la representaci´on de Mohr puede

utilizarse para conocer la orientaci´on del vector normal ~n = (α, β, γ) que da lugar a las

com-ponentes intr´ınsecas (σn, τ ).

Se emplea la construcci´on geom´etrica siguiente (figura 5.5):

1. Trazar circunferencias conc´entricas con C1 y C3que pasen por el punto A, hasta que corten a C2.

2. Se unen estos puntos de corte con los extremos del di´ametro del c´ırculo C2, obteniéndose los ángulosα yb γ. Como se ver´b a a continuación, se cumple que:

α2 = cos2α_b γ2 = cos2_bγ

3. Se obtiene β2 utilizando la relaci´on:

(48)

N´otese que de esta forma se obtienen los cuadrados de los par´ametros α, β, γ y, por tanto, quedan determinados los m´odulos de las componentes del vector normal ~n, pero no su signo:

α = ± cosα_b β = ± cosβb γ = ± cos_bγ

As´ı, a cada punto A ≡ (σn, τ ) dentro de la representaci´on de Mohr le corresponden hasta

ocho orientaciones del vector normal ~n, obtenidas permutando los signos positivos y negativos:

(α, β, γ), (α, −β, −γ), (α, −β, γ), (α, β, −γ), (−α, β, γ), . . ..

La construcción geométrica definida más arriba se basa en lo siguiente:

En todos los puntos de una circunferencia conc´entrica a C1 se tiene el mismo valor de α2.

En todos los puntos de una circunferencia conc´entrica a C3 se tiene el mismo valor de γ2.

En los puntos de la circunferencia C2 se tiene que β = 0.

Entonces, en el punto A0 de la figura 5.5 se tiene el mismo valor de α2 que en el punto A y, adem´as, β es nulo. En el punto A0 se tiene:

1 − α2

α2 =

γ2

α2 por ser β nulo

Sustituyendo los valores de α y γ en el punto A0 se obtiene:

1 − α2 α2 = (σ0 n−σ1) (σn0−σ2) + τ02 (σ3−σ1) (σ3−σ2) (σ0 n−σ2) (σn0−σ3) + τ02 (σ1−σ2) (σ1−σ3) = (σ1− σ2) [(σ 0 n− σ1) (σ0n− σ2) + τ02] (σ2− σ3) [(σ0n− σ2) (σ0n− σ3) + τ02]

donde (σ_n0, τ0) son las coordenadas del punto A0. Adem´as, como β es nulo en el punto A0, resulta que: (σ_n0 − σ1) (σ0n− σ3) + τ02 = 0 −→ τ02 = −(σn0 − σ1) (σ0n− σ3) y sustituyendo: 1 − α2 α2 = (σ0_n− σ1) (σ3− σ2) (σ2− σ3) (σn0 − σ3) = −(σ 0 n− σ1) (σ0 n− σ3) = −(σ 0 n− σ1)(σn0 − σ3) (σ0 n− σ3)2 = τ 02 (σ0 n− σ3)2 = tan2α_b

De donde se deduce que α = ± cosα._b

5.3. Casos particulares

5.3.1. Planos que contienen al primer eje principal

Tratamos de ver ahora en qué zona de la representación de Mohr se sitúan los puntos de tensión correspondientes a planos que contienen al primer eje principal, es decir, planos cuyo vector normal ~n tiene su primera componente nula: α = 0 (figura 5.6).

(49)

5.3. CASOS PARTICULARES 39 III I II P P n τ

σ

n III II II θ n III II n τ

σ

n θ θ

σ

3

σ

2 S

Figura 5.6: Planos que contienen al eje principal I

El equilibrio de las fuerzas de primer orden que act´uan sobre la cu˜na de material alrededor del punto P representada en la figura 5.6 nos da las ecuaciones siguientes:

σ2s cos θ = σns cos θ + τ s sin θ

σ

n

σ

2

σ

3

τ

C

1 2θ

(σ , τ)n Punto que define el vector tensión para

la normal n

Doble del ángulo que forma la normal con el eje IIn