Distribución Normal (Gaussiana), Parte 1

(1)

Distribuci´

on Normal o Gaussiana, parte I

Memo Garro

March 5, 2020

Resumen

Definimos la densidad normal (o guassiana) en términos de los parámetrosµyσ2_{. Calculamos el} valor de la integral de Gauss y algunas otras integrales asociadas. Definimos la variable aleatoria normal (o gaussiana) en términos de la función de densidad normal y calculamos sus momentos centrales. Demostramos que la convolución de densidades normales es normal, y usamos esto para demostrar que la suma de variables aleatorias normales independientes es normal. Con un ejemplo mostramos la necesidad de la hipótesis de independencia en este último resultado, el cual es también un ejemplo de variables aleatorias normales dependientes no correlacionadas.

´_Indice

1 Densidad Normal (o Gaussiana) . . . 1

2 Integrales gaussianas . . . 2

3 Variable aleatoria normal o gaussiana. Momentos centrales . . . 4

4 Convoluci´on de densidades gaussianas . . . 6

5 Suma de variables aleatorias normales independientes . . . 8

6 Una suma de normales que no es normal. Normales dependientes no correlacionadas . . 8

7 Transformaciones ortogonales de dos variables aleatorias normales independientes . . . . 9

Referencias . . . 11

1 Densidad Normal (o Gaussiana)

Definici´on 1 (Densidad normal o gaussiana). Ladensidad normal (o gaussiana)de par´ametros µ y σ2_{, con} _µ_∈

R y σ >0, es la funci´onN(· ;µ, σ2_{) :}

R→_R dada por

N(x;µ, σ2_{) =} 1 σ√2πe

−(x−µ)2

2σ2 , x∈R. (1)

Definici´on 2 (Densidad normal est´andar). Si µ= 0 y σ= 1, entonces la densidad

N(x; 0,1) = √1

2πe

−1 2x

2

, x∈_R, (2)

es llamada normal (guassiana) est´andar.

Observaci´on 1. Para toda x∈_R,

N(x;µ, σ2

) =N(x−µ; 0, σ2

(2)

−4 −2 0 2 4 0

0.5 1 1.5

µ= 0 yσ = 0.5 µ= 1 yσ = 0.75 µ=−2 y σ= 0.25

Fig. 1: Formas de “campana” t´ıpicas de las densidad normal (o gaussiana).

Enlistamos algunas propiedades que t´ıpicamente se prueban en los cursos b´asicos de probabilidad relativos a la densidad normal.

Teorema 1. Sea N(·;µ, σ) la densidad normal dada por (1).

(i) Para cada x∈_R,N(x;µ, σ)>0. Adem´as

lim

x→−∞N(x;µ, σ) = 0 = limx→+∞N(x;µ, σ).

(ii) N(·;µ, σ) es continuamente diferenciable (en x), y de hecho satisface las ecuaciones

∂

∂xN(x;µ, σ) =−

(x−µ)

σ2 N(x;µ, σ)), ∀x∈R. ∂

∂σ2N(x;µ, σ 2

) =−1

2 ∂2

∂x2N(x;µ, σ 2

), ∀x∈_R,∀σ2 >0.

(iii) N(·;µ, σ) tiene un punto cr´ıtico en x = µ. De hecho es un m´aximo, pues es creciente en (−∞, µ) y decreciente en (µ,+∞), y su valor m´aximo es N(µ;µ, σ) = 1/σ√2π.

(iv) N(·;µ, σ) es sim´etrica respecto de la rectax=µ, esto es,

N(−x+µ;µ, σ) =N(x+µ;µ, σ), ∀x∈_R.

2 Integrales gaussianas

Teorema 2 (Integral de Gauss-Euler-Poisson).

Z ∞

∞

e−x2dx=√π.

Demostraci´on. Una forma sencilla de calcular esta integral es usando coordenadas polares de la manera siguiente. Sea

I =

Z ∞

∞

e−x2dx.

Entonces

I2 ₌

Z ∞

∞

e−x2dx

Z ∞

∞

e−y2dy

=

Z ∞

∞

Z ∞

−∞

(3)

Proponemos la transformaci´on

x=rcosθ, y =rsinθ.

Calculamos el jacobiano

∂(x, y) ∂(r, θ) = det

cosθ −rsinθ sinθ rcosθ

!

=r.

De donde

I2 =

Z 2π

0

Z ∞

0

re−r2dr dθ = 2π

Z ∞

0

re−r2dr

=π

Z ∞

0

e−udu (u:=r2

)

=π.

Y dado queI >0, se sigue queI =√π.†

En el caso de la densidad normal, la mayor´ıa de los cálculos relacionados con integrales de este tipo tienen el factor constante 2 en el término exponencial, pero mediante una sustitución simple es muy fácil demostrar la siguiente integral.

Corolario 1. Para toda a >0,

Z ∞

−∞

e−12ax 2

dx=

r

2π

a . (3)

Demostraci´on. Basta hacer el cambio de variableu=pa₂x en la integral Gauss-Euler-Poisson.

Podemos comprobar ahora que la densidad normal es una densidad de probabilidad.

Corolario 2. La funci´on de densidad normal de par´ametros µ y σ2_{, con} _µ_∈

R y σ >0, dada por (1) es una densidad de probabilidad. Es decir

Z ∞

−∞

N(x;µ, σ)dx= 1.

Demostraci´on.

Z ∞

−∞

N(x;µ, σ)dx= 1 σ√2π

Z ∞

−∞

e− (x−µ)2

2σ2 dx

= √1

2π

Z ∞

−∞

e−12u 2

du, u:= x−µ σ

= σ

√

2π σ√2π = 1.

Observación 2. El cambiou= (x−µ)/σ y el uso de la fórmula (3)es usual en cálculo de integrales en los que intervienen densidades normales.

(4)

Corolario 3. Para toda a >0 y toda n≥0,

Z ∞

−∞

x2ne−12ax 2

dx= (2n)! an₂n_n!

r

2π

a . (4)

Y tambi´en _Z _∞

−∞

x2n+1e−12ax 2

dx= 0. (5)

Demostraci´on. Observamos quex2n+1exp −1 2ax

2

es una función impar, por lo que (5) es inmediata. Para probar (4), procedemos por inducción. El caso n = 0 está cubierto por el Corolario 1. Para n= 1, integramos por partes

Z ∞

−∞

x2 e−12ax

2

dx= 1 a

Z ∞

−∞

e−12ax 2

dx

= 1 a

r

2π a .

Supongamos v´alida la f´ormula (4) para n. Queremos probarla para n+ 1. Nuevamente integrando por partes,

Z ∞

−∞

x2(n+1)e−12ax2dx=

Z ∞

−∞

x2n+1x e−12ax2dx

= 2n+ 1 a

Z ∞

−∞

x2ne−12ax 2

dx

= 2n+ 1

a ·

(2n)! an₂n_n!

r

2π a

= (2(n+ 1))! an+1₂n+1_(n_{+ 1)!}

r

2π a .

Observaci´on 3. Para toda n≥0,

(2n)!

2n_n! = 1·3·5· · ·(2n−1).

Observación 4. La notación de doble factorial (2n−1)!! = 1·3·5· · ·(2n−1)también es usual.

3 Variable aleatoria normal o gaussiana. Momentos centrales

Definición 3(Variable Aleatoria Normal o Gaussiana). Una variable aleatoriaXtienedistribución normal o gaussiana parámetros µ y σ2_{, con} _µ _∈

R y σ >0, si su función de densidad está dada por (1). Suele usarse la notaciónX∼N(µ, σ2₎ _{o a veces}_X_∼_N_{(µ, σ). Es com´}_{un decir simplemente} que X es una variable aleatoria normal o gaussiana de parámetros µy σ2_.

(5)

Teorema 3 (Momentos Centrales). Si X ∼N(µ, σ2_{), con} _µ_∈

R yσ >0, entonces

E(X) =µ y Var(X) =σ2_.

En general, para n≥0,

E((X−µ)2n) =σ2n(2n−1)!!. (6)

Y tambi´en

E((X−µ)2n+1) = 0. (7)

Demostraci´on. Para verificar (7), basta notar que para cadan≥0,

(x−µ)2n+1e− (x−µ)2

2σ2 _, es una funci´on impar, por lo que

E((X−µ)2n+1) = 1 σ√2π

Z ∞

−∞

(x−µ)2n+1e− (x−µ)2

2σ2 _dx_{= 0.} En particular, cuandon= 0,

E(X)−µ=E(X−µ) = 0,

de dondeE(X) =µ.

Para comprobar (6) por c´alculo directo,

E((X−µ)2n) = √1

2πσ

Z ∞

−∞

(x−µ)2ne− (x−µ)2

2σ2 dx

= σ

2n √

2π

Z ∞

−∞

u2ne−u 2

2 du, u:= x−µ σ

=σ2n(2n)! 2n_n!.

En particular,

Var(X) =E((X−µ)2 ) =σ2

.

Teorema 4. Sean µ∈_R y σ >0, y sea X una variable aleatoria. Entonces X∼N(µ, σ2₎ _{si y s´}_olo si X_σ−µ ∼N(0,1).

Demostraci´on. Supongamos queX∼N(µ, σ2_{) y sea} _Z₌ X−µ

σ , entonces

FZ(z) =P(Z ≤z) =P(X≤σz+µ) =FX(σz+µ).

Derivamos para obtener la densidad deZ,

fZ(z) =σfX(σz+µ).

Y el segundo término es igual a la densidad normal estándar. Rec´ıprocamente, supongamos que Z = X−_σµ tiene distribución normal estándar. Entonces

FX(x) =P(X≤x) =P

X−µ

σ ≤

x−µ σ

=FZ

x−µ σ

(6)

Derivamos para obtener la densidad deX,

fX(x) =

1 σfZ

x−µ σ

.

El segundo t´ermino es igual a la densidad normal de par´emetrosµ yσ.

Corolario 4. Sean µ∈_R y σ >0, y seaX una variable aleatoria. EntoncesX ∼N(µ, σ2₎_{si y s´}_olo si X=σZ+µP-c.s., donde Z ∼N(0,1).

Podemos extender la definici´on de densidad normal en el casoσ= 0.

Definici´on 5. Si µ∈_R es una constante, entonces admitimos que la densidad discreta

N(x;µ,0) =







1 si x=µ, 0 en otro caso,

(8)

es una densidad normal degenerada.

Observaci´on 5. Una densidad normal degenerada dada por (8) tiene un m´aximo en x = µ, es diferenciable (con derivada igual a cero) en casi todos los reales, salvo en x =µ, y los inciso (i) y (iv) del Teorema 1 se cumplen tal cual.

Observación 6. Si X es una v.a. con distribución normal degenerada dada por la función de probabilidades (8), entonces P(X = µ) = 1, E(X) = µ y Var(X) = 0. Observe también que X tiene distribución densidad normal degenerada si y sólo si X=µ P-c.s., por lo que el Corolario 4 es también válido en este caso.

4 Convoluci´

on de densidades gaussianas

Definici´on 6. Dadas dos funcionesf1, f2 :R→R continuas y acotadas, definimos la convoluci´on

de f1 y f2 como la funci´on

(f1∗f2)(x) =

Z ∞

−∞

f1(u)f2(x−u)du, ∀x∈R.

En esta sección demostramos que la convolución de dos densidades gaussianas (no degeneradas) es nuevamente una densidad gaussiana. Primero probamos un par de resultados técnicos.

Lema 1. Si µ₁, µ₂ ∈R y σ₁, σ₂ >0, entonces para cada x y y en R,

(x−µ₁)2 σ2

1

+(y−µ2) 2 σ2 = 1 σ2 1 + 1 σ2 2 −1

x−µ₁ σ2

1

+y−µ2 σ2

2

+(x−y−(µ1−µ2)) 2

σ2 1 +σ

2 2

.

Demostraci´on. Basta agregar al t´ermino de la izquierda los ceros adecuados, (x−µ1)

2

σ2 1

+ (y−µ2) 2

σ2

= σ 2

2(x−µ1) 2

σ2 1(σ

2 1+σ

2 2)

−2(x−µ1)(y−µ2) σ2

1+σ 2 2

+ σ 2

1(y−µ2) 2

σ2 2(σ

2 1+σ

2 2)

+(x−µ1) 2

σ2 1 +σ

2 2

+ 2(x−µ1)(y−µ2) σ2

1+σ 2 2

+(y−µ2) 2

σ2 1 +σ

2 2 = σ 2 1σ 2 2 σ2

1+σ 2 2

x−µ1 σ2

1

+y−µ2 σ2

2

+((x−µ1)−(y−µ2)) 2

σ2 1 +σ

2 2

(7)

Lema 2. Si µ1, µ2 ∈R y σ1, σ2 >0, entonces para cada x∈R,

N(x;µ1, σ 2

1)N(x;µ2, σ 2

2) =N(µ2;µ1, σ 2 1+σ

2

2)N(x;µ, σ 2

),

donde

µ:= σ 2 2µ1+σ

2 1µ2 σ2

1+σ 2 2

y σ2 _:= σ 2 1σ

2 2 σ2

1+σ 2 2 .

Demostraci´on. Por el Lema 1, para cadax∈_R, (x−µ1)

2

σ2 1

+(x−µ2) 2 σ2 2 = σ 2 1σ 2 2 σ2

1 +σ 2 2

x−µ1 σ2

1

+x−µ2 σ2

2

+(µ1−µ2) 2

σ2 1+σ

2 2

= σ 2 1 +σ

2 2 σ2 1σ 2 2

x−σ

2 2µ1+σ

2 1µ2 σ2

1+σ 2 2

2

+(µ1−µ2) 2

σ2 1 +σ

2 2

= 1

σ2(x−µ) 2

+(µ2−µ1) 2

σ2 1+σ

2 2

.

Luego,

N(x;µ1, σ 2

1)N(x;µ2, σ 2 2) =

1

σ₁σ₂2π exp

−1

2

(x−µ1) 2

σ2 1

+(x−µ2) 2

σ2 2

= √ 1

σ2 1 +σ

2 2 √ 2π exp −1 2

(µ1−µ2) 2

σ2 1 +σ

2 2

1 σ√2πexp

−(x−µ) 2

2σ2

=N(µ2;µ1, σ 2 1+σ

2

2)N(x;µ, σ 2_).

Teorema 5. Si µ1, µ2 ∈R y σ1, σ2 >0, entonces

Z ∞

−∞

N(x;µ₁, σ2

1)N(x;µ2, σ 2

2)dx=N(µ2;µ1, σ 2 1+σ

2 2). Demostraci´on. Siµyσ2 _{son como en el Lema 2, entonces}

Z ∞

−∞

N(x;µ1, σ 2

1)N(x;µ2, σ 2

2)dx=N(µ2;µ1σ 2 1+σ

2 2)

Z ∞

−∞

N(x;µ, σ2

)dx=N(µ2;µ1, σ 2 1+σ

2 2).

Teorema 6. La convolución de dos densidades normales es normal con parámetros dados por la suma de los parámetros de las densidades normales convolucionadas. Espec´ıficamente, siµ1, µ2 ∈R y σ₁, σ₂ >0, entonces

N(x;µ1, σ 2

1)∗N(x;µ2, σ 2

2) =N(x;µ1+µ2, σ 2 1+σ

2

2), ∀x∈R.

Demostraci´on. Usando el Teorema 5 y las propiedades de la densidad normal, podemos calular la integral directamente,

N(x;µ₁, σ2

1)∗N(x;µ2, σ 2 2) =

Z ∞

−∞

N(u;µ₁, σ2

1)N(x−u;µ2, σ 2 2)du

=

Z ∞

−∞

N(u;µ₁, σ2

1)N(u;x−µ2, σ 2 2)du

=N(x−µ2;µ1, σ 2 1 +σ

2 2) =N(x;µ1+µ2, σ

2 1 +σ

(8)

5 Suma de variables aleatorias normales independientes

Teorema 7. Si X tiene distribución normal parámetros µ ∈ _R y σ2 _≥_{0, y} _a _y _b _{son constantes,} entonces aX+b tiene distribucón normal parámetros aµ+b y a2_σ2_.

Demostración. SeaY :=aX+b. Sia= 0 o bienX∼N(µ,0), entoncesY =aµ+bcon probabilidad 1, por lo que Y tiene distribución normal degeneradaN(aµ+b,0). En otro caso, i.e. a6= 0 y σ >0, recordemos que la densidad deY está dada por

1

|a|fX (x−b)/a;µ, σ

2

= 1

|a|σ√2πexp

−((x−b)/a−µ)

2

2σ2

= 1

|a|σ√2πexp

−(x−(aµ+b))

2

2a2_σ2

, ∀x∈_R.

Por lo tantoY ∼N(aµ+b, a2_σ2_).

Teorema 8. Sean µ1, µ2 ∈R y σ1, σ2 ≥0, y sean X1 y X2 variables aleatorias independientes tales que X1 ∼N(µ1, σ

2

1) y X2 ∼N(µ2, σ 2

2). Para cualesquiera a1 y a2 constantes reales, a1X1+a1X2 ∼ N(a1µ1+a2µ2, a

2

1σ12+a 2

2σ22).

Demostraci´on. Note que el teorema anterior cubre lo casos en que alguna de las constantes a1 y

a2 es cero, o bien, si alguno de los par´ametros σ1 y σ2 es cero. Supongamos entonces que las constantes a1, a2 y σ1, σ2 son distintas de cero. Por el teorema anterior, a1X1 ∼ N(a1µ1, a2σ

2₎ y a2X2 ∼ N(a2µ, a22σ22). Recordemos que la densidad de una suma de dos variables aleatorias absolutamente continuas independientes es la convoluci´on de las densidades, as´ı que el teorema se sigue directamente del Teorema 6.

Ejemplo 1. Sin la condici´on de independencia el Teorema 8 anterior puede fallar, siσ1 >0yσ2 >0. Por ejemplo, si X ∼ N(µ, σ2_{), entonces} _Y ₌ ₋_X _∼ _N₍₋_{µ, σ}2₎ _{–ver Proposici´}_{on 1, en la secci´}_on siguiente–, peroX+Y = 0. No obstante, observe que X+Y es una normal degeneradaN(0,0). 4

6 Una suma de normales que no es normal. Normales dependientes

no correlacionadas

Proposición 1. Si X es una v.a. normal estándar, entonces −X es también una normal estándar. Más aún, dado cualquier borel-medible B, P(X ∈B) =P(−X∈B).

Demostración. Basta demostrar que X y −X tienen la misma función de densidad. Para ello, observamos primero que la densidad fX de una distribución normal estándar es una función par.

Ahora, para todax∈_R,

F−X(x) =P(−X ≤x) =P(X≥ −x) = 1−P(X ≤ −x) = 1−FX(−x). (9)

Derivando,

(9)

El siguiente ejemplo muestra que no es suficiente exigir que dos variables aleatorias tengan dis-tribuci´on normal para garantizar que la suma es tambi´en normal.

Ejemplo 2. Sea X una v.a. normal est´andar y sea W una v.a. Bernoulli independiente de X con

valores en {−1,1} con par´ametro 1/2. Definimos Y =W X. Para toddo y∈_R,

P(Y ≤y) =P(X≤y |W = 1)(W = 1) +P(−X ≤y|W =−1)P(W =−1) =P(X≤y)P(W = 1) +P(−X≤y)P(W =−1)

= 1

2P(X ≤y) + 1

2P(X≤y) =P(X≤y).

Por lo tanto Y tiene distribuci´on normal est´andar. Del mismo modo,

P(X+Y = 0) =P(Y =−X|W = 1)P(W = 1) +P(Y =−X|W =−1)P(W =−1)

= 0·1

2+ 1· 1 2 = 1

2.

Por lo que X+Y no tiene distribuci´on normal. Por otro lado, |Y|=|X|por lo que es claro que X y Y no son independientes. No obstante

Cov(X, Y) =E(X2W)−E(X)E(Y)

=E(X2 )E(W)

= 0. 4

A menudo se comete el error de suponer que dos variables aleatorias normales no correlacionadas son independites. El ejemplo anterior demuestra tambi´en que este no es siempre el caso.

7 Transformaciones ortogonales de dos variables aleatorias

nor-males independientes

Teorema 9. Sean µ1, µ2 ∈R y σ1, σ2 ≥0, y sean X1 y X2 variables aleatorias independientes con distribuci´onN(µ1, σ

2

1)yN(µ2, σ 2

2), respectivamente. Sia11,a12ya21,a22son pares de n´umeros reales, no ambos cero, tales que

a11a21+a12a22= 0, (10)

esto es, a1:= (a11, a12) ya2 := (a21, a22) son vectores no nulos ortogonales, entonces

Y1=a11X1+a12X2, Y2=a21X1+a22X2,

(11)

son variables aleatorias con distribuci´on normal par´ametros µ_b1:=a11µ1+a12µ2, bσ

2 1 :=a

2 11σ

2 1 +a

2 12σ

2 2 y µ_b2 :=a21µ1 +a22µ2, bσ2 :=a

2 21σ

2 1 +a

2 22σ

2

2, respectivamente. Adem´as Y1 y Y2 son idependientes si y s´olo si,

Cov(Y1, Y2) = 0, si y s´olo si,

(10)

Demostraci´on. Las distribuciones deY1 yY2 est´an dadas por el Teorema 8. Dado que la covarianza es un operador bilineal y por independencia deX1 y X2,

Cov(Y1, Y2) =a11a21σ 2

1+a12a22σ 2 2.

Entonces, si Y1 yY2 son independientes, Cov(Y1, Y2) = 0, o equivalentemente,

a11a21σ 2

1 +a12a22σ 2 2 = 0.

Por lo tanto, si alguno de los productosa11a21 ya12a22 es no nulo implicaσ1 =σ2.

Rec´ıprocamente, si a11a21 =a12a22 = 0 ´o σ1 =σ2, entonces Cov(Y1, Y2) = 0, y en el primer caso es claro que Y1 y Y2 son independientes. Resta probar independencia de Y1 y Y2 cuando σ1 = σ2. Probaremos que la densidad conjunta de (Y1, Y2) es igual al producto de las densidades marginales. Consideremos la transformaci´on inversa de (11) dada por

X1 = 1

detA(a22Y1−a12Y2) X2 =−

1

detA(a21Y1−a11Y2), donde

A= a11 a12 a21 a22

!

y |detA|=|a11a22−a12a21|=

p

a2 11+a212

p

a2

21+a222.

Por cambio de variables, la densidad conjunta de (Y1, Y2) est´a dada por

fY1,Y2(y1, y2) = 1

|detA|fX1

1

detA(a22y1−a12y2)

fX2

− 1

detA(a21y1−a11y2)

.

Supongamos primero que X1 yX2 tienen distribuci´onN(0,1). Entonces,

fX1

1

detA(a22y1−a12y2)

fX2

− 1

detA(a21y1−a11y2)

= 1 2πexp − 1

2 det2_A

(a22y1−a12y2) 2

+ (a21y1−a11y2) 2

.

Ahora,

1 2 det2_A

(a22y1−a12y2) 2

+ (a21y1−a11y2) 2

= a 2 21+a

2 22 2 det2_Ay

2 1+

a2 11+a

2 12 2 det2_Ay

2 2

= 1

2(a2

11+a212) y2

1+ 1 2(a2

21+a222) y2

2.

Por lo tanto,

fY1,Y2(y1, y2) =

1

p

2π(a2

11+a212) exp

− 1

2(a2 11+a

2 12) y2 1 1 p 2π(a2

21+a222) exp

− 1

2(a2 21+a

2 22)

y2 2

=N(y1; 0, a 2 11+a

2

12)N(y2; 0, a 2 21+a

2 22).

Supongamos ahora que X1 yX2 tienen distribuci´on N(µ1, σ

2_{) y}_N_(µ 2, σ

2_{), respectivamente, con} σ > 0. Tenemos entonces que Xb1 := (X1−µ1)/σ y Xb2 := (X2−µ2)/σ tienen distribuci´on N(0,1). Luego, si hacemosµ_b1 =a11µ1+a12µ2 yµ_b2 =a21µ1+a22µ2, y si escribimos (11) como

Y1−µb1=σa11Xb1+σa12Xb2,

(11)

se tiene

fY1,Y2(y1, y2) =fY1−µb1,Y2−µb2(y1−µb1, y2−µb2)

=N(y1−µb1; 0, σ

2 (a2

11+a 2

12))N(y2−bµ2; 0, σ

2 (a2

21+a 2 22)) =N(y1;bµ1, σ

2 (a2

11+a 2

12))N(y2;µb2, σ

2 (a2

21+a 2 22))

Corolario 5. Sean µ1, µ2 ∈ R y σ ≥ 0, y sean X1 y X2 variables aleatorias independientes con distribuci´on N(µ1, σ2) y N(µ2, σ2), respectivamente. Entonces X1 +X2 y X1 −X2 son variables aleatorias normales independientes de par´ametros µ1+µ2 y (µ1+µ2)σ2, y µ1−µ2 y (µ1+µ2)σ2,

respectivamente.

References

[1] Miguel Ángel Álvarez Garc´ıa. Introducción a la teor´ıa de la probabilidad II. Primer curso. Fondo de Cultura Económica, 2015.