PAIEP. Valores máximos y mínimos de una función

Texto completo

(1)

Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia

PAIEP

Universidad de Santiago de Chile

Valores m´

aximos y m´ınimos de una funci´

on

Diremos que la funci´on f: D R R, alcanza un m´aximo absoluto en el punto c D, si para todo x∈Dtenemos quef(x)≤f(c).Por otro lado diremos que alcanza un m´ınimo absoluto en el puntoc∈D si f(x)≥f(c) para todo x∈D.

Ejemplo 1 Al graficar la funci´onf(x) =x2 en el intervalo [1,1], podemos ver que esta alcanza su valor

m´aximo en los puntosx= 1y x=1, mientras que su valor m´ınimo lo hace en el puntox= 0. Por otro

lado su valor m´aximo es f(1) =f(1) = 1y su valor m´ınimo esf(0) = 0.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 -3 -2 -1 0 1 2 3 1 1 1 y=f(x)

Dada una funci´onf:D RR, diremos que tiene un valor m´aximo local en un puntoc∈D si existe un intervalo abiertoVc tal quef(x)≤f(c) para todo x∈Vc. De la misma forma decimos que tiene un valor

m´ınimo local es un puntoc∈D si existe un intervalo abiertoWc tal quef(x)≥f(c) para todox∈Wc. Ejemplo 2 Consideremos la funci´onf: [1,]R definida comof(x) =x2. Si graficamos esta funci´on

podemos ver que en el punto x =1 tiene un valor m´aximo local y en el punto x= 0 tiene un m´ınimo

global. Por otro lado, x=1 es un m´aximo local ya que en el intervalo [1,1) el mayor valor que alcanza

(2)

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 -3 -2 -1 0 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3

Ejemplo 3 Consideremos la funci´onf(x) =x(x+ 1)(x1), de la gr´afica de la funci´on podemos ver que

esta posee un valor m´ınimo relativo y un valor m´aximo relativo, sin embargo, si s´olo miramos la gr´afica no

podemos decir en que puntos se alcanzan estos extremos ni cual es el valor m´aximo o m´ınimo relativo.

1 2 1 2 3 1 2 1 2 3

Dada una funci´onf:D⊂RR, diremos que un puntoc∈Des unpunto cr´ıtico de f sif′(c) = 0 ´o f′(c) no existe.

Ejemplo 4 Hallar los puntos cr´ıticos de la funci´onf(x) =x4+ 8x32x224x+ 1.

Ya sabemos que los valores cr´ıticos son aquellos donde la derivada de la funci´on se anula o no est´a definida, entonces lo primero que haremos es derivar la funci´on.

f′(x) = 4x3+ 24x24x24.

Al ser la derivada un polinomio tenemos que est´a definida en para todox∈R, luego los puntos cr´ıticos son solo aquellos donde la derivada se anula, esto es, debemos hallar los valores dexde forma quef′(x) = 0.

(3)

4x3+ 24x24x24 = 0 (x21)(x+ 6) = 0 As´ı los puntos cr´ıticos de la funci´on son 6,1 y 1.

Ejemplo 5 Hallar los puntos cr´ıticos de la funci´onf(x) = (x1)23 + 1. Comenzamos derivando la funci´on.

f′(x) = 2 3(x1)13

.

Vemos quef(x)̸= 0 para cualquier valor dexyf′(1) no existe. As´ı la funci´on posee un ´unico punto cr´ıtico, este es 1.

El siguiente resultado caracteriza a los valores m´aximos y m´ınimos relativos. Sif: [a, b]Res una funci´on continua que tiene un valor m´aximo local o m´ınimo local en un punto c (a, b), entonces c es un punto cr´ıtico de f, es decir,f′(c) = 0 of′(c) no existe.

Ejemplo 6 En el Ejemplo 4 vimos que la funci´onf(x) =x4+ 8x32x224x+ 1tiene los puntos cr´ıticos

6, 1 y 1, luego si la funci´on posee un valor m´aximo o m´ınimo relativo estos se deben alcanzar en los

valores cr´ıticos.

Ejemplo 7 En el Ejemplo 3 consideramos la funci´onf(x) =x(x+ 1)(x1) y mediante su gr´afica vimos

que esta posee un valor m´aximo relativo y un valor m´ınimo relativo. Calcular los puntos donde se alcanzan

estos valores.

Ya vimos que mediante la gr´afica no es siempre posible encontrar los extremos relativos ni los puntos donde estos se alcanzan. Encontremos los puntos cr´ıticos de la funci´on.

f′(x) = x(x−1) + (x1)(x+ 1) + (x+ 1)(x) = x2−x+x31 +x2+x

= 3x21. Los puntos cr´ıticos son taltes quef′(x) = 0, luego

3x21 = 0 x2 = 1 3 x = ±√1

3.

Luego la funci´on posee dos puntos cr´ıtico y, seg´un lo visto en la gr´afica, posee dos valores extremos, as´ı f(−√1

3) es un valor m´aximo relativo yf( 1

(4)

Funciones crecientes y decrecientes

Diremos que una funci´on f es creciente en D Rsi para todox1 y x2 enD, tales que x1 < x2, entonces

f(x1)< f(x2). De forma an´aloga, diremos que f es decreciente en D Rsi para todox1, x2 enD, tales

quex1< x2, entonces f(x1)> f(x2).

Ejemplo 8 Verifique si la funci´onf(x) =xes creciente, decreciente o ninguna de las anteriores:

En el caso de la funci´onf(x) =xtenemos que, si consideramosx1yx2 enRtales quex1< x2, entonces

f(x1) =x1< x2=f(x2).

As´ı vemos que la funci´on es creciente.

Ejemplo 9 Verifique si la funci´onf(x) =x2 es creciente, decreciente o ninguna de las anteriores:

Si consideramos los puntos 1 y 1

2, tenemos que 1 < 1 2, sin embargo f(1) = 1> 1 4 = f( 1 2), luego la

funci´on no es creciente. Por otro lado six1= 21 yx2= 1 tenemos que21 <1 yf(21) = 14<1 =f(1) as´ı

la funci´on no decreciente. Luego la funci´onf(x) =x2no es creciente ni decreciente en todo su dominio.

El siguiente resultado no permitir´a indentificar de forma f´acil cuando y donde una funci´on es creciente o decreciente. Sif es una funci´on continua en el intervalo [a, b] y derivable en el intervalo (a, b), entonces:

i) Sif′(x)>0, para todox∈(a, b), entoncesf es creciente en (a, b). ii) Sif′(x)<0, para todox∈(a, b), entoncesf es creciente en (a, b).

Ejemplo 10 En el Ejemplo 9 vimos que la funci´on f(x) = x2 no era creciente ni decreciente si la

con-sider´abamos en todo su dominio. Tratemos de utilizar el criterio anterior para ver en donde ella es creciente

o decreciente. Primero derivamos la funci´on, f′(x) = 2x y tenemos que ver para que valores de x esta

derivada es positiva o negativa, en este caso, si x > 0, entonces f′(x)>0 y si x <0, entonces f′(x)<0. As´ı la funci´on f(x)es creciente si x >0, esto es, x∈(0,+) y la funci´on es decreciente six <0, esto es,

x∈(−∞,0).

Ejemplo 11 Hallar los intervalos donde la funci´onf(x) =x55x320x2 es creciente y decreciente.

Para encontrar los intervalos donde la funci´on es creciente o decreciente comenzamos encontrando los puntos cr´ıticos de la funci´on. f′(x) = 5x415x220 = (x24)(x2+ 1) = (x2)(x+ 2)(x2+ 1). As´ı los puntos

cr´ıticos seran 2 y2. Estos nos dividen la recta real en tres intervalos, estos son (−∞,−2), (2,2) y (2,). Sobre cada uno de estos intervalos analizamos el signo de la derivada de la funci´on.

Si x∈(−∞,−2) . Entonces (x2)<0, (x+ 2)<0 y (x2+ 1)>0, luego la funci´on

f(x) = (x2)(x+ 2)(x2+ 1)>0. Conclu´ımos que la funci´on es creciente en el intervalo (−∞,2).

Si x∈(2,2) . Entonces (x2)<0, (x+ 2)>0 y (x2+ 1)>0, luego la funci´on

(5)

Si x∈(2,) . Entonces (x2)>0, (x+ 2)>0 y (x2+ 1)>0, luego la funci´on

f(x) = (x2)(x+ 2)(x2+ 1)>0. Conclu´ımos que la funci´on es creciente en el intervalo (2,).

Criterio de la primera derivada para extremos relativos

Sea f una funci´on continua en [a, b] y seac (a, b) un punto cr´ıtico de la funci´on. Si f′(x) est´a definida para todos los puntos de (a, b), excepto, posiblemente enc, entonces:

Sif′(x)>0 para todox∈(a, c) yf′(x)<0 para todox∈(c, b), entoncesf(c) es un valor m´aximo relativo def.

Sif′(x)<0 para todox∈(a, c) yf′(x)>0 para todox∈(c, b), entoncesf(c) es un valor m´ınimo relativo def.

Si f′(x) no cambia de signo, cuandoxpasa porc, entoncesf(c) no es un valor m´aximo ni m´ınimo relativo def.

Ejemplo 12 Hallar los valores m´aximos y m´ınimos relativos de la funci´on f(x) =x55x320x2.

Ya calculamos los valores cr´ıticos de la funci´on que era2 y 2 y sabemos que si la funci´on posee extremos relativos entonces estos son puntos cr´ıticos. Por otro lado en el Ejemplo 11 ya vimos que six∈(−∞,−2), entoncesf′(x)>0 y six∈(2,2) entoncesf′(x)<0. Luego por nuestro criterio tenemos quef(2) = 46 es un ma´ximo relativo.

Ahora si x (2,2), entonces f′(x) < 0 y si x (2,) entonces f′(x) > 0. Luego, por el criterio, f(2) =50 es un valor m´ınimo relativo.

Criterio de la segunda derivada para extremos relativos

Ya sabemmos que si una funci´on f tiene valores m´aximos y m´ınimos relativos, entonces los puntos donde se alcanzan estos valores son puntos cr´ıticos de la funci´on. Ahora veremos un criterio para localizar estos m´aximos y m´ınimos relativos ocupando la segunda derivada de la funci´on.

Sunpogamos quef′′existe en alg´un intervalo que contiene ac y quef′(c) = 0, entonces: i) Sif′′(c)>0, entoncesf(c) es un valor m´ınimo relativo.

ii) Sif′′(c)<0, entoncesf(c) es un valor m´aximo relativo.

Ejemplo 13 Hallar los valores m´aximos y m´ınimos relativos de la funci´onf(x) =x55x320x2usando el criterio de la segunda derivada.

En el Ejemplo 12, con ayuda del Ejemplo 11, encontramos los extremos relativos de la funci´on, sin embargo, con el criterio de la segunda derivada los c´alculos son mucho mas directos. Ya sabemos que los puntos cr´ıticos de la funci´on son 2 y 2. Por otro lado f′′(x) = 20x330x. Ahora que tenemos los puntos cr´ıticos y la

segunda derivada de la funci´on s´olo tenemos que evaluar.

(6)

As´ıf′′(2)<0, luegof tiene un valor m´aximo relativo enx=2. Por otro lado f′′(2) = 20(23)30(2) = 16060 = 100. As´ıf′′(2)>0, luegof tiene un valor m´ınimo relativo enx= 2.

Concavidad y puntos de inflexi´

on

Diremos que la gr´afica de una funci´ony=f(x) es :

c´oncava hacia arriba en un intervalo abiertoI sif′ es creciente enI;

c´oncava hacia abajo (convexa) en un intervalo abiertoI sif′ es decreciente en I.

Un punto en donde la gr´afica de la funci´on cambia su concavidad se dir´a punto de inflexi´on. Sices un punto de inflexi´on, entonces f′′(c) no existe o bien f′′(c) = 0.

El siguiente criterio nos permite describir la concavidad de una funci´on a partir de su segunda derivada. Si f(x) es dos veces derivable en el intervalo (a, b), entonces:

a) Sif′′(x)>0 para todox∈(a, b), entonces la gr´afica def es concava hacia arriba en (a, b). b) Sif′′(x)<0 para todox∈(a, b), entonces la gr´afica def es concava hacia abajo en (a, b).

Ejemplo 14 Determinar los intervalos en donde la funci´onf(x) = 3x410x312x2+ 10x+ 9es c´oncava

hacia abajo y c´oncava hacia arriba.

Comenzamos calculando los puntos de inflexi´on ya que en esos puntos es donde cambia la concavidad de la gr´afica de la funci´on. Para esto hallamos la segunda derivada de la funci´on.

f′(x) = 12x330x224x+ 10 f′′(x) = 36x260x24.

Como la segunda derivada de la funci´on existe en todo punto, ya que es un polinomio, la igualamos a cero, f′′(x) = 0

36x260x24 = 0 3x25x2 = 0.

La ´ultima es una ecuaci´on cuadr´atica, calculando sus raices obtenemosx=1

3 yx= 2.

Ahora analizamos el signo de la segunda derivada en los intervalos generados por los puntos de inflexi´on, estos son (−∞,−1

3), ( 1

3,2) y (2,).

Si x∈(−∞,−13) entoncesf′′(x)>0, luegof es c´oncava hacia arriba en (−∞,−13).

(7)

Si x∈(2,) entoncesf′′(x)>0, luegof es c´oncava hacia abajo en (2,).

Con la informaci´on que nos entrega la primera y segunda derivada de una funci´on, podemos construir la gr´afica de una funci´on. Para eso podemos seguir los siguientes paso:

Paso 1: Hallar el dominio de la funci´on.

Paso 2: Determinar su primera y segunda derivada.

Paso 3: Hallar los puntos cr´ıticos de la funci´on, si los tiene, y ver si estos son m´aximos, m´ınimos o ninguno de ellos.

Paso 4: Determinar donde es creciente y donde es decreciente la funci´on.

Paso 5: Hallar los puntos de inflexi´on, si es que los hay, y determinar donde la funci´on es c´oncava hacia arriba o c´oncava hacia abajo.

Paso 6: Identificar las as´ıntotas, si es que tiene.

Paso 7: Graficar intersecciones con los ejes y los puntos encontrados en los pasos anteriores, luego bosquejar la gr´afica.

Ejemplo 15 Construir la gr´afica de la funci´onf(x) =x33x2.

Para contruir la gr´afica de la funci´on seguiremos los pasos enumerados anteriormente.

Paso 1Como la funci´on es un polinomio, est´a definida para todox∈R, luego su dominio esR.

Paso 2Calculamos la primera y segunda derivada de la funci´on.

f′(x) = 3x26x. f′′(x) = 6x6.

Paso 3Hallamos los puntos cr´ıticos de la funci´on,

f′(x) = 0 3x26x = 0 3x(x2) = 0.

De la ´ultima ecuaci´on tenemos que los puntos cr´ıticos def(x) son x= 0 yx= 2. Utilizamos el criterio de la segunda derivada para ver si estos puntos corresponden a m´aximos, m´ınimos o ninguno de las anteriores. f′′(0) =6, luego, comof′′(0)<0, enx= 0 la funci´on alcanzan un m´aximo local.

f′′(2) = 12, luego, comof′′(2)>0, enx= 2 la funci´on alcanzan un m´ınimo local.

Paso 4Analizamos el signo def′(x) en los intervalos (−∞,0), (0,2) y (2,) para ver donde esta es creciente o decreciente.

(8)

Si x∈(−∞,0),entoncesf′(x)>0, luego la funci´on es creciente en el intervalo (−∞,0). Si x∈(0,2),entoncesf′(x)<0, luego la funci´on es decreciente en el intervalo (0,2). Si x∈(2,),entonces f′(x)>0, luego la funci´on es creciente en el intervalo (2,).

Paso 5Para calcular los puntos de inflexi´on igualamos la segunda derivada a cero.

f′′(x) = 0 6x6 = 0 x = 1.

As´ıf tiene un punto de inflexi´on en x = 1. Para ver donde la funci´on es c´oncava hacia arriba o abajo, analizamos el signo de la segunda derivada en los intervalos (−∞,1) y (1,).

Si x∈(−∞,1), entoncesf′′(x)<0, as´ı la funci´on es c´oncava hacia abajo en el intervalo (−∞,1). Si x∈(1,), entonces f′′(x)>0, as´ı la funci´on es c´oncava hacia arriba en el intervalo (1,).

Paso 6Como la funci´on es un polinomio no posee as´ıntotas.

Paso 7Calculamos las intersecciones de la funci´on con los ejes coordenados. Intersecci´on con el ejex:

f(x) = 0 x33x2 = 0 x2(x3) = 0.

De la ´ultima ecuaci´on vemos que la funci´on intersecta al ejexen los puntos 0 y 3. Intersecci´on con el ejey:

y = f(0) y = 0.

Luego la funci´on intersecta al ejey en el origen. Ahora graficamos los puntos que hemos encontrado durante el an´alisis. Los puntos cr´ıticos son 0 y 2, en 0 se alcanza un m´aximo relativo cuyo valor esf(0) = 0, en 2 se alcanza un m´ınimo relativo cuyo valor esf(2) = (2)33(2)2 =4. En x= 1 tenemos un puntos de

inflexi´on yf(1) =2. Por otro lado est´an las intersecciones con los ejes, las cuales son en los puntos (0,0) y (3,0).

(9)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 b b b b y x

Ahora unimos los puntos, sabiendo si la funci´on crece o decrece al acercarse al punto y la concavidad que trae esta al acercarce.

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 y x

Problemas de optimizaci´

on

Si tenemos un problema que puede ser modelado mediante una funci´on, podemos hallar la soluci´on optima a este problema utilizando las herramientas descrita en los puntos anteriores.

Ejemplo 16 Unos estudiantes quieren construir una caja abierta con base cuadrada cuya ´area sea de 48

metros cuadrados de forma que esta tenga el m´aximo volumen posible. ¿ Qu´e dimensiones debe tener esta

caja ?

Digamos que la longitud de la base cuadradaxy el alto de la caja es y, el ´area de caja ser´a la suma de las ´

areas de sus 4 caras laterales mas el ´area de la base cuadrada. Cada cara lateral tiene ´areaxy, mientras que la base tiene ´area x2. Luego

(10)

De esta ecuaci´on podemos despejary, quedandonos as´ı

y= 48−x

2

4x . Ahora el volumen de la caja sera

V =x2y.

Reempplazando el valor dey, obtenemos el volumen de la caja en funci´on dex, esto nos queda

V(x) =x2 ( 48x−x2 4x ) = 48x−x 3 4 .

Ahora que tenemos expresado el volumen de la caja como una funci´on, sabemos que en caso de haber un volumen m´aaximo, este se alcanzan en un punto cr´ıtico. Tenemos que

V′(x) =483x 2 4 Luego V′(x) = 0 483x2 4 = 0 483x2 = 0 16 = x2

As´ı los puntos cr´ıticos son 4 y4. Como las dimensiones de la caja no puede ser negativas, nos quedamos con el valor x= 4. Ocupamos el criterio de la segunda derivada para ver si este valor corresponde a un m´aximo o m´ınimo.

V′′(x) =3 2x

. LuegoV′′(4) =6, por lo tanto,V(x) alcanza un valor m´aximo local enx= 4, esto es, el volumen m´aximo es cuandox= 4. Cuandox= 4 tenemos quey= 2. Luego las dimensiones de la caja deben serx= 4,y= 2 para que el volumen de esta sea m´aximo.

Ejemplo 17 En una f´abrica se determin´o que el costo semanal de producirxart´ıculos est´a dado porC(x) = x33x280x+ 500. Si cada art´ıculo producido se vende en 280, ¿ Qu´e producci´on semanal rendir´a la

m´axima utilidad ?

Si C(x) es el costo semanal de producir xart´ıculos, el total se vender´a por 280x. Luego la utilidad sera U(x) = 280x−C(x) = 280x−x3+ 3x2+ 80x500. Los valores m´aximos y m´ınimos de esta funci´on ser´an alcanzados en los puntos cr´ıticos.

U′(x) = 0 2803x2+ 6x+ 80 = 0 x22x120 = 0 (x12)(x+ 10) = 0

(11)

De la ´ultima ecuaci´ın vemos que los puntos cr´ıticos sonx= 12 yx=10. Como la producci´on no puede ser negativa, descartamos el punto cr´ıticox= 10. Utilizamos el criterio de la segunda derivada para ver si x= 10 es un valor m´aximo o m´ınimo. Tenemos queU′′(x) =6x+ 6, LuegoU′′(12) =6(12) + 6 =66. Como U′′(x)<0, entoncesx= 12, es un m´aximo local. Por lo tanto, para que la utilidad sea m´axima, la producci´on semanal debe ser de 12 art´ıculos.

Ejercicios propuestos

I Construir la gr´afica de las siguientes funciones determinando puntos cr´ıticos, puntos de discontinuidad, extremos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos de inflexi´on y concavidad.

1. f(x) =6x 2x4 9 . 2. f(x) =(x 25)3 125 . 3. f(x) = (x+ 1) ln2(x+ 1) 4. f(x) = 3 x x21. 5. f(x) = x 3 √ (x2)2. 6. f(x) = ( x 4−x ) ex. 7. f(x) = (x+ 1)2(x1)2. 8. f(x) = x 24x x2+ 8x+ 16. 9. f(x) =x3e42x2. 10. f(x) = cos ( x− |x| 2 ) +x+|x| 2 . 11. f(x) = x x2+ 7. 12. f(x) =x+ln (x) x . 13. f(x) =x−arctan(x). 14. f(x) =x24|x|+ 3. 15. f(x) =x+ sin (x). 16. f(x) = 1 sin (x) + cos (x). 17. f(x) = x ln (x).

(12)

18. f(x) =x 24 x29. 19. f(x) = arctan (ln (x)). 20. f(x) = ln (e+x1). 21. f(x) =ln (x) x . 22. f(x) =e−xcosx.

IIResuelva los siguientes problemas:

1. Hallar los valores deaybde forma que la gr´afica de la funci´onf(x) = 2x3+ax2+btenga un extremo relativo en el punto (1,2).

2. Hallar los valores de a, b y c de forma que la gr´afica de la funci´on f(x) = ax3+bx2+cx tenga un

punto de inflexi´on en el punto (1,2) y la pendiente de la recta tangente a la gr´afica en (1,2) sea 2. 3. Hallar los valores de a,b,c ydde forma que la gr´afica de la funci´onf(x) =ax3+bx2+cx+dtenga

extremos relativos en los puntos (1,2) y (2,3).

4. Hallar los valores de a,b,c ydde forma que la gr´afica de la funci´onf(x) =ax3+bx2+cx+dtenga

un extremos relativos en el punto (0,3) y un punto de inflexi´on en (1,1).

5. Hallar los valores de a,b,c ydde forma que la gr´afica de la funci´onf(x) =ax3+bx2+cx+dtenga

un punto de inflexi´on en (12,4912), y sea tangente a la rectay= 32xen el punto (0,3).

6. Hallar los valores de a,byc de forma que la gr´afica de la funci´onf(x) =ax2+bx+c tenga un valor m´aximo relativo en 1,este valor sea 7 y la gr´afica pase por el punto (2,2).

7. Hallar los valores de a, b, c ydde forma que la gr´afica de la funci´onf(x) =ax3+bx2+cx+dsea

tangente al eje xen (2,0) y tenga un punto de inflexi´on en (0,4).

8. Hallar los valores de a,b,c ydde forma que la gr´afica de la funci´onf(x) =ax3+bx2+cx+dtenga

un punto de inflexi´on en (1,6), y un m´aximo en (1,10).

9. Determinar el valor deade forma que la funci´onf(x) =x2+xa tenga un punto de inflexi´on enx= 1.

IIIResuelva los siguiente problemas sobre m´aximos y m´ınimos:

1. Encontrar la altura del cono recto de mayor volumen que puede inscribirse en una esfera de radioR. 2. Se desea construir una caja sin tapa utilizando una hoja cuadrada de lado l. Para esto se cortan

cuadrados iguales de sus esquinas y los lados restantes se doblan de forma conveniente. Determinar el tama˜no de los cuadradados que deben ser cortados de modo que el volumen de la caja sea el mayor posible.

3. Hallar los puntos de la hiperbolax2y2= 1 mas pr´oximos al punto (0,1).

4. Se desea construir un contenedor cil´ındrico de volumen V. Hallar las dimensiones del contenedor de forma que la cantidad de material utilizado para construirlo sea m´ınima.

(13)

5. En un cono circular recto de radiorse inscribe un cilindro circular recto. Hallar el radioRdel cilindro de forma que:

i.- Su volumen sea m´aximo. ii.- Su volumen sea m´ınimo.

6. Una ventana tiene forma rectangular con su parte superior en media circunferencia. Cuales deben ser sus dimensiones para que entre el m´aximo de luz para un per´ımetro fijo.

7. Hallar el ´area del mayor tri´angulo is´osceles de per´ımetro 18 cm.

8. Un alambra de longitud Les cortado dejando dos partes, con una parte de forma un cuadrado y con la otra una circunferencia. ¿De que forma debe ser cortado el alambre para que la suma de las ´areas sea m´axima?

9. Determinar la distancia m´ınima de la curva y=x4 al origen.

10. Hallar el ´area del mayor rect´angulo que se puede construri con dos de sus vertices en el eje x y los otros dos sobre la curva y= 112−x2.

11. Un alambra de longitudLes cortado dejando dos partes, con una de estas partes se forma un cuadrado y con la otra un tri´angulo equil´atero. Hallar de que forma debe ser cortado el alambre para que:

i.- La suma de las ´areas sea m´axima; ii.- La suma de las ´areas sea m´ınima.

12. Demuestre que el tri´angulo is´osceles de ´area m´axima que puede inscribirse en una circunferencia es un tri´angulo equil´atero.

13. Suponga que el costo en dolares, de fabricarqunidades de un determinado art´ıculo esC(q) = 3q2+q+48.

¿ En que nivel de producci´on el costo medio por unidad es igual al costo marginal ?

14. La funci´on de utilidad de una empresa manufacturera est´a dada por la funci´on U(x) = 1000 + 0,003x20,000001x3. ¿ Cu´antos art´ıculosxse deben vender con el objeto de maximizar las utilidades?

15. Determine el ingreso marginal enx= 2 para la funci´on de ingresoI(x) = 100 ln (16−x2).

16. La funci´on de costo de producci´on de cierto art´ıculo est´a dada porC(x) = 20+30x13+40x 1

2.Determinar la utilidad m´axima o m´ınima y el valor al cual asciende.

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Related subjects :