TRIGONOMETRÍA. Los griegos y los hindúes la consideraron como una básica herramienta de la Astronomía.

(1)

TRIGONOMETRÍA

La

trigonometría

es una rama de la matemática,

cuyo significado etimológico, proveniente del

griego, es

“medida del triángulo".

Estudia las relaciones entre los ángulos y los lados

de los triángulos. Para esto se vale de las razones

trigonométricas

Los griegos y los hindúes la consideraron como una básica herramienta de la Astronomía.

(2)

Las funciones trigonométricas intervienen en el

estudio de todo fenómeno periódico, es decir de

fenómenos que se repiten regularmente.

Por ejemplo: la respiración, el movimiento de los

planetas, el sonido, el movimiento de un péndulo,

el de un resorte del que se ha suspendido un peso,

la corriente alterna, movimiento de una rueda y

los latidos del corazón, etc.

(3)

Ángulos orientados o en posición normal

en un sistema cartesiano:

Su vértice coincide con el

origen de coordenadas

y su lado inicial coincide con el eje positivo de las x La semirrecta parte desde una posición inicial y gira manteniendo fijo su origen hasta llegar a una posición que marca su lado terminal Se puede realizar más de un giro completo.

Taller Vertical N° 1 de Matemática-Díaz-Fileni-Toscano. FAU- UNLP o

(4)

Se considera al plano cartesiano dividido en

cuatro sectores, llamados cuadrantes.

Taller Vertical N° 1 de Matemática-Díaz-Fileni-Toscano. FAU- UNLP SENTIDO NEGATIVO (horario)

SENTIDO POSITIVO (antihorario)

(5)

Sistema Circular

o Radial

:

La unidad es el

radián

. En una circunferencia

completa hay 2π radianes. Un ángulo central de

1 radián es el que determina un arco que tiene una

longitud igual al radio. s = r entonces s/r = 1

SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS

(6)

Sistema Sexagesimal:

La unidad angular es el grado sexagesimal que es la noventa-ava parte del ángulo recto

1 ángulo recto = 90° (grados sexagesimales)

1 grado sexagesimal = 60′ (minutos sexagesimales)

1 minuto sexagesimal = 60″ (segundos sexagesimales)

(7)

Ángulo

Sistema

sexagesimal

Sistema

circular

1 giro

360º

2 

llano

180º



recto

90º



/2

Para relacionar un sistema de medición con otro,

observamos la siguiente tabla:

(8)

r y OP P sen ordenada de 0 hipotenusa opuesto cateto     0 0 adyacente cateto opuesto cateto x y tg    Con x₀ 0

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

r

x

OP

P

de

abscisa

cos

0

hipotenusa

adyacente

cateto





(9)

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

RECÍPROCAS DE LAS ANTERIORES

Definimos las razones trigonométricas recíprocas de las anteriores, llamadas cosecante, secante y cotangente:

(10)

Las fórmulas anteriores son válidas cuando

no se anulen los denominadores.

Estas razones dependen sólo del ángulo 

y no de las medidas de los lados del triángulo construído.

(11)

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

CENTRO:

En el origen

de coordenadas

RADIO:

Unitario

(12)

Signos de las razones trigonométricas

Pueden ser positivas o negativas, dependiendo

del cuadrante en que se halle la razón trigonométrica

(13)

(14)

Ejemplos:

1° ¿Qué signo tendrá la

tang 280

°

?

Si 280°  IV Cuadrante  Seno es negativo y

el Coseno es positivo 

Tang 280

°

ES NEGATIVA

a

2° Si sec  es negativa y la cotang  es positiva, ¿a qué cuadrante pertenece  ?

sec  es negativa  II ó III c.

cotang  es positiva  III y IV c.

III cuadrante

(15)

3° Si

9/2



<



< 5



¿qué se puede asegurar respecto del signo de

sen  , cos  y tg ?

Si 9/2  <  < 5  90° <  < 180°

  

II c.

sen



es positivo, cos



es negativo y

tg



es negativo

(16)

PARA UN ÁNGULO CUALQUIERA, PUEDE APLICARSE EL

TEOREMA DE PITÁGORAS:

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA TRIGONOMETRÍA

Ó RELACIÓN PITAGÓRICA

Dividimos ambos miembros por (hipotenusa)2_:

(cat. op.)

2

_{+ (cat. ady.)}

2

_{= (hipotenusa)}

2

2 2 2 2 2 2

(hip.)

ady.)

(cat.

(hip.)

op.)

(cat.

_

_

(17)

1 (hip.)

ady.)

(cat.

(hip.)

op.)

(cat.

2 2 2 2





(

sen

)

2

_{+ (}

_cos

)

2

_{= 1}

sen

2



₊

_cos

2



_{= 1}

IDENTIDAD PITAGÓRICA

Permite calcular el valor de todas las funciones

trigonométricas, conocida una de ellas

(18)

sen

2



₊

_cos

2



_{= 1}



2

1 cos







sen



2 cos

1 





sen

(19)

Calcular las funciones trigonométricas de un ángulo α Si: sen  = -3/5 y    < 3/2 Si

sen

2



+ cos

2



= 1



Ejemplo:

Si   III C.  cos  = - 4/5 3 5 1 cos     sen ec 4 5 cos 1 sec   



5 4 25 16 5 3 1 | cos | 2           



2

1 cos







sen

3 4 1 cot  



tg ag ;;

4

3

5

4

5

3 cos

tan









sen

g

(20)

Función 0° 90° 180° 270° seno 0 1 0 -1 coseno 1 0 -1 0 tangente 0 No existe 0 No existe

ALGUNOS VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

(21)

Por el teorema de Pitágoras:

x

2

_{+ y}

2

_{= 1}

x = y por triángulo isósceles

VALORES PARA EL ÁNGULO DE 45

°

Ó



/4

Ángulo seno

coseno

tang

45 °

1

Taller Vertical N° 1 de Matemática-Díaz-Fileni-Toscano. FAU- UNLP 2 2 2 2

(22)

VALORES PARA EL ÁNGULO DE 30

°

y 60

°

ó



/6 y



/3

30 ° 60 ° M 1 1/2

POM es rectángulo

POP

´

es equilátero

PM = 1/2

sen 30

°

= 1/2

Por el teorema de Pitágoras:

PM

2

_{+ OM}

2

_{= OP}

2

(1/2)

2

_{+ x}

2

_{= 1}

2

3 x



3/4

x

1/4

-1

x

2

3

30 cos





(23)

seno

coseno

tangente

30 °

1/2

60 °

1/2

Taller Vertical N° 1 de Matemática-Díaz-Fileni-Toscano. FAU- UNLP

3

2

3

2

3

2

3

(24)

(25)

RESOLUCIÓN DE

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Resolver un triángulo consiste en hallar:

sus

lados, ángulos y área

Necesitamos contar con

dos

datos, por ej. dos lados del triángulo, o bien un lado y un ángulo distinto del recto

Si Relacionamos lados con ángulos, recurriremos a las:

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

SENO- COSENO- TANGENTE

Para hallar uno de los lados conociendo los otros dos, aplicamos el

TEOREMA DE PITÁGORAS

Recordar:



+



= 90

°

(26)

RESOLUCIÓN DE

TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

Necesitamos contar con tres datos, uno de los

cuales debe ser un lado

Se utilizan:



TEOREMA DEL SENO



TEOREMA DEL COSENO



LA SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DEL

TRIÁNGULO ES IGUAL A 180

°

(27)

“EN TODO TRIÁNGULO

CADA LADO ES

PROPORCIONAL AL

SENO DEL ÁNGULO

OPUESTO”



TEOREMA DEL SENO

(28)



TEOREMA DEL COSENO

“EL CUADRADO DE UN LADO DE UN TRIÁNGULO

ES IGUAL A LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE

LOS OTROS DOS LADOS, MENOS EL DOBLE

PRODUCTO DE DICHOS LADOS POR EL COSENO

DEL ÁNGULO COMPRENDIDO”

(29)



TEOREMA DEL COSENO

(30)

DATOS CONOCIDOS

INCÓGNITAS

Los tres lados Los tres ángulos Un lado y los ángulos adyacentes Dos lados y un ángulo Dos lados y el ángulo comprendido Un lado y dos ángulos Dos lados y el ángulo opuesto a uno