matematica ii clase 7

(1)

funciones de m ´ultiples variables, c ´alculo

diferencial y c ´alculo integral

C ´atedra de Matem ´atica II

(2)

Clase 7

1 Independencia, bases y dimensi ´on

(3)

´Indice

1 _{Independencia, bases y dimensi ´on}

(4)

Independencia de vectores

Definici ´on de secuencia de vectores linealmente independiente

Definici ´on

Se dice que la secuencia de vectoresv1, . . . ,v2eslinealmente independientecuando la ´unica combinaci ´on que da el vector cero es 0v1+0v2+· · ·+0vn. Osea que

x1v1+x2v2+· · ·+xnvn=0

(5)

Independencia de vectores

Interpretaci ´on geom ´etrica enR3

v₁

v₂

v₃

No est ´an en un plano: son independientes.

w₂ w₃

w₁

Est ´an en un plano: son dependientes

(6)

Independencia de vectores

Algunos ejemplos enR2

Los vectores(1;0)y(0;1)son independientes.

Los vectores(1;0)y(1;0,00001)son independientes.

Los vectores(1;1)y(−1;−1)sondependientes.

Los vectores(1;1)y(0;0)sondependientes, por culpa del

vector(0;0).

EnR2, cualesquiera tres vectores(a;b),(c;d)y(e;f)son

(7)

Independencia de vectores

Los vectores(1;0)y(1;0,00001)son independientes.

Los vectores(1;1)y(−1;−1)sondependientes.

vector(0;0).

(8)

Independencia de vectores

Los vectores(1;0)y(1;0,00001)son independientes. Los vectores(1;1)y(−1;−1)sondependientes.

vector(0;0).

(9)

Independencia de vectores

Los vectores(1;1)y(0;0)sondependientes, por culpa del vector(0;0).

(10)

Independencia de vectores

Los vectores(1;1)y(0;0)sondependientes, por culpa del vector(0;0).

(11)

Independencia de vectores

Independencia y matrices

Ejemplo

Las columnas de la matrizAson dependientes, ya queAx=0 tiene una soluci ´onx no nula

Ax=  

1 0 3 2 1 5 1 0 3     −3 1 1  =−3

  1 2 1  +1

  0 1 0  +1

  3 5 3  =   0 0 0  

Aplicando el m ´etodo de eliminaci ´on de Gauss-Jordan

podemos convertir la matrizAen la matrizR

A=





1 0 3 2 1 5 1 0 3



 ; R= 



1 0 3

0 1 −1

0 0 0





(12)

Independencia de vectores

Ejemplo

Ax=  

1 0 3 2 1 5 1 0 3     −3 1 1  =−3

  1 2 1  +1

  0 1 0  +1

  3 5 3  =   0 0 0  

Aplicando el m ´etodo de eliminaci ´on de Gauss-Jordan podemos convertir la matrizAen la matrizR

A=  

1 0 3 2 1 5 1 0 3 

 ; R=  

1 0 3

0 1 −1

0 0 0

 

(13)

Independencia de vectores

Ejemplo

Ax=  

1 0 3 2 1 5 1 0 3     −3 1 1  =−3

  1 2 1  +1

  0 1 0  +1

  3 5 3  =   0 0 0  

Aplicando el m ´etodo de eliminaci ´on de Gauss-Jordan podemos convertir la matrizAen la matrizR

A=  

1 0 3 2 1 5 1 0 3 

 ; R=  

1 0 3

0 1 −1

0 0 0

 

(14)

Independencia de vectores

Matriz escal ´onRy rangor de una matriz

Definici ´on

Dada una matrizA, la matrizRque se obtiene al aplicar el m ´etodo de Gauss-Jordan se denominaforma escal ´on reducida por filassi:

1 _{todos los pivotes valen 1;}

2 _{arriba y abajo de los pivotes hay 0s.}

La cantidadr de pivotes que tieneRse denominarango

de la matrizA.

A=  

1 0 3 2 1 5 1 0 3 

 ; R=  

1 0 3

0 1 −1

0 0 0

 

(15)

Independencia de vectores

Definici ´on

La cantidadr de pivotes que tieneRse denominarango de la matrizA.

A=  

1 0 3 2 1 5 1 0 3 

 ; R=  

1 0 3

0 1 −1

0 0 0

 

(16)

Independencia de vectores

Definici ´on

La cantidadr de pivotes que tieneRse denominarango de la matrizA.

A=  

1 0 3 2 1 5 1 0 3 

 ; R=  

1 0 3

0 1 −1

0 0 0

 

(17)

Independencia de vectores

Matriz de rango completo

Las columnas deAson independientes precisamente cuando el rangor es igual al n ´umero de columnasn

r =n =⇒ los vectores columna son independientes r <n =⇒ los vectores columna son dependientes

Definici ´on

(18)

Independencia de vectores

Como descubrir si una secuencia de vectores es independiente o dependiente

Ejemplo

¿Son independientes los vectores columna que forman la matrizA?

A=  

2 4 −2

4 9 −3

−2 −3 7

 

Aplicando Gauss-Jordan obtenemos

A=





2 4 −2

4 9 −3

−2 −3 7



 ; R= 



1 0 0 0 1 0 0 0 1





Rtiene 3 pivotes. Entonces el rango deAesr =3.

EntoncesAes de rango completo, por lo que sus

(19)

Independencia de vectores

Ejemplo

A=  

2 4 −2

4 9 −3

−2 −3 7

 

A=  

2 4 −2

4 9 −3

−2 −3 7



 ; R=  

1 0 0 0 1 0 0 0 1  

(20)

Independencia de vectores

Ejemplo

A=  

2 4 −2

4 9 −3

−2 −3 7

 

A=  

2 4 −2

4 9 −3

−2 −3 7



 ; R=  

1 0 0 0 1 0 0 0 1  

(21)

Independencia de vectores

Ejemplo

A=  

2 4 −2

4 9 −3

−2 −3 7

 

A=  

2 4 −2

4 9 −3

−2 −3 7



 ; R=  

1 0 0 0 1 0 0 0 1  

(22)

Independencia de vectores

Espacio vectorial generado por un conjunto de vectores

Definici ´on

Un conjunto de vectoresgeneraun espacio vectorial si sus combinaciones lineales llenan dicho espacio.

Por ejemplo

v1=

1 0

yv2=

0 1

generan el espacio bidimensionalR2

completo.

v1=

1 0

yv2=

0 1

yv3=

4 7

tambi ´en generanR2

completo.

w1=

1 1

yw2=

−1

solo generan una linea recta en

(23)

Independencia de vectores

Definici ´on

Por ejemplo

v1=

1 0

yv2=

0 1

generan el espacio bidimensionalR2 completo.

v1=

1 0

yv2=

0 1

yv3=

4 7

tambi ´en generanR2

completo.

w1=

1 1

yw2=

−1 −1

(24)

Independencia de vectores

Definici ´on

Por ejemplo

v1=

1 0

yv2=

0 1

v1=

1 0

yv2=

0 1

yv3=

4 7

tambi ´en generanR2 completo.

w1=

1 1

yw2=

−1 −1

(25)

Independencia de vectores

Definici ´on

Por ejemplo

v1=

1 0

yv2=

0 1

v1=

1 0

yv2=

0 1

yv3=

4 7

tambi ´en generanR2 completo.

w1=

1 1

yw2=

−1 −1

(26)

´Indice

1 _{Independencia, bases y dimensi ´on}

(27)

Bases y dimensi ´on

Una base para una espacio vectorial

Pensemos en el espacio vectorialR3

Dos vectores no pueden generarR3completo.

Cuatro vectores no pueden ser independientes, incluso si

generanR3completo.

Queremossuficientes vectores independientes para

generar el espacio, pero no m ´as. Unabasees justamente eso.

Definici ´on

Unabasepara un espacio vectorial es una secuencia de

vectores con dos propiedades

1 _{los vectores de la base son linealmente independientes;}

2 _{los vectores de la base generan el espacio vectorial}

(28)

Bases y dimensi ´on

Cuatro vectores no pueden ser independientes, incluso si generanR3completo.

Queremossuficientes vectores independientes para

generar el espacio, pero no m ´as. Unabasees justamente eso.

Definici ´on

(29)

Bases y dimensi ´on

Queremossuficientes vectores independientes para generar el espacio, pero no m ´as. Unabasees justamente eso.

Definici ´on

(30)

Bases y dimensi ´on

Queremossuficientes vectores independientes para generar el espacio, pero no m ´as. Unabasees justamente eso.

Definici ´on

Unabasepara un espacio vectorial es una secuencia de vectores con dos propiedades

1 _{los vectores de la base son linealmente independientes;} 2 _{los vectores de la base generan el espacio vectorial}

(31)

Bases y dimensi ´on

La base can ´onica de un espacio vectorial

Ejemplo

Las columnas deI=

1 0 0 1

produce labase can ´onicaparaR2.

Los vectores de la base soni=

1 0

yj=

0 1

son

independientes.

Y estos vectores generanR2completo.

Las columnas de la matriz identidad de 3×3 soni,j,k, y

estos son la base can ´onica de_R3_.

(32)

Bases y dimensi ´on

Ejemplo

Las columnas deI=

1 0 0 1

1 0

yj=

0 1

son independientes.

(33)

Bases y dimensi ´on

Ejemplo

Las columnas deI=

1 0 0 1

1 0

yj=

0 1

son independientes.

(34)

Bases y dimensi ´on

Ejemplo

Las columnas deI=

1 0 0 1

1 0

yj=

0 1

son independientes.

Las columnas de la matriz identidad de 3×3 soni,j,k, y estos son la base can ´onica de_R3_.

(35)

Bases y dimensi ´on

Ejemplo

Las columnas deI=

1 0 0 1

1 0

yj=

0 1

son independientes.

Las columnas de la matriz identidad de 3×3 soni,j,k, y estos son la base can ´onica de_R3_.

(36)

Bases y dimensi ´on

Los vectores columna de las matrices invertibles son una base

Ejemplo

Las columnas de cualquier matriz invertible den×nson una base paraRn.

matriz invertible

columnas independientes las columnas generanR3

A=  

1 0 0 1 1 0 1 1 1  

La ´unica soluci ´on deAx=0esx=A−10=0. Entonces

las columnas son independientes.

El espacioR3es generado por las columnas deA, ya que

cualquier vectorbpuede calcularse comoAx=b, donde

x=A−1b.

Existen infinitas matrices invertibles de 3×3, ¡entonces

(37)

Bases y dimensi ´on

Ejemplo

matriz invertible

A=  

1 0 0 1 1 0 1 1 1  

La ´unica soluci ´on deAx=0esx=A−10=0. Entonces las columnas son independientes.

El espacioR3es generado por las columnas deA, ya que

cualquier vectorbpuede calcularse comoAx=b, donde

x=A−1b.

(38)

Bases y dimensi ´on

Ejemplo

matriz invertible

A=  

1 0 0 1 1 0 1 1 1  

El espacioR3es generado por las columnas deA, ya que cualquier vectorbpuede calcularse comoAx=b, donde x=A−1b.

(39)

Bases y dimensi ´on

Ejemplo

matriz invertible

A=  

1 0 0 1 1 0 1 1 1  

El espacioR3es generado por las columnas deA, ya que cualquier vectorbpuede calcularse comoAx=b, donde x=A−1b.

(40)

Bases y dimensi ´on

Los vectores columna de las matrices escal ´on

Ejemplo

Encontrar una base para el espacio vectorial generado por todas las columnas de esta matriz de rangor =2

R=  

1 2 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0  

Las columnas 1 y 3 son las que tienen pivote. ¡Estas dos columnas son una base para el espacio vectorial generado por las cuatro columnas!

El espacio generado es un plano, es un subespacio deR3,

(41)

Bases y dimensi ´on

Ejemplo

R=  

1 2 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0  

(42)

Bases y dimensi ´on

Ejemplo

R=  

1 2 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0  

(43)

Bases y dimensi ´on

Ejemplo

R=  

1 2 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0  

(44)

Bases y dimensi ´on

Dimensi ´on de un espacio vectorial

Teorema

Siv1. . .vmyw1. . .wn son dos bases parael mismoespacio

vectorial, entonces m=n.

Definici ´on

(45)

Bases y dimensi ´on

Dimensi ´on de un espacio vectorial

Teorema

Siv1. . .vmyw1. . .wn son dos bases parael mismoespacio

vectorial, entonces m=n.

Definici ´on

(46)

Bases y dimensi ´on

El espacio vectorialMde las matrices de 2×2

Ejemplo

El espacio vectorialMde todas las matrices de 2×2 tiene dimensi ´on 4. Una base paraMes

{A₁,A2,A3,A4}= 1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 1

Esas cuatro matrices son independientes (¡no hablamos de sus columnas, sino de las matrices completas entre s´ı!)

Cualquier matrizAdeMes una combinaci ´on lineal de

estas cuatro matrices

c1A1+c2A2+c3A3+c4A4=

c1 c2 c3 c4

=A

Aes cero solo si todos loscs son cero, y esto prueba la

(47)

Bases y dimensi ´on

Ejemplo

{A₁,A2,A3,A4}= 1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 1

Esas cuatro matrices son independientes (¡no hablamos de sus columnas, sino de las matrices completas entre s´ı!)

Cualquier matrizAdeMes una combinaci ´on lineal de

estas cuatro matrices

c1 c2 c3 c4

=A

(48)

Bases y dimensi ´on

Ejemplo

{A₁,A2,A3,A4}= 1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 1

Esas cuatro matrices son independientes (¡no hablamos de sus columnas, sino de las matrices completas entre s´ı!) Cualquier matrizAdeMes una combinaci ´on lineal de estas cuatro matrices

c1 c2 c3 c4

=A

(49)

Bases y dimensi ´on

Ejemplo

{A₁,A2,A3,A4}= 1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 1

Esas cuatro matrices son independientes (¡no hablamos de sus columnas, sino de las matrices completas entre s´ı!) Cualquier matrizAdeMes una combinaci ´on lineal de estas cuatro matrices

c1 c2 c3 c4

(50)

Repaso de ideas clave

1 Las columnas deAsonindependientessix₌0es la ´unica soluci ´on deAx=0.

2 _{Los vectores}v₁_{. . .}v_r _generan_{un espacio vectorial si sus}

combinaciones lineales llenan ese espacio.

3 _{Una base consiste en vectores independientes que} generan un espacio. Cada vector del espacio es una combinaci ´on ´unica de los vectores de la base.

4 _{Todas las bases de un espacio tienen la misma cantidad}

de vectores. Esta cantidad se conoce comodimensi ´ondel

(51)

Repaso de ideas clave

1 Las columnas deAsonindependientessix₌0es la

´unica soluci ´on deAx=0.

2 _{Los vectores}v₁_{. . .}v_r _generan_{un espacio vectorial si sus} combinaciones lineales llenan ese espacio.

(52)

Repaso de ideas clave

(53)