AP-LE2017

Lógica - FCE

LOGICA DE ENUNCIADOS

1. El lenguaje formal de enunciados

Si se restringe el lenguaje de primer orden (o lenguaje de predicados) eliminando los cuantificadores y se toma como ultima unidad de análisis los enunciados (fórmulas cerradas) atómicos, se obtiene el lenguaje de enunciados (abreviado LE). En el lenguaje de enunciados los únicos signos lógicos son las conectivas. La lógica que descansa exclusivamente en las conectivas recibe el nombre de Lógica de enunciados.

Así, pueden distinguirse en LE las siguientes categorías de signos

1.1 Signos descriptivos: Serán los signos para enunciados: p, q, r, s, t (o con subíndices p1, p2, p3, etc., de modo de tener una cantidad potencialmente ilimitada de3 signos). Estos símbolos son llamados letras esquemáticas (o a veces variables de enunciados).

1.2. Signos lógicos. Serán las conectivas: conjunción,  ("y"), disyunción,  ("o"), condicional,  ("si ... entonces"), negación, ¬ ("no"). Estos signos vinculan

enunciados, o, más en general, sirven para obtener nuevos enunciados, más complejos, a partir de otros dados.

1.3 Observaciones.

(a) Los signos de enunciados p, q, r, etc. se usan para referirse a enunciados que no contienen conectivas (enunciados atómicos como se los llamará).

(b) La negación se aplica a una sola fórmula, de ahí que se la llame una conectiva unaria, o de aridad 1. Las demás conectivas son binarias, o de aridad 2.

1.4. Signos auxiliares. Para construir expresiones se emplearán además, una serie de signos que no tienen significado especificado, sino que son sólo auxiliares: paréntesis, corchetes, puntos y comas. Los paréntesis “(“ y “)” son, en rigor, también signos del LE.

15. Variables metalingüísticas. Las letras A, B, C, D y E se emplearan como variables metalingüísticas de fórmulas (eventualmente con subíndices).

1.6. Fórmulas de LE.

(a) los signos para enunciados: p, q, r, s, t (o con subíndices p1, p2, p3, etc.) son fórmulas de LE

(b) Si A y B son fórmulas de LE, entonces (AB), (AB), (A  B) y (¬A) son fórmulas de LE. (c) Sólo son fórmulas de LPO las construidas según las cláusulas (a) y (b).

1.7. Signos definidos de LE. Existen otros signos lógicos, que pueden definirse mediante los dados. Uno de ellos es el bicondicional:

(D) (A  B) =df ((A  B)(B  A)),

que se lee como “si y sólo si”. (El símbolo “=df” es una manera de abreviar la expresión metalingüística “es igual por definición”.) También se puede definir otro signo, w, que representa la disyunción exclusiva, generalmente expresada como “o bien, ..., o bien” y que se define como

(Dw) (A w B) =df ((A¬B)  (¬AB)).

1.8. Más observaciones.

1.8.1. Convención acerca del uso de paréntesis. A los efectos prácticos de simplificar la simbolización en LE, se aceptará la convención siguiente. Los signos ¬, , , ,  para las conectivas vinculan fórmulas de manera más fuerte en ese orden, de modo que pueden ahorrarse aplicaciones de paréntesis. Asimismo, pueden omitirse los paréntesis externos. Por ejemplo, en vez de escribir ((¬(A)B)  C), se escribirá ¬AB  C; en vez de (A  (B¬(C))) se escribirá A  B¬C, pero en ((A  B) & ¬(B  C)) únicamente se pueden eliminar los paréntesis exteriores, obteniéndose la fórmula (A  B)  ¬(B  C) . En lo que sigue se hará uso de esta convención, de modo de facilitar la escritura.

1.8.2. Concepto de subfórmula. Si ¬A, AB, A B, AB y AB son fórmulas de LPO, entonces A y B son subfórmulas de esas fórmulas.

1.8.3. Fórmulas atómicas y moleculares.

(a) Aquellas fórmulas que no contienen apariciones conectivas se llaman fórmulas atómicas.

(b) Se llama signo principal de una fórmula de LE a la conectiva que vincula sus subfórmulas inmediatas.

(c) Una fórmula es llamada molecular, si tiene al menos una conectiva.

1.8.4. El condicional. En el caso del condicional (a diferencia de las demás conectivas vistas) importa si una fórmula está a la derecha o a la izquierda del sígno , lo cual está en conexión con el significado que tiene esta conectiva. Así, en un condicional A  B, diremos que A es el antecedente y B el consecuente del condicional.

1.8.5. Lema de formación única. Toda fórmula de LE puede ser formada o construida de una única manera (de acuerdo con la definición de fórmula). Esto lleva a la siguiente afirmación:

LFU: Si una formula cualquiera A no es atómica, entonces existe un único signo lógico * tal que A es *Bi (i = 1 o 2).

1.8.6. Arboles de generación para fórmulas de LE

El lema de formación única se comprueba al descomponer una fórmula. Ello puede representarse gráficamente mediante árboles que indiquen la composición, y a su vez determinen si una expresión es fórmula o no.

Los árboles que se tratarán de ahora en adelante son un tipo particular de grafos: grafos conectados sin ciclos. Serán además árboles binarios, es decir, que sus

bifurcaciones generan a lo sumo dos ramas. En el caso de estos árboles de generación, se supone que los nodos, es decir, los puntos conectados del árbol son fórmulas del LE. Los siguientes son ejemplos de estructuras que adoptarán los árboles de generación (los astericos indican los lugares a ser ocupados por fórmulas del LE):

(a)

* │ * / \ * * │ / \ * * * (b)

* │ * (c)

* / \ * * / \ * *

│ *

Por ejemplo, a la expresión (p  (q  r)) le corresponde el siguiente árbol (no se hace uso de la convención respecto de paréntesis):

(p  (q  r)) / \ p (q  r)

/ \ q r

((s  (tr))  (p  )) / \ (s  (t  r)) (p  )

/ \ │ s (t  r) ?

/ \ t r

Esta expresión no es fórmula de LE puesto que (p ) no lo es, aunque s, t y r sí sean fórmulas.

Los árboles de generación muestran la manera en que una fórmula está construida de acuerdo con las cláusulas de la definición de fórmula. Por ejemplo, las fórmulas ((pq)  r) y (p  (q  r)) son fórmulas distintas pese a tener las mismas fórmulas atómicas y las mismas conectivas (y en igual cantidad). La diferencia (evidenciada ya por medio de los paréntesis) está en la composición de cada una: su estructura es diferente, y esa diferencia en la composición es lo que indican los árboles.

2. Semántica para LE

2.1. Condiciones de verdad para las conectivas

El significado de las conectivas puede darse mediante la indicación de las condiciones de verdad para los enunciados que las contengan como signo principal.

(&) Un enunciado de la forma AB es verdadero si y sólo si tanto A como B son verdaderos.

() Un enunciado de la forma A  B es verdadero si y sólo si A es verdadero o B es verdadero.

() Un enunciado de la forma AB es verdadero si y sólo si A es falso o B es verdadero.

() Un enunciado de la forma ¬A es verdadero si y sólo si A es falso.

() Un enunciado de la forma AB es verdadero si y sólo si A y B son verdaderos o A y B son falsos.

El concepto de verdad había servido para dar una primera caracterización de la validez de una forma de razonamiento: Una forma de razonamiento es válida si todo caso concreto, todo ejemplo de la misma con premisas verdaderas tiene conclusión verdadera, o, de manera equivalente, si no existe un caso concreto, un ejemplo, con premisas verdaderas y conclusión falsa. Otro tanto ocurría con las leyes lógicas y la consistencia de conjuntos de enunciados. Si además se toma en cuenta que, en

definitiva, la validez de un razonamiento depende de los signos lógicos que aparecen en él (lo que se evidencia en su estructura o forma), será importante caracterizar las

2.2. Valuaciones booleanas

Tanto la verdad como la falsedad de enunciados pueden considerarse como el valor que tiene una función aplicada a enunciados de LE. Esta función la llamaremos valuación. Esta función de valuación, a la que representaremos con V, asignará un único valor de verdad, verdadero o falso (representados como v y f respectivamente) a todo enunciado de LE. En esto se sigue el principio de bivalencia que se enunció

anteriormente.

En la lógica de enunciados el concepto de valuación se restringe a enunciados atómicos y moleculares. Las valuaciones así restringidas reciben el nombre de

valuaciones booleanas, por el lógico y matemático inglés George Boole (1815-1864) quien desarrolló la estructura algebraica subyacente a la lógica de enunciados (llamada justamente álgebra booleana). Las valuaciones booleanas dan a todo enunciado uno de los dos valores v o f, interpretables como verdad y falsedad, pero también se pueden interpretar abstractamente como objetos cualesquiera. El conjunto {v, f} determina un álgebra booleana. Es común emplear 0 y 1 en lugar de v y f para indicar este carácter abstracto.

Así las valuaciones booleanas para LE se definen como sigue:

1. V(A)  {v,f}, para todo enunciado A de LE, 2. V(AB) = v sii V(A) = V(B) = v;

3. V(AvB) = v sii V(A) = v o V(B) = v; 4. V(AB) = v sii V(A) = f o V(B) = v; 5. V(AB) = v sii V(A) = V(B);

6. V(¬A) = v sii V(A) = f.

2.2.1 Valuaciones booleanas y tablas de verdad

Estas valuaciones booleanas se presentan como matrices conocidas como “tablas de verdad” que tienen la siguiente forma: asignando valores de verdad a los enunciados componentes resultan determibados valores, v o f, para cada conectiva..

A B ¬A AB AB AB AB v v

f v v f f f

f v v v v v f v v f f f v f f v f f v v

2.2.2 Consecuencia lógica en LE:. Un enunciado C de LE es consecuencia lógica de enunciados A1, ..., An, de LE si y sólo si no hay ninguna valuación booleana V tal que V(A1) = v, ..., V(An) = v, y V(C) = f.

Este concepto semántico de consecuencia lógica es una reformulación precisa, sobre la base del concepto de valuación booleana y relativa al lenguaje de enunciados, del concepto intuitivo de validez para razonamientos basado en el concepto de verdad. Se obtiene así un método de las valuaciones para determinar la validez de

razonamientos de la lógica de predicados de primer orden: Un razonamiento es válido, si y sólo si, la conclusión es consecuencia lógica (en el sentido que se acaba de definir) de las premisas. Así puede establecerse la validez de razonamientos.

Tómese el ejemplo del siguiente razonamiento:

((p  q)  r), (¬ r)

___________________ (¬ p)

Supóngase una valuación booleana V tal que V((pq)  r) = v, V(¬r) = v y V(¬p) = f, es decir, se supone que la valuación V constituye un contraejemplo. Ahora bien, por la definición de valuación booleana V(p) = v y V(r) = f. Además de la valuación para la primera premisa se sigue que V((p  q)) = f o V(r) = v. En el primer caso, se da que V(p) = V(q) = f. Dado que ya se obtuvo V(p) = v, se contradice el principio de que a cada enunciado le corresponde un único valor de verdad (que forma parte del principio de bivalencia). En el segundo caso, ocurre lo mismo. Así no puede darse una valuación booleana que funcione como un contraejemplo del razonamiento. Este procedimiento puede convertirse en un método mecánico mediante el empleo de las tablas de verdad u otros métodos (como el de los árboles analíticos).

3. tautologías

3.1. Las tautologías son las verdades lógicas del lenguaje de enunciados, es decir, un enunciado A del lenguaje de enunciados es una tautología si y sólo si para toda

valuación booleana V, V(A) = v.

3.2. Las contradicciones son las falsedades lógicas, es decir, A es una contradicción (de la lógica de enunciados) si y sólo si para toda valuación booleana V, V(A) = f.

3.3. Enunciados contingentes son aquellos que no son ni tautologías ni contradicciones.

3.4 .Un conjunto de enunciados del lenguaje de enunciados es inconsistente si y sólo no existe una valuación booleana V tal que V(A) = v para todo enunciado A de ese conjunto. De otro modo, es consistente.

3.5 Equivalencia: Dos enunciados son equivalentes en LE si toda valuación booleana les otorga a ambos el mismo valor de verdad. Es decir, sean A y B dos enunciados de LE

A es equivalente con B si y sólo si V(A) = V(B) para toda valuación booleana V.

Recuérdese que una regla lógica, o regla de inferencia (deductiva), es una forma válida de razonamiento que es empleada para inferir deductivamente ciertos enunciados a partir de otros. El signo  indicará que la relación de deducción o inferencia deductiva vale en un doble sentido, o sea, puede interpretarse como la relación de equivalencia lógica (tanto relativa a la derivabilidad en un sistema lógico como relativa al concepto semántico de consecuencia lógica en LE). En este sentido se habla de reglas de

equivalencia. Se hará uso de las convenciones usuales respecto de la eliminación de paréntesis.

3.6.1 Reglas de De Morgan

(a) ¬(AB)  ¬A  ¬B (b) ¬(AB)  ¬A  ¬B.

3.6.2. Reglas de Interdefinición de conectivas:

Condicional: (a) A  B  ¬A  B (b) A  B  ¬(A&¬B). Disyunción: (a) A  B  ¬(¬A  ¬B) (b) A  B  ¬A  B. Conjunción: (a) A  B  ¬(¬A  ¬B) (b) A  B  ¬(A  ¬B).

Bicondicional: A  B  (AB) (BA).

Definición del condicional mediante el bicondicional: A  B  A  AB. Disyunción exclusiva: (a) A w B  (A¬B) (¬AB). (b) A w B  ¬(AB).

Reglas “booleanas” (propiedades de conjunción y disyunción)

Conmutatividad: (a) A  B  B  A (b) A B  BA.

Asociatividad: (a) (AB)C  A(BC) (b) (A B) C  A (BC). Distributividad: (a) A(BC)  (AB)  (AC) (b) A (BC)  (A B)  (A C). Idempotencia: (a) AA  A (b) AA  A.

Absorción: (a) A  (AB)  A (b) A  (AB)  A. Contradicción: (a) A    (b) A    A. Tautología: (a) A  T  A (b) A  T  T.

Definición T: T  A  ¬A. Definición :   A ¬A.

(T significa tautología;  significa contradicción)

3.6. Sustitución de equivalentes: Dados dos enunciados equivalentes, es posible emplear uno en lugar de otro sin modificación de sus propiedades lógicas. Dicho de manera más precisa: Sea C[A] un enunciado cualquiera del LE, que contiene a la fórmula cualquiera A de LE un número n de veces y sea una fórmula B equivalente (vale A B). Entonces A puede escribirse en lugar de B, obteniéndose C[B], que tendrá el mismo valor de verdad que C[A].

4. Arboles lógicos para la lógica de enunciados. El sistema T*

El sistema de árboles lógicos (también llamado “árboles analíticos”) que se expone a continuación ofrece un método de deducción y de decisión para la lógica de enunciados. El sistema se basa en el método de refutación o de “búsqueda del contraejemplo”: una demostración formal en el sistema se interpreta como la imposibilidad de construir un contraejemplo para el razonamiento o enunciado en cuestión. Por esta razón es algo así como una formulación puramente sintáctica (en términos de reglas formales) de

métodos originalmente semánticos para determinar la validez de razonamientos

deductivos. Estos métodos se basan en la caracterización de las conectivas por medio de la indicación de sus condiciones de verdad.

Recuérdese que una forma de razonamiento es válida si carece de

contraejemplo. Esto quiere decir que una forma de razonamiento es válida si no existe una interpretación de sus signos no lógicos, es decir, un caso concreto de esa forma de razonamiento, que haga a sus premisas verdaderas y a su conclusión falsa. Esta era una definición de validez para formas de razonamiento. Por lo tanto, si se construye un contraejemplo (un “caso en contrario” de la forma), la forma de razonamiento es

inválida. Por el contrario, si resulta imposible construir tal contraejemplo, esta es válida. Cosa semejante ocurre con las leyes lógicas (que, recuérdese, se pueden entender como formas válidas de razonamiento que carecen de premisas). Este es el procedimiento que el sistema de árboles reproduce formalmente.

Como se verá más adelante, el sistema funciona primariamente como un “test de consistencia” para un conjunto de enunciados. La validez de un razonamiento surgirá de manera secundaria o indirecta, al mostrar que es inconsistente suponer la verdad de las premisas y la falsedad de la conclusión.

El sistema procede además con reglas que descomponen los enunciados

moleculares hasta llegar a sus componentes atómicos, y por esto se puede hablar de un análisis de enunciados. Este análisis se representa gráficamente mediante árboles, que tienen bifurcaciones o ramas. De allí el nombre del sistema. Por ello, el sistema es particularmente interesante desde el punto de vista computacional y, además, resultará muy conveniente para analizar propiedades semánticas de la lógica enunciados (tales como corrección, completitud y otras). La presentación seguirá en líneas generales al sistema que Richard Jeffrey formuló en su libro Lógica formal: su alcance y sus límites. Trad. cast. de Angel D´Ors, Pamplona, Eunsa, 1999. Este sistema se basa a su vez, en gran parte, en la obra de Raymond Smullyan First-Order Logic (First-Order Logic, Berlin - Heildelberg- N.York, Springer-Verlag, 1968, reimpresión: Nueva York, Dover, 1995), donde el sistema recibe el nombre de “tableaux analíticos”.

El sistema va a consistir en un conjunto de reglas que se van a basar en las siguientes afirmaciones que se siguen de las condiciones de verdad:

(i) Si un enunciado de la forma (AB) es verdadero, entonces puede inferirse que tanto A como B son verdaderos.

(ii) Si un enunciado de la forma (AB) es falso, entonces puede inferirse que A es falso o B es falso.

(i) Si un enunciado de la forma (AB) es verdadero, entonces puede inferirse que A es verdadero o B es verdadero.

(i) Si un enunciado de la forma (AB) es verdadero, entonces puede inferirse que A es falso o B es verdadero.

(ii) Si un enunciado de la forma (AB) es falso, entonces puede inferirse que A es verdadero y B es falso.

(i) Si un enunciado de la forma (AB) es verdadero, entonces puede inferirse que A y B son verdaderos o A y B son falsos.

(ii) Si un enunciado de la forma (AB) es falso, entonces puede inferirse que A es verdadero y B es falso o A es falso y B verdadero.

(i) Si un enunciado de la forma (¬A) es verdadero, entonces puede inferirse que A es falso.

(¬ii) Si un enunciado de la forma (¬A) es falso, entonces puede inferirse que A es verdadero.

Las condiciones para la negación van a tener una importancia especial. Dado que (¬A) es verdadero si y sólo si A es falso, la negación puede servir, adicionalmente, para expresar la falsedad. Esto es, si A es un enunciado verdadero, entonces ¬A (por convención sin paréntesis ahora) expresa que A es falso. Esto lleva a que el sistema tenga para cada conectiva, exceptuando la negación) dos tipos de reglas: reglas de afirmación y reglas de negación.

El sistema va a emplear el recurso gráfico de los árboles En el caso de estos árboles lógicos, se da por sentado que los nodos, es decir, los puntos conectados del árbol, son fórmulas de LE

4.1 El sistema de árboles lógicos T* tiene reglas únicamente para las conectivas, de modo que es un sistema de deducción y de decisión para la lógica de enunciados, siendo sus reglas las siguientes.

(1) (AB) (2) ¬(AB) │ ┌──┴──┐ A ¬A ¬B B

(v1) (AB) (v2) ¬(AB) ┌──┴──┐ │ A B ¬A ¬B

(1) AB (2) ¬(AB) ┌──┴──┐ │ ¬A B A ¬B

(¬1) A (A es un (¬2) ¬(¬A) : enunciado  A atómico) A x

4.1. Observaciones:

La regla (¬1) se llama también Regla de cierre de ramas: da las condiciones para cerrar una rama. Si en una misma rama aparecen A y A, entonces se dirá que la rama está cerrada, lo que se indica marcando con una x al extremo de la rama. Los dos puntos de la regla indican un número finito de nodos. En un sentido informal, el cierre de una rama significa que se ha hallado una inconsistencia (aceptando el supuesto de que un enunciado no puede ser verdadero y falso).

El enunciado A debe ser atómico, ya que el sistema exige que se apliquen todas las reglas correspondientes a las conectivas que aparecen en enunciados. Es decir, tiene sentido aplicar la regla de cierre de rama únicamente en el caso en que los enunciados sean atómicos.

Como puede verse, para cada conectiva hay reglas de dos tipos: “reglas de verdad” (las de la izquierda) y “reglas de falsedad” (las de la derecha). La relación con las “reglas de verdad” (o condiciones de verdad para las constantes lógicas) preformales del parágrafo salta a la vista. Las reglas siempre descomponen o “analizan” las fórmulas en

subfórmulas (se puede decir que “eliminan” la conectiva al que se aplican).

Estas reglas sirven tanto para determinar la validez (o, en determinados casos, la invalidez) de un razonamiento formulado en el lenguaje LPO como para determinar si un enunciado de LPO es una ley lógica (o, en determinados casos, si no lo es), y finalmente para determinar también si un conjunto de enunciados es o no consistente..

Así como las reglas se basan directamente en las condiciones de verdad para los signos lógicos, el método se basa también en la definición de razonamiento válido basada en el concepto de verdad: un razonamiento es válido si su forma

correspondiente carece de contraejemplo, es decir, un ejemplo con premisas verdaderas y conclusión falsa. Más precisamente, se basará en ver si, en el caso de un

razonamiento, el conjunto de enunciados formado por las premisas junto con la negación de la conclusión, o, en el caso de un único enunciado, el conjunto unitario formado por la negación del enunciado, es consistente. Si no lo es, esto significa que la conclusión es consecuencia lógica de las premisas, o que el enunciado es consecuencia lógica del conjunto vacío. (Los conceptos de consistencia y de consecuencia lógica serán analizados formalmente más adelante.) En este sentido, puede decirse que el sistema de árboles es una transposición de conceptos semánticos a un método de derivación.

Así, puede decirse también que el método procede por refutación o por búsqueda de un contraejemplo y puede considerarse como una variante del método por el absurdo. Dicho de manera sucinta, dado un razonamiento, se supone junto la verdad de sus premisas y la falsedad de la conclusión. Luego se aplican las reglas a todo enunciado que contenga símbolos lógicos, obteniéndose un “árbol” de derivación. Si en toda rama construida aparece una fórmula atómica A y ¬A, entonces el razonamiento es válido. Análogamente se hará respecto de un único enunciado.

Una observación final: Obviamente las líneas que van indicando ramas y

Cuando aparece la x es que ya nada puede afirmarse con consistencia a partir de los enunciados enlazados en la rama.

(Otra forma de interpretar las bifurcaciones indicadas por las líneas es como la conversa de la relación de deducción. Es decir, si la premisa es falsa, entonces una cualquiera de sus conclusiones es falsa. Dicho de otro modo, si cualquiera de las conclusiones de una regla de árboles es verdadera, entonces la premisa será verdadera. Esto está ligado al carácter refutatorio del método.)

Los conceptos de derivación y teorema en T* se caracterizan del modo siguiente:

(4.1.1) Un enunciado C de LE es derivable en T* a partir de enunciados A1, ..., An del LE, si el árbol formado a partir de A1, ..., An y ¬C es un árbol cerrado.

(4.1.2) Un enunciado C de LE es teorema en T*, si el árbol formado a partir de ¬C es un árbol cerrado.

4.2 Validez de razonamientos. Un razonamiento de la lógica de enunciados es válido si y sólo si el árbol formado a partir de sus premisas y la negación de la conclusión es cerrado. Por lo tanto, si un razonamiento es válido, entonces hay una derivación de la conclusión a partir de sus premisas. Una derivación refleja el proceso de demostrar la validez de un razonamiento. En caso de que alguna rama quede abierta el razonamiento resulta inválido.

4.2. Nota: T* sirve tanto para demostrar validez o invalidez respecto de LE.

4.2.1. Ejemplos:

(a) ((p  q)  r), (¬ r)

___________________ (¬ p)

((pq)  r) (¬r) ¬(¬ p) 

P / \ ¬(pq) r ¬p x

¬q x

(b) (s  p) (p(¬s))

___________________ (¬ t)

(s  ¬t) (p(¬s))

(¬ t) t p (¬s) / \ ¬s ¬t

X

El razonamiento es inválido!

4.3. Tautologías en el sistema T*.

Un enunciado C de LE es una tautología si y sólo si es teorema en T*. Esto significa que, en ese caso, el árbol formado a partir de ¬C es un árbol cerrado. El concepto de teorema en T* corresponde con el de Tautología tal como fue caracterizado mediante valuaciones booleanas.

4.3.1. Debido a que el sistema es adecuado respecto de las valuaciones booleanas, puede observarse que (i) un enunciado del lenguaje de enunciados es una tautología, si el árbol formado a partir de su negación es cerrado; (ii) un enunciado es una

contradicción si el árbol formado a partir de él es cerrado; (iii) un enunciado es una contigencia si tanto árbol formado a partir de él como el árbol formado a partir de su negación tienen ambos al menos una rama abierta. Así, los conceptos de teorema en T* y tautología son equivalentes.

4.3.2. Además, de lo anterior se sigue que (i) si un enunciado A de LE es tautología, entonces ¬A es una contradicción y (ii) si A es una contradicción, entonces ¬A es una tautología.

4.4. Ejemplos.

(a)

(b) El enunciado de la forma ((AB)  (BA)) es una tautología, lo que se demuestra en T* mediante la siguiente derivación.

¬(AB)  (BA)

¬(AB)

A ¬B

B ¬A

x

(c) El enunciado A¬A  B¬B es una contradicción, lo que se demuestra en T* mediante el siguiente árbol.

 A¬A  B¬B / \

¬( A¬A) B¬B

¬A B

¬¬A ¬B

A x

x

(d) El enunciado AB  B es una contingencia, lo que se demuestra del siguiente modo mediante árboles en T*.

¬(AB  B)

AB ¬B / \ A B

x

AB  B / \

¬(AB) B ¬A ¬B

5. Decidibilidad de la lógica de enunciados

La lógica de enunciados es decidible. Esto quiere decir: existe un método mecánico o algoritmo para decidir si un enunciado es tautología o no, o si un razonamiento de enunciados es valido o no.

El método de los arboles -restringido a la lógica de enunciados- es un ejemplo de un algoritmo semejante. Esto es así porque tanto los enunciados como los

enunciados, y, finalmente, el conjunto de enunciados que es necesario examinar en la lógica de enunciados es siempre finito.

6. una notación uniforme

Los enunciados del lenguaje de enunciados de la forma A*B y ¬(A*B), donde * es una conectiva diadica cualquiera, pueden agruparse en dos categorías, aquellas que se comportan de manera conjuntiva y aquellas que lo hacen de manera disyuntiva. Las primeras se llamaran fórmulas  y a las segundas fórmulas . Para cada formula  se definen dos componentes 1 y 2, y lo mismo para las fórmulas , obteniéndose la siguiente tabla:

enunciados conjuntivos enunciados disyuntivos

 1 2  1 2

 

AB A B ¬(AB) ¬A ¬B ¬(A B) ¬A ¬B A  B A B ¬(A  B) A ¬B A  B ¬A B

De acuerdo con esta tabla, las reglas del sistema de arboles pueden dividirse en reglas  y reglas  (es decir, reglas conjuntivas y disyuntivas):

reglas : (1), ( 2), ( 2) reglas : (2), (1), ( 1)

forma:  forma:   / \ 1 1 2 2

7. Dualidad

7.1 Sean * y + dos conectivas binarias. Entonces, se dirá que * es el dual de + si ¬(A+B) es equivalente con ¬A*¬B.

7.2 Si A una formula del lenguaje de enunciados, entonces AD es el resultado de

reemplazar las apariciones de toda conectiva binaria por su dual y diremos que AD es el dual de A.

Proposición: el dual de una tautología es una contradicción (y conversamente).

Proposición: Si un enunciado de LE es una tautología, entonces la negación de su dual es también una tautología.

8. Formas normales

8.2 Forma normal disyuntiva: Un enunciado del LE está en forma normal disyuntiva (FND), si es una serie de disyunciones, cada miembro de la cual es un literal o una conjunción de literales. Esto puede representarse simbólicamente del siguiente modo:

C1  ....  Cn, con Ci = l1  ...  lm, donde l1, ..., lm son literales.

Claramente, se hace uso de convenciones acerca de los paréntesis: en los miembros de la serie

8.3 Forma normal conjuntiva: Un enunciado del lenguaje de enunciados está en forma normal conjuntiva (FNC), si es una serie de conjunciones, cada miembro de la cual es un literal o una disyunción de literales. En signos:

D1...  Dn, con Di = l1 ...  lm, donde l1, ..., lm son literales.

8.4 Teorema de la forma normal: Para todo enunciado del lenguaje de enunciados existe una FND y una FNC equivalentes.

8.5 Obtención de la FND: Dado un enunciado, constrúyase el árbol correspondiente, aplicando exhaustivamente las reglas. Entonces, para cada rama abierta del árbol, póngase en conjunción a los literales que contenga. Las ramas cerradas no cuentan. Finalmente, póngase en disyunción a todas estas conjunciones. El siguiente es un ejemplo de árbol de un enunciado y la FND que resulta de él:

pr  ¬(qp  rp) / \

¬(pr)  ¬(qp  rp) / \  ¬p ¬q  q p

¬(rp) ¬r ¬p / \ q p

x

FND: ¬p  ¬q  (q¬p  ¬r)

Arboles de este tipo serán aquí denominados “árboles rectos” en oposición a los árboles que se expondrán a continuación.

8.6 Obtención de la FNC: árboles duales

  / \ 

1 2 1 2

Así, cada enunciado tiene su "árbol dual". Para obtener la FNC de un enunciado, constrúyase su árbol dual correspondiente. A continuación, para cada rama del árbol así obtenido, ponga en disyunción a los literales que contiene, eliminando los que se repitan. Finalmente, ponga en conjunción todas las disyunciones obtenidas.

Ejemplo de árbol dual y la FNC obtenida de él:

pr  ¬(qp  rp)

¬(pr)

¬(qp  rp) ¬p

¬r / \

qp ¬(rp) / \ / \ q p ¬r ¬p

x

FNC: (q  ¬r  ¬p)  (¬r  ¬p)  (¬p  ¬r)

8.7 Formas normales como método de decisión

8.7.1 Dada una FND, si en cada miembro (conjunción) de la misma aparece un enunciado atómico y su negación, entonces el enunciado originario es una

contradicción. En este caso, cada miembro es eliminado y se obtiene entonces la FND vacía, que por convención se escribe como: ( p  (¬p)).

8.7.2 Dada una FNC, si en cada miembro (disyunción) de la misma aparece un enunciado atómico y su negación, entonces el enunciado originario es una tautología. En este caso, cada miembro es eliminado y se obtiene, entonces, la FNC vacía, que, por convención, se escribe como: (p  (¬p)).

8.7.3 De aquí, resulta que la construcción de la FND es útil para determinar si el

enunciado es contradicción o no: Si el la FND del enunciado no es vacía, entonces no es una contradicción. Igualmente, la obtención de la FNC es útil para determinar si el enunciado en cuestión es una tautología o no: Si la FNC del enunciado no es vacía, entonces no es una tautología.

(a) la FND de ((pq)  ((¬q)  p)) es ¬p¬q  q  p. Así, no es vacía, y por lo tanto no es una contradicción, pero su FNC es vacía, de modo que es una tautología.

(b) la FNC de ¬((p  q)  q) & p es (q  ¬p)  q  p. Así, no es vacía y por lo tanto no es una tautología, pero su FND es vacía, de modo que es una contradicción.

(c) la FND de (p  r)  pr es p¬r  pr, de modo que no es una contradicción. Su FNC es p  (¬rp)  (pr), de modo que no es una tautología. Luego, es una

contingencia.

9. Reducción de conectivas

En relación con las formas normales normales, puede verse que todo enunciado A de LE puede reducirse a otro enunciado A´ que contenga exclusivamente las

conectivas ¬ y , o a otro enunciado A´´ que contenga exclusivamente las conectivas ¬ y .

10. Cláusulas

10.1 Como se ha mencionado antes, se llama literal a una fórmula atómica del LPO o su negación. Por ejemplo, p, ¬p, q, ¬q, Pa, ¬Rxa, ¬Qcd, Saxbc, etc. son literales. Sean l1, ..., ln literales, entonces se dice que

l1  ...  ln

es una cláusula. Es decir, una cláusula es una disyunción de literales. Las formas normales conjuntivas son también llamadas formas clausuladas.

10.2 Las cláusulas que tienen la forma

¬p1  ...  ¬pn  q

son llamadas cláusulas de Horn (por el lógico Alfred Horn, quien se ocupó de ellas). Es decir, una cláusula de Horn tiene a lo sumo una fórmula atómica sin negación, que es llamada la cabeza de la cláusula. Nótese que q tambien es una cláusula de Horn, pero que carece de fórmulas atómicas negadas. Nótese también que la forma de las cláusulas de Horn es equivalente, en lógica clásica, con la siguiente forma

p1  ...  pn  q,

lo cual puede demostrarse mediante cualquiera de los sistemas vistos anteriormente. Es decir, las cláusulas de Horn expresan fórmulas condicionales. Las cláusulas de Horn que contienen una única fórmula atómica afirmada son llamadas átomos.

Esta terminología (cláusulas, cláusulas de Horn, átomos, etc.) se emplea

particularmente en la interpretación de la programación lógica (programación basada en lógica; el lenguaje Prolog es un ejemplo de programación lógica).

Uno de los caminos en la búsqueda de métodos automáticos de demostración condujo, a fines de la década de 1950, a trabajar exclusivamente con cláusulas. Es sabido que, en lógica clásica, cualquier fórmula del lenguaje de enunciados puede expresarse mediante formas clausuladas, en las cuales cada conyunto puede ser

considerado una cláusula independiente, de modo que no se pierde capacidad expresiva. Sobre la base de cláusulas se desarrolló el método de resolución (debido a John Alan Robinson en 1965), que es un método de refutación y emplea una única regla de inferencia.

11.1 Regla de resolución. Sean A1, ..., Am, B1, ..., Bn, literales y p una fórmula atómica. Entonces, se tiene la siguiente regla:

p  A1  ...  Am ¬p  B1  ...  Bn ──────────────────────

A1  ...  Am  B1  ...  Bn

que puede verse como una forma generalizada de la regla del silogismo disyuntivo y es, por lo tanto, una forma válida de razonamiento. La conclusión recibe el nombre de resolvente y las premisas son las cláusulas progenitoras.

11.2 El Método de resolución. Se trata de un método de refutación (como también lo era el de árboles), pero que tiene como única regla la de resolución. Dado un

razonamiento en lógica de enunciados, el método consiste en: 1) representar las

premisas y la negación de la conclusión como cláusulas, 2) aplicar la regla de resolución al conjunto de cláusulas obtenido (dispuesto en una columna), analizando en cada oportunidad de arriba hacia abajo (aunque esto no es esencial) y marcando las cláusulas que se van empleando (es decir, cada cláusula puede emplearse una única vez). 3) como resultado de este procedimiento pueden ocurrir dos cosas: o bien quedan cláusulas a las que no se les puede aplicar la regla, o bien se obtiene la cláusula vacía, a la que

podemos simbolizar, retomando una vieja idea, como ┴. Obviamente, la clásula vacía representa una contradicción (o inconsistencia, desde el punto de vista semático), con lo cual el razonamiento originario será válido. De otro modo es inválido.

11.2.1 Ejemplos. Tómese el siguiente razonamiento:

pq  r, ¬(r¬s), ¬¬q ├ p  s .

Entonces,

√1) ¬p  ¬q  r de la primera premisa √2) ¬r  s de la segunda premisa 3) q de la tercera premisa

4) p de la negación de la conclusión 5) ¬s de la negación de la conclusión √6) ¬p  ¬q  s de 1) y 2)

8) s de 7) y 4)

9) ┴ de 8) y 5)

El razonamiento es válido, pues se obtuvo la cláusula vacía. Ahora bien, si se desea determinar si de p&q  r se sigue p  r, se tiene

√1) ¬p  ¬q  r de la primera premisa

2) p de la negación de la conclusión 3) ¬r de lo negación de la conclusión √4) ¬q  r de 1) y 2)

5) ¬r de 3) y 4)

El razonamiento no es válido, pues no puede llegarse a la cláusula vacía.

11.2.2 Observaciones. (a) El orden en que se tome las cláusulas es irrelevante. (b) La resolución es claramente un método de decisión.

11.3 Arboles y resolución. El método de resolución está fuertemente vinculado con el de los árboles. Por de pronto, ambos métodos son formalizaciones de la estrategia de la refutación, pero además, el método de resolución se obtiene al simplificar los árboles. Tómese el siguiente caso. Se quiere determinar si r se sigue de p  q y q  r. El árbol sería como sigue:

√p  q √q  r

¬r / \ ¬q r / \ x ¬p q

x

El árbol muestra que la inferencia es inválida. Si se aplica el método de resolución al mismo caso, se tiene

√1) ¬p  q √2) ¬q  r

3) ¬r 4) ¬q 5) ¬p

manera de presentar graficamente el proceso de resolución en este ejemplo sería la siguiente:

¬r

¬q  r >> ¬q

¬p  q >> ¬p

y que es aplicable a los casos precedentes (la doble flecha >> representa la aplicación de la regla de resolución).