1.Clasifique las siguientes variables aleatorias como discretas o continuas: X : el número de accidentes automovilísticos que ocurren al año en Virginia. Y:el tiempo para jugar 18 hoyos de golf.
M:la cantidad de leche que una vaca específica produce anualmente. N:el número de huevos que una gallina pone mensualmente.
P:el número de permisos para construcción que los funcionarios de una ciudad emiten cada mes. Q: el peso del grano producido por acre.
Solución Solución Variable Variable Aleatoria Aleatoria X X Y Y MM N P Q Tipo
Tipo Discreta Continua Continua Discreta Discreta Continua
2.Un embarque foráneo de 5 automóviles extranjeros contiene 2 que tienen ligeras manchas de pintura. Suponga que una agencia recibe 3 de estos automóviles al azar y liste los elementos del espacio muestral S usando las letras M y N para “manchado” y “sin mancha”, respectivamente; luego asigne a cada punto muestral un valor x de la variable aleatoria X que representa el número de automóviles con manchas de pintura que compró la agencia.
Solución Solución
Una tabla de espacio muestral y valores asignados a la variable aleatoria “x” se presentan a continuación Espacio Espacio muestral muestral NNN NNN NNM NNM NMN NMN MNN MNN NMM NMM MNM MNM MMN MMN MMMMMM x x 0 1 1 1 2 2 2 3
3.Sea W la variable aleatoria que da el número de caras menos el número de cruces en tres lanzamientos de una moneda. Liste los elementos del espacio muestral S para los tres lanzamientos de la moneda y asigne un valor w de W a cada punto muestral.
Solución Solución
Una tabla de espacio muestral y valores asignados a la variable aleatoria “w” se presentan a continuación Espacio Espacio muestral muestral CCC CCT CTC TCC CTT TCT TTC TTT CCC CCT CTC TCC CTT TCT TTC TTT w w 3 1 1 1 -1 -1 -1 -3
4.Se lanza una moneda hasta que se presentan 3 caras sucesivamente. Liste sólo aquellos elementos del espacio muestral que requieren 6 o menos lanzamientos. ¿Es éste un espacio muestral discreto? Explique su respuesta
Solución Solución
S = {CCC, TCCC, CTCCC, TTCCC, TTTCCC, CTTCCC, TCTCCC, CCTCCC, . . .};
El espacio muestral es discreto porque va conteniendo muchos elementos con enteros positivos
5.Determine el valor c de modo que cada una de las siguientes funciones sirva como distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X :
a) f (x) = c (
+4), para x = 0, 1, 2, 3; b) f(x ) =c
(
)(
−
)
x= 0, 1, 2. Solución Solución Ejercicio # a Ejercicio # a x=0 x=1 x=2 x=3 x=0 x=1 x=2 x=3 Suma cSuma c P(P(c) c) P(P(c) c) c ( c (
+4) +4) 4c 5c 8c 13c 30c 30c=1 c=
Ejercicio # b Ejercicio # b x=0 x=1 x=2 x=0 x=1 x=2 Suma cSuma c P(P(c) c) P(P(c) c)c
c
(
)(
−
)
1c 6c 3c 10c 10c=1 c=
6.La vida útil, en días, para frascos de cierta medicina de prescripción es una variable aleatoria que
tiene la siguiente función de densidad:
= 20000
100
0
>0,
Calcule la probabilidad de que un frasco de esta medicina tenga una vida útil de a) al menos 200 días;
b) cualquier lapso entre 80 y 120 días.
Solución Solución Ejercicio # a Ejercicio # a
>200=
∫
∞
+
=
+
|| ∞
=
Ejercicio # b Ejercicio # b80<<120=
∫
∞
+
=
+
||
=
=
7.El número total de horas, medidas en unidades de 100 horas, que una familia utiliza una aspiradora en un periodo de un año es una variable aleatoria continua X que tiene la siguiente función de densidad:
= 20 0<<1
1≤<2
Calcule la probabilidad de que en un periodo de un año una familia utilice su aspiradora a) menos de 120 horas;
b) entre 50 y 100 horas.
Solución Solución
Por cada 100 horas “x”
Por cada 100 horas “x” es igual a 1
Ejercicio # a Ejercicio # a
PX<1.2 =
0
1
1
1.2
2x
dx
=
2 ||
2
1
0
2
2
2
||
1.2
1
=12422532=1725
Ejercicio # b Ejercicio # bP0.5<X<1 =
0.5
1
=
2 ||
2
1
0.5
=1218=38
8.Obtenga la distribución de probabilidad de la variable aleatoria W del ejercicio 3.3; suponga que la moneda está cargada, de manera que existe el doble de probabilidad de que ocurra una cara que una cruz. “C: caras” “T: cruz”
Solución Solución
Refiriéndose al espacio muestral del ejercicio 3.3 y haciendo uso del hecho de que P(C)=2/3 y P(T)=1/3, tenemos
=3 ==13
= 127
=1 ==2313
2313
2313
=32313
=29
=1==1323
1323
1323
=31323
=49
=3==
2
3
=
8
27
La distribución de probabilidad para W es entonces
w=-3
w=-3 w=-1 w=-1 w=1 w=1 w=3w=3
9.La proporción de personas que responden a cierta encuesta enviada por correo es una variable aleatoria continua X que tiene la siguiente función de densidad:
= 2250
0<<1,
a) Demuestre que
0 < < 1 = 1.
b) Calcule la probabilidad de que más de
pero menos de
de las personas contactadas respondan a este tipo de encuesta.Solución Solución Ejercicio # a Ejercicio # a
P0<X<1 =
0
1
225
=
2
45
||
1
0
=1
Ejercicio # b Ejercicio # bP14<X<12=
14
12
225
=
2
45
||
14
12
= 9201780=1980
10.Encuentre una fórmula para la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X que
represente el resultado cuando se lanza un dado una vez.
Solución Solución
El dado puede aterrizar en 6 maneras diferentes cada uno con probabilidad
.
Por lo tanto,=16 , =1,2,3,4,5,6
11.Un embarque de 7 televisores contiene 2 unidades defectuosas. Un hotel compra 3 de los
televisores al azar. Si x es el número de unidades defectuosas que compra el hotel, calcule la distribución de probabilidad de X . Exprese los resultados de forma gráfica como un histograma de probabilidad.
Solución Solución
Podemos seleccionar x televisores defectuosos de 2, y 3 - x televisores buenos de 5 en
(
)(
−
)
maneras. Una selección aleatoria de 3 de 7 televisores se puede hacer en(
)
maneras. Por lo tanto,
=
(
)(
(
)
)
=0,1,2
En forma tabular
x=0
x=0 x=1 x=1 x=2 x=2 P(X)P(X)
