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A P U N T E D O C E N T E
A P U N T E D O C E N T E
Preparado por el Arqto. Jing Chang Lou Preparado por el Arqto. Jing Chang Lou
BIBLIOGRAFIA
SISTEMA DIEDRICO
José Luis Ferrer Muñoz
Editorial Paraninfo. Madrid, España (2004)
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
Fernando Izquierdo Asensi
Editorial Dossat. Madrid, España (1975)
DIBUJO TECNICO
Eugenio Bargueño, Sofía Calvo, Elsa Díaz Editorial McGraw-Hill. (1997)
GEOMETRIA (Apunte Docente) Marcelo Valenzuela Vargas
Editorial FAU. Santiago, Chile (198…)
TEORÍA Y PROBLEMAS DE GEOMETRÍA DESCRIPTIVA Minor Clyde Hawk
SECCIONES PLANAS EN VOLUMENES
Para definir la sección que produce un plano P en un volumen dado, el problema se reduce a la determinación de los puntos de intersección de las aristas del volumen en el plano secante, dichos puntos son los vértices de la forma poligonal resultante de la sección.
SECCIÓN PLANA PRODUCIDA POR UN PLANO P HORIZONTAL EN UNA PIRÁMIDE RECTA DE BASE CUADRADA APOYADA EN EL PLANO HORIZONTAL DE PROYECCIÓN.
En este caso, como el plano secante es paralelo a la base del volumen, la sección resultante debe una forma igual que la base pero de lado menor y como el volumen es recto, dicha forma es concéntrica a la base.
Para definir la sección se debe encontrar los puntos de penetración de las aristas AE,BE,CEyDEen el planoP.
El plano P es un plano horizontal, por lo tanto, tiene cota constante. El problema se reduce a buscar en las asistas del volumen, puntos que tiene la misma cota que el plano P. Entonces, en proyección vertical se observa que los puntos 12, 22,32y 42tiene la misma cota que el plano P (se confunde con
la traza del plano) y en proyección horizontal se observa que la sección es efectivamente un cuadrado (11213141) de lado menor
que la base.
Como el plano es horizontal la proyección horizontal se encuentra en verdadera magnitud.
SECCIÓN PLANA PRODUCIDA POR UN PLANO P FRONTAL EN UNA PIRÁMIDE RECTA DE BASE CUADRADA APOYADA EN EL PLANO HORIZONTAL DE PROYECCIÓN.
Para definir la sección se debe encontrar los puntos de penetración de las aristas del volumen en el plano P.
El plano P es un plano frontal de alejamiento constante, el problema se reduce a buscar en las asistas del volumen, puntos que tiene el mismo alejamiento que el plano P. Entonces, en proyección horizontal se observa que los puntos11,21y31tiene
el mismo alejamiento que el plano P (se confunde con la traza del plano) y en proyección vertical se observa que la sección producida es un triángulo (122232).
Como el plano es frontal la proyección vertical se encuentra en verdadera magnitud
SECCIÓN PLANA PRODUCIDA POR UN PLANO P DE FUGA EN UNA PIRÁMIDE RECTA DE BASE CUADRADA APOYADA EN EL PLANO HORIZONTAL DE PROYECCIÓN.
En este caso, como el plano secante es perpendicular al plano vertical de proyección, en la proyección vertical todos los puntos que definen la sección se confunden con la proyección 2 del plano.
Por lo tanto, en proyección vertical se observa claramente que el plano Pde fuga corta a las aristas A2E2,B2E2,C2E2y D2E2 en
los puntos 12, 22, 32 y 42, en la proyección horizontal se
encuentra los puntos 11, 21, 31 y 41 en las aristas A1E1, B1E1, C1E1, yD1E1.
Como el plano Pes de fuga, la sección se proyecta deformada, por lo que la verdadera magnitud de ésta se define a través de un procedimiento auxiliar. En el ejemplo se aplica el método de cambio de plano, transformando el plano proyectante a un plano paralelo.
SECCIÓN PLANA PRODUCIDA POR UN PLANO P VERTICAL EN UNA PIRÁMIDE RECTA DE BASE CUADRADA APOYADA EN EL PLANO HORIZONTAL DE PROYECCIÓN.
En este caso, como el plano secante es perpendicular al plano horizontal de proyección, en la proyección horizontal todos los puntos que definen la sección se confunden con la proyección 1 del plano.
Por lo tanto, en proyección vertical se observa claramente que el planoPvertical corta a las aristas A1E1,A1B1,B1C1, yC1D1en
los puntos 12, 22, 32 y 42, en la proyección horizontal se
encuentra los puntos 11, 21 31 y 41 en las aristas A2E2, A2B2, B2C2yC2D2.
Como el plano P es vertical, la sección se proyecta deformada, por lo que la verdadera magnitud de ésta se obtiene transformando el plano proyectante a un plano paralelo a través de un cambio de plano.
SECCIÓN PLANA PRODUCIDA POR UN PLANO P OBLICUO EN UNA PIRÁMIDE RECTA DE BASE CUADRADA APOYADA EN EL PLANO HORIZONTAL DE PROYECCIÓN.
En este caso, como el plano secante es oblicuo a los planos de proyección, se debe transformar el plano dado a uno proyectante, en donde el plano se confunde en una línea, y de este modo, visualizar los puntos de intersección del plano con el volumen.
En la proyección 3 el plano secante está en situación proyectante, lo que permite ver claramente que el plano Pcorta a las aristas B3C3, B3E3, A3E3, y A3D3 en los puntos 13, 23, 33y 43.
La verdadera magnitud de la sección se obtiene al transformar el plano en situación proyectante a un plano paralelo, en el ejemplo, la proyección 4.
SECCIÓN PLANA PRODUCIDA POR UN PLANO P DE FUGA EN UN CONO RECTO APOYADO EN EL PLANO HORIZONTAL DE PROYECCIÓN.
En el caso del cono, se trabaja con las rectas generatrices que define el volumen.
El plano secante es perpendicular al plano vertical de proyección, y es en esa proyección donde la sección se confunde con la proyección 2 del plano.
Por lo tanto, en proyección vertical se observa claramente que el planoPde fuga corta a las generatrices A2V2,B2V2,C2V2,D2 V2… en los puntos 12, 22, 32,42… en la proyección horizontal se
encuentra los puntos 112131y41en las aristas A1V1,B1V1,C1 V1,D1V1…
Como el plano Pes de fuga, la sección se proyecta deformada y para definir la verdadera magnitud de ésta se aplica en el ejemplo el método de cambio de plano, transformando el plano proyectante a un plano paralelo.
SECCIÓN PLANA PRODUCIDA POR UN PLANO P DE FUGA EN UN CILINDRO OBLICUO APOYADO EN EL PLANO HORIZONTAL DE PROYECCIÓN.
Se aplica el mismo procedimiento aplicado en el cono En este caso, las generatrices son siempre paralelas entre sí.
Como el plano es perpendicular al plano vertical de proyección, en esa proyección vertical se observa claramente que el plano P
de fuga corta a todas generatrices definiendo así los puntos de la sección.
La verdadera magnitud de la sección se obtiene a través de un cambio de plano, transformando el plano proyectante a un plano paralelo.
SECCIÓN PLANA PRODUCIDA POR UN PLANO P VERTICAL EN UNA ESFERA APOYADA EN EL PLANO HORIZONTAL DE PROYECCIÓN.
La sección plana de una esfera es un círculo cuyo centro es la intersección del plano secante con el diámetro perpendicular a él. La proyección en verdadera magnitud de la sección es siempre concéntrica con la proyección de la esfera. Por lo tanto, para determinar la sección plana siempre se debe definir la verdadera magnitud de la sección.
En este caso, el plano P secante es perpendicular al plano horizontal de proyección y es en esa proyección en donde se determina el diámetro de la sección.
A través de un cambio de plano, se transforma el plano proyectante a un plano paralelo, de tal manera que permitirá encontrar la proyección de la sección en verdadera magnitud concéntrica con la proyección de la esfera.
Teniendo la proyección 3 auxiliar, se define la proyección vertical.
INTERSECCIONES DE RECTAS EN VOLUMENES
Para definir los puntos de penetración y salida de una recta en un volumen dado, se debe contener la recta dada en un plano auxiliar convenientemente elegido y definir la sección plana que genera el plano auxiliar en el volumen. Dicha sección cortará la recta dada en dos puntos que son los puntos buscados.
INTERSECCIÓN DE UNA RECTA XY HORIZONTAL EN UNA PIRÁMIDE RECTA DE BASE CUADRADA APOYADA EN EL PLANO HORIZONTAL DE PROYECCIÓN.
Se contiene la recta XY horizontal en un plano convenientemente elegido, en este caso, en un plano horizontal en donde la proyección vertical del plano se confunde con la proyección de la recta.
Luego se define la sección plana en el volumen generado por el plano auxiliar. En el ejemplo la sección definida por los puntos
1,2,3y4.
Dicha sección corta a la recta dada en los puntos P y Sque son los puntos buscados.
INTERSECCIÓN DE UNA RECTA XY OBLICUA EN UNA PIRÁMIDE RECTA DE BASE CUADRADA APOYADA EN EL PLANO HORIZONTAL DE PROYECCIÓN.
Se contiene la recta XY oblicua en un plano convenientemente elegido. En este caso puede ser un plano de fuga o un plano vertical.
En el ejemplo, se eligió un plano vertical en donde la proyección horizontal del plano se confunde con la proyección de la recta. Luego se define la sección plana en el volumen generado por el plano auxiliar. En el ejemplo la sección definida por los puntos
1,2,3y4.
Dicha sección corta a la recta dada en los puntos Py S que son los puntos buscados.
INTERSECCIÓN DE UNA RECTA XY OBLICUA EN UN CONO RECTO APOYADO EN EL PLANO HORIZONTAL DE PROYECCIÓN.
Se contiene la recta XY oblicua en un plano convenientemente elegido. En este caso puede ser un plano de fuga o un plano vertical.
En el ejemplo, se eligió un plano de fuga en donde la proyección vertical del plano se confunde con la proyección de la recta. Luego se define la sección plana en el volumen generado por el plano auxiliar. En el ejemplo la sección definida por los puntos
1,2,3,4,5,6,7y8.
Dicha sección corta a la recta dada en los puntos P y Sque son los puntos buscados.
INTERSECCIÓN DE UNA RECTA XY OBLICUA EN UNA ESFERA APOYADA EN EL PLANO HORIZONTAL DE PROYECCIÓN.
Se contiene la recta XY oblicua en un plano convenientemente elegido. En este caso puede ser un plano de fuga o un plano vertical.
En el ejemplo, se eligió un plano de fuga en donde la proyección vertical del plano se confunde con la proyección de la recta. Luego se define la sección plana en el volumen generado por el plano auxiliar. Como el volumen es una esfera es necesario generar una proyección auxiliar para su definición, en el ejemplo la sección en la proyección 3, definida por los puntos 1,
2,3,4,5,6,7y8.
Dicha sección corta a la recta dada en los puntos Py S que son los puntos buscados.
EJERCICIO RESUELTO
Determine las proyecciones de un cubo de arista 3 cm apoyado en un plano de fuga que forma 60º con el plano horizontal de proyección, si el centro Ode la base es el punto de intersección de la rectasOPyOTque definen el plano
Defina en verdadera magnitud la sección que genera un plano Q
horizontal de cota 3 en el volumen dado.
EJERCICIO RESUELTO
Dado un prisma oblicuo de altura 5 cm cuya base es un triangulo isósceles de lados AB = BC = 3,5 y AC =3 cm contenido en el plano vertical de proyección, se pide determinar en verdadera magnitud la sección que genera un plano Q vertical que forma 60º con el plano vertical de proyección y contiene al punto Ocentro del volumen
EJERCICIO RESUELTO
Dado un prisma oblicuo de base triangular de lados 3 cm y de altura 5 cm apoyado en el plano horizontal de proyección, se pide determinar en verdadera magnitud la sección que genera un plano Q oblicuo que contiene al punto medio de la arista AD
del volumen
EJERCICIO RESUELTO
Dado una pirámide recta de altura 5 cm y base cuadrada de lados 3 cm apoyado en un plano de fuga que forma 60º con el plano horizontal de proyección, se pide determinar en verdadera magnitud la sección que genera un plano Q vertical que forma 60º con el plano vertical de proyección y contiene al punto medio del eje central del volumen
