5 Axioma de Completitud

(1)

Demostración

( )

*

' ' '

' '

'

' '

' ' '

, ,

, ' , '

p p pq qp

q

p q qq

q p

p p p p

q q q q q

a b a b

a a p q

b b p q

a b a b

∈

∈∗

∈

+

∗

⋅

 + = + = ⇒ + ∈

 

∈ ⇒ = ∈ ∈ ⇒

∈ ⇒ = ∈ ∈   ⋅ = ⋅ = ⇒ ⋅ ∈



ℤ

ℤ ℤ

ℤ

ℚ ℤ ℤ ℚ

ℚ ℤ ℤ

ℚ

Ejercicio

(29) Analizar qué tipo de estructura algebraica es ( , , )ℚ + ⋅

5 Axioma de Completitud

5.1 Definiciones previas

Consideramos: A⊂ℝ,A≠ ∅,L ∈ℝ y ℓ∈ℝ. Decimos que:

L es extremo superior de A ⇔L=^mín

{

k ∈ ℝ; es cota superior de k A

}

ℓ es extremo inferior de A ⇔ ℓ=^máx

{

h ∈ℝ; es cota inferior de h A

}

Nota

Por ser mínimo (máximo) de un conjunto el extremo superior (inferior) si existe es único. Esto nos permite adoptar una notación: L =extA, ℓ=extA_.

En otras palabras, llamamos extremo superior de un conjunto a la menor de sus cotas superiores, y extremo inferior a la mayor de las cotas inferiores. El extremo superior también se denomina supremo, y el inferior ínfimo.

(2)

Ejercicios

(30) Determinar por inspección si los siguientes conjuntos de reales están o no acotados; si tienen máximo, mínimo, extremo superior, inferior. En caso afirmativo, hallarlos.

i)

^B ⁼ { ^x ^∈ ^ℝ ^, ^x ^⋅ ^x ⁺ ¹ ^< ² }

ii) ^C ⁼

{

^x ^∈^ℝ^,^x ^{= −}¹ _n¹^,ⁿ ^∈^ℕ^∗

}

iii) 4

, ( 1) 2 ,

2

n

C =x ∈ ℝ x = −  − n n∈ℕ^∗

(31) Sea A un conjunto no vacío de números reales cuyo extremo superior es 3. Analizar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:

i) Todo número mayor que 3 es cota superior de A . ii) Todo número menor que 3 pertenece al conjunto A . iii) Existe un elemento del conjunto A mayor que 269 . iv) No existen elementos de A mayores que π .

v) Si llamamos B al conjunto formado por los opuestos de los elementos de A , entonces B esta acotado inferiormente.

vi) B esta necesariamente acotado superiormente.

vii) El extremo inferior de B es 3− .

(32) Consideramos: A ⊂ ℝ , A ≠ ∅ ; L es una cota superior de A y ℓ una cota inferior.

Probar:

i) L=extA⇔ ∀ ∈ε ℝ⁺,∃x₀ ∈A/x₀ >L−ε ii) ℓ=extA⇔ ∀ ∈ε ℝ⁺,∃x₁ ∈A/x₁< +ℓ ε

5.2 Axioma de Completitud

Hasta el momento hemos considerado dos axiomas: el de cuerpo y el de orden, y a partir de ellos hemos construido varios conceptos y subconjuntos numéricos. A continuación enunciaremos el tercer y último axioma, que nos va a abrir el camino para distinguir al conjunto de los racionales dentro de los reales.

(3)

Axioma de Completitud

Todo conjunto de reales no vacío y acotado superiormente, tiene extremo superior.

ext acotado superiormente

A

A A

A

⊂ 

≠ ∅  ⇒ ∃





ℝ

5.3 No todos los números reales son racionales

Para demostrar esta proposición, definiremos un número real en particular aprovechando el axioma de completitud, y luego probaremos que ese real no es un racional.

Consideramos el conjunto auxiliar ^A⁼

{

^x ^∈^ℚ⁺^,^x² ^<²

}

Por la definición de A , tenemos que A ⊂ ℚ .

Por ejemplo, 1∈ ℚ⁺, y 1² = < ⇒ ∈1 2 1 A⇒ A ≠ ∅

Además,

2 2 4 2 4 0 ( 2)( 2) 0

: ( 2) ( 2) 0

x x x x

x A

x ⁺ x ⁺ x

 

 < < ⇒ − < ⇒ − + < 

 

∀ ∈  ⇒

 ∈ ⇒ + ∈ ⇒ + > 

 

 ℚ ℚ x− <2 0⇒

x <2,∀ ∈x A⇒ 2 es cota superior de A

De las tres afirmaciones recuadradas, por el Axioma de Completitud, tenemos que

| ext

L L A

∃ ∈ℝ = .

Demostraremos por absurdo que L no es un número racional. Supondremos pues que L∈ ℚ y buscaremos llegar a una contradicción.

Si L∈ℚ⇒L² ∈ℚ, por lo que se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones:

(a) L² <2 (b) L² =2 (c) L² >2

(4)

Comprobaremos que cualquiera de las opciones que se considere nos lleva a una contradicción.

(a) Si L² <2

Para generar la contradicción buscamos un elemento de A (L+ε) mayor que el extremo superior.

Tenemos que ₂

( ) 2

L

L A

L ε ε

ε

 + ∈ +

+ ∈ ⇔ 

 + <



ℚ

. Además, (L+ε)² =L² +2Lε+ε².

Si tomamos 0< <ε 1 ⇒ ε² <ε ⇒ L²+2Lε+ε² <L² +2Lε+ . ε

Si encontramos ε en las condiciones indicadas tal que L²+2Lε+ < , aplicando ε 2 transitiva tendremos que (L+ε)² < , como andamos buscando. 2

2 2 2 (2 1) 2 2 2 2

2 1

L L L L L

L

ε ε ε ε −

+ + < ⇔ + < − ⇔ <

+ Como en este caso

2 2

0 0

2 2

2 2 0 , 0

2 1 2 1

L L

L− ⁺ ε ε L−

< ⇒ − > ⇒ ∈ ⇒ ∃ ∈ < <

+ ℚ ℚ + y

además ⁰<ε⁰ <¹

(

basta tomar 0<ε⁰ <mín 1,

{

²²L⁻₊^L²¹

} )

.

Entonces

(

L+ε0

)

² <L² +2Lε0 +ε0 < . Como además 2 L+ε₀ ∈ℚ⁺ ⇒L+ε₀ ∈A. Pero ε₀ >0⇒L+ε₀ >L, lo cual es contradictorio ya que hemos encontrado un elemento de A que es mayor que el extremo superior.

Concluimos en este caso que L ≮² 2.

(b) Si L² =2

Suponiendo que L ∈ ℚ , podremos expresarlo como una fracción irreducible, es decir, como el cociente entre dos enteros primos entre sí. Entonces p, ,

L p q

q

= ∈ℤ ∈ℤ∗, ( , ) 1

D p q = .

2 2

2 2 2

2 p 2 p2 2 2

L p q

q q

 

= ⇒   = ⇒ = ⇒ = ⇒

2 2 2 | 2

p = ⇒ɺ p= ⇒ ∃ ∈ɺ t ℤ p= t

(5)

Pero: ( )

2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2

p q

t q t q q q

p t

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

= 

ɺ ɺ_.

Hemos llegado a que p y q son ambos múltiplos de 2, lo cual contradice la hipótesis de que sean primos entre sí.

Concluimos entonces que L² ≠2.

(c) Si L² >2

Para generar el absurdo intentaremos hallar una cota superior de A que sea menor que el extremo superior

2 2 2

(L−ε) >2 ⇔ L −2Lε+ε >2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

L L L L L L L L L

L

ε ε ε ε ε ε −

− + ≥ − > ⇔ − > − ⇔ < − ⇔ <

Como en este caso ² 2 ² 2 ₁ , 0 ₁ ² 2

2 2

L L

L −L ⁺ ε ε −L

> ⇒ ∈ℚ ⇒ ∃ ∈ℚ < < ⇒

(

L ε1

)

² L² 2Lε1 ε1² L² 2Lε1 2

⇒ − = − + ≥ − > como ∀ ∈x A x, ² < 2 entonces

(

L−ε1

)

² >x²,∀ ∈x A ⇒ L−ε1 >x ∀ ∈x A (téngase presente que estamos trabajando con reales positivos) entonces L−ε₁ es una cota superior de A .

Pero L−ε₁ <L, o sea que encontramos una cota superior de A que es menor que el extremo superior

Concluimos que L ≯² 2.

En síntesis, la suposición de que el extremo superior del conjunto fuera racional nos llevó por tres posibles caminos, y cualquiera de ellos provocó una contradicción.

Por lo tanto, podemos afirmar que este número real (L ) no es racional. Hemos probado entonces la existencia de números reales que no son racionales.

(En particular, a este real que no es racional lo anotaremos L = 2)

(6)

6 Número Irracional

Llamamos conjunto de los números irracionales al conjunto de los reales que no son racionales (Anotamos: −ℝ ℚ)

Teorema

Todo conjunto de reales no vacío y acotado inferiormente tiene extremo inferior.

, ext

acotado inferiormente A

A L L A

A

⊂≠ ∅ ⇒ ∃ ∈ =





ℝ

Demostración a cargo del lector.

Sugerimos considerar el conjunto de los opuestos de los elementos de A , o sea, considerar

{

^, ^,

}

B = x ∈ℝ x = −a a ∈A y demostrar: (1º) ∃ ext B al que denominaremos L ; (2º)− =L extA. (Realice un esquema gráfico para comprender la estrategia indicada)

Teorema

El conjunto de los naturales no está acotado superiormente.

Demostración.

Intentaremos probarlo por absurdo: Suponemos entonces que ℕ está acotado superiormente; es decir, ∃ ∈k ℝ,k ≥n, ∀ ∈n ℕ

Tenemos entonces:

Ax. 3 , ext 1 no es cota sup. de

acotado superiormente N

N L L L

N

⊂ 

≠ ∅ ⇒ ∃ ∈ = ⇒ −





ℝ

ℝ ℕ ℕ

0 , 0 1 0 1

n n L n L

⇒ ∃ ∈ℕ > − ⇒ + > . Pero n₀ + ∈ ℕ y es mayor que el extremo superior, 1 lo cual es absurdo.

(7)

Teorema (de Arquímedes)

, , ,

a b ⁺ n n a b

∀ ∈ ℝ ∃ ∈ℕ ⋅ >

Demostración: Como ℕ no está acotado superiormente ⇒ b

a no es cota superior de ℕ⇒

, b

n n

∃ ∈ℕ >a ⇒ ∃ ∈n ℕ,na >b.

Definición

Sea x ∈ ℝ . Llamamos parte entera de x al número entero ^{[ ]}x =max

{

z ∈ℤ|z ≤x

}

. (Aceptamos su existencia y unicidad)

Teorema

, , , ,

a b a b r a r b

∀ ∈ℝ < ∃ ∈ℚ < <

Demostración

, 1 ( ) 1

a b b a n b a n b a nb na

n

< ⇒ − ∈ ℝ+ ⇒ ∃ ∈ℕ < − ⇒ − = − > . Llamando z =^[na^] tenemos que z ≤na < +z 1, de donde resaltamos na < +z 1

Por otra parte z ≤na ⇒ − ≥ −z na ⇒ + − ≥ + −z 1 z z 1 na ⇒ 1 1

como 1

z na

nb na

+ − ≤ 

 ⇒



− > 

nb−na > + −z 1 na ⇒ nb > +z 1

De ambas desigualdades recuadradas tenemos que 1

1 z

na z nb a b

n

< + < ⇒ < + < ⇒

1 ,

r z a r b

n

⇒ ∃ = + ∈ℚ < <

(8)

Teorema

1) 2) 3) 4)

x y x y x

y x y

x y

 + ∈ −

 − ∈ −

 

∈ ⇒ ⋅ ∈ −

∈ −   ∈ −



ℝ ℚ

ℚ

ℝ ℚ

Demostración (1)

Por absurdo: suponemos x + =y r r, ∈ℚ⇒y = −r x _{, y como}x ∈ℚ_yr ∈ℚ⇒y ∈ℚ, lo cual contradice la hipótesis.

Teorema

, , , ,

a b a b c a c b

∀ ∈ℝ < ∃ ∈ℝ−ℚ < <

Demostración

2 2 , 2 2 2

a < ⇒b a + < +b ⇒ ∃ ∈r ℚ a + < < +r b ⇒a < −r <b. Como r es racional y 2 es irracional ⇒ ∃ = −c r 2 ∈ℝ−ℚ tal que: a< <c b.

5 Axioma de Completitud

( )

5 Axioma de Completitud

5.1 Definiciones previas

{

}

{

}

Ejercicios

B = { x ∈ ℝ , x ⋅ x + 1 < 2 }

{

}

5.2 Axioma de Completitud

5.3 No todos los números reales son racionales

{

}

(

{

} )

(

)

(

)

(

)

6 Número Irracional

Teorema

{

}

Teorema

Teorema (de Arquímedes)

Definición

{

}

Teorema

Teorema

Teorema

^B ⁼ { ^x ^∈ ^ℝ ^, ^x ^⋅ ^x ⁺ ¹ ^< ² }