Fracciones Algebraicas
I
o
Medio
Profesor:
´
Indice
1. Fracci´on algebraica 3
1.1. Simplificaci´on de expresiones algebraicas . . . 3
1.2. Ejercicios . . . 4
1.3. Amplificaci´on de fracciones . . . 5
1.4. Ejercicios . . . 6
2. Operaciones con Fracciones Algebraicas 6 2.1. Adici´on y Sustraci´on . . . 6
2.2. Ejercicios . . . 7
2.3. Multiplicaci´on de fracciones algebraicas . . . 8
2.4. Ejercicios . . . 8
2.5. Divisi´on de fracciones algebraicas . . . 10
1.
Fracci´
on algebraica
Fracci´on algebraica: es toda expresi´on de la forma
p(x) q(x) donde p(x)6= 0 Ejemplo 1.0.1 x+ 5 x−3(x6= 3) 8 2x+ 3 x6=−3 2 2x−3y 7 3x+ 4 x2−2x−8(x6= 4, x6= − 2)
1.1.
Simplificaci´
on de expresiones algebraicas
Una fracci´on algebraica es reductible (se puede simplificar) si su numerador y su denominador se pueden dividir por un mismo factor.
Ejemplo 1.1.1 Factorizar 24a 3b3 21ab5 24a3b3 21ab5 = 8a2· 3ab3 7b2 · 3ab3 = 8a2 7b2 Ejemplo 1.1.2 Factorizar 5x−10y 2x−4y
Al factorizar el numerador y denominador de esta fracci´on, vemos que tienen un factor com´un que es (x–2y), entonces: 5x−10y 2x−4y = 5( x−2y) 2(x−2y) = 5 2 Ejemplo 1.1.3 Factorizar x 2−7x+ 12 x2−16
Podemos factorizar el numerador y denominador de la fracci´on dada:
x2−7x+ 12 = (x−4)(x−3) x2−16 = (x+ 4)(x−4) Luego: x2−7x+ 12 x2−16 = (x−4)(x−3) (x+ 4)(x−4) = (x−3) (x+ 4) Ejemplo 1.1.4 Factorizar x 3−1 x2+x+ 1 x3−1 x2+x+ 1 = (x−1) (x2+x+ 1) (x2 +x+ 1) =x−1
Gu´ıa de Fracciones Algebraicas - Io Medio
1.2.
Ejercicios
1) 15a 3b2 20ab4 2) 7mn 4p5 21m3np7 3) 121a 4c5d7 11ac5d8 4) 8a−16b 24 5) 42 18a+ 24b 6) 14x+ 21y 50x+ 75y 7) 27m−36n 36m−48n 8) x 2−x xy−x 9) a 2+ 2ab+b2 3a+ 3b 10) m 2−n2 m2+ 2mn+n2 11) x 2−5x+ 6 x2−2x 12) a 3−b3 a2−b2 13) 3x 2−27x+ 42 5x2−15x−140 14) 4p+ 2q 8p2+ 8pq+ 2q2 15) m 4n−m2n3 m3n+m2n2 16) x 3+ 3x2 −10x x3−4x2+ 4x 17) (8p 3q2)4 (16p2q2)3 Alberto Alvaradejo O. 418) (12mn 3)3 (18m2n)4 19) 16a 2+ 56ab−32b2 2a2+ 5ab−3b2 20) ac−ad+bc−bd 2c+ 3bc−2d−3bd 21) 5am 2x−5an2x 5am2x−10amnx+ 5an2x 22) x 4−1 3x2−3 23) m 3−n3 5m2+ 5mn+ 5n2 24) 16x 2y−25y 4x2y−3xy−10y 25) 2xa−4xb 3ya−6yb 26) x(x−3) 2 (x−1) x2(x−5)3(x−1)2 27) (x−1) 3 (x−5)4 x2(x−5)3(x−1)2 28) a 2−ab a4−a2b2
1.3.
Amplificaci´
on de fracciones
Toda fracci´on algebraica se puede amplificar, multiplicando el numerador y el denominador por un mismo factor. La fracci´on obtenida es equivalente.
Ejemplo 1.3.1 Amplificar la fracci´on x−3
x−2 por 2 (x−3)·2 (x−2)·2 =
2x−6 2x−4
Ejemplo 1.3.2 Amplificar la fracci´on 5a−8b
7m−2n por 3am
(5a−8b)·3am
(7m−2n)·3am =
15a2m−24abm
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Ejemplo 1.3.3 Convertir el numerador de la fracci´on a+b
a−b en un cuadrado perfecto.
Para eso debemos amplificar la fracci´on por (a+b).
(a+b) (a−b) · (a+b) (a+b) = (a+b)2 a2−b2
1.4.
Ejercicios
1) Amplificar 2xy 3ab por 5x 3y2 2) Amplificar 6ab 7mn por 8a 2m3n 3) Amplificar a+ 3b 7a2b por (a−4b) 4) Amplificar x−4 x+ 7 por 2x 2+ 12.
Operaciones con Fracciones Algebraicas
2.1.
Adici´
on y Sustraci´
on
Para la adici´on y sustracci´on de fracciones algebraicas con igual denominador, se procede del mismo modo que en las fracciones aritm´eticas: se conserva el denominador y se suman o restan los numeradores.
Ejemplo 2.1.1 3 5+ 14x+ 19 5 = 3 + (14x+ 19) 5 = 3 + 14x+ 19 5 = 17x+ 22 5 Ejemplo 2.1.2 7a−4b x − 17a+ 19b x = (7a−4b)−(17a+ 19b) x = 7a−4b−17a−19b x = −10a−23b x Ejemplo 2.1.3 5a−9b 2a−3b + 7a−2b 2a−3b − 8a−5b 2a−3b = (5a−9b) + (7a−2b)−(8a−5b) 2a−3b = 4a−6b 2a−3b Factorizando y simplificando: 4a−6b 2a−3b = 2 (2a−3b) (2a−3b) = 2 Alberto Alvaradejo O. 6
2.2.
Ejercicios
Calcular la adici´on o sustracci´on de las siguientes fracciones algebraicas y simplificar cuando proceda. 1) 9 x + 5 x − 7 x 2) 4 a2 − 5 a2 − 9 a2 3) 6x 3x−2− 4 3x−2 4) 4m 2m+ 5 + 5m+ 6 2m+ 5 − 7m+ 8 2m+ 5 5) 2x−3 2x+ 15 + 7x+ 8 2x+ 15 6) 7 a2−3a−4 + 2a−5 a2−3a−4 7) 12−m 2 m2+m−12 − −3m−m2 m2+m−12 8) 15p 2 9p2−4− 6p+ 6p2 9p2−4 9) a 2 a−2 + 1− a−8 a−2 10) a+ 3 a−2 + 9 a−2 + 1 11) a−5 a+ 5 −1− 7 a+ 5 12) a+ 4 3a−2− 5a+ 3 3a−2 −1 13) 5m−8n 3m−2n + 7m+ 9n 2n−3m − 5m−15n 2n−3m 14) 3p−12p 2 20p2+ 7p−6+ p2+ 10p 20p2+ 7p−6 15) 6a−a 2 3a2+ 10a−8 − a+ 10 3a2+ 10a−8 + 3a2−2 3a2+ 10a−8 16) b 2−2b 4b4−13b2+ 3 − 3b 4b4−13b2+ 3
Gu´ıa de Fracciones Algebraicas - Io Medio 17) a−b x−y − 3a−2b y−x + 5a−8b x−y 18) m−4 m2+ 2m−3 − m2−3m m2+ 2m−3+ 7 + 2m2 m2+ 2m−3
2.3.
Multiplicaci´
on de fracciones algebraicas
En la multiplicaci´on de fracciones algebraicas se procede igual que en las fracciones aritm´ eti-cas: se multiplican numeradores y denominadores entre si, simplificando si es posible.
Ejemplo 2.3.1 3x 7y · 2z w = 6xz 7yw Ejemplo 2.3.2 3x2+ 2xy 9x2−4y2 · 15x−10y 2x Factorizamos y simplificamos x (3x+ 2y) (3x+ 2y) (3x−2y) · 5· (3x−2y) 2·x = 5 2 Ejemplo 2.3.3 m2−5m+ 6 m2−9 · m3−m m3 + 2m2−8m · 7m+ 21 7m2−7 Factorizamos y simplificamos (m−3)(m−2) (m+ 3)(m−3) · m(m2−1) m(m2+ 2m−8)· 7(m+ 3) 7(m2−1) = = (m−3) (m−2) (m+ 3) (m−3) · m(m+ 1)(m−1) m(m+ 4)(m−2) · 7 (m+ 3) 7 (m+ 1) (m−1) = 1 m+ 4
2.4.
Ejercicios
Calcular el producto de las siguientes fracciones algebraicas. 1) 2xy 4 3a3b · 5x3y 7ab4 2) 3(a−b) 2x · −17(a−b) 19x2 3) x−2 x−3· x−5 x−6 · z w 4) −x 3y4 x4y5 · x7y8 −x15y3 Alberto Alvaradejo O. 8
5) (x 2y3) (a3b4)5 · (a2b3)4 (x2y)5 6) (−m 3n4)2 (−cd2)3 · (−c2d)5 (−m2n3)3 7) 12x−3y 15a+ 10b · 21a+ 14b 20x−5y 8) 2x−2y x2−y2 · 7x+ 7y 42x−42y · x−y x 9) a 2+ 3a−4 ab2 · ab5 a2+ 6a+ 8 10) a 2+ 9a+ 18 a2+ 8a+ 15 · a2+ 7a+ 10 a2+ 11a+ 18 11) z 2−10z+ 16 z2−9z+ 14 · z2−10z+ 21 z2+ 2z−15 12) m 2−6m−16 m2−10m−24 · m2+m−12 m2−m−6 13) x 2−9 x2−6x+ 9 · x2−7x+ 12 x2+ 8x+ 16 · x2+ 7x+ 12 x2+ 2x 14) x 2−y2 x3−y3 · x22xy+y2 x2−2xy+y2 · x2+xy+y2 5x+ 5y · 3x−3y 30x+ 30y 15) 2a 2+ 7a+ 6 2a2+ 9a+ 9 · 2a2+ 17a+ 8 4a2+ 9a+ 2 16) a 2−ab−12b2 2a2−11ab+ 12b2 · 2a2−7ab+ 6b2 2a2−9ab+ 10b2 17) x 3−y3 x2−y2 · 6x+ 6y 2x2+ 2xy+ 2y2 18) 5x 2+ 10xy+ 5y2 x3+y3 · 7x2−7xy+ 7y2 15x+ 15y 19) b 2 −8b+ 12 b2+ 2b+ 1 · b2−10b+ 16 b2+ 2b−15 · b2−10b+ 21 b2−9b+ 14 · b2+ 4b−5 b2+ 3b−10
Gu´ıa de Fracciones Algebraicas - Io Medio
2.5.
Divisi´
on de fracciones algebraicas
Las divisiones de fracciones algebraicas se resuelven igual que las fracciones aritm´eticas: se multiplica la fracci´on dividiendo por el inverso multiplicativo de la fracci´on divisor.
Ejemplo 2.5.1 3x 5y : 9x2 20y3 = 3x 5y · 20y3 9x2 = 4y2 3x Ejemplo 2.5.2 2x−4y 5x+ 15y : 6x−12y 15x+ 45y = 2x−4y 5x+ 15y · 15x+ 45y 6x−12y Fatorizando y simplificando: 2 (x−2y) 5 (x+ 3y) · 15 (x+ 3y) 6 (x−2y) = 1 1 = 1
2.6.
Ejercicios
Calcular el cuociente entre las siguientes fracciones algebraicas. 1) 35a 3 18b3 : 14ab2 9b3 2) a 5b8c7 a4b6c10 : a6b8c9 a3b2c5 3) 24ab 3x2y 54a3bxy4 : 9y3 x3 4) a 2bx2 ab3y3 : 3ax2 b2y3 5) 6x 2+ 9xy a3 : a 14x3+ 21x2y 6) a 3+a a2−a : a3−a2 a2−2a+ 1 7) m 2+ 8m+ 16 m2+ 2m−8 : m2−2m−3 m2−3m+ 2 8) c 2−6c+ 5 c2−7c+ 10 : c2+ 8c+ 7 c2+ 5c−14 9) x 2+ 10x+ 24 x2+ 3x−18 : x2−4x+ 3 x2−6x+ 9 10) m 2+ 14m+ 48 m2+ 4m−21 : m2+ 4m−32 m2+ 3m−28 Alberto Alvaradejo O. 10
11) 3p 2+p−2 4p2+ 7p+ 3 : 3p2 −8p+ 4 4p2−5p−6 12) 6a 2−5a+ 1 4a2−8a−5 : 12a2−a−1 8a2+ 6a+ 1 13) m 2−3m+ 2 m2−5m+ 4 : m2+ 6m−16 m2+m−20 14) x 3−y3 x2−2xy+y2 : x2−y2 x2+ 2xy+y2 15) x 4−y4 x2−2xy+y2 : x2−y2 x2+ 2xy+y2 16) x 3−x x+ 1 : x−1 x+ 1
