Unidad 1
Operaciones con Números Reales y Complejos
Introducción
Los distintos conjuntos de números reales que se utilizan se deducen a partir de sucesivas ampliaciones del conjunto de números naturales.
Símbolos: N = Números Naturales Z = Números Enteros Q = Números Racionales I = Irracionales R = Números Reales C = Complejos
1) Números Naturales
Se representan con los símbolos:
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,....
N
Propiedades:1- El conjunto de los números naturales es infinito 2- Tiene primer elemento. No tiene último elemento. 3- Todo número natural tiene un sucesor.
Un número natural y su sucesor se dicen consecutivos Ej.
m
N ; sig m / sig N4-
Entre dos números naturales existe siempre un número finito de números naturales. Conjunto discreto.Representación geométrica
Operaciones en N
1.1 Propiedades de la suma
a) Es una operación cerrada, es decir: a + b N, a, b N b) Conmutativa: a + b = b + a, a, b N
c) Asociativa: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c, a, b, c N
d) Cancelativa: a + b = a + c
b = c,
a, b, c
N
1.2 Propiedades de la diferencia
a) No es una operación cerrada: 5 – 7 / NLa diferencia entre dos números naturales existe sí y sólo sí el minuendo es mayor que el sustraendo, es decir:
SI a, b N, a – b = número N, a > b b) No se verifica la propiedad conmutativa: 5 – 7 7 – 5 c) No es asociativa: 7 – (4 – 1) (7 – 4) – 1
d) Cancelativa: a – b = c – b a = c
1.3 Reglas de supresión de paréntesis
a) a + (b – c) = a + b – cb) a – ( b + c) = a – b – c c) a – (b – c) = a – b + c
1.4 Propiedades del producto
a) Es una operación cerrada: a, b N, a . b N b) Conmutativa: a . b = b . a a, b N
c) Asociativa: a. (b . c) = (a . b) . c, a, b, c N d) Cancelativa: (a . b = a . c b = c ) a, b, c N
e) Existencia del elemento neutro: 1 N / a . 1 = 1 . a = a, a N
f) Propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y la diferencia:
a . ( b + c ) = a . b + a . c
a. ( b – c ) = a . b – a . c
Como consecuencia de la propiedad conmutativa del producto, se obtienen las propiedades siguientes:
( b + c ) . a = b. a + c . a
( b - c ) . a = b. a - c . a
1.5 Propiedades del cociente
a) No es una operación cerrada: 7 : 4 N
El cociente entre dos números naturales existe en el caso que el dividendo es múltiplo del divisor.
b) No es conmutativo: 6 : 3 3 : 6 c) No es asociativa: 8 : (4 : 2) (8 : 4) : 2 d) Cancelativa: a : b = c : b a = c
e) Distributiva del cociente respecto a la suma y diferencia; esta propiedad es válida sólo a la derecha:
Observación:
En N, con la operación suma se pueden plantear problemas que no siempre tienen solución, como es el siguiente:
“Sean n, m N con n m. Hallar x N de manera que n + x = m” Por ejemplo: ¿Existe x N / 6 + x = 4?
La respuesta es negativa, no se puede encontrar x número natural que lo verifique.
Si, en cambio, se considera este problema en el conjunto de Números Enteros la respuesta al planteo anterior es afirmativa, al existir x = -2 número entero que soluciona el problema, pues: 6 + (-2) = 4.
2) Números Enteros
Se representan con los símbolos:Z =
...
3
,
2
,
1
,
0
,
1
,
2
,
3
,...
O bien:Z
Z
0
Z
Propiedades:1. El conjunto de Números Enteros (Z) es infinito. 2. No tiene primer ni último elemento.
3. Todo número entero tiene sucesor.
4. Dos números, un entero y su sucesor, se dicen consecutivos. 5. Todo número entero tiene un antecesor.
6. Entre dos números enteros existe siempre un número finito de números enteros. Conjunto discreto.
Representación geométrica:
Volviendo a la pregunta anterior pero formulada de otra manera: ¿Existe x Z tal que, n + x = m?
La respuesta entonces es afirmativa, existe un único x Z definido por: x = m – n que satisface la ecuación dada.
Operaciones en Z
2.1 Propiedades de la suma
Se verifican las propiedades 1.1 de la suma de números naturales. Además:
f) Existencia del elemento inverso aditivo (opuesto): a Z, -a Z/ a + (-a) = (-a) + a = 0
2.2 Propiedades de la diferencia
Se verifican las propiedades 1.2 de la diferencia de Números naturales, excepto la propiedad 1.2 a).
Es decir: La diferencia de números enteros es una operación cerrada, pues: a – b Z, a, b Z.
2.3 Reglas de supresión de paréntesis
Son válidas las mismas reglas citadas en el punto 1.32.4 Propiedades del producto
Se verifican las mismas propiedades 1.4 del producto de números naturales.
2.5 Propiedades del cociente
2.6 Reglas de signos para el producto y el cociente:
a . b > 0 si (a > 0 y b > 0) ó (a < 0 y b < 0) a . b < 0 si (a > 0 y b < 0) ó (a < 0 y b > 0) a : b > 0 si (a > 0 y b > 0) ó (a < 0 y b < 0) a : b < 0 si (a > 0 y b < 0) ó (a < 0 y b > 0) En síntesis... (+).(-) = - (+).(+) = + (-).(+) = - (-):(-) = + (+):(-) = - (+):(+) = + (-):(+) = - (-):(-) = + Pero, también en Z hay problemas que no siempre tienen solución. Por ejemplo, para la operación producto:“si n, m a Z con n 0 y m un número que no es múltiplo de n. ¿Existe x a Z tal que: n.x = m?”
Por ejemplo: ¿Qué número x verifica que 5.x = 2?
Ningún número entero lo verifica, pero sí el número fraccionario x =
5
2
ya que 5.5
2
= 2Por lo tanto es necesario considerar una ampliación del conjunto de los números enteros.
Para ello consideramos el conjunto de los números racionales (fraccionarios) para resolver problemas como el planteado anteriormente.
3) Números racionales
Son números racionales los de la forma:
n
m
con n, m Z y n 0, donde m: es el numerador y n: es el denominador.
Propiedades:
El conjunto de números racionales es infinito. No tiene ni primer ni último elemento.
Entre dos números racionales existe siempre un número infinito de números racionales. Conjunto denso.
Operaciones en Q
3.1 Definición de suma y diferencia
Suma:s
.
q
q
.
r
s
.
p
s
r
q
p
Diferencia:s
.
q
q
.
r
s
.
p
s
r
q
p
El común denominador es el mcm (mínimo común múltiplo) entre los dos denominadores.
3.2 Propiedades de la suma y de la diferencia
La suma y la diferencia de números racionales gozan de las mismas propiedades que la suma y la diferencia de números enteros; propiedades ya citadas en los puntos 2.1 y 2.2.
También son válidas las reglas de supresión de paréntesis mencionadas en el punto 2.3.
3.3 Definición de producto y cociente
Producto:s
q
r
p
s
r
q
p
Cociente:r
q
s
p
r
s
q
p
s
r
q
p
3.4 Propiedades del producto
Se verifican las propiedades 1.4 y además existe el elemento inverso,
es decir:
q
p
Q y p
0,
p
q
Q /
1
p
q
q
p
3.5 Propiedades de la división
Se verifican las propiedades 1.5, salvo 1.5.a, es decir, la división en Q es una operación cerrada:
s
r
p
q
Q,
q
p
Q,
s
r
Q
3.6 Orden en Q:
Si b > 0 y d > 0, entonces se define el siguiente orden:
b
c
d
a
d
c
b
a
Entonces hasta aquí se consideraron tres conjuntos de números:
N, Z, Q que guardan la siguiente relación:
N
Z
Q
La pregunta simple que uno puede plantearse es:
“¿Existen otros números que no sean números racionales?”
Sí existen. Para confirmar esta afirmación veamos el siguiente problema. Común denominador
¿Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo, isósceles cuyos lados iguales tienen una longitud unitaria (igual a 1)?
Si aplicamos el Teorema de Pitágoras, vemos que la longitud de la hipotenusa es
2
.Se puede demostrar que este número
2
no pertenece a Q.Concluimos que existen números que no son racionales, a estos los llamamos irracionales.
4) Números Irracionales
Son números irracionales por ejemplo:
2
,3
,5
,
, e, etc.Este conjunto de números irracionales junto con el conjunto de los números racionales determinan el conjunto de los números reales ®.
Q: Números Racionales R = Números Reales I: Números Irracionales
5) Números Reales
Se simbolizan: R =
...,
5
,...
4
,...
3
/
7
,...
0
,...
1
,...
2
,...
7
/
2
,...
Propiedades:El conjunto de R cumple con todas las propiedades del conjunto de los números racionales:
Es infinito.
No tiene primer ni último elemento.
Entre dos números reales, existen infinitos números reales. Conjunto denso. Ningún número real tiene sucesor ni antecesor.
El conjunto R es un conjunto totalmente ordenado por la relación de menor o igual.
Representación geométrica:
Recta Real:
A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta le corresponde un número real.
La representación geométrica corresponde a la recta numérica o eje numérico.
0
R+
Operaciones en R
Todas las operaciones cumplen las mismas propiedades que los números racionales.
6) Potenciación
Sea a R, entonces se define: a0 = 1 si a 0;
a
a
1
a
....
a
.
a
.
a
a
n
para n N y n > 1La definición se amplía para exponente entero negativo: Si z = -n con n N
,
a
0
a
1
)
a
(
a
n n 1 z
6.1 Propiedades de la potenciación
a)a
n
a
m
a
nm b)(
a
b
)
n
a
n
b
n c)(
a
n)
m
a
n.m d) n n nb
a
b
a
; con b 0 e) n m m na
a
a
Reales IrracionalesNotación Científica
Los exponentes enteros con frecuencia se utilizan para escribir números muy grandes o muy pequeños de una forma conveniente.
Cualquier número real positivo puede escribirse en la forma: a x 10n
donde 1 a 10 y n es un entero. Decimos que un número escrito así está en notación científica. Por ejemplo:
1.000.000 = 1 x 106 0.0000000954 = 9,54 x 10-8 La mayoría de las calculadoras convierten automáticamente un número en notación científica cuando éste es muy grande o muy pequeño como para ser expresado en forma decimal.
Por ejemplo, el número 2,789 x 1015 requiere 16 dígitos para su forma decimal pero, ya que pocas calculadoras pueden expresar más de diez dígitos, el signo de multiplicación y la base no se muestran.
Entonces, el número: 2,789 x 1015 aparece como: 2,789 15 y el número: 3,05 x 10-14 aparece como: 3,05 -14
Dígitos significativos
La mayoría de las aplicaciones de las matemáticas en el mundo real, incluyen medidas que están sujetas a error y, en consecuencia, se consideran aproximaciones. Podemos describir la exactitud de una aproximación estableciendo cuántos dígitos significativos tiene.
Supongamos que el resultado de una medida se exprese en notación científica:
x = a x 10n, donde 1 a 10
y se sabe que los dígitos en a son exactos (excepto, posiblemente, el último dígito, el cual puede ser aproximado si el número fue redondeado).
Si a contiene k lugares decimales (es decir, k dígitos a la derecha del punto decimal), entonces se dice que x tiene k + 1 dígitos significativos.
Según esta convención: 4,2693 x 10 23
tiene cinco dígitos significativos y 7,60 x 10 -20
7) Radicación
Se define como raíz enésima de un real a, al real cuya potencia enésima es a, es decir:
N
n
,
a
b
a
b
n
n
Donde, na
: Radical a : Radicandon : Índice : Signo radical
Se puede determinar el signo de la raíz según que el índice sea par o impar, y el radicando positivo o negativo.
Ejemplos:
a) 3
8
2
pues
2
3
8
b) 3
8
2
pues
(
2
)
3
8
c) 4
16
2
pues
2
4
16
y
(
2
)
4
16
d) 4
16
no es posible calcularla en R, pues ningún número real elevado a exponente par da por resultado un número negativo.7.1 Propiedades de la Radicación
Sean m y n enteros positivos, a y b números reales. Entonces: a)
(
na
)
n
a
b)(
na
n)
a
,
si
n
es
impar
a
,
si
n
es
par
c) na
nb
na
.
b
d) n n nb
a
b
a
e) m na
m.na
siempre y cuando los radicales representen números reales.
Observación: Tanto la potenciación como la radicación no son distributivas con respecto a la suma y a la diferencia.
Ej.
(
5
3
)
2
5
2
3
2;
36
64
36
64
pues
100
10
14
6
8
Así como se amplió el conjunto de número naturales; el conjunto de números reales también puede ser ampliado a un nuevo conjunto de números; el conjunto de número complejos C.En consecuencia en C, se podrán resolver problemas como el siguiente:
Hallar x R / x2 + 4 = 0 que en R no tienen solución.
Exponentes Racionales
El concepto de raíz enésima de un número nos capacita para ampliar la definición de n
1
x
de exponentes racionales; y como veremos, con frecuencia es más fácil trabajar con exponentes racionales que con radicales.Para cualquier número real x y para cualquier entero positivo n, definimos:
n n n 1
x
que
dado
;
x
x
es un número real. Además definimos m n 1 n m)
x
(
x
para cualquier entero m tal que m/n sea la mínima expresión. Para x > 0, se puede demostrar que:
n m m n 1 n 1 m
)
(
x
)
x
x
(
Sin embargo, para x <0 y ciertas opciones de m y n, n
1
x
no es un número real y, en consecuencia, n m 1)
x
(
no está definida, aunque la expresión n1 m
)
x
(
podría estar definida.Propiedades de los exponentes fraccionarios:
Sean x e y números reales, r y s números racionales. Entonces: a)
x
r.
x
s
x
rs b)(
x
r)
s
x
r.s
(
x
s)
r c)(
x
.
y
)
r
x
r.
y
r d) r r ry
x
y
x
e) r s s rx
x
x
Ejercitación
1) Resolver);
4
8
)(
9
8
)(
3
8
(
)
8
4
)(
7
4
)(
6
4
(
)
a
3
(
5
2
)
9
(
12
)
;
16
)
b
4
25
1
6
8
32
8
24
16
2
3
7
)
c
;
10
11
14
6
17
22
7
8
16
6
17
8
2
13
8
29
31
16
)
d
(
45
5
)
(
3
8
)
:
(
5
)
(
15
3
)
:
4
:
(
5
);
)
e
4
12
7
:
5
8
12
11
10
2
(
11
)
)
f
;
64
:
2
32
)
6
4
(
:
24
)
72
(
:
360
)
8
(
:
)
200
(
25
:
)
100
(
)
6
(
:
48
4
:
)
12
(
)
6
(
:
)
90
(
)
g
2) Resolvera)
;
6
7
21
)
8
(
14
1
7
8
3
1
)
a
;
90
73
36
17
18
5
20
17
0
)
b
3) Resolver;
7
10
9
2
2
1
5
3
)
a
;
5
8
3
5
2
1
4
3
)
b
;
10
6
:
5
2
)
c
;
5
6
:
3
8
)
d
4) Resolver;
6
5
2
3
1
9
8
4
3
2
1
3
2
1
)
a
;
2
1
5
7
8
21
7
4
4
3
8
1
5
4
1
5
1
4
5
)
b
;
15
4
:
2
1
3
1
5
1
)
c
;
5
1
9
8
:
5
2
12
5
)
2
(
)
d
;
4
1
3
2
8
5
3
:
2
1
1
3
2
1
4
3
)
e
;
3
1
2
1
4
3
3
2
1
2
4
1
3
1
3
1
)
f
5) Resolver;
3
4
)
1 2
a
1 5 33
1
)
b
;
3
1
8
9
2
3
)
2
c
6) Resolver ; ) 1 ( 4 1 4 1 : 2 1 2 1 1 6 5 ) 4 2 4 3 2 a;
81
25
81
16
)
b
; 4 1 : 49 81 : 5 3 5 2 2 ) 2 2 c RESPUESTAS EJERCITACIÓN 1) a) -4 b) -16 c) 4 d) 20 e) -1 f) 1 g) 1 2) a) 0 b) 22/15 3) a) 2/21 b) 1 c) 2/3 d) -20/9 4) a) 9/4 b) 53/40 c) 31/8 d) 3/2 e) -3/2 f) –12/25 5) a) 9/16 b) –315 c) 1 6) a) 40 b) –35/27 c) –13/9 d) 7/80Problemas de aplicación: NOTACIÓN
CIENTÍFICA
1) Un animal tiene 5 litros de sangre y aproximadamente 4500000 glóbulos rojos en cada milímetro cúbico de ésta, calcula en notación científica su número aproximado de glóbulos rojos.
RTA.:2,25.1013 glóbulos.
2) Una molécula de hidrógeno pesa g
24 10 . 3 , 3
.¿Cuántas moléculas hay en un gramo de hidrógeno?
RTA: 3.1023 moléculas
3) Calcula tu edad en segundos utilizando la notación científica. ¿Cuál es el orden de magnitud?
4) La velocidad de la luz es 3.108 m/s. a) ¿Qué distancia recorre la luz en un año? b) ¿Cuánto tarda la luz del Sol en llegar a Plutón? Distancia del Sol-Plutón es: 5,91.106 km . RTA: a) km
12 10 . 45 , 9 b) 19,7 seg
MAGNITUDES PROPORCIONALES
Razones y proporciones
Se denomina
razón entre dos números a y b (b≠0), al cociente de la
división de a por b. El primer número se denomina antecedente y el
segundo consecuente. En símbolos:
a : b o bien a/b
Por ejemplo, el porcentaje es una razón entre un número y 100.
Se denomina
proporción a la igualdad de dos razones. Dados cuatro
números a, b, c, d, distintos de cero, en ese orden, forman una proporción
cuando la razón entre los dos primeros es igual a la razón de los dos
últimos. En símbolos:
d
c
b
a
Se lee: a es a b como c es a d
Se denominan extremos de la proporción a a y d, mientras que b y c se
llaman medios.
Propiedad fundamental: en toda proporción el producto de los
extremos es igual al producto de los medios.
c
b
d
a
d
c
b
a
.
.
Cálculo de un elemento de una proporción
Para calcular un elemento de una proporción es suficiente aplicar la
propiedad fundamental. Considerando que se desea calcular un extremo,
simbólicamente:
Magnitudes proporcionales
Magnitud es toda propiedad que se puede medir, por ejemplo el tiempo, el
peso, la superficie, el volumen, la longitud, etc.
Las magnitudes pueden ser directa o inversamente proporcionales.
Magnitudes directamente proporcionales
Dos magnitudes x y y, son directamente proporcionales cuando están
relacionadas por la función y = k . x, siendo k un número distinto de cero
que se denomina constante, factor o coeficiente de proporcionalidad.
El
cociente entre pares de cantidades correspondientes es siempre el mismo,
es constante,
k x y Propiedades
1.
Dadas las magnitudes directamente proporcionales, si se multiplica
una cantidad de la primera por un número, la cantidad correspondiente a la
segunda magnitud queda multiplicada por el mismo número (es decir si
aumenta o disminuye la cantidad de una de las magnitudes, la cantidad
correspondiente a la otra magnitud aumenta o disminuye en la misma
proporción).
Dadas las cantidades de las magnitudes x
1, y
1, si x
1aumenta n veces,
entonces y
1aumenta n veces también, simbólicamente:
2.
Si dos magnitudes son directamente proporcionales, la razón entre
dos cantidades de la primera es igual a la razón entre las cantidades
correspondientes de la segunda. En lenguaje simbólico:
2 1 2 1 y y x x
Representación gráfica de una función de proporcionalidad directa
La función y = k . x se representa mediante una recta que pasa por el
origen de coordenadas.
Por ejemplo, la tabla que sigue representa la cantidad de conservante en
kg que se agrega a distintas cantidades de un producto alimenticio.
Producto (tn)
20 30 40 50
Conservante
(kg)
2
3
4
5
El cociente entre el conservante y la masa de producto elaborado es
siempre 0,1, por lo tanto las magnitudes son directamente proporcionales.
Si x es la masa del producto e y la del conservante, y= k .x, para la primera
columna numérica: 2= k. 20
k= 2/20=0,1, es decir la constante de
proporcionalidad es 0,1. La fórmula es y = 0,1. x. Se puede observar que si
se duplica la cantidad de producto se duplica la cantidad de conservante
que se debe agregar.
Magnitudes inversamente proporcionales
Dos magnitudes x y y, son inversamente proporcionales cuando están
relacionadas por la función
x k
y
, siendo k un número distinto de cero que
se denomina constante, factor o coeficiente de proporcionalidad.
El
producto entre pares de cantidades correspondientes es siempre el mismo,
es constante, y . x = k.
Propiedades
1. Dadas las magnitudes inversamente proporcionales, si se multiplica una
cantidad de una de ellas por un número, la cantidad correspondiente
queda dividida por el mismo número (es decir si aumenta o disminuye la
cantidad de una de las magnitudes, la cantidad correspondiente a la otra
magnitud disminuye o aumenta en la misma proporción).
Dadas las cantidades de las magnitudes
x1 e y1, si
x1aumenta n veces,
entonces
y1disminuye n veces también. Simbólicamente:
1 2 1 2 1 y n y nx x x y y = k . x
2.
Si
dos
magnitudes
son
inversamente
proporcionales, la razón entre dos cantidades de la
primera es igual a la razón inversa entre las
cantidades correspondientes a la segunda. En
lenguaje simbólico:
1 2 2 1 y y x x Representación gráfica de una función de proporcionalidad inversa
La función
x k
y
se representa mediante una hipérbola
equilátera.
x
Por ejemplo, la tabla que sigue representa la viscosidad de una sustancia
en función de la temperatura.
Temperatura
(ºC)
20 40 60 80
Viscosidad
(Pa.s)
1,8 0,9 0,6 0,45
El producto entre la viscosidad y la temperatura es siempre 36, por lo tanto
las magnitudes son inversamente proporcionales. Si x es la temperatura e
y la viscosidad, y= k / x, para la primera columna numérica: 1,8= k / 20
k= 1,8 . 20=36, es decir la constante de proporcionalidad es 36. La fórmula
de la función de proporcionalidad inversa en este caso es: y= 36 / x
Problemas de regla de tres
Son problemas en los que se involucran magnitudes proporcionales en los
que conocido un par de elementos correspondientes y otro de una de las
magnitudes, se debe calcular el elemento que le corresponde en la otra
magnitud.
Si interviene sólo dos magnitudes, la regla de tres es simple.
Si las magnitudes son directamente proporcionales, la regla de tres es
directa y si son inversamente proporcionales la regla es inversa.
Para resolver este tipo de problemas se utilizan las definiciones y
propiedades de las magnitudes proporcionales.
y
Problemas de aplicación: REGLA DE
TRES SIMPLE Y PORCENTAJE
1) ¿A qué distancia del pueblo se encuentra un agricultor que transporta abono en un vehículo, si las ruedas avanzan 3.77 m en cada vuelta y al llegar a la finca ha contado 492 vueltas de las ruedas?
2) Un productor cosechó 58 quintales de alfalfa / ha en una chacra de 180 m por 150 m. La alfalfa pierde al secarse 4/7 de su peso. Si el agricultor tiene 8 vacas y cada una de ellas consume 14 kg de forraje seco/día, ¿durante cuántos días podrá alimentarlas con la alfalfa?
3) Los ¾ de un terreno trapezoidal (con B = 240 m, b = 180 m, h = 2/3 de B) fueron sembrados con remolacha azucarera. El rendimiento al cosechar es de 40 tn/ha.
a) ¿Cuál es el peso de la remolacha cosechada?
b) ¿Cuántas tn se habrían cosechado se hubieran sembrado los 5/6 del terreno?
c) Sabiendo que las remolachas dan el 12% de su peso en azúcar, ¿cuál es, a $220 el quintal, el valor del azúcar obtenido?
4) Una refinería de azúcar funciona 150 días por año. Por día recibe 50 vagones de 10 tn de remolacha azucarera cada uno, la cual pierde el 5% de su peso en el lavado y el 2% al ser cortada. Si las remolachas cortadas proporcionan el 15% de su peso en azúcar, qué cantidad de azúcar produjo la refinería en el año? ¿Qué extensión debe sembrarse con remolacha para mantener esta producción? (Rendimiento por ha: 40 tn)
5) Un granjero posee 6 toros , 15 vacas, 12 terneros y 6 caballos. Un toro pesa 850 kg, una vaca 650 kg, un ternero 100 kg y un caballo 600 kg. Se calcula que un animal da, en los meses de invierno, 10 veces su peso en estiércol.
a) ¿Cuál será el largo del montón de estiércol si mide 6 m de ancho y 2.5 m de alto? (1 dm3 de estiércol pesa 0.9 kg).
b) El granjero usó, a razón de 30 tn/ha, los 6/23 de ese montón, para abonar un campo rectangular de 180 m de largo, ¿qué ancho tiene el campo?
6) Argentina tiene 33 millones de habitantes y se consume 450 kg de pan por habitante por año. Cada hectárea de trigo produce, en promedio, 16.5 qq. De cada 100 kg de trigo se obtienen 78 de harina y de cada 100 kg de harina se obtiene 130 de pan.
Fijar la superficie de cultivo necesaria para que a ningún argentino le falte el pan necesario par su consumo diario, suponiendo que sólo se puede hacer una cosecha anual de este cereal.
7) Un ganadero tiene 36 ovejas y alimento para ellas por el término de 28 días. Con 20 ovejas más, sin disminuir la ración diaria y sin agregar forraje ¿durante cuántos días podrá alimentarlas?.
8) Para elaborar la ración para engorde de los animales, se debe utilizar la siguiente fórmula: - pellet de soja: 8%
- afrechillo de trigo: 15% - heno molido: 8% - premezcla mineral: 3% - maíz rolado: lo que resta.
El productor debe tener en cuenta que en el proceso de rolado pierde un 4% del peso del maíz, en merma de manipuleo pierde: 3% de pellet de soja, 3% de afrechillo de trigo, 7% de heno molido.
La materia seca de la ración es del 88% de su peso. Sabiendo que cada animal consume por día el 3% de su peso vivo en materia seca; determinar la cantidad de cada ingrediente que debe comprar un productor que tiene un feedlot de 700 novillitos, de 250 Kg peso promedio, para elaborar el alimento necesario para 15 días.
9) Un apicultor tiene 25 colmenas. Cada colmena produce 30 Kg de miel y 2,5 Kg de cera por año. La miel se vende a $ 6 el kilo y la cera a $ 5,60 los 500 gr.
Calcular:
a) El rendimiento bruto promedio del colmenar
b) Sabiendo que: los gastos de conservación ascienden al 15% de lo producido en la venta de la miel y la cera. Deben agregarse, además, los gastos especiales de alimentación durante el invierno: por colmena 2,5 Kg azúcar a $ 1,30 el kilo. ¿Qué ganancia anual obtiene al apicultor?.
10) En una granja hay 15 caballos y 60 vacas. La alimentación de cada animal exige diariamente 12 Kg de alfalfa seca, durante 6 meses para las vacas y durante todo el año para los caballos. La alfalfa verde pierde, al secarse, los 3/5 de su peso. Se estima, aproximadamente, que el rinde de un campo de alfalfa es de 240 qq por hectárea de forraje verde al año. ¿Qué superficie se debe sembrar para asegurar la alimentación de todos los animales en un año?
11) Un propietario posee 24 durazneros y 18 perales. Este año cosechó 85 Kg de duraznos y 120 Kg de peras por árbol. Vendes los 2/3 de las peras a $ 2,40 el Kg, y los 3/5 de los duraznos a $ 2,50 el Kg.
a) ¿Cuánto obtiene con la venta?
b) Lleva el resto a una fábrica de conservas, donde los duraznos descarozados y pelados pierden el 25% de su peso y las peras preparadas pierden el 10%; esta fruta es envasada en latas que tienen 1500 gr de capacidad cada una. ¿Cuánto obtendrá, a razón de $5,50 por lata, con la preparación de sus conservas?
12) En un campo, entran 40000 kg de grano de maíz destinado a alimentar a 500 novillos en feedlot. Como desecho se desperdicia el 13 % debido a pérdidas en el almacenamiento y distribución del grano. Hallar la cantidad aprovechada.
13) El análisis de una muestra de 1435 g de mineral indica un total de 0,369 g de hierro. Hallar el porcentaje de hierro en el mineral.
14) En un tambo de 583 vacas, el 80,6% de los animales se encuentran en ordeñe, el resto son vacas secas. De éstos aproximadamente el 68 % corresponden al lote de punta y el resto a vacas en el lote de cola. ¿Qué cantidad de vacas hay en cada categoría?
RTAS. Problemas de aplicación: REGLA DE TRES SIMPLE Y PORCENTAJE 1) 1.854,84 m 2) 60 días 3) a) 100,8 Tn b) 112 Tn c) $26.611,2 4) a) 10.473,75 Tn b) 1.875 ha 5) 95 m 6) 8.875.739,65 ha 7) 18 días.
8) Maíz: 61523,44 Kg; Heno: 7697,96 Kg; Afrechillo de trigo: 13838,45 Kg; pellet de soja: 7380,52 Kg; premezcla mineral: 2684,66 Kg.
9) a) $ 5200 b) $ 4338.75 10) 20,25 ha
