Las funciones y su aplicación en la resolución de problemas de la vida cotidiana

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Portada

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL

FACULTAD DE COMUNICACIÓN, ARTES Y HUMANIDADES

SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA

CARRERA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN MENCIÓN

MATEMÁTICAS

TEMA:

LAS FUNCIONES Y SU APLICACIÓN EN LA RESOLUCIÓN DE

PROBLEMAS DE LA VIDA COTIDIANA

INFORME FINAL DEL TRABAJO DE TITULACIÓN PARA OPTAR

POR EL GRADO ACADÉMICO DE LICENCIADO EN CIENCIAS DE

LA EDUCACIÓN – MENCIÓN MATEMÁTICA

AUTOR: HUGO LUIGI TRIVIÑO BURGOS

TUTOR: MSC. HUGO SIMALUISA COPARA

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Dedicatoria

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Agradecimiento

Un agradecimiento total e imperecedero al Creador de todas las cosas, a Dios que siempre estuvo conmigo, que me puso muchos obstáculos pero estoy confiado que Él está sonriendo al final junto a mí. Gracias Dios y gracias a la Nuestra Madre, la Virgen María, bajo su advocación de Nuestra Señora de la Nube, quienes me protegieron y me dieron el impulso anímico en los momentos que requerían, para concluir con éxitos mis estudios universitarios.

También, a toda mi familia, a quienes describo a continuación: mis padres, Holger y Sonia, mis hermanos Holger y Higgins, y a mis sobrinas Elizabeth y Hillary, todos ellos estuvieron pendientes de mis progresos para felicitarme, y de mis traspiés para ayudarme a levantar.

El eterno agradecimiento a mis amigos y familiares diversos, a todos quienes confiaban en mí para sacar adelante esta carrera universitaria y hacer realidad el sueño de muchos.

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Índice general de contenidos

Portada ... i

Declaración juramentada del autor ... ii

Informe de aprobación del Director de trabajo de titulación ... ii

Dedicatoria ... iii

Agradecimiento ... v

Índice general de contenidos ... xi

Índice de tablas ... xiii

Índice de figuras ... xiii

Resumen ... xv

CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN ... 1

1.1 El problema de investigación ... 1

1.1.1 Problema a investigar... 1

1.1.2 Objeto de estudio teórico ... 1

1.1.3 Objeto de estudio práctico ... 1

1.1.4 Planteamiento del problema... 1

1.1.5 Formulación del problema ... 7

1.1.6 Sistematización del problema ... 7

1.1.7 Objetivo general ... 7

1.1.8 Objetivos específicos ... 7

1.1.9 Justificaciones ... 8

1.2 Marco referencial ... 9

1.2.1 Marco teórico ... 9

1.2.1.1 Conceptualización ... 9

1.2.1.1.1 Historia ... 9

1.2.1.1.2. Definiciones ... 10

1.2.1.2. El método de George Polya para resolver problemas matemáticos ... 13

1.2.1.3. Las TIC en el proceso de graficación de funciones ... 13

1.2.1.4. Resolución de problemas mediante funciones ... 14

1.2.2 Marco conceptual ... 25

CAPÍTULO 2 MÉTODO ... 26

2.1 Metodología general ... 26

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2.1.2 Modalidad de la investigación ... 26

2.1.3 Método ... 27

2.1.4 Población ... 27

2.1.5 Selección de instrumentos de investigación ... 28

2.1.6 Procesamiento de datos ... 28

CAPÍTULO 3 RESULTADOS ... 30

3.1 Presentación y análisis de resultados ... 30

3.1.1. Encuesta ... 30

3.1.1.1. Análisis general de los resultados de la encuesta ... 41

3.1.2. Entrevista ... 42

CAPÍTULO 4 DISCUSIÓN ... 46

4.1. Conclusiones... 46

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Índice de tablas

Tabla 1.1. Glosario de términos ... 25

Tabla 2.1. Población ... 28

Tabla 3.1. Interés de profesionalización de los estudiantes ... 31

Tabla 3.2. Nivel desde el cual los estudiantes recuerdan haber estudiado funciones .. 32

Tabla 3.3. Utilización de recursos didácticos del docente ... 33

Tabla 3.4. Importancia de la forma de graficación de funciones ... 34

Tabla 3.5. Identificación de los elementos y características de las funciones ... 35

Tabla 3.6. Aplicación del aprendizaje adquirido en la resolución de problemas ... 36

Tabla 3.7. Solución de problemas mediante funciones matemáticas ... 37

Tabla 3.8. Opinión de los estudiantes acerca de las funciones matemáticas y la resolución de problemas de cotidianidad ... 38

Tabla 3.9. Identificación del tipo de función que utiliza para resolver un problema matemático ... 39

Tabla 3.10. Utilización de funciones matemáticas en otras asignaturas ... 40

Índice de figuras Figura 1.1. Función polinómica sobre el número de médicos en Guayaquil ... 15

Figura 1.2. Función polinómica sobre el área máxima de una pista rectangular ... 16

Figura 1.3. Función polinómica acerca de consumo de energía eléctrica ... 17

Figura 1.4. Función polinómica acerca del costo de producción de una compañía ... 18

Figura 1.5. Función polinómica acerca de la temperatura promedio de cierta ciudad . 19 Figura 1.6. Función racional acerca de la intensidad de iluminación ... 20

Figura 1.7. Función exponencial acerca de la concentración de CFC-12 en el planeta 21 Figura 1.8. Funciones polinómicas acerca de la relación Precio de costo y Precio de venta de un artículo ... 22

Figura 1.9. Función polinómica acerca de la trayectoria del lanzamiento de un objeto ... 23

Figura 1.10. Función exponencial acerca de los ingresos de una empresa ... 24

Figura 3.1. Diferencia en los resultados obtenidos en la pregunta 1 ... 31

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Resumen

Universidad Tecnológica Equinoccial

Facultad de Comunicación Artes y Humanidades Sistema de Educación a Distancia

Carrera: Licenciatura en Ciencias de la Educación.

Tema: Las funciones y su aplicación en la resolución de problemas de la vida cotidiana. Autor: Hugo Luigi Triviño Burgos.

Director: Mgt. Hugo Simaluisa Copara Ciudad. Quito

Año: 2016

Las funciones matemáticas poseen innumerables aplicaciones en la vida cotidiana de una persona, especialmente de un adolescente. Durante la presente investigación se ha examinado la utilización de las funciones en la resolución de problemas, en especial, en situaciones habituales, otorgando una importancia trascendental a este contenido que se aprende desde la Educación General Básica. A lo largo de la investigación, se desarrolló un marco teórico, mediante la revisión de fuentes bibliográficas que sinteticen definiciones, tipos de funciones, métodos de graficación, aplicación en resolución de problemas, análisis de los currículos de otros países y comparaciones con el actual currículo ecuatoriano, etc., con la finalidad de conocer los criterios de diversos autores acerca del tema y sus elementos afines. El trabajo de campo estuvo centrado en la realización de observaciones, encuestas y entrevistas, las mismas que permitieron conocer, de fuentes primarias, las opiniones de los involucrados directos (docentes, estudiantes y directivos), porque con sus contribuciones se establecieron las conclusiones pertinentes y las recomendaciones precisas para solucionar parcial o totalmente el problema detectado. El escenario en el cual se desarrolló el trabajo de campo fue en la Unidad Educativa Nuestra Señora del Rosario, del cantón Balzar, provincia del Guayas. En los apartados finales del presente informe, se indica que una de las tareas más urgentes que se deben considerar es el mejoramiento del proceso de enseñanza–aprendizaje que los docentes de matemática efectúan, así como el equipamiento de la sala de computación para uso del área de matemática, con la finalidad que los estudiantes aprendan a graficar funciones utilizando la tecnología. En síntesis, se han establecido varias recomendaciones que, si los directivos y docentes las ponen en práctica, contribuirán en la solución del inconveniente y erradicarán en el establecimiento el problema planteado en este trabajo de titulación.

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Abstract

Universidad Tecnológica Equinoccial

Faculty of Communication, Arts and Humanities Distance Education System

Career: Bachelor degree in Education Sciences

Theme: The functions and their application in solving problems of everyday life. Author: Hugo Luigi Triviño Burgos.

Director: Mgt. Hugo Simaluisa Copara City. Quito

Year: 2016

Mathematical functions have countless applications in the daily life of a person, especially a teenager. During this investigation, it has been examined the use of functions in the solving of problems, especially, common situations, giving a fundamental importance to this content, that it is learned from Tenth Year of General Basic Education. Throughout research, a theoretical framework was development by reviewing of bibliographical sources that synthetize the definitions, types of functions, methods of graphing, applications of troubleshooting, analysis of curriculum from other countries and comparison with the currency Ecuadorian curriculum, etc., in order to know the criteria of several authors on the topic and related items. The field work was focused on making observations, surveys and interviews, which provide insight, of primary sources, the those directly involved (teachers, students and directives), and for their contributions were established appropriate conclusions and specific recommendations to solve the detected problem partially or fully. The place where was developed the field work is the Educative Unit “Nuestra Señora del Rosario”, of Balzar city, Guayas province. In the final sections of this report are indicated that one on the most urgent tasks to be consderated is the improvement of teaching–learning process that perform the math teachers and the equipment of computer laboratory to use of mathematic area, in order that students learn to graph functions using the technology. In summary, several recommendations have been established, which if directives and teachers put them into practice, they will contribute in the solution of the inconvenient and they will eradicate the problem presented in this work graduation, in the educational institution.

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CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN

1.1El problema de investigación 1.1.1 Problema a investigar

Escasa aplicación de las funciones matemáticas en la resolución de problemas de la vida cotidiana de los estudiantes de Décimo Año de Educación General Básica y Bachillerato General Unificado de la Unidad Educativa “Nuestra Señora del Rosario”, ubicada en la cabecera cantonal de Balzar, provincia del Guayas.

1.1.2 Objeto de estudio teórico

La intrínseca relación de los diferentes tipos de funciones matemáticas con las diversas situaciones de cotidianidad, teniendo en consideración que las realidades frecuentes de un estudiante pueden estar vinculadas al tipo de profesionalización que obtenga una vez finalizada su etapa colegial, fortaleciendo los mecanismos existentes para la comprensión y diseño de sus gráficas, las características de cada una de ellas y el comportamiento que posean y que ayuden a la solución de las descritas situaciones de cotidianidad.

1.1.3 Objeto de estudio práctico

El estudio práctico del presente trabajo de investigación radica en la consulta sobre los diferentes tipos de funciones que se estudian en diversos países latinoamericanos y el desarrollo de una comparación con el currículo educativo actual del Ministerio de Educación. De la misma manera son imprescindibles las estrategias y recursos didácticos empleados por los docentes del área de matemática cuando están en un proceso de enseñanza aprendizaje de funciones y la cuantificación del nivel de interés de los estudiantes de Décimo Año Básico y del Bachillerato General Unificado de la Unidad Educativa “Nuestra Señora del Rosario” por el aprendizaje de las funciones matemáticas.

1.1.4 Planteamiento del problema

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En la actualidad los adolescentes, principalmente los estudiantes de los últimos niveles de instrucción, de manera específica los que pertenecen al Bachillerato General Unificado, desconocen los aspectos que se deben tener en cuenta al momento de analizar funciones y no comprenden los contextos donde es imprescindible el uso de ellas. Esta información se ha podido conocer en base a un estudio previo donde se ha diagnosticado esta inquietud en un gran porcentaje de los estudiantes de este nivel de instrucción. ¿Qué es una función?, ¿cuántos tipos de funciones existen?, ¿qué representan sus gráficas?, son varias de las interrogantes que un estudiante del nivel de instrucción que es objeto de estudio de la presente investigación, no suele responder de manera acertada.

Por otra parte, otro número de estudiantes desarrolla los procesos algebraicos relacionados con el uso de funciones, pero de una manera mecánica, es decir, lo hace porque lo aprende y nada más. La educación del siglo XXI exige que la matemática se asocie a la resolución de problemas y al desarrollo del pensamiento lógico, esto es, no desarrollar cálculos de manera sistemática y procesual, sino que se debe inducir al discente la posibilidad que comprenda un planteamiento para que, dentro de su análisis contextual, pueda concluir qué tipo de proceso debe desarrollar para hallar la solución de ese problema.

Las funciones matemáticas no se excluyen de la problemática descrita en el párrafo anterior. Los estudiantes establecen una clara relación entre parábola y expresión cuadrática, pero resulta complejo que establezcan los vínculos entre una parábola y, por ejemplo, el lanzamiento de un tiro libre en una cancha de fútbol. De estas situaciones muy comunes, se pueden enumerar muchas que no pueden ser deducidas explícitamente por la clase.

Si se toma como referencia, de manera generalizada, las calificaciones de los estudiantes que cursan un Tercer Año de Bachillerato General en el área de Matemática y de asignaturas afines, se concluirá de manera rápida que no tienen problema alguno en cuanto al nivel cognitivo que poseen sobre funciones. Pero si se llegase a entablar un diálogo individual con cada uno de ellos y se comienza a indagar sobre su cotidianidad y la manera en la que aplica los conocimientos de este bloque curricular en las situaciones ordinarias y extraordinarias que viven, se deduce que existe este problema.

Para esto, se ha establecido como propósito general desarrollar un análisis de las situaciones comunes que atraviesan los estudiantes en las que puedan utilizar funciones matemáticas para resolver problemas que se presenten. La solución de este tipo de conflictos numéricos, muchas veces, puede facilitarse con el uso de las funciones.

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tiene el proceso de cálculo mental que han desarrollado, con la utilización de funciones dentro del problema resuelto.

Todas estas situaciones donde un estudiante puede utilizar funciones para resolver problemas y no las utiliza, o utiliza funciones matemáticas para solucionar sus conflictos pero desconoce que lo está realizando, serán contenido básico del presente trabajo de investigación.

En cuanto a los docentes de matemática y asignaturas complementarias que tienen la responsabilidad de guiar a los estudiantes por la comprensión de planteamientos lógicos en base al uso de funciones matemáticas, se puede señalar que, también es importante conocer las principales estrategias didácticas recomendadas por expertos para iniciar, sostener y finalizar un proceso pedagógico que incluya el aprendizaje de funciones. Dentro de todos los involucrados en el problema planteado en este proyecto, es indudable que los docentes poseen un rol fundamental en el mismo.

Se espera, a través de este proyecto, concientizar a estudiantes y docentes, sobre la importancia que posee este bloque curricular, no solamente dentro del ámbito cotidiano, sino también profesional. Por eso, es necesario establecer de manera puntual los aspectos tomados en cuenta en cada una de las diferentes carreras universitarias que ofertan las entidades de educación superior de Ecuador y el mundo entero, sobre los tipos de funciones matemáticas que aplican dentro de su ámbito profesional y los motivos por los cuales son necesarias e imprescindibles en la labor que desempeñan.

El problema no es producido directamente en Tercer Año de Bachillerato, sino en niveles previos de instrucción, debido a que la enseñanza de este bloque curricular no tiene exclusividad en el último peldaño de la educación secundaria, sino que inicia, desde el subnivel Elemental de la Educación General Básica con el bloque curricular de Álgebra y Funciones.

La magnitud del impacto de esta problemática en la comunidad educativa se relaciona con el procedimiento a través del cual los estudiantes aplican las funciones matemáticas en la resolución de problemas; en este aspecto, podría considerarse la posibilidad de medir el impacto negativo en los niveles superiores de instrucción, cuyos aprendientes desconocen el uso de las funciones matemáticas para resolver problemas.

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Elemental de la Educación General Básica hasta el Tercer Año de Bachillerato General Unificado, enfoque que dará un giro al modelo de aprendizaje de este bloque curricular.

A lo largo del contexto de esta problemática se anexan varias partes involucradas que, necesariamente, deben tener incidencia directa en la solución del mismo. Por citar un ejemplo, los directivos de un establecimiento educativo deben elevar su preocupación por evaluar, después de cada cierto tiempo, el impacto que tiene la resolución de problemas de la vida diaria en base a la utilización de funciones; los docentes deberán autoevaluar periódicamente su metodología de enseñanza; los estudiantes deben poner más de su parte en el aprendizaje del bloque curricular de Álgebra y Funciones.

Existen muchos estudiantes que, en su vida estudiantil posterior a la finalización del ciclo de Bachillerato, poseen ciertas dificultades por no tener conocimientos eficientes del bloque de Álgebra y Funciones. Todo lo descrito, enfocado en una realidad palpable, convertirá a la población estudiantil, de seres comúnmente denominados “mecánicos”, es decir, discentes que se dedican a acatar una orden y resolverla, pero no son capaces de emprender procesos de resolución por sí mismos, en estudiantes aptos para solucionar cualquier situación de cotidianidad donde sea indispensable la utilización de funciones matemáticas.

También en necesario aclarar que, pese a que esta problemática no es nueva, las consecuencias que pueden tener dentro de un grupo de estudiantes pueden agravarse si no se toman los correctivos necesarios, los mismos que deben estar relacionaros de manera directa con todo el contexto descrito en este planteamiento y complementado con la información que se recaude en el proceso de investigación que exige el presente trabajo. Además, se indica que el objetivo no es el de señalar culpables, sino de encontrar soluciones viables a la problemática detectada.

El estudiante piensa y analiza la interrogante de ¿cómo lo resuelvo?, pero en contadas oportunidades tiende a analizar ¿para qué lo resuelvo? Si un discente pensara más en la segunda pregunta que en la primera, el objetivo de la educación podría tornarse mejor y todas las temáticas tratadas en cualquier asignatura, en especial Matemática y, de manera particular, las funciones, podrían ser aprovechadas de una manera óptima en la vida personal y profesional de un estudiante.

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el tema, o no poseen elementos implícitos que exija u obligue al estudiante analizar la literatura del mismo para que, en base a este análisis, pueda deducir el proceso matemático que va a utilizar y darle solución al planteamiento propuesto. Muchas veces, dentro del texto de trabajo, conocer qué tipo de función matemática van a emplear no resulta tan complejo debido a que, como es lógico, los planteamientos están en relación con el tema principal. Pero si se ubica un problema al azar, el limitado análisis del estudiante dificultará que pueda determinar su respuesta. Entonces, también surge la importancia de establecer criterios de selección de problemas de aplicación de funciones matemáticas, lo que permitirá que los aprendientes puedan estar aptos para el desarrollo de cualquier planteamiento, aplicando el tipo de función que consideren necesario y, consecuentemente, la gráfica respectiva.

Con el paso del tiempo y las actualizaciones curriculares que existen con frecuencia, incluidos los del área de matemática, el aprendizaje de funciones tiene una incidencia básica en el desarrollo cognitivo de los estudiantes. A la frase dicha por Pitágoras, “Todo es número” y a la expresada por Euclides “Todo es medida”, actualmente se podría agregar, “Todo es funciones”. Claro que esto también dependerá del nivel académico de los estudiantes, debido a que hay colegios, en su mayoría fiscales, donde recién los estudiantes del Tercer Año de Bachillerato General Unificado empiezan a analizar las funciones en sus contextos de aplicación en situaciones de cotidianidad. Y, consecuentemente, su déficit en este bloque curricular tendrá resultados negativos al momento de aplicar este tipo de conocimientos en la vida diaria. Es como una persona que no sabe multiplicar, muchas veces por definición de producto (que puede ser haciendo una suma extensa) podrá obtener cierta multiplicación entre dos números cuando desea calcular el valor final al pagar luego de una compra; aunque aplicó conceptos, no significa que multiplicó. Esto mismo suele suceder con las funciones matemáticas en los jóvenes, pese a que aplican los conceptos de funciones en sus problemas diarios, esto no es un indicador que conocen su importancia.

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En la actualidad, con las leyes puestas en práctica hace varios años, los estudiantes del Décimo Año de Educación Básica y del Tercer Año de Bachillerato General Unificado son evaluados por el Ministerio de Educación en el área de Matemática. En los cuestionarios propuestos para el efecto pueden observarse una cantidad considerable de preguntas relacionadas directamente a la utilización de modelos de funciones en situaciones cotidianas y si se establecen indicadores comparativos con los resultados de este tipo de evaluaciones, las calificaciones obtenidas por los estudiantes poseen mayores deficiencias en el área de Matemática y, consecuentemente, una de las temáticas abordadas en la prueba corresponde al problema que es objeto del presente trabajo de investigación.

En el contexto de la problemática descrita en este planteamiento, resulta indispensable tener en cuenta que, el problema descrito tiene una importancia poco trascendente para los actores externos e internos del proceso educativo, porque con limitada frecuencia se puede observar a las autoridades alguna preocupación por solucionarlo. Por ende, es urgente que el Bloque de Álgebra y Funciones del currículo propuesto por el Ministerio de Educación en el área de Matemática, no sea simplemente un aprendizaje más para los estudiantes, sino que los docentes posean las estrategias adecuadas para que el aprendiente comprenda su importancia y que el proceso pedagógico no esté centralizado en tablas, gráficas y cálculos.

De tal manera, los resultados de esta propuesta no sólo podrán ser aplicables a los estudiantes del establecimiento que es objeto de estudio práctico, debido a que esta problemática no es exclusiva de ciertos planteles, sino que está presente en la mayoría de las instituciones que poseen secciones de Educación General Básica y de Bachillerato General Unificado. No es menos cierto que en planteles con estándares de calidad elevados existen deficiencias inferiores, pero también es palpable que la gran mayoría de los establecimientos educativos de los cantones que no poseen condiciones económicas estables, carecen de una educación, al menos, acorde con los estándares de calidad propuestos por el Ministerio de Educación, lo que permite que el presente trabajo se pueda convertir en un soporte para aumentar porcentajes de mejoramiento académico en los estudiantes.

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situaciones de la vida diaria, para que los estudiantes comprendan la importancia que tiene el aprendizaje de esta temática.

1.1.5 Formulación del problema

¿Cuál es la incidencia de la aplicación de funciones matemáticas en la resolución de problemas de la vida cotidiana de los estudiantes del Décimo Año de Educación General Básica y del Bachillerato General Unificado de la Unidad Educativa Nuestra Señora del Rosario, ubicada en el cantón Balzar, provincia del Guayas?

1.1.6 Sistematización del problema 1. ¿Qué son funciones?

2. ¿Cuántas clases de funciones existen?

3. ¿Cuáles funciones son más aplicables a problemas de la vida cotidiana?

4. ¿Cuál es el proceso más recomendado para desarrollar la gráfica de una función?

5. ¿Cómo utilizar correctamente algún software que facilite el proceso de gráfica de una función? ¿Cuál es el más recomendado?

6. ¿Qué métodos son los más recomendables para solucionar problemas utilizando funciones matemáticas?

7. ¿En qué situaciones comunes empleamos funciones?

8. ¿Qué influencia tiene el docente, para despertar el interés del aprendiente en el aprendizaje de funciones?

1.1.7 Objetivo general

Analizar diferentes tipos de funciones matemáticas y su aplicación en la solución de situaciones de la vida cotidiana de los estudiantes de Educación General Básica y Bachillerato General Unificado, mediante la utilización de estrategias didácticas y las principales técnicas de graficación, para comprender su importancia dentro del actual currículo educativo ecuatoriano.

1.1.8 Objetivos específicos

Identificar los diferentes elementos y características de una función matemática, mediante una revisión documental de definiciones de diversos autores, para reconocer su importancia dentro del currículo educativo actual.

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Establecer la importancia del método de Polya para aplicarlo en problemas que se resuelven mediante modelos de funciones, con la finalidad de desarrollar un análisis ordenado en el proceso de resolución de problemas.

1.1.9 Justificaciones

El Bloque de Álgebra y Funciones que está presente en el contenido curricular del área de matemática en la Educación General Básica y en el Bachillerato, es uno de los más importantes dentro del campo de estudio, porque se encarga de proponer problemas que pueden ser resueltos con la utilización de la funciones. Y pese a que es muy importante conocer el proceso de graficación e identificación de cada uno de los tipos de funciones, existe un aspecto que tiene un nivel de importancia elevado: la aplicación de todo el criterio cognitivo en situaciones de cotidianidad. Esta particularidad, con frecuencia, no es tomada en cuenta por los docentes de matemática, lo que trae consigo consecuencias lamentables como aburrimiento de los aprendientes, desentendimiento de la clase, entre otros que provocan una paralización o lentitud en el proceso de enseñanza aprendizaje.

Dentro del presente trabajo de investigación se pretende conseguir información de fuentes primarias y secundarias acerca de la manera mediante la cual analizan el Bloque de Álgebra y Funciones en la enseñanza aprendizaje del área de Matemática y direccionar este proceso a la resolución de problemas de cotidianidad de jóvenes, en especial aquellos aprendientes que desde Décimo Año de Educación General Básica han estado constantemente estudiando funciones matemáticas.

Para solucionar el problema planteado, el presente trabajo orientará a la obtención de las principales causas y consecuencias de la escasa aplicación de funciones matemáticas en la resolución de problemas de cotidianidad y, de la misma manera, analizará aquellas situaciones que atraviesan los estudiantes y que pueden ser resueltas de manera práctica a través del uso de funciones matemáticas.

El impacto que se desea alcanzar es a corto plazo, puesto que una vez recolectados, procesados y analizados los respectivos datos que contribuirán a la solución del problema planteado, se podrán tomar los correctivos necesarios de manera inmediata y poner en ejecución las recomendaciones emitidas en la parte final del presente informe.

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estudiantes del subnivel Elemental de la Educación General Básica y de Bachillerato General Unificado.

Por aquello, la importancia de este tema es trascendental en todo aspecto, porque permitirá optimizar la creación de herramientas que servirán para que los aprendientes dominen, o al menos, comprendan los aspectos principales de la aplicación de las funciones en situaciones cotidianas.

1.2Marco referencial 1.2.1 Marco teórico 1.2.1.1 Conceptualización

Las funciones matemáticas son aplicadas en situaciones reales de manera frecuente y, en varios casos, independientemente de la profesión que ejerza una persona. Por ejemplo: cuando a una persona desea alquilar una habitación de un hotel, cuya tarifa tiene un precio base para cierto número de personas y, por cada persona adicional que vaya, habrá que cancelar un adicional; la relación entre el tiempo y la distancia que recorre el conductor de un auto, que se desplaza a cierta velocidad o aceleración constantes; la altura de un objeto lanzado; el valor que marca el taxímetro de un taxi en relación al recorrido del mismo; el costo de cualquier mercadería en relación a la cantidad de elementos que se desea adquirir; entre otros.

Estas situaciones comunes corresponden a distintos tipos de función que se aplican en contextos rutinarios y de cotidianidad de una persona. Ahora, si se tratan de profesionales especializados en áreas relacionadas directamente con las ciencias básicas, la utilización de funciones incrementará, tanto en frecuencia como en modalidad de uso.

1.2.1.1.1 Historia

Para iniciar con el análisis de las funciones en su contexto cotidiano, se propone esta síntesis histórica:

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Según estos autores, basándose en el contexto histórico, las funciones nacen a partir de la invención del cálculo infinitesimal, creado por Leibniz y Newton. En esta época, a mediados del siglo XVII se reconocían las funciones, pero se tenían ideas muy escasas y hasta poco fundamentadas, sobre la utilización de una función. Simplemente la proporcionalidad inversa o aquellas gráficas lineales formaban parte de una función. Asimismo, se puede deducir lo que, para los matemáticos de aquella época significaba una función, a partir de su vocablo functo, que significa “actuar” o “ejecutar”.

1.2.1.1.2. Definiciones

Muchos autores han propuesto definiciones sobre una función, pero debido a que una función encierra una serie de elementos, se ha tornado complejo hallar una definición que abarque todos aquellos elementos.

Por ejemplo, el texto “Historia de las matemáticas en los últimos 10000 años”, Stewart, Ian (2012) propone que “una función no es un número, sino una recta que parte de un número y calcula un número asociado” (Stewart, 2007, p. 97)

También cabe indicar el aporte Zill, Dennis y Dewar, Jacqueline (2012), donde se indica que “una función de un conjunto 𝑋 a un conjunto 𝑌 es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento 𝑥 de 𝑋 exactamente un elemento 𝑦 de 𝑌”. (Zill & Dewar, 2012, p. 200)

Otra definición que ayuda a comprender con mayor claridad el término “función” en el campo matemático se indica a continuación:

Una relación de A en B es una función si, y solo si el dominio de la relación es todo el conjunto de partida, y si a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del rango. Para denominar funciones usualmente se utiliza la letra 𝑓. (Escuela Superior Politécnica del Litoral, 2016, p. 68)

Y como las descritas, se pueden enunciar muchas definiciones dadas por diversos autores. De la misma manera, el siguiente autor brinda su aporte, que también incluye la notación y elementos de una función:

Se define una función 𝑓 de un conjunto 𝐴 en un conjunto 𝐵 como un subconjunto de 𝐴 𝑥 𝐵 tal que a cada elemento 𝑥 ∈ 𝐴 hace corresponder un único elemento 𝑦 ∈ 𝐵,

que llamaremos imagen del elemento 𝑥 por la ley 𝑓, y denotaremos por 𝑦 = 𝑓(𝑥). (Lara, Jorge & Arroba, Jorge, 2011, p. 123)

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ordenados hay exactamente un valor del segundo componente”. (Miller, Heeren, & Hornsby, 2006, p. 423)

Toda función debe tener las características que se han manifestado en las definiciones mencionadas, entre las cuales se puede destacar: número asociado, ecuación, gráfica, tabla numérica, subconjunto del producto cartesiano, regla de correspondencia.

Número asociado, es la relación existente entre un número del conjunto de llegada, con una cifra del conjunto de partida; ecuación es la igualdad existente entre el valor de 𝑦, con el valor algebraico de 𝑥; la gráfica refleja, de manera sistemática, los valores de 𝑦, asignados a la variable 𝑥; tabla numérica es aquel arreglo numérico de filas y columnas que, de manera ordenada, informa sobre los valores que adquiere la variable 𝑦, en relación a la asignación numérica de la variable 𝑥. Enlazando todos los elementos descritos, se puede determinar que una función una regla de correspondencia, en donde el grupo de números asociados a una variable es un subconjunto del plano cartesiano.

En cuanto a la notación y elementos de una función, los autores del texto “´Álgebra, trigonometría y geometría analítica” exponen lo siguiente:

Se acostumbra a representar una función por una letra, por ejemplo 𝑓, 𝑔 o ℎ. Entonces, se puede representar una función 𝑓 de un conjunto 𝑋 a un conjunto 𝑌 mediante la notación 𝑓: 𝑋 → 𝑌. El conjunto 𝑋 se llama dominio de 𝑓. El conjunto de elementos correspondientes 𝑦 del conjunto 𝑌 se llama rango de la función. Como el valor de 𝑦 depende de la elección de 𝑥, a 𝑦 se le llama variable dependiente; a 𝑥 se le llama variable independiente. (Zill & Dewar, 2012, p. 200)

En esta cita se indica que el dominio y el rango son los principales elementos de una función, los mismos que se encuentran expresados por una variable.

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Muchos autores han contribuido a la definición de funciones reales. A continuación se señalan algunas de ellas:

Sean 𝑋 y 𝑌 dos conjuntos no vacíos, subconjuntos de los números reales. Una función de variable real de 𝑋 en 𝑌 es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento de 𝑋 un único elemento de 𝑌. Esto se representa simbólicamente por: 𝑓: 𝑋 → 𝑌; 𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥). A la variable 𝑥 se le llama variable independiente y a la variable 𝑦 se la conoce como variable dependiente. (Escuela Superior Politécnica del Litoral, 2016, p. 144)

También, Lara & Arroba (2011), proponen que las funciones reales “son aquellas funciones 𝑓: 𝐴 → 𝐵 en donde tanto 𝐴 como 𝐵 son subconjuntos de ℝ; es decir 𝐴 ⊂ ℝ y 𝐵 ⊂ ℝ. Notaremos ℱ(𝑅) al conjunto de las funciones reales”. (Lara & Arroba, 2011, p. 148).

Una de las principales funciones reales que tiene uso frecuente en las actividades cotidianas de una persona corresponden a las funciones polinomiales, las cuales se puede clasificar según su grado en lineales, cuadráticas, cúbicas, etc. A continuación se definen algunas de éstas.

Una función polinomial es de una función de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎_𝑛𝑥𝑛_{+ 𝑎}

𝑛−1𝑥𝑛−1+

𝑎₁𝑥 + 𝑎₀, donde 𝑎_𝑛, 𝑎_𝑛−1, …, 𝑎₁ y 𝑎₀ son números reales, y 𝑛 ∈ ℤ+. El dominio de esta función lo constituyen todos los números reales. (Escuela Superior Politécnica del Litoral, 2016, p. 315).

Sean 𝑎 y 𝑏 números reales, la función 𝑓 de ℝ en ℝ, cuya regla de correspondencia es 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, recibe el nombre de función lineal. (Escuela Superior Politécnica del

Litoral, 2016, p. 285)

Sean 𝑎, 𝑏 y 𝑐 números reales con 𝑎 ≠ 0, la función 𝑓 de ℝ en ℝ, cuya regla de correspondencia es 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐, recibe el nombre de función cuadrática. (Escuela Superior Politécnica del Litoral, 2016, p. 289)

Las funciones exponenciales y logarítmicas también forman parte de la clasificación de las funciones reales y tienen ciertas utilizaciones dentro de campos científicos y profesionales. Se definen de la siguiente manera:

Se conoce como función exponencial a la función 𝑓 de variable real cuya regla de correspondencia es 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, 𝑎 ∈ ℝ+˄ (𝑎 ≠ 1). (Escuela Superior Politécnica del Litoral, 2016, p. 333)

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Estas definiciones sintetizan las características más importantes de los tipos de funciones matemáticas, las mismas que se practicarán en el desarrollo del presente marco teórico.

1.2.1.2. El método de George Polya para resolver problemas matemáticos

Es imposible analizar la resolución de problemas matemáticos, sin mencionar a George Polya, quien aportó con su conocimiento para ayudar a interpretar planteamientos. Los cuatro pasos que indica en su método, pueden parecer muy simples, pero son realmente necesarios si se desea obtener una correcta comprensión y un acertado desarrollo del problema que se quiere solucionar.

Para resolver problemas se necesita llevar a cabo un procedimiento específico. Existen numerosos procedimientos, pero vamos a concentrarnos especialmente en el Método heurístico, ya que puede ser utilizado tanto para problemas de ajedrez como para problemas a nivel empresarial. Este método, ideado por George Polya, consta de cuatro pasos: 1. Comprender el problema. 2. Concebir un plan. 3. Ejecución del plan. 4. Examinar la solución obtenida. (Chávez, 2003, p. 75)

El autor refleja en su escrito la importancia de este método propuesto por Polya, porque permite que se desarrolle el problema y se pueda obtener una respuesta rápida y lo más correcta posible. En el análisis y estudio de planteamientos que se resuelven mediante funciones reales, el método heurístico de Polya resultará muy útil, porque la comprensión, la concepción, la ejecución y la examinación son aspectos que deben estar presentes en el desarrollo de este tipo de problemas, ya que por medio de estos, el problema se direccionará a la respuesta correcta sin la necesidad de efectuar tantos análisis inútiles que no contribuyen al desarrollo de las cuestiones que se desean solucionar.

1.2.1.3. Las TIC en el proceso de graficación de funciones

Las Tecnologías de la Información y la Comunicación pueden transformarse en una herramienta sumamente necesaria al momento de trabajar con funciones matemáticas. Existen una variedad de programas informáticos de apoyo que optimizan tiempo y elevan la calidad de los gráficos de funciones, independientemente del tipo de función que se esté analizando.

(30)

Uno de los softwares más utilizados, con mayor cantidad de herramientas y muy pedagógico, es el programa Geogebra. Juan Pablo Serrano Echeverría, como Asesor Nacional de Matemática del Departamento de Gestión y Producción de Recursos Tecnológicos, de la Dirección de Recursos Tecnológicos del Ministerio de Educación Pública de Costa Rica, brinda su opinión sobre este programa informático:

Por ser libre y gratuito, Geogebra ha tenido un desarrollo muy particular. Actualmente existe un grupo de desarrolladores enfocados a agregarle nuevas funciones y también se ha convertido en una comunidad de colaboradores que comparten al mundo sus materiales y conocimiento. Geogebra es una herramienta poderosísima para lograr que los estudiantes desarrollen sus propias conjeturas y puedan probar sus suposiciones, por lo que llegan a descubrir conceptos matemáticos que en otros momentos solo aprendían de manera mecánica (IBERTIC, 2013).

En la opinión de este profesional resalta la expresión “herramienta poderosísima”, cuyo adjetivo denota la gran importancia que tiene este software dentro del campo educativo. Un aspecto que hace del Geogebra uno de los programas más recomendados en el ámbito pedagógico, es la facilidad con la cual se construyen las gráficas de funciones. Estando en la ventana principal de Geogebra, bastará escribir la función en la barra de entrada y, automáticamente, aparecerá la gráfica deseada.

1.2.1.4. Resolución de problemas mediante funciones

Las funciones, al ser parte de la matemática, han sido utilizadas siempre, en diversas situaciones de cotidianidad, mas sin embargo el ser humano no se da cuenta que está aplicando funciones. Las que se utilizan con mayor frecuencia son las funciones lineales; las demás suelen utilizarse en criterios científicos y técnicos, aspectos no tan lejanos en la vida de un estudiante bachiller.

El texto Fundamentos de Matemática para el Bachillerato (2016) propone varias situaciones donde es indispensable la utilización de las funciones matemáticas, entre las cuales se cita el siguiente planteamiento de la vida real:

En la ciudad de Guayaquil existían 1 420 médicos trabajando al 1 de enero de 1994. Después de n años, el número de médicos D que trabajan en la ciudad viene dado por: 𝐷(𝑛) = 1 420 + 100𝑛. ¿Cuántos médicos trabajaban en la ciudad a comienzos del

año 2004? ¿En qué año hubo por primera vez más de 2 000 médicos trabajando en la ciudad? (Escuela Superior Politécnica del Litoral, 2016, p. 374)

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función a través del cual se puede obtener el número de médicos que trabajan en la ciudad de Guayaquil a partir del año 1994. Para la resolución del planteamiento es importante identificar que el modelo corresponde a una función lineal (polinómica de primer grado); la contestación de las interrogantes se puede obtener a través de la construcción de la gráfica de la función y, posteriormente, identificar los valores.

La figura 1.1 muestra la gráfica en el plano cartesiano de la función expresada en el problema, aclarando que en el eje de las abscisas cada unidad corresponde a la cantidad de años transcurridos a partir de 1994. La primera pregunta del problema exige conocer la cantidad de médicos en la ciudad en el año 2004 que, trasladado a 𝑛 en la función, corresponde al número 10 (2004 − 1994 = 10); el valor de la imagen de la función asignado a 10 es 2 420, que es la cantidad que médicos que habrá a inicios del 2004. La segunda pregunta del problema proporciona el valor de 2000 en el rango (número de médicos), mediante la gráfica observamos a partir de qué año existe esa cantidad de médicos y el valor asignado en el dominio es 𝑛 = 6, por tanto será a partir del año 2000 (1994 + 6 = 2000) existirá una cantidad superior a 2000 médicos en la ciudad de Guayaquil. De esta manera, la resolución de este problema se ha establecido mediante el uso de funciones.

:

Elaborado por: Hugo Luigi Triviño Burgos. Gráfica realizada en el programa Geogebra

A continuación se analiza otro planteamiento de cotidianidad, con la aplicación de funciones matemáticas descrito por Miller, Heeren & Hornsby (2006): “Una persona cuenta Figura 1.1. Función polinómica sobre el número de médicos en Guayaquil

y (médicos)

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con 100 metros de material para cercar una pista rectangular para ejercitar a su perro. ¿Qué ancho deberá tener para que encierre el área máxima?” (Miller, Heeren, & Hornsby, 2006, p. 443)

Esta situación se suele presentar con frecuencia en muchas circunstancias de la vida ordinaria. La solución de este problema inicia con la obtención de un modelo de funciones que relacionen el área de un rectángulo con su ancho, siendo este último la variable independiente del mismo. Ejecutando lo indicado, siendo 𝑥 el ancho de la pista, la expresión de su largo en relación al perímetro es 𝑥 + 𝑥 + 2𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 = 100 y, por definición de ecuación se obtiene 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 = 50 − 𝑥. Por tanto, el área de un rectángulo corresponde al producto de la base por la altura, es decir, la expresión queda 𝐴(𝑥) = (50 − 𝑥)𝑥 y, aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación, se resuelve 𝐴(𝑥) = 50𝑥 − 𝑥2.

La figura 1.2 muestra una estructura parabólica que corresponde a la gráfica de la función cuadrática que resuelve el problema planteado, siendo el vértice el punto que maximiza el área conociendo el ancho 𝑥. Se puede observar que el vértice de esa parábola se encuentra en el punto (25, 625), siendo 25 𝑚 el ancho de la pista rectangular y 625 𝑚2 el área máxima que podrá tener. De esta manera, se comprueba que a través de un modelo cuadrático de función se pueden obtener datos que maximicen la solución de una situación de cotidianidad.

Figura 1.2. Función polinómica sobre el área máxima de una pista rectangular

y (área)

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Otro modelo lineal frecuente que utilizan las personas es la relación con proporcionalidad directa entre el consumo de energía eléctrica (en kWh) y el costo a pagar por este servicio público. Según la página web oficial de la Agencia de Regulación y Control de Electricidad, en su pliego tarifario señala que, hasta el año 2015, en la empresa CNEL Guayas Los Ríos, el precio unitario por generación, transmisión y distribución del servicio eléctrico era de $ 7,856 por cada kWh de consumo1. Ahora, en base a esta información, se desea construir un modelo lineal que explique la relación entre el consumo de energía eléctrica en un hogar y el costo que se paga por el servicio eléctrico (sin tomar en cuenta impuestos adicionales). Cabe indicar que el tarifario expuesto por la entidad de servicio eléctrico no señala ningún tipo de tarifa básica, por lo que el modelo lineal tendrá su inicio en el punto de origen.

La figura 1.3 corresponde a la gráfica de la función 𝐶(𝑥) = 7,856𝑥, siendo 𝑥 el número de kWh que consume un hogar y 𝐶 el costo de ese consumo. Allí se muestra el crecimiento de la función a medida que también incrementa el consumo de energía eléctrica, por tanto, en base al análisis de la gráfica, se puede obtener con facilidad el valor a pagar por el servicio eléctrico de un hogar ecuatoriano.

1_{Fuente: http://www.regulacionelectrica.gob.ec/}

Figura 1.3. Función polinómica acerca de consumo de energía eléctrica

y (costo)

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El siguiente problema, descrito en el texto Matemática Primer Año de Bachillerato, de la M.I. Municipalidad de Guayaquil, es relacionado a la Economía, aunque tiene aplicación directa en la cotidianidad de una persona: “Una compañía de electrodomésticos destina $ 50 000 para el costo de materiales. El valor de producción de una cocineta es de $ 100”. (Muñoz, y otros, 2012, p. 21)

En este modelo, se calculará la función que represente el costo de producción y se analizará la gráfica de la función.

En la comprensión del problema, es necesario indicar que se indican un valor fijo por el costo de materiales y el valor de producción de una cocineta que produce la empresa de electrodomésticos. El plan a ejecutar será obtener una función que represente la sumatoria entre el costo de materiales y el valor total de la producción de 𝑥 cantidad de cocinetas.

Por tanto, la función deseada es 𝐶(𝑥) = 50000 + 100𝑥, donde 𝐶 es el costo de producción y 𝑥 es el número de cocinetas producidas. La figura 1.4 muestra la función 𝐶 con dominio [0, ∞), donde se puede analizar que, si se fabrican 100 cocinetas, el costo de producción será $ 60000, mientras que si se fabricaran 200 cocinetas, también aumentará el costo de producción en $ 70000, etc.

En el texto escolar Matemática Segundo Año de Bachillerato, distribuido por la M.I. Municipalidad de Guayaquil se propone el siguiente planteamiento:

Estudios meteorológicos han determinado que la temperatura de un día en cierta ciudad está dada por la función 𝑇(𝑡) = 1

20𝑡(𝑡 − 24)(𝑡 − 12) donde 𝑡 representa la Figura 1.4. Función polinómica acerca del costo de producción de una compañía

y (costo)

𝑥

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cantidad de horas pasadas las 6 de la mañana. ¿Entre qué horas hubo temperaturas sobre cero y entre qué horas hubo temperaturas bajo cero? ¿A qué hora la temperatura fue de 32°𝐶? (Muñoz, y otros, 2012, p. 55)

Se precisa que es la temperatura promedio de cierto día, debido a que aquello está sujeto a cambios por diversos factores que pueden modificar la temperatura. El modelo de funciones que se detalla en el planteamiento del problema implica el producto de tres factores, por lo que hace referencia a una función cúbica, donde 𝑇(𝑡) corresponde a la temperatura y 𝑡 es el número de horas transcurridas después de las 6 de la mañana.

Con la Figura 1.3, que corresponde a la gráfica del modelo cúbico, se podrá contestar con facilidad las interrogantes planteadas. Desde las 06h:00 hasta las 18h:00 las temperaturas registradas fueron superiores a 0°, mientras que dese 18h:00 hasta las 06h:00 fueron temperaturas inferiores a 0°. Ahora, si se observa en el rango de la función el valor de 32, se aprecia se le ha asignado el valor de 4 en el dominio lo que, según la descripción del problema, corresponde a las 10h:00 (6 + 4 = 10).

En conexión con ingeniería eléctrica, Zill & Dewar (2012) en su texto “Álgebra, trigonometría y geometría analítica” propone lo siguiente:

La intensidad de iluminación debida a una fuente luminosa, en cualquier punto, es directamente proporcional a la intensidad de la fuente e inversamente proporcional al Figura 1.5. Función polinómica acerca de la temperatura promedio de cierta ciudad

y (temperatura)

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cuadrado de la distancia a la fuente. Si hay dos fuentes con intensidades de 16 unidades y 2 unidades, y están a 100 cm de distancia, la intensidad de iluminación 𝐼 en cualquier punto entre ellas se calcula con 𝐼(𝑥) =16

𝑥2+

2

(100−𝑥)2, en donde 𝑥 es la

distancia a la fuente de 16 unidades. Trace la gráfica de 𝐼(𝑥) para 0 < 𝑥 < 100. (Zill & Dewar, 2012, p. 312).

El problema utiliza conceptos específicos de los ingenieros eléctricos modelados en una función que permite obtener la intensidad de iluminación de dos fuentes de intensidades. Para conocer la relación entre las variables se desarrollará la gráfica de la expresión racional para el intervalo propuesto.

La figura 1.6 muestra la estructura gráfica que resuelve el modelo propuesto, donde de puede comprender que mientras más cerca está de la fuente de 16 unidades, la intensidad será mayor incluso, que cuando se acerca a la fuente de 2 unidades. Por ejemplo, si la distancia a la fuente es 10 metros, la gráfica indica que la intensidad será 0,16 candelas, mientras que si la distancia corresponde a 2 metros, la intensidad aumenta a 4 candelas aproximadamente.

En vínculo con la biología, Miller, Heeren & Hornsby (2006) proponen lo siguiente: El efecto invernadero se refiere al fenómeno en que gases como el bióxido de carbono, metano y clorofluorocarbonos (CFC) tienen el potencial de alterar el clima de la Tierra y destruir la capa de ozono. Las concentraciones de CFC – 12, que se emplean en la Figura 1.6. Función racional acerca de la intensidad de iluminación

y (intensidad luminosa)

𝑥

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tecnología de refrigeración, en partes por mil millones (ppb) se modelan con la función exponencial definida por: 𝑓(𝑥) = 0,48𝑒0,04𝑥, donde 𝑥 = 0 representa a 1990, 𝑥 = 1 representa a 1991, y así sucesivamente. Utilice esta función para aproximar la

concentración en 1998. (Miller, Heeren, & Hornsby, 2006, p. 450)

El planteamiento trata acerca que existen gases que pueden modificar el clima del planeta y deteriorar la capa de ozono, este tipo de concentraciones se modelan a través de la función exponencial descrita. Para resolver el problema es necesario verificar a qué valor de 𝑥 equivale el año 1998 y, posteriormente, sustituir ese valor para hallar la imagen de la función en ese punto.

Ejecutando el plan empleado, el año 1998 equivale al valor 𝑥 = 8 (1998 − 1990 = 8) y, sustituyendo ese valor del dominio en la función, el cálculo es 𝑓(8) = 0,48𝑒0,04(8)₌ 0,48𝑒0,32= 0,66 que corresponderá a la cantidad de concentración de esos gases en la Tierra,

expresada en miles de millones.

La gráfica relejada en la figura 1.7 permite comprender el crecimiento exponencial de la concentración de esos gases en el planeta, deduciendo que cada año que transcurre, la destrucción de la capa de ozono aumentará de manera rápida.

Elaborado por: Hugo Luigi Triviño Burgos. Gráfica realizada en el programa Geogebra.

Las funciones matemáticas también poseen aplicaciones económicas, por lo que también se explicará el problema expuesto a continuación:

El costo de producir 𝑥 artículos está dado por 𝑦_𝑐 = 2,8𝑥 + 600. Determine el punto de equilibrio (𝐼 = 𝐽) si cada artículo se vende a $4. Graficar la función costo e ingreso en Figura 1.7. Función exponencial acerca de la concentración de CFC-12 en el planeta

y (Concentración CFC-12)

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un mismo plano cartesiano, identifique el punto de intersección (punto de equilibro). Si se sabe que al menos 450 unidades se venderán, ¿cuál debe ser el precio de cada artículo para garantizar que no existan pérdidas? (Escuela Superior Politécnica del Litoral, 2016, p. 374)

El planteamiento exige la utilización de conocimientos de economía aplicables a las funciones porque se comprende que se otorga una función de costo y, de manera implícita, la función de venta de un artículo. Para conocer las respuestas a lo planteado, se esbozará la gráfica de las funciones de costo y de venta, habiendo establecido esta última.

La función de costo se establece 𝐶(𝑥) = 2,8𝑥 + 600 y la de venta 𝑉(𝑥) = 4𝑥, debido a que cada artículo 𝑥 se vende a $ 4. La figura 1.8 muestra que el punto de intersección de ambas rectas corresponde a (500, 2000), punto en el cual los costos son iguales a las ventas y, a partir de 500 artículos vendidos existirán ganancias en la empresa. Para contestar la interrogante primero se obtiene el costo de producción de 450 unidades 𝐶(450) = 2,8(450) + 600 = 1260 + 600 = 1860 y ese valor se divide para la cantidad de unidades

que se asegura la venta: 1860 ÷ 450 = 4,13, es decir, deberán venderse a $ 4,13 aproximadamente para que no existan pérdidas en la empresa.

En conexión con la Física, Zill & Dewar (2012) señalan el siguiente problema propuesto:

Figura 1.8. Funciones polinómicas acerca de la relación Precio de costo y Precio de venta de un artículo

y (precio)

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Si se lanza desde el suelo un objeto hacia arriba con un ángulo de 45° y una velocidad inicial de 𝑣0 metros por segundo, entonces la altura 𝑦 en metros arriba del suelo a una distancia horizontal de 𝑥 metros desde el punto de lanzamiento está dada por la fórmula 𝑦 = 𝑥 − 9,8

𝑣02𝑥

2_{. Si se lanza un proyectil con un ángulo de 45° y una velocidad} inicial de 12 m/s, ¿a qué distancia del punto de lanzamiento aterrizará? (Zill & Dewar, 2012, p. 137)

Para comprender el problema, es necesario conocer que el lanzamiento de un proyectil hacia arriba conserva una trayectoria parabólica; dentro del problema se establece la fórmula mediante la cual se puede calcular la distancia horizontal en metros desde el punto de lanzamiento a un ángulo de 45°, conociendo la velocidad inicial. Entonces, para conocer esa distancia se graficará la función, que corresponde a una parábola, con el eje de las abscisas representando al suelo.

La gráfica de esta función se muestra en la figura 1.9. De manera algebraica, se puede obtener el resultado resolviendo la ecuación 𝑥 − 9,8

(12)2𝑥

2 _{= 0, la misma que, por ser}

cuadrática, se debe factorar 𝑥 (1 − 9,8

144𝑥) = 0, de la cual se desprenden las siguientes

soluciones: 𝑥₁ = 0 y 𝑥₂ = 14,69. Por lo tanto, como 14,69 metros es la segunda intersección en las abscisas, corresponde a la distancia en la que aterriza el objeto lanzado.

Vinculando las funciones matemáticas con la administración, se propone el siguiente modelo de función exponencial:

Debido a una publicidad poco efectiva, una firma comercial encuentra que sus ingresos anuales se han reducido en forma notable. Además, los ingresos anuales 𝑅 al Figura 1.9. Función polinómica acerca de la trayectoria del lanzamiento de un objeto

y (altura)

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final de 𝑡 años satisfacen la función 𝑅(𝑡) = 200000𝑒−0,41𝑡_{. Halle los ingresos anuales} al final de dos años y al término de tres años. (Haeussler & Paul, 1992, p. 203)

Este modelo de función exponencial corresponde a los ingresos anuales de cierta firma comercial. Es importante saber que, para obtener los resultados exactos de lo que se solicita, basará con sustituir los valores 𝑡 = 2 y 𝑡 = 3 en la función, pero si se desea analizar la situación que se le presentará a la firma comercial si los ingresos continúan, es importante conocer la gráfica de la función.

Por tanto, poniendo en práctica lo indicado, al final de dos años, los ingresos anuales de la empresa serán 𝑅(2) = 200000𝑒−0,41(2)= 200000𝑒−0,82 = 88086,33, mientras que al final de tres años, sus ingresos corresponden a 𝑅(3) = 200000𝑒−0,41(3) = 200000𝑒−1,23 = 58458,52. Es decir, con el paso de los años los ingresos irán disminuyendo y la firma

comercial, debido a la poca efectividad de su publicidad y si todo continúa así, tenderá a desaparecer. La figura 1.10 grafica el modelo exponencial y, a través de la misma, se puede determinar que, a partir del sexto año, los ingresos serán inferiores a 20000, mientras que, después del noveno año, se reducirán a menos de 5000. Por lo tanto, a través de la gráfica de la función se logra establecer aproximadamente, los ingresos de la empresa luego de 𝑡 años y se podrán aplicar estrategias para corregir el índice de reducción de los ingresos de la empresa.

Como estos, existen muchas aplicaciones de funciones en ciencias afines a la matemática, aunque en muchos casos se le reste importancia y se propongan otros mecanismos de resolución.

Figura 1.10. Función exponencial acerca de los ingresos de una empresa

y (ingresos)

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1.2.2 Marco conceptual Tabla 1.1. Glosario de términos

Abscisa Coordenada cartesiana horizontal.

Álgebra Parte de las matemáticas en la cual las operaciones aritméticas son generalizadas empleando números, letras y signos. Cada letra o signo representa simbólicamente un número u otra entidad matemática. Cuando alguno de los signos representa un valor desconocido se llama incógnita. Biología Ciencia que trata de los seres vivos, considerando su estructura,

funcionamiento, evolución, distribución y relaciones.

Candela Intensidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540 × 1012_{hercios y que tiene una} intensidad energética en esta dirección de 1/683 vatios por estereorradián. Contraer Reducirse a menor tamaño

Cuadrático Que tiene cuadrados como potencia más alta.

Dilatar Extender, alargar y hacer mayor algo, o que ocupe más lugar o tiempo. Exponencial Función representada por f(x) = aˣ, en la que la x, variable independiente,

es un exponente.

Heurístico Técnica de la indagación y del descubrimiento.

Hipérbola Curva simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí, con dos focos. Infinitesimal Perteneciente o relativo a las cantidades infinitesimales.

Logaritmo Exponente a que es necesario elevar una cantidad positiva para que resulte un número determinado. El empleo de los logaritmos simplifica los procedimientos del cálculo aritmético.

Parábola Curva abierta cuyos puntos son equidistantes de una recta y un punto fijos, formada por dos ramas simétricas respecto de un eje, y que resulta de cortar un cono circular recto por un plano paralelo a una generatriz.

Química Ciencia que estudia la estructura, propiedades y transformaciones de los cuerpos a partir de su composición.

Racional Dicho de una expresión algebraica: Que no contiene cantidades irracionales.

Trigonometría Estudio de las relaciones numéricas entre los elementos que forman los triángulos planos y esféricos.

Elaborado por: Hugo Luigi Triviño Burgos. Fuente: Diccionario de la Real Academia de la Lengua

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CAPÍTULO 2

MÉTODO

2.1Metodología general 2.1.1 Nivel de estudio

Con la finalidad de establecer la relación entre la aplicación de funciones en situaciones cotidianas y la utilización que los estudiantes les den en este contexto, el presente trabajo de investigación posee un nivel de estudio correlacional, que Hernández, Roberto Fernández, Carlos y Baptista, Pilar (2007) lo definen como aquel que “tiene como propósito evaluar la relación que exista entre dos o más conceptos, categorías o variables (en un contexto particular)” (Hernández, Fernández, & Baptista, 2007, p. 63).

Se desarrolló la investigación en base a la utilización de dos elementos básicos: la aplicación de las funciones matemáticas en situaciones de cotidianidad y los estudiantes del Tercer Año de Bachillerato General Unificado, por lo tanto, resulta indispensable relacionar estos elementos para obtener resultados explicativos acerca de las situaciones en las cuales estos estudiantes aplican los conceptos que han ido adquiriendo a lo largo de su vida colegial y, de aquella forma, extraer conclusiones que permitan determinar la importancia de este bloque curricular en la etapa estudiantil de una persona.

2.1.2 Modalidad de la investigación

En una fracción mayor, el presente trabajo investigativo fue desarrollado bajo la modalidad de investigación de campo, puesto que se entablará diálogos y entrevistas con las personas directamente involucradas en el problema a solucionar. Para comprender, en mayor magnitud, la conceptualización de esta modalidad de investigación, se cita lo siguiente:

La Investigación de campo consiste en la recolección de datos directamente de la realidad donde ocurren los hechos, sin manipular o controlar las variables. Estudia los fenómenos sociales en su ambiente natural. El investigador no manipula variables debido a que esto hace perder el ambiente de naturalidad en el cual se manifiesta (Palella Stracuzzi & Martins, 2010, p. 88).

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proporcione datos importantes para las conclusiones del presente trabajo de investigación. Muchos autores expresan su opinión acerca de la investigación documental:

La investigación documental, reúne la información necesaria recurriendo fundamentalmente a fuentes de datos en los que la información ya se encuentra registrada, tales como libros, revistas especializadas, películas, archivos, videocassettes, estadísticas, informes de investigaciones ya realizadas, etc. Aunque en toda investigación se recurre en un momento u otro a buscar información ya registrada en documentos; en la investigación documental, la información clave en la que se fundamentan las conclusiones del estudio es tomada de documentos como los ya mencionados. (Moreno Bayardo, 1987, p. 41)

Por lo tanto, el presente trabajo se direccionó a solucionar el problema planteado, aplicando una investigación documental plasmada en el marco teórico, y una investigación de campo para conocer la opinión de la población sobre los principales aspectos que involucran el tema seleccionado.

2.1.3 Método

El método deductivo ha sido seleccionado para llevar a cabo esta investigación, porque se inicia de algo general, para establecer las causas y consecuencias del problema en un contexto particular. Para esto, Garza, Ana (2007) manifiesta que el método deductivo “consiste en establecer proposiciones particulares a partir de proposiciones generales, como en el silogismo de los profesores y los marcianos” (p. 18). Otro autor proporciona su opinión acerca del método deductivo:

Es un método de razonamiento que consiste en tomar conclusiones generales para explicaciones particulares. El método se inicia con el análisis de los postulados, teoremas, leyes, principios, etcétera, de aplicación universal y de comprobada validez, para aplicarlos a soluciones o hechos particulares. (Bernal Torres, 2006, p. 56)

Por tanto, es necesario que se pueda verificar información indagada en la investigación documental con datos obtenidos directamente con la población que es objeto de estudio del presente trabajo. La unificación de estos dos métodos de investigación permite elevar la confiabilidad de las conclusiones obtenidas mediante un análisis exhaustivo y comparativo de las fuentes bibliográficas con las fuentes de información directa.

2.1.4 Población