Matematica Vectores-grupo 1

DEFINICIÓN DE VECTOR

Un vector fijo es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).

Módulo del vector:

Es la longitud del segmento AB, se representa por

Dirección y sentido del vector:

DIRECCIÓN DE UN VECTOR:

Es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.

SENTIDO DEL VECTOR:

El que va del origen A al extremo B.

Dos puntos A y B determinan dos vectores fijos y , con sentido distinto, que se llamanvectores opuestos.

Vector nulo:

Un vector fijo es nulo cuando el origen y su extremo coinciden.

SUMA DE VECTORES

Para sumar dos vectores libres y se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector.

Regla del paralelogramo

Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose

un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

PROPIEDADES DE LA SUMA DE VECTORES

+ ( + ) = ( + ) +

2 Conmutativa

+ = +

3 Elemento neutro

+ =

4 Elemento opuesto

+ (− ) =

RESTA DE VECTORES

Para restar dos vectores libres y se suma con el opuesto de .

Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

MÓDULO DE UN VECTOR

El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.

El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.

1 Cálculo del módulo conociendo sus componentes

Ejemplo:

2 Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos

CARACTERÍSTICAS DE LOS VECTORES

Los vectores se representan por medio de flechas. El sentido del vector está dado por medio del indicador de la flecha o punta de flecha; la magnitud del vector está dado por el tamaño del vector y la dirección por la inclinación que tenga la flecha.

Generalmente el marco de referencia utilizado es el plano cartesiano, con el eje x positivo dirigido hacia la derecha y el eje y positivo dirigido hacia arriba.

Ejemplo. Considere los vectores D1 (verde) y D2 (azul) representados en la figura. El vector D2 tiene mayor magnitud que el vector D1 (observe el tamaño).

Según el marco de referencia propuesto, ambos tienen sentidos

opuestos y la dirección para D1 es 60º y para D2 es de 80º desde el eje negativo y (es decir, 190º).

Generalmente los vectores se representan con una letra (comúnmente la letra inicial de la propiedad que denota la cantidad) y encima de esa letra una flecha hacia la derecha. Por ejemplo:

Vector velocidad:

La magnitud de un vector se representa por medio de barras verticales:

Magnitud del vector velocidad.

El sentido del vector está dado por el signo que lo antepone. Por ejemplo, si el vector está dirigido hacia el norte, entonces el vector está dirigido hacia el sur.

Las operaciones con vectores suelen ser más complejas debido a la introducción de las nuevas propiedades (dirección y sentido).

PRODUCTO VECTORIAL

otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v. Su módulo es igual a:

El producto vectorial se puede expresar mediante un determinante:

Ejemplo

Calcular el producto vectorial de los vectores = (1, 2, 3) y = (−1, 1, 2).

Dados los vectores y , hallar el producto vectorial de dichos vectores. Comprobar que el vector hallado

es ortogonal a y .

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL

x = − x

2. Homogénea

λ ( x ) = (λ ) x = x (λ )

3. Distributiva

x ( + ) = x + x ·

4. El producto vectorial de dos vectores paralelos en igual al vector nulo.

x =

5. El producto vectorial x es perpendicular a y a .

APLICACIONES DEL PRODUCTO VECTORIAL

construcción de un vector perpendicular al plano, si se tiene dos vectores en ese plano.

PRODUCTO MIXTO

El producto mixto de los vectores , y es igual al producto escalar del primer vector por el producto vectorial de los otros dos.

El producto mixto se representa por [ , , ].

El producto mixto de tres vectores es igual al determinante que tiene por filas las coordenadas de dichos vectores respecto a una base ortonormal.

Ejemplo

Calcular el producto mixto de los vectores:

PROPIEDADES DEL PRODUCTO MIXTO

1. El producto mixto no varía si se permutan circularmente sus factores, pero cambia de signo si éstos se trasponen.

PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES

El producto escalar y el producto vectorial son las dos formas de multiplicar vectores que vemos en la mayoría de las aplicaciones de Física y Astronomía. El producto escalar de dos vectores se puede construir, tomando la componente de un vector en la dirección del otro vector y multiplicándola por la magnitud del otro vector. Esto se puede expresar de la forma:

Si se expresan los vectores en términos de los vectores unitarios i, j, y k a lo largo de las direcciones x, y, y z, el producto escalar, también se puede expresar de la forma:

APLICACIONES DEL PRODUCTO ESCALAR

Geométricamente, el producto escalar es útil para encontrar la dirección entre vectores en el espacio. Puesto que las dos expresiones del

producto:

Comprenden a las componentes de los dos vectores y puesto que las magnitudes A y B se pueden calcular a partir de sus componentes, usando:

Entonces, se puede calcular el coseno del ángulo y determinar el ángulo.

El producto escalar se usa en expresiones de energía potencial magnética y en el potencial de un dipolo eléctrico.

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

Dados dos vectores a y b se llama producto escalar del vector a por el vector b (se lee a multiplicado escalarmente

porb, o a escalar b ), al escalar fruto de la siguiente operacion

a · b = axbx+ayby.

Puede comprobarse que la anterior operación puede también expresarse como el producto de los módulos de ambos vectores multiplicado por el coseno del ángulo,θ, que forman entre sí, es decir,

a · b = a b cosθ.

También se puede decir que el producto escalar nos proporciona el valor de la proyección de un vector sobre el otro.

Producto vectorial de dos vectores.

Dados dos vectores a y b , se llama producto vectorial

de a por b o a x b (se lee a multiplicado vectorialmente por b ) a un vector p perpendicular al plano formado por los dos vectores (dirección del vector). El sentido de dicho vector es el de avance de un tornillo de rosca a derechas que girara del primer vector hacia el segundo por el camino más corto. El módulo del vector producto vectorial es igual al producto de los módulos de los dos vectores por el seno de ángulo, θ, que forman (tomado desde a hasta b).

|p| =| a x b| = a b sinθ

p= a x b= a b sinθ u

donde u es el vector unitario en la dirección perpendicular al plano formado por a y b.

El producto mixto de los vectores , y es igual al producto escalar del primer vector por el producto vectorial de los otros dos.

El producto mixto de tres vectores es igual al determinante que tiene por filas las coordenadas de dichos vectores respecto a una base ortonormal.

Ejemplos:

Calcular el producto mixto de los vectores:

COSENOS DIRECTORES DE UN VECTOR

Se llaman Cosenos directores del vector Å a los cosenos de los ángulos que forman cada uno de los ejes coordenados. En un plano

tridimensional se representan:

Se identifican 3 ángulos en la imagen (Alpha = α, Beta = β, Gamma = γ) Y sus formulas para saber el tamaño del ángulo son:

Coseno de Alpha = Vector Ax / Modulo del vector |A|

Coseno de Beta = Vector Ay / Modulo del vector |A|

Coseno de Gamma = Vector Az / Modulo del vector |A|

Para saber el modulo del vector A se usa la formula:

EJEMPLO

Paso 1. Se hace la grafica

Paso 2. Se obtiene el modulo del vector con la formula

Paso 4. Representar los ángulos en la grafica.

Cosenos directores de un vector

a

– son cosenos de ángulos que forma el vector con positivos semiejes de coordinadas.

Para sacar Cosenos directores de un vector

a

es necesario las coordenadas respectivas del vector dividir en el módulo del vector.

Atributo: Suma de cuadrados de cosenos directores equivale a uno.

Así en caso del problema plano cosenos directores de un vector

a

=

{ax

;

ay}

se calculan por las fórmulas

= | a | = | a |

Ejemplo de la calculación de cosenos directores de un vector Sacar cosenos directores de un vector

a = { 3; 4 } . Solución: | a

| = (32 + 42)1/2 = (9 + 16)1/2 = (25)1/2 = 5

cos α = 3 ; cos β = 4

5 5

Así en caso del problema espacial los cosenos directores de un vector

a = {ax ; ay ; az}

cos α = ax ; cos β = ay ; cos γ = az | a | | a | | a |

Ejemplo de la calculación de cosenos directores de un vector Sacar cosenos directores de un vector

a

=

{

2; 4; 4

}

.

Solución: |

a

| = (22 + 42 + 42)1/2 = (4 + 16 + 16)1/2 = (36)1/2 = 6

cos α = 2 = 1 ; cos β = 4 = 2 ; cos γ = 4 = 2

COSENOS DIRECTORES EN EL PLANO

En una base ortonormal, se llaman cosenos directores del vector = (x,

y), a los cosenos de los ángulos que forma el vector con los vectores de la base.

Ejemplo

COSENOS DIRECTORES EN EL ESPACIO

En una base ortonormal, se llaman cosenos directores del vector = (x,

y, z), a los cosenos de los ángulos que forma el vector con los vectores de la base.

Ejemplo

APLICACIONES DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

1.- Lee los conceptos y expresa con tus palabras lo que entendiste.

2.- Escoge 3 figuras, lee la información, realiza un resumen y en el mismo indica la relación de las figuras con los conceptos. (Indica el número de las figuras que escogiste)

3.- Indica las aplicaciones de la Geometría Analítica en las dos últimas figuras.

PLANO CARTESIANO

Fue Descartes el primero que utilizó el método de las coordenadas para indicar la posición de un punto (en el plano o en el espacio), por eso se suele decir coordenadas cartesianas.

El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto.

La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen

El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.

Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades

correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.

Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.

El plano cartesiano consta de cuatro regiones que han sido llamadas cuadrantes.

El primer cuadrante es la región a la derecha del eje de las ordenadas y arriba del eje de las abscisas. Este cuadrante se conoce como el

Cuadrante I, aquí se ubicarán las coordenadas (+,+).

El Cuadrante II se encuentra en la región a la izquierda del eje de la ordenada y arriba del eje de las abscisas, en ese lugar se hallan las coordenadas (-, +).

El Cuadrante III se encuentra debajo de la abscisa, a la izquierda de la ordenada y sus coordenadas son (-, -).

El Cuadrante IV se encuentra debajo de la abscisa, a la derecha de Ia ordenada y sus coordenadas son (+,-).

PENDIENTE DE LA RECTA

Antes de referirnos a la orientación de una pendiente de la recta (si espositiva o negativa) hagamos una recapitulación:

Veamos un ejemplo.

Si tenemos

y = 3x − 4 esto es igual a,

3x − y − 4 = 0 (ecuación de la recta)

Pues hay dos maneras de hacerlo: directa e indirecta:

Indirecta:

Obtenemos dos puntos (x e y) a partir de dos valores dados a x (por ejemplo, x = 1 y x = 2), y los ponemos en la ecuación de la recta:

3x − y − 4 = 0 si (x = 1)

3(1) − y − 4 = 0

3 − y − 4 = 0

y − 7 = 0

y = 7

P1 (1, 7) = (x1, y1)

3x − y − 4 = 0 si (x = 2)

3(2) − y − 4 = 0

6 − y − 4 = 0

y − 10 = 0

y = 10

P2 (2, 10) = (x2, y2)

Ahora sustituimos en la fórmula de la pendiente:

Directa:

Basándonos en los valores de la recta podemos conseguir la pendiente:

3x − y − 4 = 0

Ax − By − C = 0

A = cantidad de x

B = cantidad de y

C = Número cualquiera

Ahora solo sustituimos en la fórmula de la pendiente

(esta es la pendiente)

Grado de inclinación

PENDIENTE POSITIVA

Cuando la recta es creciente (al aumentar los valores de x aumentan los de y), su pendiente es positiva, en la expresión analítica m > 0