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(1)

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1.- Se considera la función real de variable real definida por:

( )

2 2 3

3

15 9 24 2

2

> < < −

≤

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

+ −

+ + =

x x x

si si si

x x

f

a) Representar gráficamente la función f. Tabla de valores:

Gráfica:

b) Hállese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=1.

( )

= /

( )(

· − ₀

)

⇒ −

( )

1 = /

( )(

1· −1

)

− f x f x x x y f f x

y

(2)

(

1

)

2 8

· 2

10= − ⇒ = +

− x y x

y

( )

(

₂

)

2

1

−

= x

x f

a) Determínese los extremos relativos de f. (esbozar su gráfica).

b) Hállese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=3.

a)Los máximos y mínimos se localizan cuando:

( )

_{( )}

₍

_{( )}

( )

₎

⎩ ⎨ ⎧

→ → > < →

=

Mínimo Máximo c

f c Pto

b f b Pto c

f b f x

f

´ ,

, ( 0

0

0 _//

// /

( )

(

)

(

)

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= −

==

→

→ ± = = −

= ⇒

− =

1 1

0 1

, 0 1

0 2 1

· 4 2 · 1 · 2

3 2

1 2

2 2

/

x x

x

x x

x x x

x f

( )

(

)

( )

(

( )

)

( )

(

)

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

→ → →

> = − =

< − = − =

> = − − = − ⇒

− =

mínimo máximo mínimo

f f f x

x f

0 8 1 1 · 3 · 4 1

0 4 1 0 · 3 · 4 0

0 8 1 1 · 3 · 4 1 1

3 · 4

2 //

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

(

)

( )

⎪

⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧

→ →

− →

= − =

= − = − ⇒

0 , 1

1 , 0

0 , 1

0 1 1

1 1 0

0 1 1

2 2

mínimo máximo mínimo PUNTO PUNTO PUNTO

x f

(3)

DETALLE

c) Hállese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=3.

( )

= /

( )(

· − ₀

)

⇒ −

( )

3 = /

( )(

1· −3

)

− f x f x x x y f f x

y

( )

2·

(

2 1

)

·2 /

( )

3 2·

(

32 1

)

·2·3 96

/ = − ⇒ = − =

f x x

x

f , f

( )

3 =

(

32−1

)

2 =64

Donde:

Sustituimos en la ecuación punto tangente:

(

3

)

96· 224

· 96

64= − ⇒ = −

− x y x

y

( )

x x ax bx

f = 3+ · 2 + ·

a) ¿ Qué valores deben tomar a y b para que f tenga un máximo relativo en el punto(1,4)?

• Sí existe un máximo, entonces pertenece a la función el punto (1,4):

( )

1 =13+a·12 +b·1= 4⇒a+b=−1 f

• Para que el punto P sea máximo, se tiene que cumplir las siguientes condiciones:

( )

⎩ ⎨

⎧ < → →

= f b Pto b f b Máximo

x

f 0 0 ( ,

// /

( )

x = x +ax +bx⇒

f 3 · 2 ·

( )

3 2 2 0⇒ f/

( )

1 =3·12 +2·a·1+b =0⇒2a+b=−3

/ ₌ ₊ ₊ ₌

b ax x

x f

(4)

1 ) 2 ( 1 2

1 2 3 1

2 3 1

3 2

= − − − = → − = → − − = − − → ⎥ ⎦ ⎤ − − = →

− − = → ⎩

⎨ ⎧

− = +

b a

a a

a b

b a

b)Para a=-2 y b=8, determínense los puntos de corte de la gráfica de f con los ejes de coordenadas y determínense los puntos de inflexión de dicha gráfica de f y el eje OX

( )

x x x x

f = 3−2 2 +8

Puntos de corte:

EJE X

( )

(

)

( )

( ) ( )

CORTA NO

x x

x

CORTA NO

x x

PTO x

x x x x x x x f x

f

. 2

28 2

1 · 2

8 · 1 · 4 2 2

0 8 2

. 0

8 2

0 , 0 0

0 8 2 · 8 2 0

2

2 1 2

2 3

=→ −

± = −

− ± − − = ⇒ = + − ∗

⇒ = + − ∗

⇒ = →

= + − =

+ − = →

= →

( )

EJE Y

( )

0,0 0

0 · 8 0 · 2 0

0 f x 3 2 PTO

x= → = − + = ⇒

→

( )

Ptos de inflexión:

( )

6

3 2 6 4 0

4 6 8

4 3 8

2

///

// 2

/ 2

3 =

= = ⇒ = − = ⇒

+ − = ⇒

+ − =

x f

x x

x f x

x x f x x x x f

(

3,9,27

)

27 .

.

74 , 4 27 128 27

144 24 8 3 16 9 8 27

8 3 2 · 8 3 2 · 2 3 2 3

2 3 2

=

= = + − = + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

m c m

f

PTO de INFLEXION: ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

28 127 , 3 2

4.-Se considera la función real de variable real definida por:

( )

a x x

x x

f

− −

−

= ₂2 1

a) Determínense las asíndotas de f, especificando los valores del parámetro real a para los cuales f tiene una asidota vertical, dos asíndotas verticales o bien no tiene asíndotas verticales.

(5)

( )

(

)

( ) ( )

( )

4 1 0

2 4 1 1 1

· 2

· 1 · 4 1 1

0

2 2

− = → = + → = Δ

=→ +

± = − − − ± − − = → = − − → ∞ =

→

a a

x a

x x x

f Lim

a x

Para

4 1

− >

a , la función tendrá dos soluciones, por tanto, dos asíndotas verticales. Para

4 1

− =

a , la función tendrá una solución, por tanto, una asíndota vertical. Para

4 1

− <

a , la función tendrá no tendrá soluciones, por tanto, no tendrá asíndotas verticales( no existen soluciones con raíces negativas).

ASINDOTAS HORIZONTALES: Las asíndotas horizontales coinciden con el límite cuando x tiende a infinito de la función.

( )

(

)

= →

∞ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

− −

− =

= → =

∞ → →

∞

→ _x _x _a Ind

x Lim x

f Lim L L y

x a x

x 2

1 2

Rompemos la indeterminación dividiendo cada miembro por la x de mayor grado.

0 0

1 0 1

1 1 2 1

2

2 2 2

2 2

= → = = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

− −

− =

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

− −

− =

∞ → ∞

→ X

x a x

x x Lim x

a x

x x x

x x

x Lim L

x x

( )

∫

b =

a f x·dx 0

ASÍNDOTAS OBLICUAS: Por tener asíndotas horizontales, no tiene asíndotas oblicuas.

b)Para a=-1, calcúlense los valores reales de b para los cuales se verifica que

(

)

]

(

) (

)

(

)

(

)

( )

(

)

⎩ ⎨ ⎧

= = → = − → = − → − = −

→ = + − → = →

= + − →

= − + −

→ = + − −

+ − →

= + − =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

+ −

−

+ −

∫

1 0 0

1 · 0 1

1

1 1 0

1 0

0 1

0 1 0 0 1

0 1 1

1 2

2 1 2

2

2 0 1 2

2 0

2 2

0 2

2

b b b

b b

b

b b e e

b b Ln b

b Ln

Ln b

b Ln x

x Ln dx x

x x

b b Ln b

b

( )

4 2 2 2

− + =

x x x f

(6)

b)Calcúlense los máximos y mínimos relativos de f y determínense sus intervalos de crecimiento

c)Calcúlese la integral definida

SOLUCIÓN

a)Determínense las asíndotas de f.

ASINDOTAS VERTICALES: Las asíndotas verticales coinciden con los puntos no incluidos en el dominio, donde el límite vale infinito (no tiene imagen la función). ----Denominador igual a cero

( )

(

)

=∞→

→a x

x f

Lim 4 0 4 4 2

4

2 2 2

2 2

± = → = → = → = − → ∞ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− +

→ _x x x x x

x Lim

a x

Para _⎟⎟= =∞

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− + →

− =

−

→ ₀

8 4 2

2 ₂

2 2 _x

x Lim x

x , Hay una asíndota vertical en x=−2

Para _⎟⎟= =∞

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− + →

=

→ ₀

8 4 2

2 ₂

2 2 _x

x Lim x

x , Hay una asíndota vertical en x=2

( )

(

)

( )

(

)

= →

= → =

→ ∞

→ f x L

Lim y L y

a x

x ∞ = →

∞ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− + =

=

∞ → →

∞

→ _x Ind

x Lim x

f Lim y

x a x

x ₄

2

2 2

Aplico L´Hopital.

→ =

∞ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

∞

→ _x Ind

x Lim L

x ₂

2

Aplico L´Hopital. 1 1

2 2

= → =

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

∞

→ Ind Y

Lim L

x

ASÍNDOTAS OBLICUAS: Por tener asíndotas horizontales, no tiene asíndotas oblicuas.

b)Calcúlense los máximos y mínimos relativos de f y determínense sus intervalos de crecimiento

Los máximos y mínimos se localizan cuando:

( )

_{( )}

₍

_{( )}

( )

₎

⎩ ⎨ ⎧

→ → > < →

=

f c Pto

b f b Pto c

f b f x

f

, , ( 0

0

0 _//

// /

( )

(

) (

)

(

)

(

)

0 12 0 0

4 12 4

2 · 2 4

· 2 4

2

2 2 2

/ 2

2

= → = − → = − − = −

+ − − =

⇒ − +

= x x

x x x

x x

x x x f x

x x f

(7)

( )

(

)

( )

(

( )

−

( )

−

)

> →

− − = − → = − − = 0 4 2 2 · 12 2 0 4 12 2 2 / 2 2 / f x x x f CRECE

( )

(

)

( )

(

−

)

< →

− = → = − − = 0 4 2 2 · 12 2 0 4 12 2 2 / 2 2 / f x x x f DECRECE

La función:

(

₍

₎

)

DECRECE CRECE → +∞ → ∞ − , 0 0 ,

Por tanto tiene un máximo en el punto X=0

( )

(

)

(

)

⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − → − = − + = − + = ⇒ − + = 2 1 , 0 2 1 4 0 2 0 4 0 2 0 0 4 2 2 2 2 2 2 MÁXIMO PTO f x x x f

c)Calcúlese la integral definida:

∫

5

(

−

)

( )

3

2

· 4 f x dx x

(

)

∫

_⎟⎟ = ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − 5 3 2 2 2 4 2 · 4 dx x x

x

(

)

2

3 3 5 3 3 5 3 2 3 110 3 · 2 3 3 5 · 2 3 5 2 3

2dx x x u

x _⎟⎟=

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = ⎥ ⎦ ⎤ + = +

∫

( )

x =2x3−21x2+60x−32 f

( )

_{( )}

6.-Sea la función . Hallar sus máximos y mínimos,

intervalos de crecimiento y decrecimiento y representar la gráfica. Los máximos y mínimos se localizan cuando:

( )

(

)

⎩ ⎨ ⎧ → → > < → = Mínimo Máximo c f c Pto b f b Pto c f b f x f ´ , , ( 0 0 0 _// // /

( )

x =2x3−21x2+60x−32⇒ f/

( )

x =6x2 −42x+60=0⇒

f

( ) ( )

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = − = = = + = =→ ± = − ± = − − ± − − = → = + − → = + − ∗ 2 2 4 2 3 7 5 2 10 2 3 7 2 3 7 2 40 49 7 1 · 2 10 · 1 · 4 7 7 0 10 7 0 60 42 6 2 1 2 2 2 x x x x x x x

( )

_{( )}

( )

_{( )}

⎩ ⎨ ⎧ → > = − = ⇒ → > → < − = − = ⇒ → < → = − = MÍNIMO f MAX x f MÁXIMO f MIN x f x x f 0 3 7 5 · 2 5 0 0 3 7 2 · 2 2 0 0 7 2 / // / // //

Hallamos la coordenada y del punto máximo y mínimo.

(8)

( )

(

)

( )

5 2·5 21·5 60·5 32 250 525 300 32 7

(

5, 7

)

20 , 2 20

32 120 84 16 32 2 · 60 2 · 21 2 · 2 2

2 3

/

2 3

/

− →

⇒ − = − + − = − + −

=

→ ⇒

= − + − = − + −

= ⇒

PTO MÍNIMO

f

PTO MÁXIMO

f

( )

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

→ →

→

> = + − =

< − = + − =

> = + − = ⇒

+ − =

O CRECIMIENT

NTO DECRECIMIE

O CRECIMIENT

f f f x

x x f

0 28 10 9 · 7 9 9

0 2 10 3 · 7 3 3

0 10 10 0 · 7 0 0 10

7

2 //

2 /

(

) (

( )

⎩

⎨ ⎧

→

+∞ ∪ ∞ − →

5 , 2

, 5 2 , NTO DECRECIMIE

O

CRECIMIENT

)

GRÁFICA:

Nos ayudamos de una tabla de valores:

(9)

7.- Se considera la función

( )

x x x x

f 2

2+ +

= ,x ≠0. Determinar las asíndotas de la función. Calcular los máximos y mínimos relativos y determinar sus intervalos de crecimiento. (esbozar su gráfica)

( )

_{( )}

₍

_{( )}

( )

₎

⎩ ⎨ ⎧

→ → > < →

=

f c Pto

b f b Pto c

f b f x

f

´ ,

, ( 0

0

0 _//

// /

( )

( ) (

)

(

)

2 2 2

0 2

0 2 2

2 2 ·

1 · 1 2 2

2 1 2

2 2 2

2 2

2 2 /

2

− =

+ = → ± = → = −

⇒ = − = − − − + = + + − + = ⇒

+ + =

x x x

x

x x x

x x x x x

x x x x x f x

x x x f

( )

(

)

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

→ < − = −

= −

= − ⇒ →

<

→ > = =

= ⇒

→ >

→ = = + − = −

− =

MÁXIMO f

MAX x

f

MÍNIMO f

MIN x

f

x x

x x x x

x x

x x x f

0 2 2 2 2

4 2

0

0 2 2 2 2

4 2

4 2 0

4 4 4 2 2 2 · 2 ·

2

3 /

//

3 /

//

3 4 4

3 3 4

2 2 //

( )

x x x x

f 2

2 + +

=

( ) ( )

(

)

(

)

( ) ( )

(

)

(

2, 2 2 1

)

1 2 2

2 2 2 4 2 · 2

2 4 · 2 2

2 4 2

2 2 2

2

1 2 2 , 2 1

2 2

2 2 2 4 2

· 2

2 4 · 2 2

2 4 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2 /

+ − − →

⇒ + −

= −

− =

− − =

− − = −

+ − −

= −

+ →

⇒ +

= + =

+ =

+ = + + = + + =

⇒

PTO MÁXIMO

f

PTO MÍNIMO

(10)

( )

( ) ( )

_{( )}

( ) ( )

_{( )}

( )

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎨ ⎧

> = − = − =

→ < − = − = − =

→ < − = − = −

− − = −

→ > = = − = −

− − = −

⇒ − =

O CRECIMIENT f

NTO DECRECIMIE f

O CRECIMIENT f

x x x f

2 1 4

2 4 2

2 2 2

0 1 1

2 1 1

0 2

1 1

2 1 1

0 2 1 4 2 4

2 4 2

2 2 2

2

2 2

2 2 //

2 2 /

(

) (

)

(

) ( )

⎩ ⎨ ⎧

∪ −

→

+∞ ∪

− ∞ − →

2 , 0 0 , 2

, 2 2

, NTO DECRECIMIE

O CRECIMIENT

Hallamos las asíndotas de la función:

( )

(

)

=∞→

→a x

x f

Lim ₂ 2 2 0 2 0 0

2

= → = → = → ∞ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝

⎛ + +

→ _x x x x

x x Lim

a x

Para _⎟⎟= =∞

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝

⎛ + + →

=

−

→ ₀

2 2

0 ₂

2

2 _x

x x Lim x

x

( )

(

)

= →

= → =

→ ∞

→ f x L

Lim y L y

a x x

, Hay una asíndota vertical en x=0

( )

(

)

=∞

∞ ∞ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝

⎛ + + =

=

∞ → →

∞ →

2 2

2

x x x Lim x

f Lim y

x a x

x , NO tiene

asíndota horizontal

ASÍNDOTAS OBLICUAS: 1 1

·

1 + = +

= x x

y y =mx+n→

( )

1 1 2

2

2 1 2 2

2

2 2 2

= =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ → =

∞ ∞ =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ +

→ =

∞ ∞ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝

⎛ + +

= ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝

⎛ + +

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =→

∞ → ∞

→

∞ → ∞

→ ∞

→ ∞∞

→

x x

Lim Lim

Ind

x x Lim Ind

x x x Lim x

(11)

( )

(

)

( )

1 1 1

1

2 2

2 2 2

2

= =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ →

= ∞ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝

⎛ + + − =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− + + =

− =→

∞ → ∞

→

∞ → ∞

→ ∞

→ ∞∞

→

x x

Lim Lim

Ind x

x Lim x

x x x Lim x x

x x Lim mx x f Lim n

GRAFICA

( ) (

)

7.- Sea la función

3 32

+ − =

x x x f

( )

_{( )}

. Determinar las asíndotas de la función. Calcular los máximos y mínimos relativos y determinar sus intervalos de crecimiento. (esbozar su gráfica)

( )

(

)

⎩ ⎨ ⎧

→ → > < →

=

f c Pto

b f b Pto c

f b f x

f

´ ,

, ( 0

0

0 _//

// /

( ) (

)

( )

(

)(

₍

) (

₎

)

(

)(

₍

) (

₎

)

( )(

)

3 2 6 2

12 6

9 2 18 2

12 6 2

144 6

2 108 36 6 1

· 2

27 · 1 · 4 6 6

0 27 6 0

3 27 6 3

6 9 6

2 3

6 9 18

2

3

3 3

· 3 · 2 3

3 · 3 · 3 · 2 3

3

2 1 2

2 2

2

2 2

2 /

2

= = −

+ − =

− = − = −

− − = =→ ±

− = ±

− = + ± − = − −

± − =

→ = − + ⇒ = +

− + = +

+ − − − = +

+ − − −

= +

− − − + = +

− − + − = ⇒

+ − =

x x x

x x

x

x x

f x

(12)

( )

( ) (

)(

)

(

) ( )( )

_{( )}

( )

_{( ) ( )}

( ) ( )( )

_{( )}

( )

_{( ) ( )}

( ) ( )( )

_{( )}

( )

_{( ) ( )}

( ) ( )( )

_{( )}

( )

_{( ) ( )}

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > + = + + = + + + = → < − = − − = + + − = → < − = − − = − + − = − → > + = − − = − − + = − + + − = ⇒ + − + = O CRECIMIENT f NTO DECRECIMIE f NTO DECRECIMIE f O CRECIMIENT f x x x x f x x x x f · 5 0 · 1 0 · 1 0 · 10 3 9 · 3 3 27 6 / / / / / 2 /

( ) (

)(

)

(

)

( )

( ) ( )

( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ → < − = − = − + − = + − + − + − = − ⇒ → < → > = = + + = + + + = ⇒ → > =→ + + + = + + − − + + + = + − + − + + = MÁXIMO f MAX x f MÍNIMO f MIN x f x x x x x x x x x x x x x x x f 0 12 6 72 6 45 54 81 3 9 45 9 · 6 9 9 0 0 12 6 72 6 45 18 9 3 3 45 3 · 6 3 3 0 3 45 6 3 27 6 18 6 6 2 3 27 6 3 · 6 2 2 / // 2 / // 2 2 2 2 //

( ) (

)

3 3 2 + − = x x x f

( ) (

)

( )

( ) (

) (

)

24

(

9, 24

)

6 144 6 12 3 9 3 9 9 0 , 3 0 6 0 3 3 3 3 3 2 2 / 2 2 − − → ⇒ − = − = − − = + − − − = − → ⇒ = = + − = ⇒ PTO MÁXIMO f PTO MÍNIMO f

(

) (

)

(

) (

⎩ ⎨ ⎧ − ∪ − − → +∞ ∪ − ∞ − → 3 , 3 3 , 9 , 3 9 , NTO DECRECIMIE O CRECIMIENT

)

Hallamos las asíndotas de la función:

( )

(

)

=∞→ →a x x f

Lim

(

)

3 0 3

3 32 − = → = + → ∞ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + −

→ _x x x

x Lim

(13)

Para

(

)

_⎟⎟=

( )

− = =∞

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ − →

− =

−

→ ₀

36 0

6 3

3 3

2 2

2 _x x Lim x

x , Hay una asíndota vertical en x=−3

( )

(

)

= →

= → =

→ ∞

→ f x L

Lim y L y

a x

x

(

( )

)

(

)

₌_∞

∞ ∞ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ − =

=

∞ → →

∞ →

2 2

3 3 x x Lim x

f Lim y

x a x

x , NO tiene

asíndota horizontal

ASÍNDOTAS OBLICUAS: →

+ =mx n

y y =1·x−9= x−9

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

( )

1 1 2

2

3 2

3 · 2 3

· 3 3

3

2 2

= =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ → =

∞ ∞ =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

+ − →

= ∞ ∞ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ − =

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

+ − =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =→

∞ → ∞

→

∞ → ∞

→ ∞

→ ∞∞

→

x x

Lim Lim

Ind

x x Lim Ind

x x

x Lim x

x x Lim x

x f Lim m

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

9 9

1 9 3

9 9

3 3 9

6 3

3 · 3 3

32 2 2 2

− = − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − → = ∞ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

+ + −

= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ − + + − =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ − − − =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− + − =

− =→

∞ → ∞

→ ∞

→

∞ → ∞

→ ∞

→ ∞∞

→

x x

x

x x

Lim Lim

Ind x

x Lim

x

x x x x Lim x

x x x

Lim x x

x Lim mx x f Lim n

GRAFICA.

Para hacer la gráfica me ayudo de los puntos de corte con los ejes.

( ) (

)

0

(

3

)

0 3 0 3

( )

3,0

3 3 0

. 2

2

PTO x

x x

x x x f y

X

EJE = → − = → − = → = ⇒

+ − = → = ⇒

( ) (

) (

)

3

( )

0,3

3 9 3 0

3 0 3 3 0

.

2 2

PTO x

x x f x

Y

EJE = = ⇒

(14)

8.- Sea

( )

2 3

2 2

+ −

− =

x x

x x x f

a) Hallar el dominio b) Estudiar su continuidad.

c) Calcular las asíndotas y esbozar su gráfica.

SOLUCION

a)Dominio= R-{denominador=0}

( )

→

+ −

− =

2 3

2 2

x x

x x x f

( ) ( )

{ }

1,2 min

1 2 2 2

1 3

2 2 4 2

1 3 2

8 9 3 1

· 2

2 · 1 · 4 3 3

0 2 3

2 1 2

2

− =

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= = − =

= = + = =→ ± = − ± = −

− ± − − = → = + − ∗

R io Do

x x x

x x

b)Estudiar su continuidad:

Los puntos con discontinuidad coinciden con los puntos donde no están definidos los puntos (puntos del dominio).

Por tanto la función es continua en todo R excepto en X=1 y X=2.

( )

₍

(

₎₍

)

₎

2 2

· 1

1 · 2 3

2 2

− = − −

− =

+ −

− =

x x x

x x x x

x x x x f

Estudiamos el tipo de discontinuidad en X=1:

(15)

( )

= = →

+ −

− = + −

− =

→

→ _x _x Ind

x x Lim x

f Lim

x

x ₀

0 2 3 1

1 1 2 3 2

2 1 1

( )

(

)( ) ( )

1

1 1 2 1

1 1 · 2

1 ·

1 − − = − =− =−

−

→ _x _x

x x Lim

x

Hallamos el límite por la izquierda:

( )

0.98 1

01 . 1

99 . 0 2 99 . 0

99 . 0 2 1

1 2 1 1

− ≈ − = − = − = − = −

= ₋ −

→

→− −

x x Lim x

f Lim

x x

Hallamos el límite por la derecha:

( )

1.02 1

99 . 0

01 . 1 2 01 . 1

01 . 1 2 1

1 2 1 1

− ≈ − = − = − = − = −

= ₊ +

→

→+ +

x x Lim x

f Lim

x x

Comparamos los límites por la izquierda y la derecha y no coinciden, pero en X=1 la función no existe, por tanto:

Es discontinua evitable.

Estudiamos el tipos de discontinuidad en X=2:

Hallamos la imagen en el punto indicado:

( )

= =∞→

+ −

− = + −

− =

+ −

− =

→

→ ₀

2 2 6 4

2 4 2 2 · 3 2

2 2 2

3 2

2 2

2 _x _x

x x Lim x

f Lim

x x

( )

−∞ ≈ − = − = − = − = −

= ₋ −

→

→ − − 199

01 . 0

99 . 1 2 99 . 1

99 . 1 2 2

2 2 2

2 x

x Lim x

f Lim

x x

( )

= = ≈∞

− = − = −

= ₊ +

→

→ + + 201

01 . 0

01 . 2 2 01 . 2

01 . 2 2 2

2 2 2

2 x

x Lim x

f Lim

x x

Comparamos los límites por la izquierda y la derecha y no coinciden, la función tiene un salto infinito en X=2:

Es discontinua de salto infinito.

(16)

( )

(

)

=∞→

∞ →

x x f

Lim = →

∞ ∞ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ −

−

∞

→ _x _x Ind

x x Lim

x 2 ₃ ₂

2

Regla de L´Hopital

→ =

∞ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

− −

∞

→ _x Ind

x Lim

x ₂ ₃

1 2

Regla de L´Hopital 1 1

1 1 2 2

= ⇒ = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∞

→ Y

Lim x

( )

(

)

=∞→

→a x

x f

Lim _⎟⎟=∞→ − + = →

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ −

−

→ ₃ ₂ 3 2 0

2 2

2

x x x

x

x x Lim

a x

( ) ( )

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= = − =

= = + = =→ ± = − ± = −

− ± − − = → = + − ∗

1 2 2 2

1 3

2 2 4 2

1 3 2

8 9 3 1

· 2

2 · 1 · 4 3 3

0 2 3

2 1 2

2

x x x

x x

Para = =∞

+ −

− =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ −

− →

=

−

→ ₀

2 2 2 · 3 2

2 2 2

3

2 ₂

2 2

2 2 _x _x

x x Lim x

x ,Hay una asíndota vertical en

2

= x

Para =− =−∞

+ −

− = + −

− = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ −

− →

=

−

→ ₀

1 2 3 1

2 1 2 1 · 3 1

2 1 2

3

1 ₂

2 2

2 1 _x _x

x x Lim x

x , No hay una asíndota

vertical en x=1

ASÍNDOTAS OBLICUAS:

No hay porque hay asíndotas horizontales

GRAFICA:

Hallo los intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos y puntos de corte con los ejes para dibujar la gráfica.

a.-Puntos de corte con los Ejes

( )

(

)

( )

_{( )}

0 , 1 1

0 , 0 0

0 1 · 0 0

2 3 0

.

2 2

1 1

2 2

2

PTO x

x x x

x x

x x x x f y

X EJE

⇒ =

⇒ = → = − → = − → = + −

− = → = ⇒

( )

0

( )

0,0

1 0 2 0 · 3 0

0 0 2 3 0

. 2 3

2 2

2

PTO x

x x x x f x

Y

EJE = ⇒

− = + −

− = → = ⇒

(17)

( )

_{( )}

₍

_{( )}

( )

₎

⎩ ⎨ ⎧

→ → > < →

=

f c Pto

b f b Pto c

f b f x

f

´ ,

, ( 0

0

0 _//

// /

( )

₍

(

₎₍

)

₎

⇒

− = − −

− =

+ −

− =

2 2

· 1

1 · 2

3

2 2

x x x

x x x x

x

x x x

f

( )

₍

(

₎₍

)

₎

( ) (

₍

)

₎

₍

₎

₍

₎

( )

_{( )}

0

2 2

2 1 · 2 · 1

2 2

· 1

1 · 2 3

2 2

2 /

2 2

< + − = − − = −

− − = −

− − =

⇒ − = − −

− =

+ −

− =

x x

x x x

x x

x f

x x x

x x x x

x x x x f

La función siempre es decreciente. No tiene ni máximos ni mínimos.

(

)

⎩ ⎨ ⎧

→

+∞ ∞ − →

NUNCA O

CRECIMIENT NTO

DECRECIMIE ,

(18)

http://apruebalasmates.blogspot.com 9.- Sea

( )

12 2 2

1

2 3

− +

+ − =

x x

f

a) Hallar el dominio b) Estudiar su continuidad.

c) Calcular las asíndotas y esbozar su gráfica.

SOLUCION

a)Dominio= R-{denominador=0}

( )

→

− +

+ − =

12 2 2

1

2 3

x x

f

( )

{

3,2

}

min

3 2

6 2

5 1

2 2 4 2

5 1 2

24 1 1 1

· 2

6 · 1 · 4 1 1 0

6

0 12 2 2

2 1 2

2 2

− − =

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

− = − = − − =

= = + − = =→

± − = + ± − = − − ± − = → = − +

→ = − + ∗

R io Do

x x x

x x

b)Estudiar su continuidad:

Los puntos con discontinuidad coinciden con los puntos donde no están definidos los puntos (puntos del dominio).

Por tanto la función es continua en todo R excepto en X=-3 y X=2.

( )

12 2 2

1

2 3

− +

+ − =

x x

f

Estudiamos el tipo de discontinuidad en X=-3:

( )

=− =−∞→

− −

− = − − + −

+ − =

− +

+ − =

− → −

→ ₀

26 12 6 18

26 12

3 · 2 3 · 2

1 3 12

2 2

1

2 3 2

3 3

3 _x _x

x Lim x

f Lim

x x

( )

− = ≈+∞

− = − −

− =

− − + −

+ − − =

− +

+ − =

− −

− →

−

→ − − 2600

01 . 0

26 12

98 . 5 98 . 17

26 12

3 · 2 3 · 2

1 3 12

2 2

1

2 3 2

3 1

3 _x _x

x Lim x

f Lim

x x

(19)

( )

_{( ) ( )}

( )

=− =− ≈−∞

− −

− =

− − + −

+ − − =

− +

+ − =

+ +

+

→ −

→ + − 2600

01 . 0

26 12 002 . 6 012 . 18

26

12 3 · 2 3 · 2

1 3 12

2 2

1

2 3 2

3 1

3 x x

x Lim x f Lim

x x

Comparamos los límites por la izquierda y la derecha y no coinciden, la función tiene un salto infinito en X=-3:

Estudiamos el tipo de discontinuidad en X=2:

( )

= =∞→

− + = − +

+ =

− +

+ − =

→

→ ₀

9 12 4 8

9 12

2 · 2 2 · 2

1 2 12

2 2

1

2 3 2

3 2

2 _x _x

x Lim x

f Lim

x x

( )

( ) ( )

− = ≈+∞

− = − +

− =

− +

+ − = − +

+ − =

− −

− →

→ − − 500

01 . 0

5 12 98 . 3 92 . 7

9 12

2 · 2 2 · 2

1 2 12

2 2

1

2 3 2

3 2

2 x x

x Lim x

f Lim

x x

( )

( ) ( )

+ − = − =− ≈−∞

− =

− +

+ − = − +

+ − =

+ +

+ →

→ + + 500

01 . 0

5 12 02 . 4 08 . 8

9 12

2 · 2 2 · 2

1 2 12

2 2

1

2 3 2

3 2

2 x x

x Lim x

f Lim

x x

Comparamos los límites por la izquierda y la derecha y no coinciden, la función tiene un salto infinito en X=2:

c)Calcular las asíndotas y esbozar su gráfica.

( )

(

)

=∞→

∞ →

x x f

Lim = →

∞ ∞ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− +

+ −

∞

→ _x _x Ind

x Lim

x ₂ ₂ ₁₂

1

2 3

(20)

http://apruebalasmates.blogspot.com → −∞ = ∞ − = + + + ∞ − = ∞ − ∞ + ∞ + ∞ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ₋ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛₋ ₊ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + − ∞ → ∞

→ ₂ ₀ ₀ ₂

0 12 2 2 1 12 2 2 1 12 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 x x x x Lim x x x x x x x x Lim x x No

tiene asíndotas horizontales.

( )

(

)

=∞→ →a x x f

Lim _⎟⎟=∞→ + − = →

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + + −

→ ₂ ₂ ₁₂ 2 2 12 0

1 2 2 3 x x x x x Lim a x

( )

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = − = − − = = = + − = =→ ± − = + ± − = − − ± − = → = − + = − + ∗ 3 2 6 2 5 1 2 2 4 2 5 1 2 5 1 2 24 1 1 1 · 2 6 · 1 · 4 1 1 0 6 0 12 2 2 2 1 2 2 2 x x x x x x x

( )

Para = − =−∞

− − − = − − + − + − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + + − → − = − → ₀ 26 12 6 18 26 12 3 · 2 3 · 2 1 3 12 2 2 1 3 ₂ 3 2 3

3 _x _x

x Lim

x

x ,

Hay una asíndota vertical en x=−3

Para = − =−∞

− + − = − + + − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + + − → = − → ₀ 7 12 4 8 7 12 2 · 2 2 · 2 1 2 12 2 2 1 2 ₂ 3 2 3

2 _x _x

x Lim x x → + =mx n y

, Hay una asíndota vertical en x=2

ASÍNDOTAS OBLICUAS:

(21)

( )

(

)

₍

₎

(

) (

)

(

)

(

)

2 1 4 2 4 2 2 4 6 2 12 2 2 1 6 6 · 2 6 1 6 · 2 · 6 1 · 2 1 6 · 2 1 · 2 1 12 2 2 1 2 2 2 2 3 3 2 2 3 2 3 2 3 − = − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − → = ∞ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − → = ∞ ∞ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + + + − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + + − − + − == ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − + − + − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − + + − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − + + − = − =→ ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞∞ → x x x x x x x x Lim Ind x x Lim Ind x x x x Lim x x x x x x Lim x x x x x x Lim x x x x Lim x x x x Lim mx x f Lim n GRAFICA:

Hallo los intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos y puntos de corte con los ejes para dibujar la gráfica.

a.-Puntos de corte con los Ejes

(

)

(

)

( )

1 1,0

)

0 1 · 1 0 1 0 12 2 2 1 0

. 3 2 1 1

2

3 _x _PTO

x x x x x x x x f y X

EJE = →− + = → − − − − = → = ⇒

− + + − = → = ⇒

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⇒ − = − + + − = − + + − = → = ⇒ 12 1 , 0 12 1 12 0 · 2 0 · 2 1 0 12 2 2 1 0

. 2 3

3 2 3 PTO x x x x f x Y EJE

b.-Intervalos de crecimiento y decrecimiento,(máximos y mínimos).

( )

⇒ − + + − = 12 2 2 1 2 3 x x x x f

(

)(

) (

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

( )

36 4 2

( )

0

4 2 12 2 2 2 4 2 4 36 6 6 12 2 2 2 4 · 1 12 2 2 · 3 · 2 3 4 2 2 3 4 2 3 4 2 2 3 2 2 / > + + = + − − + − − = = − + + + − − − + − − = − + + + − − − + − = x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f

(

)

⎩ ⎨ ⎧ → +∞ ∞ − → NUNCA NTO DECRECIMIE O CRECIMIENT ,

(22)

10.-Sea

( )

. Representar su gráfica y estudiar su continuidad.

10 5

5 0

5 5

2

≤ ≤

< ≤ ⎩

⎨ ⎧

− + − =

x x si si x

x x x f

Estudiamos su continuidad en el punto X=5

( )

x =x−5→ f

( )

5 =5−5=0 f

( )

52 5·

( )

5 25 25 0

5 5

= + − = + − =

= ₋

− _→

→ x

x

Lim x

f Lim

( )

5 5 0

5 5

=

= ₊

+ _→

→ x

x

Lim x

f

Lim −

Comparamos los límites por la izquierda y la derecha y coinciden, y además tiene la misma imagen (cero) la función es continua en X=0, y por tanto es continua en el intervalo a estudiar

[ ]

0,10 .

(23)

11.-Sea . a) Estudiar su continuidad en X=1 y representar su gráfica. b) Hallar la ecuación de la recta tangente a dicha gráfica en X=1.

( )

_{( )}

1 1 1

3

2 2

> ≤ ⎩

⎨

⎧ − + =

x x si si x Ln

x x x f

Estudiamos su continuidad en el punto X=5

( )

x =2x2 −3x+1→ f

( )

1 =2·12−3·1+1=2−3+1=0 f

( )

2·12 3·1 1 2 3 1 0

1 1

= + − = + − =

= ₋

− _→

→ x

x

Lim x

f Lim

( )

1 0

1 1

= =

= ₊

+ _→

→ f x Lim Ln

Lim

x x

Comparamos los límites por la izquierda y la derecha y coinciden, y además tiene la misma imagen (cero) la función es continua en X=1.

(24)

b) Hallar la ecuación de la recta tangente a dicha gráfica en X=1.

( )

x =2x2 −3x+1

f

( ) ( )

−1 =2·−12−3·

( )

−1 +1=2+3+1=6 f

Derivada de F(X)

( )

1 3 7

· 4 ) 1 ( '

→ −

=4 3

) (

' x x

f f − = − − = −

( )(

)

( )

Ecuación punto-tangente:

( ( ))

1 7 7 6 7 1

· 7 6 ·

' ₀

0 = − → − = − − − → = − − + = − −

−y f x x x y x y x x

y

( )

2 2

2 2 3

1 2

2 _>

≤

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧

+ − − + =

x x si si

x x x

x x x f

12.-Sea

a) Estudiar su continuidad en X=2.

b) Hallar la ecuación de la recta tangente a dicha gráfica en X=3. c) Calcular las asíndotas oblicuas(representar su gráfica).

SOLUCION

a)Estudiamos su continuidad en el punto X=2

(25)

( )

4

1 4 1 2

2 2 2 1

2

= = − + = → − +

= f

x x x f

( )

4

1 4 1 2

2 2 2 2

= = − + =

= ₋

− _→

→ x

x

Lim x

f Lim

( )

3

4 12 2 2

2 · 3 2

2

3 2 2

2 2

= = + = +

− = =

+

+ _→

→ _x

x x Lim x

f Lim

x x

Comparamos los límites por la izquierda y la derecha y no coinciden, el límite por la derecha es 3 y por la izquierda es 3, En X=2, la función es discontinua de salto finito. b)Hallar la ecuación de la recta tangente a dicha gráfica en X=3

( )

2 2 3 2

+ − =

x x x x f

( )

5 21 5

6 27 2

3 3 · 2 3 · 3 3

2

= − = +

− =

f

Derivada de F(X)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

+

)

→

− + = +

+ − − − + = +

− − + −

= ₂ 2 2 ₂ 2 2 ₂

2 4 12 3 2

2 3 4 2 12 6

2

1 · 2 3 2 · 2 6 ) ( '

x x x

x

x x x

x x

x

x x x

x x f

(

)

25

59 25

4 36 27 2

3

4 3 · 12 3 · 3 ) 3 (

' ₂

2

= − + = +

− + =

f

( )(

)

(

)

25 72 25 59 5 21 25 177 25

59 3

· 25 59 5 21 ·

' ₀

0 = − → − = − → = − + = −

y

c)Calcular las asíndotas oblicuas (representar su gráfica).

(26)

( )

2 2

2 2 3

1 2

2 _>

≤

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧

+ − − + =

x x si si

x x x

f

*) Para: X ≤2→

→ + =mx n y

( )

0 1 1 2

1 2

2 ⎟=∞ =

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

− →

= ∞ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

− + =

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

− + =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =→

∞ → ∞

→ ∞

→ ∞∞

→ _x _x Ind Lim _x

x Lim x

x x Lim x

x f Lim m

x x

No tiene asíndotas oblicuas cuando X ≤2

*) Para: X >2→

→ + =mx n

y y=3x−8

( )

3 2 6

2 2

2 6 2

2 3 2

2 3

2 2 2

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ → =

∞ ∞

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

+ − →

= ∞ ∞ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ − =

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

+ − =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =→

∞ →

∞ → ∞

→ ∞

→ ∞∞

→

x

x x

Lim Ind

x x Lim Ind

x x

x x Lim x

x x x Lim x

x f Lim m

( )

(

)

(

)

(

)

8 1

8 2

6 3 2 3

2 2 · 3 2 3 ·

3 2

2 3

2 2

− = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − → = ∞ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

+ − =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ − − − =

= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ + − − =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− +

− =

− =→

∞ → ∞

→ ∞

→

∞ → ∞

→ ∞∞

→

x x

x

x x

x

Lim Ind

x x Lim x

x x x x Lim

x x x x x Lim x

x x x Lim mx x f Lim n

(27)

b) Hallar la ecuación de la recta tangente a dicha gráfica en X=1.

( )

x =2x2 −3x+1 f

( ) ( )

−1 =2·−12−3·

( )

−1 +1=2+3+1=6 f

Derivada de F(X)

( )

1 3 7

· 4 ) 1 ( '

→ −

=4 3

) (

' x x

f f − = − − = −

( )(

)

( )

( ( ))

1 7 7 6 7 1

· 7 6 ·

' ₀

0 = − → − = − − − → = − − + = − −

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)

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(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

(

)

( )

( )

( )

( )(

)

( )

( )(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

_{( )}

₍

_{( )}

₎

_{( )}

₍

_{( )}

₎