MATEMÁTICA DUODÉCIMO GRADO BACHILLER EN HUMANIDADES

MATEMÁTICA

DUODÉCIMO GRADO

BACHILLER EN HUMANIDADES

Ministerio de educación

Dirección regional de educación de san miguelito

Instituto Rubiano

Matemática Tercer trimestre

Duodécimo grado

Bachiller en humanidades

Preparado por:

PROFESORES

Raquel Atencio ([email protected])

(Horas de atención) miércoles: 9:00 a.m./9:20 a.m.; jueves: 9:00 a.m./9:20 a.m.

Vilma Prado ([email protected])

(Horas de atención) miércoles: 9:00 a.m./9:20 a.m.; jueves: 9:00 a.m./9:20 a.m.

Gloribeth Vega ([email protected])

(Horas de atención) martes: 3:30 p.m./3:50 p.m.; jueves: 1:30 p.m./1:50 p.m.

Hernán Castillo ([email protected])

(Horas de atención) lunes: 1:30 p.m./1:50 p.m.; martes: 2:30 p.m./2:50 p.m.

Índice

Contenido Desigualdades

a. Desigualdades lineales 6

b. Desigualdades cuadráticas 16

c. Desigualdades racionales 21

d. Bibliografía 27

PRESENTACIÓN

Esta guía de auto instrucción se encuentra dirigidas a los estudiantes que cursan el duodécimo grado de los Bachilleres de Ciencias y Tecnología e Informática del Instituto Rubiano, para ser desarrollada por el alumno desde su casa de forma no presencial.

Las mismas tienen como objetivo lograr el aprendizaje de conocimientos básicos de Matemáticas con los cuales debe contar el alumnado para poder seguir satisfactoriamente sus estudios a nivel universitario.

Es importante que pongas todo tu empeño y esfuerzo en lograr cada uno de los objetivos propuestos, exhortándote cumplir con responsabilidad las lecturas de las partes teóricas, de los ejemplos resueltos, la observación de los videos de apoyo y la realización de las actividades, de manera que lleguemos con éxitos al final de esta nueva experiencia de aprendizaje.

INDICACIONES GENERALES

Las guías didácticas son publicadas especialmente para los estudiantes que no se pueden conectar a las clases a través de Microsoft Teams. En cada una se muestran las definiciones, ejemplos y asignaciones respectivas. También se encuentran páginas web, vídeos y bibliografía para que el alumno pueda complementar el contenido.

Las asignaciones que el alumno debe desarrollar y entregar deben ser enviadas al correo institucional del profesor (a) en un único archivo en formato PDF.

OBJETIVO GENERAL

❖ Manifestar una actitud constructiva y reflexiva ante problemas planteados en la resolución de situaciones de su entorno.

❖ Resuelve correctamente situaciones reales que involucren diferentes tipos de desigualdades, aplicando sus propiedades y procesos de solución.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

❖ Comprende el concepto de intervalos y reconoce los mismos.

❖ Define una desigualdad y los diferentes tipos de desigualdades.

❖ Resuelve desigualdades no lineales aplicando el método de la tabla de signos y la regla de los signos de un producto.

INDICADORES DE LOGROS

❖ Utiliza con precisión la simbología de relaciones de orden y la notación de los intervalos.

❖ Aplica correctamente las propiedades de las desigualdades y los procesos de solución.

❖ Resuelve, con claridad, problemas reales que involucren la aplicación de las inecuaciones.

GUÍA DIDÁCTICA DESIGUALDADES

ACTIVIDAD DE INICIO:

Utilizando la tecnología, observa los siguientes videos instructivos del tema.

➢ https://www.youtube.com/watch?v=yhdmoH_lyeU

➢ https://www.youtube.com/watch?v=q5Yfn5DMlDc

➢ https://www.youtube.com/watch?v=jSZWvCh2PqI

➢ https://www.youtube.com/watch?v=1CmeGrYDgLU&t=33s

➢ https://www.youtube.com/watch?v=sjJp1zfWZq4

ACTIVIDAD DE DESARROLLO:

No se sabe exactamente el origen de las inecuaciones o desigualdades, pero se cree que se originaron poco después de las ecuaciones (1700aC. - 1700dC.), debido al surgimiento de un problema en el cual la respuesta podía ser más de una absoluta, sino que podía contener un grupo de números.

Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden existente entre dos expresiones algebraicas conectadas a través de los signos: desigual que ≠, mayor que >, menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥, resultando ambas expresiones de valores distintos.

Como nos indica el primer texto las desigualdades nos permite encontrar un conjunto de soluciones para un mismo problema, a los cuales llamaremos intervalo solución.

DESIGUALDADES

Propiedades de las desigualdades:

Regla 1

Cuando un número real c se suma o se resta a ambos lados de una desigualdad, el sentido de la desigualdad no se altera:

Si a < b entonces a + c < b + c y a − c < b − c

Ejemplo 1:

3 < 8 → 3+𝟕 < 8 + 7 ∴ 10 < 15 3 < 8 → 3−𝟏𝟓 < 8 − 15 ∴ −12 < −7

(→ 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂 "𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔"); (∴ 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂 "𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐") Regla 2

Cuando multiplicamos o dividimos por un número real c positivo a ambos lados de una desigualdad, el sentido de la desigualdad no se altera:

Si a < b entonces a ∙ c < b ∙ c y

^𝒂

<

^𝒃

𝒄 𝒄 Ejemplo2:

2 < 10 → 𝟐 × 𝟓 < 𝟏𝟎 × 𝟓 ∴ 𝟏𝟎 < 50

𝟖

<

^𝟏𝟔

∴ 4 < 8

𝟐 𝟐

Regla 3

Cuando multiplicamos o dividimos por un número real c negativo a ambos lados de una desigualdad, el sentido de la desigualdad se cambia:

Si a < b entonces a ∙ c > b ∙ c y a > b

𝐜 𝐜

Ejemplo 3:

−𝟗 < 𝟏𝟓 → −𝟗 × −𝟓 > 𝟏𝟓 × −𝟓 ∴ −𝟒𝟓 > −𝟕𝟓

8 < 16 →

^𝟖

𝟐

>

^𝟏𝟔

𝟐

∴ - 4 > - 8

Tipos de intervalos solución

Los intervalos solución pueden ser abiertos y se representan con los símbolos <, >. Este tipo de intervalos utiliza los paréntesis para su representación ( )

Los intervalos cerrados se representan con los símbolos ≤, ≥. Este tipo de intervalos utiliza los corchetes para su representación [ ].

El conjunto de soluciones para una desigualdad, lo podemos expresar en notación de intervalos o en forma gráfica.

Tipo de intervalo Notación de intervalos Gráfica Intervalo abierto

(utilizan paréntesis) (a, b)

a b

Intervalo cerrado

(utilizan corchetes) [a, b]

a b

Intervalos semi

abiertos por la derecha [a, b) _

a b

Intervalo semi abierto

por la izquierda (a, b]

a b

Intervalos infinitos

(a, ∞)

[a, ∞)

a (-∞, b)

(-∞, b]

b R o (-∞, ∞)

Ejemplo: Escriba la desigualdad en forma de notación de intervalo y en forma gráfica Desigualdad Notación de intervalo Gráfica

−3 < 𝑥 ≤ 4

(-3, 4]

Semi abierto por la

izquierda -3 4

𝑥 > 6 (6, ∞)

Intervalo infinito 6

𝑥 ≤ −4 (-∞, -4]

Intervalo infinito -4

−7 ≤ 𝑥 ≤ 2 [-7, 2]

Intervalo cerrado -7 2

Una desigualdad lineal con una variable x es una proposición que puede ser escrita de la forma

𝒄𝒙 + 𝒃 > 𝟎

, (o bien ≥) donde c y b son constantes con 𝐜 ≠ 𝟎

¿Qué significa resolver una desigualdad lineal?

Resolver una desigualdad es hallar todos los valores x que hacen verdadera esta relación. La manera para resolver desigualdades lineales es llevarla a otra equivalente de la forma

𝒙 > 𝒂

o cualquiera de las otras tres formas cuya solución es evidente:

𝒙 < 𝒂; 𝒙 > 𝒂; 𝒙 ≤

𝒂 ó 𝒙 ≥ 𝒂.

Para llevarla a alguna de estas formas debemos tener en cuenta ciertas reglas que se enuncian a continuación.

DESIGUALDADES LINEALES.

Ejemplo 1.

Resuelva la siguiente desigualdad:

2(3 − 𝑥) ≤ 5 − 4𝑥

Solución:

Resolver el producto indicado 2 (3 – x)

6 − 2x ≤ 5 − 4x

Luego se dejan los términos en x en un lado y las constantes en el otro lado. El 6

está sumando pasa restando y el 4x está restando pasa sumando sin alterar el

sentido de la desigualdad

−2x + 4x ≤ 5 − 6

Se reducen los términos semejantes

2x ≤ −1

Ahora, el 2 está multiplicando, pasa dividiendo sin alterar el sentido de la

desigualdad

−1 x ≤

2 1 x ≤ −

2

Expresaremos la solución en notación de intervalos y gráficamente

Conjunto solución:

(−∞, −

^𝟏

]

𝟐

−∞ −1

2

𝟏 𝒕 𝟑+𝒕

Ejemplo 2. Resuelva la siguiente desigualdad:

− <

𝟒 𝟑 𝟐

Solución:

Buscamos el

𝒎. 𝒄. 𝒎 ( 𝟒, 𝟑, 𝟐) = 𝟏𝟐, se multiplica cada término por el m.c.m

(12)

¹

− (12)

^𝑡

< (12)

^3+𝑡

4 3 2

3 − 4𝑡 < 6(3 + 𝑡)

Se resuelve el producto indicado 6(3 + t)

3 − 4𝑡 < 18 + 6𝑡

Luego se dejan los términos en t en un lado y las constantes en el otro lado. El 3 está sumando pasa restando y el 6t está sumando

pasa restando sin alterar el sentido de la desigualdad

−4𝑡 − 6𝑡 < 18 − 3

Se reducen los términos semejantes

−10𝑡 < 15

Ahora, el -10 está multiplicando, pasa dividiendo, cambiando (por ser negativo) el

sentido de la desigualdad

15 3

𝑡 > ; 𝑡 > −

−10 2

Expresaremos la solución en notación de intervalos y gráficamente:

Conjunto solución:

(−

³

, ∞ )

2

−3 ∞

2

−𝟑𝒙−𝟏

Ejemplo 3. Resuelva la siguiente desigualdad

: 𝟒 < < 𝟕

𝟐

Solución:

Se trata de una desigualdad simultánea.

Una estrategia para utilizar es hallar primero el mcm: 2, y se multiplica cada término por ese

común denominador 2.

(2)(4) < (2)

^−3𝑥−1

< (2)(7)

2

8 < 1(−3𝑥 − 1) < 14

Se resuelve el producto indicado

8 < −3𝑥 − 1 < 14

Luego se dejan los términos x en el medio y las constantes que la acompañan pasan a la izquierda

y a la derecha. El -1 pasa sumando a ambos lados sin alterar el sentido de la desigualdad

8 + 1 < −3𝑥 < 14 + 1

Se reducen los términos semejantes

9 < −3𝑥 < 15

Ahora, el -3 está multiplicando, pasa dividiendo a ambos lados cambiando (por ser negativo) el

sentido de la desigualdad

9

> 𝑥 >

¹⁵

−3 −3

−3 > 𝑥 > −5

Se escribe poniendo el número menor a la izquierda

−5 < 𝑥 < −3

Expresaremos la solución en notación de intervalos y gráficamente:

Conjunto solución: (−5, −3)

−

𝟓 −𝟑

INSTITUTO RUBIANO

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ASIGNACIÓN SUMATIVA # 1 DESIGUALDADES LINEALES

Nombre: Grupo:

Profesor: Fecha: Puntos: / 50

I. En los siguientes problemas, escriba la desigualdad en notación de intervalos y luego trace la gráfica del intervalo. 10 puntos

DESIGUALDAD INTERVALO GRÁFICO

x ≥ −12

x < −19

−7 < x ≤ 10

−20 ≤ x < −13

5 < x ≤ 15

ACTIVIDAD DE CIERRE:

II. Determina el intervalo solución de las siguientes inecuaciones de primer grado, con una incógnita. De su respuesta como intervalo y como gráfico. Recuerda escribir todos los procedimientos. 30 puntos

15x − 6(x + 3) ≤ 3x 1 1 1 2

4 x − 3 ≤

6 x + 3

3(x – 1) + 5 ≤ 5(x + 2)

(x + 2) (x − 1) + 26 < (x + 4)(x + 5)

−8 ≤ −1 + 3x ≤ 11 x + 6

−6 ≤

2 ≤ 0

Puntuación esperada

Aspectos por evaluar Puntuación obtenida

Observaciones

5 Puntualidad. Entrega a fecha indicada por el docente,

según organización del colegio.

2 Limpieza y orden. No se aprecian borrones, tachones.

3 Expresa adecuadamente la solución de cada problema.

40 Desarrolla correctamente todos los procedimientos de

acuerdo con las fórmulas y propiedades.

.

CALIFICACIÓN.

Observar los siguientes videos

➢ https://www.youtube.com/watch?v=keJwrVpvarI

➢ https://www.youtube.com/watch?v=7OoLfOeKCIA&t=500s

➢ https://www.youtube.com/watch?v=p3Sv3Wa5qYQ

➢ https://www.youtube.com/watch?v=CiCp1-3n3sU

Se muestra cómo resolver desigualdades que contienen una expresión cuadrática. En los próximos ejemplos se mostrará el uso de la tabla de signos y las propiedades del signo de un producto.

Propiedades del signo de un producto: el producto de dos números reales es positivo (negativo) si y sólo si los números tienen signos iguales (opuestos).

REGLAS PARA RESOLVER DESIGUALDADES CUADRÁTICAS.

i) Use las propiedades de las desigualdades para replantear la desigualdad dada en forma tal que todas las variables y constantes diferentes de cero se encuentren del mismo lado del símbolo de desigualdad y el número cero quede del otro lado.

ii) Luego, si es posible, factorizamos el lado distinto de cero de la desigualdad.

iii) Obtenemos las raíces igualando a cero cada factor. Estos números dividen la recta numérica en intervalos.

iv) En cada uno de estos intervalos, determine el signo de cada factor y luego determine el signo del producto aplicando las propiedades de los signos de un producto.

Para resolver una ecuación cuadrática se utilizan los conceptos de números críticos y número de prueba.

ACTIVIDAD DE INICIO:

DESIGUALDADES CUADRÁTICAS

ACTIVIDAD DE DESARROLLO:

Ejemplo 1. Resuelva la desigualdad:

𝐱

^𝟐

+ 𝟐𝐱 − 𝟏𝟓 > 𝟎

SOLUCIÓN:

Comenzamos factorizando la expresión cuadrática puesto

que uno de los lados es igual a cero.

𝑥

²

+ 2𝑥 − 15 > 0 (𝑥 + 5) ( 𝑥 -3) > 0

Ahora buscamos los puntos críticos en la ecuación

(𝒙 + 𝟓) ( 𝒙 − 𝟑) = 𝟎.

Obtenemos que

𝑥 + 5 = 0 𝑜 𝑥 − 3 = 0:

𝑥 = −5 𝑜 𝑥 = 3

Estos valores dividen la recta real en tres intervalos:

(−∞, −5

)

(−5,3)

(3, ∞ ).

−5 3

Sabemos que

𝒙 = −𝟓

y

𝒙 = 𝟑

son los puntos crítico

s

que satisfacen la ecuación

𝒙^𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓 > 𝟎.

Deseamos determinar el signo de la expresión

𝒙^𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓 en los intervalos:

(−∞, −𝟓), (-5,3) y (3, ∞). Para esto determinamos el signo de cada uno de los factores usando un valor de 𝒙 en cada uno de los intervalos. Este valor particular de 𝒙 se

conoce como valor prueba.

x < - 5; -5< x < 3 ; x > 3

Intervalos

(−∞, −5) (-5,3) (3, ∞)

Signo de 𝑥 +5

- + +

Signo de 𝑥 -3

- - +

Signo de(𝑥 +5)(𝑥 -3)

+ - +

Construimos una tabla, llamada una tabla de signos, para organizar la información obtenida:

Por ejemplo, para determinar el signo del factor 𝒙 +5 en el intervalo (−∞, −𝟓) escogemos un valor de x que este en este intervalo, digamos x = -8 y lo substituimos en 𝒙 +5.

Obtenemos 𝒙 +5 = -8 +5= -3. Luego 𝒙 +5 es negativo en el intervalo (−∞, −𝟓). Por otro lado, 𝒙 -3 = -8-3 = -11 por lo que 𝒙 -3 es negativo en el intervalo (−∞, −𝟓).

Repetimos este procedimiento para los otros dos intervalos.

El signo de (𝒙 + 5) (𝒙 -3) se obtiene multiplicando el signo de 𝒙 +5 con el signo de 𝒙 -3. Nos interesa saber dónde (𝒙 + 5) (𝒙 -3) > 0, es decir dónde (𝒙 + 5) (𝒙 -3) es positivo.

Esto ocurre en (−∞, −𝟓) U (3, ∞ ).

Ejemplo 2. Resuelva la desigualdad 𝒙^𝟐 ≤ 𝟕𝒙 + 𝟒𝟒

Solución: Primero

despejemos para que un lado de la desigualdad sea cero y factoricemos la expresión resultante:

𝑥² ≤ 7𝑥 + 44 𝑥² − 7𝑥 − 44 ≤ 0 (𝑥 − 11) (𝑥 + 4) ≤ 0

Resolvemos la ecuación (x - 11) (x + 4) = 0.

Obtenemos los puntos críticos

x + 4 = 0 o x -11 = 0.

Luego

x = - 4 o x = 11 Ahora construimos una tabla de signos.

(−∞, −4) z (-4,11) (11, ∞ ).

-4 11

Intervalos (−∞, −4) (-4,11) (11, ∞ )

Signo de 𝑥 -11 - - +

Signo de 𝑥 + 4 - + +

Signo de (𝑥 -11)( 𝑥 +4) + - +

Buscamos todos los valores de x tales que (𝒙 + 𝟒) (𝒙 − 𝟏𝟏) ≤ 0.

(𝒙 + 𝟒) (𝒙 − 𝟏𝟏) es menor que cero en el intervalo (-4, 11) e igual a cero en x = -4 y en x = 11.

Luego la solución de la desigualdad es el intervalo [-4, 11].

Ejemplo 3. Resuelva la desigualdad 𝟒𝟓 ≤ 𝟒𝒙^𝟐 + 𝟐𝟒𝒙 SOLUCIÓN. Primero despejemos

para que un lado de la desigualdad sea cero y factoricemos la expresión resultante:

45 ≤ 4𝑥² + 24𝑥 0 ≤ 4𝑥² + 24𝑥 − 45 4𝑥² + 24𝑥 − 45 ≥ 0 (2𝑥 + 15) (2𝑥 − 3) ≥

0

Resolvemos la ecuación (𝟐𝒙 + 𝟏𝟓) (𝟐𝒙 − 𝟑) = 0.

Obtenemos los puntos críticos:

𝟐𝒙 + 𝟏𝟓 = 𝟎 𝒐 𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟎 Luego

𝒙 = − ^𝟏𝟓 𝒐 𝒙 = ^𝟑

𝟐 𝟐

Ahora construimos una tabla de signos.

(−∞, − ¹⁵) (− ¹⁵, ³ ) ( ³, ∞ ).

2 2 2 2

− 15 3

2 2

Intervalos (−∞, − ^𝟏𝟓) (− ^𝟏𝟓, ^𝟑) ( ^𝟑, ∞ )

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

Signo de 2𝑥 + 15 - + +

Signo de 2𝑥 - 3 - - +

Signo de (2𝑥 + - +

+15)( 2𝑥 -11)

Buscamos todos los valores de x tales que (𝟐𝒙 + 𝟏𝟓) (𝟐𝒙 − 𝟑) ≥ 0

(𝟐𝒙 + 𝟏𝟓) (𝟐𝒙 − 𝟑) es mayor que cero en el intervalo (−∞, 15) o en intervalo (3, ∞) igual a cero en 2 𝟐

x = 1 5 y en x = 3

𝟐 2

Luego la solución de la desigualdad es el intervalo (−∞, ¹⁵] U [ ^𝟑, ∞) .

𝟐 𝟐

ACTIVIDAD DE CIERRE:

Desarrolla la siguiente actividad de aprendizaje.

INSTITUTO RUBIANO

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ASIGNACIÓN SUMATIVA NO.2 DESIGUALDADES CUADRÁTICAS

Nombre: Grupo:

Fecha: Profesor: Puntos: /50

I PARTE. En los problemas siguientes problemas, escriba la desigualdad en notación de

intervalos y luego trace la gráfica del intervalo. Recuerda escribir todo el procedimiento. 5 puntos c/u

5𝑥² + 4𝑥 − 1 ≥ 0 𝑥² − 2𝑥 − 5 ≥ 3

𝑥 (3𝑥 + 5) > 0 2𝑥² + 𝑥 − 1 < 0

3𝑥² − 7𝑥 < 0 2𝑥² − 7𝑥 + 3 ≤ 0

𝑥² + 10𝑥 ≤ 0 3𝑥² + 10𝑥 ≥ 8

DESIGUALDADES RACIONALES

.

Ahora estudiaremos las desigualdades racionales. Las desigualdades racionales pueden resolverse mediante el procedimiento anterior, excepto que colocamos los ceros tanto del numerador P(x) como del denominador Q(x) en la recta numérica y usamos las propiedades de los signos de un cociente.

Una inecuación racional es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas que tienen una sola incógnita, la cual APARECE en el DENOMINADOR. El numerador puede ser una inecuación lineal o cuadrática, y en el denominador también, Ejemplos:

;

Resolver una inecuación racional en una variable significa encontrar el conjunto de números reales (Intervalo) que satisface la desigualdad. Para ello, recurrimos a las propiedades básicas de las desigualdades.

REGLAS PARA RESOLVER DESIGUALDADES RACIONALES

i) Use las propiedades de las desigualdades para replantear la desigualdad dada en forma tal que todas las variables y constantes diferentes de cero se encuentren del mismo lado del símbolo de desigualdad y el número cero quede del otro lado.

ii) Luego, si es posible, factorice los polinomios 𝑃(𝑥) 𝑦 𝑄(𝑥) en factores lineales.

iii) Marque la recta numérica en los ceros reales de 𝑃(𝑥) 𝑦 𝑄(𝑥). Estos números dividen la recta numérica en intervalos.

iv) En cada uno de estos intervalos, determine el signo de cada factor y luego determine el signo del cociente aplicando las propiedades de los signos de un cociente.

Ejemplo 1. Resuelva la desigualdad Solución: En esta inecuación

debemos calcular los intervalos donde la función racional es menor que cero, es decir, los intervalos donde la función racional sea negativa:

Para ello vamos a obtener en primer lugar los puntos donde la función cambia de signo.

Esos puntos los obtenemos igualando el numerador a cero por un lado e igualando el denominador a cero por otro lado.

Despejamos x

Obtenemos los puntos críticos

x - 2 = 0 o x +2 = 0.

Luego

x = 2 o x = -2

Ahora construimos una tabla de signos.

Es importante recalcar que el valor que resulta de igualar el denominador a cero, nunca se toma, ya que el denominador de una función racional nunca puede ser cero. Por tanto, el -2, también queda abierto.

Puntos críticos:

x< -2 -2 < x < 2 x > 2

Intervalos (-∞, -2) ( -2. 2) (2, ∞)

Valor de prueba -3 +1 4

Signos de x-2 - - +

Signos de x+2 - + +

Signos de + - +

x-2/x +2

Evaluamos todos los valores de pruebas en x < -2, -2 < x < 2 y x > 2

Para terminar, la solución de nuestra inecuación son los valores de x que hacen que la función sea menor que cero, es decir los tramos negativos:

Luego la solución de la desigualdad es el intervalo (-2, 2).

Ejemplo 2. Resuelva la desigualdad

SOLUCIÓN: Primero

organizamos los ceros del numerador y el denominador, de la expresión racional a la izquierda del símbolo de desigualdad, en la recta numérica, desde la más pequeña hasta la más grande de la siguiente manera.

x – 2 = 0

x =2

x + 1

x=

=

- 0

1

Seleccione un valor de x en

cualquiera de los intervalos y (- -∞, -1) (- 1, 2) (2, ∞ ).

úselo para encontrar el signo de la expresión racional. Ejemplo para x =-3 en el intervalo (-∞, -1)

Intervalos (-∞, -1) ( -1. 2) ( 2, ∞)

Los ceros -1 y 2 son de una

Valor de

prueba -3 +1 4

multiplicidad impar y, por lo tanto, el Signos de x-2

Signos de x+1 -

- -

+ +

+ signo de la expresión (x - 2) / (x + 1)

cambiará en ambos ceros a medida que

Signos de x-2/x +1

+ - +

avancemos de un intervalo a otro.

Buscamos todos los valores de x:

Seleccione un valor de x en cualquiera de los intervalos y úselo para encontrar el signo de la expresión racional. Ejemplo para x = -3 en el intervalo (-∞, -1) la expresión racional (x - 2) / (x + 1) = (- 3 - 2) / (- 3 + 1) = 5 / 2. Por lo tanto, la expresión racional (x - 2) / (x + 1) es positiva en el intervalo (-∞, -1)

.

El conjunto de solución de la desigualdad viene dado por la unión de todos los intervalos donde (x - 2) / (x + 1) es positivo o igual a 0. De ahí que la solución establecida para la desigualdad anterior, en notación de intervalo, esté dada por:

(-∞, -1) 𝖴 [ 2, +∞)

Ejemplo 3. Resuelva la desigualdad

Solución: Primero

reescribimos la desigualdad dada con el lado derecho igual a cero.

Luego, despejemos para que un lado de la desigualdad sea cero y factoricemos la

expresión resultante:

Use x + 3 como un

denominador común para reescribir el lado izquierdo de la desigualdad como

expresiones racionales individuales de la siguiente manera: agregue las dos expresiones racionales;

organizamos los ceros del numerador y el denominador en la recta numérica desde la más pequeña a la más

grande.

Ahora construimos una tabla de signos.

(-∞, -5) (-5,-3) (-3, ∞ ).

Intervalos (-∞, -5) ( -5. -3) ( -3, ∞) Valor de

prueba

-6 +1 4

Signos de x+5 - - +

Signos de x+3 - + +

Signos de

-x-5/x +3 + - +

Buscamos todos los valores de x.

Seleccione un valor de x en el intervalo (-∞, - 5) y úselo para encontrar el signo de la expresión racional. Ejemplo para x = - 6, la expresión racional (-x - 5)(x + 3) = (6- 5) /(- 6 + 3) = -1 / 3. De ahí la expresión racional (-x - 5) (x + 3) es negativo en el intervalo (- ∞, - 5).

Los ceros - 5 y - 3 son de multiplicidad impar y, por lo tanto, el signo de (-x - 5) (x + 3) cambiará en ambos ceros. Por lo tanto, los signos de la expresión (-x - 5) (x + 3) a medida que avanzamos de izquierda a derecha.

El conjunto de soluciones de la desigualdad viene dado por la unión de todos los intervalos donde (-x - 5) (x + 3) es negativo o igual a 0. Por lo tanto, el conjunto de soluciones para la desigualdad anterior, en notación de intervalo, está dado por:

(

-∞, - 5] 𝖴 (- 3, + ∞)

ACTIVIDAD DE CIERRE:

Desarrolla la siguiente actividad de aprendizaje.

INSTITUTO RUBIANO

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ASIGNACIÓN SUMATIVA NO.3 DESIGUALDADES RACIONALES

Nombre: Grupo:

Fecha: Profesor: Puntos: /50

I PARTE. En los problemas siguientes problemas, escriba la desigualdad en notación de intervalos y luego trace la gráfica del intervalo. Recuerda escribir todo el procedimiento.

10 puntos c/u.

I. RESUELVE LAS SIGUIENTES DESIGUALDADES. EXPRESA TUS RESULTADOS EN INTERVALOS Y GRAFICO.

1. 4

3𝑥+2 > 0 3

2. ≤ 0

2𝑥+5 3. 𝑤+5

𝑤−6 ≥ −9 4𝑥²−3𝑥+8

4. ≥4

𝑥²−1 5. 𝑧−1 ≤ 3

𝑧−8 6. 𝑡+9

𝑡−3

< − 1

2 7. 5𝑧+2

𝑧+3

> 5

2 8. 5𝑏+2

𝑏−2 > −1

Aspectos por evaluar Puntuación obtenida

Observaciones

5 Puntualidad. Entrega a fecha indicada por el docente, según organización del colegio.

3 Limpieza y orden. No se aprecian borrones, tachones.

2 Expresa adecuadamente la solución de cada problema.

40 Desarrolla correctamente todos los procedimientos de acuerdo con las fórmulas y propiedades.

.

CALIFICACIÓN.

BIBLIOGRAFÍA.

1) MATEMÁTICA 11, ALGEBRA Y TRIGONOMETRÍA CON GEOMETRÍA ANALÍTICA. DIANA DE LAJÓN; RICARDO LAJÓN.

2) MATEMÁTICA 11. SERIE SER COMPETENTES. SANTILLANA.

APUNTES DE LOS PROFESORES: HERNÁN CASTILLO, GLORIBETH VEGA, RAQUEL ATENCIO y VILMA PRADO