Vectores Sumas de vectores en

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(1)

Vectores

𝟐 = {(𝒙, 𝒚): 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ} = ℝ × ℝ (𝟑, 𝟐) ≠ (𝟐, 𝟑)

𝟑 = {(𝒙, 𝒚, 𝒛): 𝒙, 𝒚, 𝒛 ∈ ℝ}

Sumas de vectores en ℝ𝟐

Dados los vectores 𝑢 y 𝑣 en ℝ2, traslade 𝑣 de modo que su origen coincida con la punta de 𝑢.

La suma 𝑢 + 𝑣 de 𝑢 y 𝑣 es el vector desde el origen de 𝑢 hasta la punta de 𝑣.

(2)

Al trasladar 𝑢 y 𝑣 paralelos a ellos mismos, se obtiene un paralelogramo, como se muestra en la figura.

Este paralelogramo se llama paralelogramo determinado por 𝑢 y 𝑣. Ello conduce a una versión equivalente de la regla punta a origen para vectores en posición estándar.

Dados los vectores 𝑢 y 𝑣 en ℝ2 (en posición estándar), su suma 𝑢 + 𝑣 es el vector en posición estándar a lo largo de la diagonal del paralelogramo determinado por 𝑢 y 𝑣.

(3)
(4)

La segunda operación vectorial básica es la multiplicación escalar. Dado un vector 𝑣 y un número real 𝑐, el múltiplo escalar 𝑐𝑣 es el vector que se obtiene al multiplicar cada componente de 𝑣 por 𝑐.

(5)

Suma y multiplicación por escalar en ℝ𝟐

 𝐴⃗ = (3,2), 𝐵⃗⃗ = (6, −3), 𝐴⃗ + 𝐵⃗⃗ = (3 + 6,2 + (−3)) = (9, −1), 𝐴⃗ + 𝐵⃗⃗ = (9, −1)

𝐵⃗⃗ + 𝐴⃗ = (6, −3)+(3,2) = (6 + 3, −3 + 2) = (9, −1)

 𝐴⃗ = (3

2,2), 𝐵⃗⃗ = (6,3

5), 𝐴⃗ + 𝐵⃗⃗ = (3

2 + 6,2 + (−3

5)) = (3

2 + 6

1,2

1 3

5), 𝐴⃗ + 𝐵⃗⃗ = (3 + 12

2 ,10 − 3

5 ) = (15 2 ,7

5)

 𝐶⃗ = (3

2,2

7), 𝐹⃗ = (95,3

5), 𝐶⃗ + 𝐹⃗ = (32 + 9

5,2

7 + (−3

5)) = (15+18

10 ,10−21

35 )

 𝐶⃗ = (3

2,2

7), HALLAR 14𝐶⃗ = (14 × 32, 14 × 2

7) = (42

2 ,28

7 ) = (21, 4)

 𝐴⃗ = (3

2,2

3), hallar 𝟔

𝟓𝐴⃗, 𝐴⃗ = (6

5 × 3

2,6

5 × 2

3) = (18

10,12

15) = (9

5,4

5)

Vectores en ℝ𝟑

El conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales se denota mediante ℝ𝟑. Puntos y vectores se localizan usando tres ejes coordenados mutuamente perpendiculares que se reúnen en el origen 𝑂. Un punto como 𝐴 = (1, 2, 3) puede localizarse del modo siguiente: primero recorra 1 unidad a lo largo del eje 𝑥, luego avance 2 unidades paralelas al eje 𝑦 y finalmente mueva 3 unidades paralelas al eje 𝑧.

(6)

𝐴⃗ = (3

2,2

3, 0),

En general, ℝ𝒏 se define como el conjunto de todas las n-adas ordenadas de números reales escritos como vectores renglón o columna. Por ende, un vector 𝑋 en ℝ𝒏 es de la forma

𝒏 = {(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛): 𝑥𝑖 ∈ ℝ}

(7)

𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛),𝑋 =

( 𝑥1 𝑥2 𝑥3 . . . 𝑥𝑛)

Las entradas individuales de 𝑿 son sus componentes; 𝑥𝑖 se llama el componente i-ésimo.

𝐴 = (1,2, −3) y 𝐵 = (−3,5,2) . Hallar 𝑋, tal que 2𝐴 − 𝑋 = 3𝐵

−2𝐴 + (2𝐴 − 𝑋) = −2𝐴 + 3𝐵

(8)

(−2𝐴 + 2𝐴)− 𝑋 = −2𝐴 + 3𝐵, 0 − 𝑋 = 3𝐵 − 2𝐴 2𝐴 − 𝑋 = 3𝐵, −𝑋 = 3𝐵 − 2𝐴

(−1)[−𝑋 = 3𝐵 − 2𝐴], 𝑋 = −3𝐵 + 2𝐴 𝑋 = −3𝐵 + 2𝐴 = −3(−3,5,2) + 2(1,2, −3)

= (9, −15,−6) + (2,4,−6) = (11, −11, −12)

𝐴 = (1, −3,4,7) y 𝐵 = (−3,5,2,3) . Hallar 𝑋, tal que 2𝐴 − 6𝑋 = 3(𝐵 + 𝑋) 2𝐴 − 6𝑋 = 3(𝐵 + 𝑋), 2𝐴 − 6𝑋 = 3𝐵 + 3𝑋

2𝐴 = 3𝐵 + 3𝑋 + 6𝑋, 2𝐴 − 3𝐵 = 3𝑋 + 6𝑋 = (3 + 6)𝑋 2𝐴 − 3𝐵 = 9𝑋,

1

9[2𝐴 − 3𝐵] = 𝑋 1

9[2𝐴 − 3𝐵 = 9𝑋]

𝑋 = 2

9𝐴 − 1

3𝐵 𝐴 = (1, −3,4,7) y 𝐵 = (−3,5,2,3)

𝑋 = 2

9𝐴 − 1

3𝐵 = 2

9(1, −3,4,7) − 1

3(−3,5,2,3) 𝑋 = (2

9, −2 3,8

9,14

9 ) + (1, −5

3, −2

3, −1 ) = (11

9 , −7 3,2

9,5 9) 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4)

(9)

Longitud y ángulo: el producto punto

𝐴 ⋅ 𝐵 = ∑ 𝑎𝑖𝑏𝑖 =

𝑛

𝑖=1

𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎3𝑏3 ++ 𝑎𝑛𝑏𝑛

𝐴 = (𝑎1, 𝑎2, … 𝑎𝑛), 𝐵 = (𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛)

 Ejemplo calcular el producto punto de 𝑢 = (1,2,−3) y 𝑣 = (−3,5,2) 𝑢 ⋅ 𝑣 = 1 × (−3) + 2 × 5 + (−3) × 2 = 1

 Ejemplo calcular el producto punto de 𝐴 = (0,2,−3,1

2) y 𝐵 = (−1,275,2) 𝐴 ⋅ 𝐵 = 0 × (−1) + 2 × 2

7 + (−3) × 5 + 1

2 × 2 = 4

7− 15 + 1 𝐴 ⋅ 𝐵 = 4

7 − 14 = 4 − 98

7 = −94 7

(10)

 La longitud (o norma) de un vector 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)en ℝ𝒏 es el escalar no negativo ‖𝑋‖definido por

‖𝑋‖ = √𝑋 ⋅ 𝑋 = √𝑥12 + 𝑥22 + 𝑥32 + ⋯ + 𝑥𝑛2

‖𝑋‖2 = 𝑋 ⋅ 𝑋

 Consideremos 𝐴 = (0,2, −3,12), entonces

‖𝐴‖ = √02 + 22 + (−3)2 + (1 2)

2

= √4 + 9 +1

4 = √13 + 1

4 = √53 4

 Un vector de longitud 1 se llama vector unitario

Ejemplos los vectores coordenados unitarios de ℝ𝟐

𝒆𝟏 = (1,0), 𝒆𝟐 = (0,1)

Ejemplos los vectores coordenados unitarios de ℝ𝟑

𝒆𝟏 = (1,0,0), 𝒆𝟐 = (0,1,0), 𝒆𝟑 = (0,0,1)

𝒊 = (1,0,0), 𝒋 = (0,1,0), 𝒌 = (0,0,1)

Ejemplos los vectores coordenados unitarios de ℝ𝒏

𝒆𝟏 = (1,0,0, … 0), 𝒆𝟐 = (0,1,0,0, … ,0), … 𝒆𝒏 = (0,0, … ,0 ,1)

(11)

 Dado cualquier vector 𝑣 distinto de cero, siempre es posible encontrar un vector unitario en la misma dirección que 𝒗 al dividir 𝒗 por su propia longitud (o, de manera equivalente, al multiplicar por 1

‖𝑣‖).

Encontrar un vector unitario en la misma dirección con frecuencia se conoce como normalizar un vector

(12)

 Ejemplo normalizar el siguiente vector 𝑣 = (−3,5,2)

‖𝑣‖ = √(−3)2 + 52 + 22 = √38

𝒖 = 1

‖𝑣‖𝑣 = 1

38(−3,5,2) = ( −3

38,

5

38,

2

38)

‖𝒖‖ = √( −3

38)

2

+ ( 5

38)

2

+ ( 2

38)

2

= √ 9

38 + 25

38 + 4

38 = √9 + 25 + 4

38 = √1 = 1

(13)

Propeiedades algebraicas de la norma de un vector

(14)

 Dados los vectres 𝑋 = (52, 3), 𝑌 = (−2,7), verificar la desigualdad de cauchy 𝑋 ⋅ 𝑌 = −5 + 21 = 16, |𝑋 ⋅ 𝑌| = 16

‖𝑋‖ = √25

4 + 9 = √61 4

‖𝑌‖ = √4 + 49 = √53

‖𝑋‖‖𝑌‖ = √61

4 √53 = √61

4 (53) = 28,42

|𝑋 ⋅ 𝑌| = 16 < ‖𝑋‖‖𝑌‖ = 28,42

 𝑌 = (−2,7), 𝑿 = 𝟑𝒀 = (−𝟔, 𝟐𝟏)

(15)

 𝑋 ⋅ 𝑌 = 12 + 147 = 159, |𝑋 ⋅ 𝑌| = 159

 ‖𝑋‖ = √36 + 441 = √477

 ‖𝑌‖ = √4 + 49 = √53

 ‖𝑋‖‖𝑌‖ = √477√53 = √25281 = 159

|𝑋 ⋅ 𝑌| = 159 = ‖𝑋‖‖𝑌‖ = 159

Definición: La distancia entre dos vectores 𝑢 y 𝑣 de ℝ𝒏, se define por 𝒅(𝒖, 𝒗) = ‖𝒖 − 𝒗‖

 Encuentre la distancia entre 𝑢 = (√2, 1, −1) y 𝑣 = (0,2, −2)

Primero calculamos 𝑢 − 𝑣 = (√2 − 0,1 − 2, −1 − (−2)) = (√2, −1,1)

𝑑(𝑢, 𝑣) = ‖𝑢 − 𝑣‖ = √(√2)2 + (−1)2 + 12 = √4 = 2 La distancia entre los vectres anteriores es 2

 𝑋 = (7,8), 𝑌 = (4

3, 2), distancia entre dos puntos

(16)

𝑋 − 𝑌 = (7 − 4

3, 8 − 2) 𝑑(𝑋, 𝑌) = ‖𝑋 − 𝑌‖ = √(7 − 4

3)

2

+ (8 − 2)2

(17)

Ángulos

El producto punto también se puede usar para calcular el ángulo entre un par de vectores.

En ℝ𝟐 o ℝ𝟑, el ángulo entre los vectores 𝑢 y 𝑣 distintos de cero se referirá al ángulo 𝜃 determinado por estos vectores que satisfaga 0 < 𝜃 < 180°

(18)

Ley del coseno 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 𝐶𝑜𝑠 𝛾

 Usando la ley del coseno podemos deducir lo siguiente:

‖𝑢 − 𝑣‖2 = ‖𝑢‖2 + ‖𝑣‖2 − 2‖𝑢‖‖𝑣‖𝐶𝑜𝑠 𝜃

‖𝑢 − 𝑣‖2 = (𝑢 − 𝑣) ⋅ (𝑢 − 𝑣) = 𝑢 ⋅ 𝑢 − 𝑢 ⋅ 𝑣 − 𝑣 ⋅ 𝑢 + 𝑣 ⋅ 𝑣 = ‖𝑢‖2 − 2(𝑢 ⋅ 𝑣) + ‖𝑣‖2

‖𝒖‖𝟐 − 𝟐(𝒖 ⋅ 𝒗) + ‖𝒗‖𝟐 = ‖𝑢‖2 + ‖𝑣‖2 − 2‖𝑢‖‖𝑣‖𝐶𝑜𝑠 𝜃

(19)

−2(𝑢 ⋅ 𝑣) = − 2‖𝑢‖‖𝑣‖𝐶𝑜𝑠 𝜃 2(𝑢 ⋅ 𝑣) = 2‖𝑢‖‖𝑣‖𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝐶𝑜𝑠 𝜃 = 2(𝑢 ⋅ 𝑣)

2‖𝑢‖‖𝑣‖ = (𝑢 ⋅ 𝑣)

‖𝑢‖‖𝑣‖

 Calcule el angulo entre los dos vectores 𝑋 = (2,1, −2)y 𝑌 = (1,1,1).

Debemos calcular lo siguiente 𝑋 ⋅ 𝑌 = 2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + (−2) ⋅ 1 = 𝟏

‖𝑋‖ = √22 + 12 + (−2)2 = √9 = 3

‖𝑌‖ = √12 + 12 + 12 = √3 𝐶𝑜𝑠 𝜃 = (𝑋 ⋅ 𝑌)

‖𝑋‖‖𝑌‖ = 𝟏 3√3 cos−1(𝐶𝑜𝑠 𝜽) = cos−1 ( 𝟏

3√3) 𝜽 = cos−1 ( 𝟏

3√3) Finalmente despejamos 𝜃, y obetenemos

𝜃 = 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠 ( 1

3√3) = 𝐶𝑜𝑠−1 ( 1

3√3) = 78°5415.11′′

(20)

 La deducción de la fórmula para el coseno del ángulo entre dos vectores es válida solamente en ℝ𝟐y 𝟑, En ℝ𝒏, para n > 3, la fórmula puede considerarse como una definición.

Vectores ortogonales

El concepto de perpendicularidad es fundamental para la geometría. Quien estudie geometría rápidamente se dará cuenta de la importancia y utilidad de los ángulos rectos.

Ahora se generalizará la idea de la perpendicularidad para los vectores enℝ𝒏, donde se le llama ortogonalidad.

 En ℝ𝟐y ℝ𝟑dos vectores 𝑋 y 𝑌 distintos de cero son perpendiculares si el ángulo 𝜃 entre ellos es un ángulo recto; es decir 𝜃 = 𝜋/2, como 𝐶𝑜𝑠 90°=0, se deduce de la fórmula de ángulos entre vectores que:

(21)

𝐶𝑜𝑠 90° = (𝑋 ⋅ 𝑌)

‖𝑋‖‖𝑌‖ = 0, ⟹ 𝑋 ⋅ 𝑌 = 0

 Dos vectores 𝑿 y 𝒀 en ℝ𝒏, son mutuamente ortogonales si 𝑿 ⋅ 𝒀 = 𝟎

 Ejemplo

Determinar si los siguientes vectores 𝑋 = (1,1, −2) , 𝑌 = (3,1,2) son ortogonales

𝑋 ⋅ 𝑌 = 1 ⋅ 3 + 1 ⋅ 1 + (−2) ⋅ 2 = 3 + 1 − 4 = 0 Los vectores son ortogonales

(22)

Bosquejo de la prueba del teorema de Pitagoras

‖𝑢 + 𝑣‖2 = (𝑢 + 𝑣) ⋅ (𝑢 + 𝑣) = 𝑢 ⋅ 𝑢 + 𝑢 ⋅ 𝑣 + 𝑣 ⋅ 𝑢 + 𝑣 ⋅ 𝑣 = ‖𝑢‖2 + 2(𝑢 ⋅ 𝑣) + ‖𝑣‖2

‖𝒖 + 𝒗‖𝟐 = ‖𝒖‖𝟐 + 𝟐(𝒖 ⋅ 𝒗) + ‖𝒗‖𝟐 Supongamos que 𝑢 y 𝑣 son ortogonales 𝑢 ⋅ 𝑣 = 0

‖𝑢 + 𝑣‖2=‖𝑢‖2 + ‖𝑣‖2 Por otro lado supngamos que se cumple ‖𝑢 + 𝑣‖2=‖𝑢‖2 + ‖𝑣‖2

Por la formula ‖𝒖 + 𝒗‖𝟐 = ‖𝒖‖𝟐 + 𝟐(𝒖 ⋅ 𝒗) + ‖𝒗‖𝟐, tenemos que :

‖𝑢‖2 + ‖𝑣‖2 = ‖𝒖‖𝟐 + 𝟐(𝒖 ⋅ 𝒗) + ‖𝒗‖𝟐 De la formula anterior tenemos que

𝟐(𝒖 ⋅ 𝒗) = 𝟎 En consecuencia el triangulo es rectangulo.

(23)

 Ejemplo

Descriva todos los vectores 𝑋 = (𝑥, 𝑦) que son ortogonales a 𝐴 = (1,3).

Solución: como los vectores son ortogonales, se debe cumplir que 𝑋 ⋅ 𝐴 = 0 𝑋 ⋅ 𝐴 = (𝑥, 𝑦) ⋅ (1,3) = 𝑥 + 3𝑦 = 0

𝑥 + 3𝑦 = 0

Despejando una de las variables en función de la otra obtenemos:

𝑥 = −3𝑦

Luego podemos decir que el vector 𝑋 = (𝑥, 𝑦) = (−3𝑦, 1𝑦) = 𝑦(−3,1), donde 𝑦 ∈ ℝ.

𝑋 = 𝑦(−3,1), 𝑦 = −2 𝑋 = −2(−3,1) = (6, −2)

(6, −2) ⋅ (1,3) = 6 ⋅ 1 + (−2)3 = 6 − 6 = 0 𝑋 = 𝑦(−3,1), 𝑦 = 1

3 𝑋 = 1

3(−3,1) = (−1,1 3) (−1,1

3) ⋅ (1,3) = (−1)1 + 1

3(3) = 0

(24)

 Ejemplo

Calcule el producto escalar de los dos vectores y el coseno del angulo entre ellos.

𝒖 = 𝒆𝟏 + 𝒆𝟐 = (1,0) + (0,1); 𝒗 = 𝒆𝟏 – 𝒆𝟐 = (𝟏, 𝟎) − (𝟎, 𝟏), entonces 𝒖 = (𝟏, 𝟏); 𝒗 = (𝟏, −𝟏)

𝒖 ⋅ 𝒗 = (𝟏, 𝟏) ⋅ (𝟏, −𝟏) = 1 × 1 + 1 × (−1) = 0

‖𝑣‖ = √12 + ( −1)2 = √2

‖𝑢‖ = √12 + 12 = √2

𝐶𝑜𝑠 𝜃 = (𝑋 ⋅ 𝑌)

‖𝑋‖‖𝑌‖

𝐶𝑜𝑠 𝜃 = 𝒖 ⋅ 𝒗

‖𝑢‖‖𝑣‖ = 0

√2√2 = 0 𝐶𝑜𝑠−1 (0) = 90° = 𝜋

 𝒖 = 𝟐𝒆𝟏 − 𝟑 𝒆𝟐; 𝒗 = −𝒆𝟏 + 𝟑 𝒆𝟐, entonces 𝒖 = (𝟐, −𝟑); 𝒗 = (−𝟏, 𝟑) 2

𝒖 ⋅ 𝒗 = (𝟐, −𝟑) ⋅ (−𝟏, 𝟑) = 2 × (−1) + (−3) × 3 = −2 − 9 = −11

‖𝑢‖ = √22 + ( −3)2 = √13

‖𝑣‖ = √(−1)2 + 32 = √10

(25)

𝐶𝑜𝑠 𝜃 = (𝑋 ⋅ 𝑌)

‖𝑋‖‖𝑌‖

𝐶𝑜𝑠 𝜃 = 𝒖 ⋅ 𝒗

‖𝑢‖‖𝑣‖ = −11

√10√13 = −11

√130 𝜃 = 𝐶𝑜𝑠−1 ( −11

√130) = 164° 4441,5′′

 Dos vectores s diferentes de cero 𝒖 y 𝒗 son paralelos si el angulo entre ellos es cero o π.

 Ejemplo

determine si los vectores dados son ortogonales, paralelos o ningunode los dos.

 𝒖 = 𝟑𝒆𝟏 + 𝟓 𝒆𝟐; 𝒗 = −𝟔𝒆𝟏 − 𝟏𝟎 𝒆𝟐, entonces 𝒖 = (𝟑, 𝟓); 𝒗 = (−𝟔, −𝟏𝟎)

 𝒖 ⋅ 𝒗 = (𝟑, 𝟓) ⋅ (−𝟔, −𝟏𝟎) = 3 × (−6) + 5 × (−10) = −18 − 50 = −68

‖𝑣‖ = √(−6)2 + ( −10)2 = √136

‖𝑢‖ = √32 + 52 = √34 𝐶𝑜𝑠 𝜃 = 𝒖 ⋅ 𝒗

‖𝑢‖‖𝑣‖ = −68

√136√34 = −68

√4624 = −68

68 = −1 𝜃 = 𝐶𝑜𝑠−1 (−1) = 180° = 𝜋

(26)

 Ejemplo

determine los valores de 𝛼, para que los vectores dados sean paralelos

 𝒖 = −𝟐𝒆𝟏 + 𝟕𝒆𝟐; 𝒗 = 𝜶𝒆𝟏 − 2𝒆𝟐, entonces 𝒖 = (−𝟐, 𝟕); 𝒗 = (𝜶, −𝟐)

 𝒖 ⋅ 𝒗 = (−𝟐, 𝟕) ⋅ (𝜶, −𝟐) = −2 × 𝛼 + 7 × (−2) = −14 − 2𝛼

‖𝑣‖ = √𝛼2 + (−2)2 = √4 + 𝛼2

‖𝑢‖ = √(−2)2 + 72 = √53

Suponemos que los vectores son paralelos, para ello suponemos que el angulo entre ellos es cero

𝐶𝑜𝑠 𝜃 = 𝒖 ⋅ 𝒗

‖𝑢‖‖𝑣‖ = −14 − 2𝛼

√53 × √4 + 𝛼2 = 𝐜𝐨𝐬 𝟎 = 1

(27)

−𝟏𝟒 − 𝟐𝜶

√𝟓𝟑 × √𝟒 + 𝜶𝟐 = 𝟏 Depenjando obtenemos

−14 − 2𝛼 = √53 × √4 + 𝛼2 Elevando a ambos lados al cuadrado obtenemos

(−14 − 2𝛼)2 = 196 + 56𝛼 + 4𝛼2 = (√53 × √4 + 𝛼2)2 = 53(4 + 𝛼2) = 212 + 53𝛼2 53𝛼2 − 4𝛼2 − 56𝛼 + 16 = 0

49𝛼2 − 56𝛼 + 16 = 0 (7𝛼)2 − 56𝛼 + 16 = 0 trinomio cuadrado pefecto

(7𝛼 − 4)2 = 0 7𝛼 − 4 = 0 Despejando obtenemos

7𝛼 = 4 𝜶 = 𝟒

𝟕

(28)

Proyecciones

La proyeccion de un vector sobre otro vector.

 Definición: Consideremos dos vectores 𝑢 y 𝑣 de ℝ𝒏, con 𝑢 ≠ 𝟎, entonces la proyección de 𝒗 sobre 𝒖 es el 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒑𝒓𝒐𝒚𝒖(𝒗) definido por

𝒑𝒓𝒐𝒚𝒖(𝒗) = (𝒖 ⋅ 𝒗 𝒖 ⋅ 𝒖) 𝒖

 El término proyección proviene de la idea de proyectar una imagen sobre un muro (con un proyector de diapositivas, por ejemplo). Imagine un haz de luz con rayos mutuamente paralelos y perpendiculares a 𝒖 que brillan sobre v. La proyección de 𝒗 sobre 𝒖 es justo la sombra formada, o proyectada, por 𝒗 sobre 𝒖.

(29)

 Ejemplo

Encuentre la proyección de 𝑋 sobre 𝑌 1. 𝑋 = (−1,3), 𝑌 = (2,1)

𝒑𝒓𝒐𝒚𝒀(𝑿) = (𝑿 ⋅ 𝒀 𝒀 ⋅ 𝒀) 𝒀 𝒑𝒓𝒐𝒚𝒀(𝑿) = ((−𝟏, 𝟑) ⋅ (𝟐, 𝟏)

(𝟐, 𝟏) ⋅ (𝟐, 𝟏) ) (𝟐, 𝟏) 𝒑𝒓𝒐𝒚𝒀(𝑿) = (−𝟐 + 𝟑

𝟒 + 𝟏 ) (𝟐, 𝟏) = 𝟏

𝟓(𝟐, 𝟏) = (𝟐 𝟓,𝟏

𝟓) 2. 𝑌 = (2,1) sobre 𝑋 = (−1,3),

𝒑𝒓𝒐𝒚𝑿(𝒀) = (𝑿 ⋅ 𝒀 𝑿 ⋅ 𝑿) 𝑿 𝒑𝒓𝒐𝒚𝑿(𝒀) = ( (−𝟏, 𝟑) ⋅ (𝟐, 𝟏)

(−𝟏, 𝟑) ⋅ (−𝟏, 𝟑)) (−𝟏, 𝟑) 𝒑𝒓𝒐𝒚𝑿(𝒀) = (−𝟐 + 𝟑

𝟏 + 𝟗 ) (−𝟏, 𝟑) = 𝟏

𝟏𝟎(−𝟏, 𝟑) = (−𝟏 𝟏𝟎 , 𝟑

𝟏𝟎)

3. 𝑋 = (1,2,3), 𝑌 = 𝑲 = (𝟎, 𝟎, 𝟏) = 𝒆𝟑

(30)

𝒑𝒓𝒐𝒚𝒀(𝑿) = (𝑿 ⋅ 𝒀 𝒀 ⋅ 𝒀)𝒀 𝒑𝒓𝒐𝒚𝒀(𝑿) = ((𝟏, 𝟐, 𝟑) ⋅ (𝟎, 𝟎, 𝟏)

(𝟎, 𝟎, 𝟏) ⋅ (𝟎, 𝟎, 𝟏)) (𝟎, 𝟎, 𝟏) = 𝟑(𝟎, 𝟎, 𝟏) 𝒑𝒓𝒐𝒚𝒀(𝑿) = (𝟎, 𝟎, 𝟑)

𝑋 = (1,2,3), 𝑌 = 𝑱 = (𝟎, 𝟏, 𝟎) = 𝒆𝟑

𝒑𝒓𝒐𝒚𝒀(𝑿) = (𝟎, 𝟐, 𝟎) 4. 𝑋 = (1,2,3), 𝑌 = (1

2,1

2, 1

√2 )

𝒑𝒓𝒐𝒚𝒀(𝑿) = (𝑿 ⋅ 𝒀 𝒀 ⋅ 𝒀) 𝒀

𝒑𝒓𝒐𝒚𝒀(𝑿) = (

(𝟏, 𝟐, 𝟑) ⋅ (1 2 ,

1 2 ,

1

√2 ) (1

2 , 1 2 ,

1

√2 ) ⋅ (1 2 ,

1 2 ,

1

√2 )

) (1 2,1

2, 1

√2 )

𝒑𝒓𝒐𝒚𝒀(𝑿) =, ( 1

2 + 𝟏 + 𝟑

√2 𝟏

𝟒 + 𝟏 𝟒 +

𝟏 𝟐

) (1 2,1

2, 1

√2 )

(31)

𝒑𝒓𝒐𝒚𝒀(𝑿) =, (𝟑

𝟐 + 𝟑

√2) (1 2,1

2, 1

√2 ) = (𝟑(𝟏 + √2) 𝟒 ) (1

2,1 2, 1

√2 )

(32)

EL PRODUCTO CRUZ DE DOS VECTORES (Producto Vectorial)

Hasta el momento el unico producto de vectores que se ha considerado ha sido el producto escalar o producto punto. Ahora se define un nuevo producto, llamado producto cruz (o producto vectorial), que esta definido solo en ℝ𝟑.

(33)

Equivalentemente podemos decir:

 Ejemplo Sean 𝑿 = 𝒊 + 𝒋 + 2𝒌 ; 𝒀 = 2𝒊 + 3𝒋 − 4𝒌. Calcule 𝑊 = 𝑋 × 𝑌.

𝑿 = 𝒊 + 𝒋 + 2𝒌 = (𝟏, 𝟏, 𝟐); 𝒀 = (𝟐, 𝟑, −𝟒) 𝑊 = 𝑋 × 𝑌 = |

𝒊 𝒋 𝒌

1 1 2

2 3 −4

| = 𝒊 |1 2

3 −4| − 𝒋 |1 2

2 −4| + 𝒌 |1 1 2 3| 𝑊 = 𝑋 × 𝑌 = 𝒊 |1 2

3 −4| − 𝒋 |1 2

2 −4| + 𝒌 |1 1 2 3| 𝑊 = 𝑋 × 𝑌 = (−4 − 6)𝒊 − (−4 − 4)𝒋 + (3 − 2)𝒌 𝑊 = 𝑋 × 𝑌 = −𝟏𝟎𝒊 + 𝟖𝒋 + 𝒌 = (−𝟏𝟎, 𝟖, 𝟏).

(34)

Ejemplo

𝑿 = 𝒊 + 𝒋 + 2𝒌 = (𝟏, 𝟏, 𝟐); 𝒀 = (𝟐, 𝟑, −𝟒)

𝑋 × 𝑌 = −𝟗𝒊 + 𝟖𝒋 + 𝒌 = (−𝟏𝟎, 𝟖, 𝟏). Es ortogonal a los vectores 𝑿, 𝒀 𝑿 ⋅ (𝑿 × 𝒀) = 𝟎

(35)

𝑿 ⋅ (𝑿 × 𝒀) = (𝟏, 𝟏, 𝟐) ⋅ (−𝟏𝟎, 𝟖, 𝟏) = −𝟏𝟎 + 𝟖 + 𝟐 = 𝟎 𝒀 ⋅ (𝑿 × 𝒀) = (𝟐, 𝟑, −𝟒) ⋅ (−𝟏𝟎, 𝟖, 𝟏) = −𝟐𝟎 + 𝟐𝟒 − 𝟒 = 𝟎

Nota: El producto cruz 𝒖 × 𝒗 es ortogonal tanto a 𝒖 como a 𝒗.

 𝑿 = 𝒊 + 𝒋 + 2𝒌 ; 𝒀 = 2𝒊 + 3𝒋 − 4𝒌. Calcule 𝑊 = 𝑋 × 𝑌.

𝑿 = 𝒊 + 𝒋 + 2𝒌 = (𝟏, 𝟏, 𝟐); 𝒀 = (𝟐, 𝟑, −𝟒) 𝑊 = 𝑌 × 𝑋 = |

𝒊 𝒋 𝒌

2 3 −4

1 1 2

| = 𝒊 |3 −4

1 2 | − 𝒋 |2 −4

1 2 | + 𝒌 |2 3 1 1| 𝑊 = 𝑌 × 𝑋 = (6 + 4)𝒊 − (4 + 4)𝒋 + (2 − 3)𝒌

𝑊 = 𝑌 × 𝑋 = 𝟏𝟎𝒊 − 𝟖𝒋 − 𝒌 = (𝟏𝟎, −𝟖, −𝟏) = −(𝟏𝟎, 𝟖, 𝟏) 𝑋 × 𝑌 = −𝟗𝒊 + 𝟖𝒋 + 𝒌 = (−𝟏𝟎, 𝟖, 𝟏).

𝑿 × 𝒀 = −(𝒀 × 𝑿)

(36)
(37)
(38)

Iterpretacicon geometrica del producto cruz

‖𝑨 × 𝑩‖𝟐 = ‖𝑨‖𝟐‖𝑩‖𝟐 − (𝑨 ⋅ 𝑩)𝟐

‖𝐴 × 𝐵‖2 = ‖𝐴‖2‖𝐵‖2 − ‖𝐴‖2‖𝐵‖2cos2 𝜃 = ‖𝐴‖2‖𝐵‖2(1 − cos2 𝜃)

‖𝐴 × 𝐵‖2 = ‖𝑨‖𝟐‖𝑩‖𝟐𝐬𝐢𝐧𝟐 𝜽 𝑪𝒐𝒔 𝜽 = 𝒖⋅𝒗

‖𝒖‖‖𝒗‖, cos 𝜃 = ‖𝐴‖‖𝐵‖𝐴⋅𝐵 ,

𝐴 ⋅ 𝐵 = ‖𝐴‖‖𝐵‖ cos 𝜃

(39)

 Encuentre el área del paralelogramo con vértices consecutivos en 𝑃 = (1, 3, −2), 𝑄 = (2, 1, 4) 𝑅 = (−3, 1, 6)

Luego tenemos que hallar los lados que determinan los lados del paralelogramo, debido a que nos estan proporcionando solo los vertices.

En efecto tenemos que calcular los vecores que unen 𝑄 con 𝑅 (𝑹 − 𝑸) y 𝑄 con 𝑃 (𝑷 − 𝑸) (𝑹 − 𝑸) = 𝑹𝑸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( −𝟓, 𝟎, 𝟐)

(𝑷 − 𝑸) = 𝑷𝑸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−𝟏, 𝟐, −𝟔)

(40)

𝑊 = 𝑹𝑸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗× 𝑷𝑸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |

𝒊 𝒋 𝒌

−5 0 2

−1 2 −6

| = 𝒊 |0 2

2 −6| − 𝒋 |−5 2

−1 −6| + 𝒌 |−5 0

−1 2| 𝑹𝑸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝑷𝑸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (0 − 4)𝒊 − (30 + 2)𝒋 + (−10 − 0)𝒌

𝑹𝑸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝑷𝑸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝟒𝒊 − 𝟑𝟐𝒋 − 𝟏𝟎𝒌 = (−𝟒, −𝟑𝟐, −𝟏𝟎)

‖𝑹𝑸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝑷𝑸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖ = √𝟏𝟔 + 𝟏𝟎𝟐𝟒 + 𝟏𝟎𝟎 = √𝟏𝟏𝟒𝟎 = 𝟑𝟑, 𝟕𝟔 área del paralelogramo= 𝟑𝟑, 𝟕𝟔

Producto Mixto

El producto mixto (o también conocido como triple producto escalar) es una operación entre tres vectores que combina el producto escalar con el producto vectorial para obtener de resultado un escalar.

Sean 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3), 𝑌 = (𝑦1, 𝑦2, 𝑦3) y 𝑍 = (𝑧1, 𝑧2, 𝑧3), definimos el producto mixto entre los vectores por:

𝑋 ⋅ (𝑌 × 𝑍) = |

𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑦1 𝑦2 𝑦3

𝑧1 𝑧2 𝑧3| = 𝒙𝟏|𝑦2 𝑦3

𝑧2 𝑧3 | − 𝒙𝟐|𝑦1 𝑦3

𝑧1 𝑧3| + 𝑥3|𝑦1 𝑦2 𝑧1 𝑧2| 𝑋 ⋅ (𝑌 × 𝑍) = 𝒙𝟏|𝑦2 𝑦3

𝑧2 𝑧3| − 𝒙𝟐|𝑦1 𝑦3

𝑧1 𝑧3| + 𝑥3 |𝑦1 𝑦2 𝑧1 𝑧2|

= 𝒙𝟏(𝒚𝟐𝒛𝟑 − 𝒛𝟐𝒚𝟑)−𝒙𝟐(𝒚𝟏𝒛𝟑 − 𝒛𝟏𝒚𝟑)+𝒙𝟑(𝒚𝟏𝒛𝟐 − 𝒛𝟏𝒚𝟐)

(41)

El volumen del paralelepípedo determinado por los tres vectores 𝑋, 𝑌 y 𝑍 es igual a

|𝑋 ⋅ (𝑌 × 𝑍)| valor absoluto del triple producto escalar de 𝑋, 𝑌 y 𝑍.

https://www.geogebra.org/m/ZKCrbEdt

Ejemplo dados tres vectores 𝑋 = (3,2,1), 𝑌 = (1,0 − 2), 𝑍 = (4, −2, −1)

𝑋 ⋅ (𝑌 × 𝑍) = |

3 2 1

1 0 −2

4 −2 −1

| = 𝟑 | 0 −2

−2 −1| 𝟐 |1 −2

4 −1| + 1 |1 0 4 −2|

(42)

𝑋 ⋅ (𝑌 × 𝑍) = 3(−4) − 2(−1 + 8) + 1(−2 − 0) = −12 − 14 − 2 = −28 𝑿 ⋅ (𝒀 × 𝒁) = (𝑿 × 𝒀) ⋅ 𝒁

(𝑋 × 𝑌) = |

𝒊 𝒋 𝒌

3 2 1

1 0 −2

| = 𝒊|2 1

0 −2| − 𝒋|3 1

1 −2| + 𝒌 |3 2

1 0| (𝑋 × 𝑌) = (−4,7, −2)

(𝑿 × 𝒀) ⋅ 𝒁 = (−4,7, −2) ⋅ (4, −2, −1) = −16 − 14 + 2 = −28

Figure

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Referencias